CC BY
3
УДК 665.6
Кувшинов Н.Е.
инженер научно-исслед. лаборатории «ФХПЭ» Казанский государственный энергетический университет
Россия, г. Казань Kuvshinov N.E. engineer laboratory "FHPE" Kazan State Power Engineering University
Russia, Kazan
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Аннотация: В статье рассматриваются некоторые способы решения задачи оптимизации с помощью современных компьютерных технологий. Приведено объективное задание и его этапы решения с помощью Excel и Mathcad.
Ключевые слова: оптимизация, целевая функция, минимальное значение, максимальное значение, линейное программирование.
SOLUTIONS OF THE PROBLEM OF LINEAR PROGRAMMING WITH HELPING COMPUTER TECHNOLOGIES Abstrakt: This article discusses some of the ways to solve the optimization problem with the help of modern computer technology. Powered objective job and its steps of the solution with the help of Excel and Mathcad.
Key words: optimization target function, the minimum value, maximum value, linear programming.
Очень широкий класс задач составляют задачи оптимизации или, как их еще называют, экстремальные задачи. Обычно их решение сопряжено с большим количеством вычислений, что затрудняет их решение вручную. В задачах оптимизации требуется найти значения параметров или функций, реализующих максимум или минимум некоторой зависящей от них величины, например:
блюдо В и блюдо С) с использованием при приготовлении ингредиентов трех видов (ингредиент 1, ингредиент 2 и ингредиент 3). Расход ингредиентов в граммах на блюдо задается следующей таблицей:
^ /(х1 Х2,.--,Хп)
часто при дополнительных условиях-неравенствах:
у (х1,Х2,...,Хп)<0 0=1,2,...,т)
В ресторане готовятся фирменные блюда трех
(1)
видов
до А,
Вид ингредиента Блюдо А Блюдо В Блюдо С Ежедневные поступления
Ингредиент 1 20 50 10 5000
Ингредиент 2 20 0 40 4000
Ингредиент 3 20 10 10 4000
Ежедневно в ресторан поступает 5 кг ингредиента 1 и по 4 кг ингредиентов видов 2 и 3. Каково оптимальное соотношение дневного производства блюд различного вида, если производственные мощности ресторана позволяют использовать весь запас поступивших продуктов? Решение: Для решения задачи введем обозначения: пусть х1, -дневной выпуск блюда А; х2 - дневной выпуск блюда В; х3 - дневной выпуск блюда С. Составим целевую функцию - она заключается в стоимости выпущенных рестораном блюд: Z=100 х1+200 х2+300 х3
Определим имеющиеся ограничения (руководствуясь таблицей):
• 20 х1+50 х2+10 х3 < 5000;
• 20 х1+0 х2+40 х3 < 4000;
• 20 х1+10 х2+10 х3 < 4000.
Кроме того, поскольку нельзя реализовать часть блюда и количество блюд не может быть отрицательным. Теперь можно приступить к решению задачи на компьютере. Откроем новый рабочий лист (Вставка ► Лист).
1. В ячейки А2, А3 и А4 занесем дневной запас продуктов — числа 5000,4000 и 4000 соответственно.
2. В ячейки С1, D1 и Е1 занесем начальные значения неизвестных х1, х2 и х3 (нули) - в дальнейшем значения этих ячеек будут подобраны автоматически.
3.В ячейках диапазона С2:Е4 разместим таблицу расхода ингредиентов.
4.В ячейках В2:В4 укажем формулы для расчета расхода ингредиентов по видам. В ячейке В2 формула будет иметь вид =$С$1 *С2 + $D$1 Ю2 + $Е$1 *Е2, а остальные формулы можно получить методом автозаполнения (копирования).
5. В ячейку Fl занесем формулу целевой функции =100*(С1 + Б1 +
Е1).
Результат ввода данных в рабочую таблицу представлен на рис. 1.
А В С й Е
1 0 0 0 0
2 5000 0 20 50 10
3 4000 0 20 0 40
4 4000 0 20 10 10
5
Рис. 1. Результат ввода данных
7.Дадим команду Сервис ► Поиск решения - откроется диалоговое окно Поиск решения.
8.В поле Установить целевую ячейку мышью укажем ячейку, содержащую оптимизируемое значение ^1) (рис. 2). Установим переключатель Равной в положение максимальному значению.
9.В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров (неизвестных х{) — С1:Е1.
10. Чтобы определить набор ограничений, щелкнем на кнопке Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку мышью укажем диапазон В2:В4. В качестве условия зададим в поле Ограничение мышью зададим диапазон В2:В4. Это условие указывает, что дневной расход ингредиентов не должен превосходить запасов.
Рис.2. Пример заполнения диалогового окна Поиск решения
11.Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем диапазон С1:Е1. В качестве условия зададим в поле Ограничение зададим число 0. Это условие указывает, что число приготавливаемых блюд неотрицательно. Щелкнем на кнопке ОК.
12.Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем диапазон С1:Е1. В качестве условия выберем пункт цел. Это условие не позволяет производить доли блюд. Щелкнем на кнопке ОК и Выполнить.
По завершении оптимизации откроется диалоговое окно Результаты поиска решения. Установим переключатель Значения параметров в положение Сохранить найденное решение, после чего щелкнем на кнопке ОК.
В результате получится оптимальный набор переменных (оптимальное количество приготавливаемых фирменных блюд) при данных ограничениях (при данном количестве ингредиентов): блюда А — 0 порции (х1) блюда В -80 порции (х2) и блюда С — 100 порций (х3). При этом общая стоимость блюд (Ъ) будет максимальной и равной 46000 руб. (рис. 5).
А в с D Е F I
1 о.оо 80,00 100,00 46000
2 5000 5000 20 50 10
3 4000 4000 20 0 40
4 4000 1800 20 10 10
5
Рис.5. Результат вычислений из примера
На сегодняшний день данная задача может решиться с помощью прикладного пакета программы Mathcad. Чтобы решить линейные задачи программирование на Mathcadе можно применить функции maximize и minimize. Этот процесс разрабатывается по следующим этапам: 1.Напишется целевая функция: А(х,у)=<вид функции>. 2.Записывается ключевое слово Given.
3.Вводятся система неравенств и ограничений.
4. Отправляются функции maximize или minimize в какую нибудь новую переменную.
5. Переменная := получается решение задачи.
6. Чтобы вычислить значение целевой функции нужно вести f(p0,p1)
В заключение можно сказать, что сегодня мы можем использовать для решения экономических задач современные программные средства. Они все дают возможность достижения результатов по разным способам.
Выше полученные результаты показывают то что, два способа являются эффективными и это показывает, что их можно внедрять в различные виды линейного программирования.
Использованные источники:
1.Гуреев В.М., Ермаков А.М., Мисбахов Р.Ш., Москаленко Н.И. Численное моделирование кожухотрубного теплообменного аппарата с кольцевыми и полукольцевыми выемками. // Промышленная энергетика. 2014. № 11. С. 1316.
2.Сафин А.Р., Мисбахов Р.Ш., Гуреев В.М. Обоснование рациональной схемы управления тяговым электроприводом трамвая на основе разработки имитационной модели. // Электроника и электрооборудование транспорта. 2014. № 3. С. 19-22.
