Решения систем функциональных уравнений многозначной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.716

С.С. Марченков1, В.С. Фёдорова2

РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ*

Рассматриваются общие вопросы, относящиеся к решениям систем функциональных уравнений многозначной логики: зависимость решений от функциональных констант, возможность построения систем уравнений с заданным единственным решением или заданным множеством решений.

Ключевые слова: функциональные уравнения, функции многозначной логики.

Один из стандартных способов задания функций и множеств функций в математике — задание с помощью систем функциональных уравнений. При определении функциональных уравнений используются функциональные и индивидные переменные, а также различные функциональные и индивидные константы и, возможно, функционалы и операторы. Немало подобных функциональных уравнений можно найти и в теории функций многозначной логики (особенно в теории булевых функций). Так, с помощью функциональных уравнений можно определять множества монотонных, самодвойственных, линейных и многих других функций. В качестве примера приведем функциональное уравнение

тах(^(жь ... ,жп),9?(тах(ж1,у1),..., тах(жп, уп)) = ^(тах(жь yi),..., тах(жп, уп)),

которое определяет (в классе Рк) множество всех п-местных функций, монотонных относительно естественного порядка на /•-'/,.

В настоящей работе мы рассматриваем функциональные уравнения многозначной логики. Целью работы является исследование общих вопросов, относящихся к решениям систем функциональных уравнений этого вида: зависимость решений от функциональных констант, входящих в уравнения, возможность построения систем уравнений с заданными единственным решением или множеством решений. Аналогичные исследования были начаты нами в работе [1], где рассматривались решения функциональных булевых уравнений. Стоит отметить, что для булевых алгебр похожие задачи рассматривались несколькими авторами [2-4]. При этом исследования проводились для уравнений с единственной одноместной функциональной переменной (для функций, принимающих значения в булевой алгебре), а в качестве операций допускались все операции булевой алгебры.

Введем необходимые понятия. Пусть к ^ 2, Е^ = {0,1,..., к^ 1}, Р^ — множество всех функций на /•.'/, (множество функций fc-значной логики). Если Q С Рк и п ^ 1, то через Q^ обозначим множество всех п- местных функций из Q.

В определении языка функциональных уравнений придерживаемся терминологии работы [5]. Предполагаем, что каждая функция из имеет индивидуальное обозначение. Для обозначения п-местных

(п)

функций из Pk используем символы , которые называем функциональными константами. Наряду с функциональными константами рассматриваем функциональные переменные, для которых используем символы (pf1-1 с областью значений Р^. Кроме функциональных переменных используем обычные индивидные переменные х\, жг, • • • с областью значений /•,'/..

Пусть Q С Рк. Определим понятие терма над Q. Всякая индивидная переменная есть терм над Q. Если t\,... ,tn — термы над Q, f^ — функциональная константа, служащая обозначением функции из Q, (р^ — функциональная переменная, то выражения

//n)(ii,...,in), <p<f\tu...,tn)

суть термы над Q.

1 Факультет ВМиК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: mathcybQcs.msu.su.

2 Факультет ВМиК МГУ, асп., e-mail: mathcybQcs.msu.su.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 09-01-00701.

Равенством над С,} называем любое выражение вида = где ¿1, ¿2 — термы над С,Равенства над считаем также функциональными уравнениями над Пусть ■ ■ ■ — все Функцио-

нальные переменные, входящие в уравнение = ¿2- Решением уравнения = ¿2 называем систему • • •, /¿т'!} Функций из /'/,.• которая после замены каждой переменной соответствующей

функциональной константой превращает уравнение = ¿2 в тождество (относительно всех входящих в уравнение индивидных переменных). Если Н — конечная система уравнений, то решением системы уравнений Н называем систему функций из /'/■• которая является решением каждого уравнения, входящего в систему Н.

Для того чтобы с помощью решений систем уравнений определять некоторые множества функций (от одного и того же числа переменных), выделим одну из функциональных переменных системы Н,

которую назовем главной функциональной переменной системы Н. Пусть (р^ — главная функциональная переменная системы уравнений Н и Р С Р^пК Говорим, что множество функций Р определяется

системой уравнений Н, если Р является множеством всех тех п-местных функций, которые входят в

„ (п)

решения системы г, в качестве компоненты по переменной щ .

Иногда для обозначения функциональных констант мы будем использовать символы д, к (с индексами или без них), а также символы у^, для обозначения индивидных переменных.

Считаем, что на множестве Р^ задана операция суперпозиции [6]. Понятия полноты, замкнутого и предполного классов относятся к операции суперпозиции.

Теорема 1. Пусть к ^ 2, <5 — замкнутый класс функций из Р^ и для любого п ^ 1, любого набора («1,..., ап) € Е"Ц найдутся та,кие функции д\,..., дп из и {ж} и такой элемент Ь € Е^, что

(аи...,ап) = (д! (Ъ),... ,дп(Ъ)).

Тогда для любой функции д(х\,..., хт) € С} существует система функциональных уравнений над «Я с одной функциональной переменной, единственным решением которой служит д.

Доказательство. По условию, для любого набора (0,1,..., ато) € -Е1™, соответствующих ему функций (¡>1,..., дт из и элемента Ь из /•.'/,. выполняется равенство

5(01,..., ат) = 5(51(6),.. .,дт(Ъ)).

Отсюда следует, что функция д может быть корректно определена системой всех кт уравнений вида

<р(д1(х),...,дт(х)) = /(ж),

где через /(ж) обозначена функция д{д\{х),... ,дт{х)) из а набор функций (д ... ,дт) соответствует набору («1,..., ат). (Заметим, что полученная система функциональных уравнений не обязательно состоит в точности из кт уравнений, поскольку для различных наборов (01,... ,ат) наборы функций (51,... ,дт) могут, вообще говоря, совпадать.) Теорема доказана.

Отметим, что условиям теоремы 1 удовлетворяет, например, любой замкнутый класс, содержащий все функции-константы; в этом случае вместо множества можно взять множество {0,1,..., А; — 1} всех констант. К таким классам относятся, в частности, класс Р^ и все предполные в Р^ классы, которые определяются любыми предикатами семейств О, Е, Ь, В и неодноместными предикатами семейства С (обозначения семейств предикатов см. в [7] или [8]). Условиям теоремы 1 удовлетворяют также все предполные в Р^ классы, которые определяются любыми предикатами семейства Р и одноместными предикатами семейства С.

Напомним, что тернарный дискриминатор р определяется следующими соотношениями:

, ч Г г, если х = у, р(х у ¿) = \

\ х в противном случае.

Если а, Ь € Е^ и а < Ь, то пусть

_ $ тах(х,у), если ж, у € {а, Ь}, ж в остальных случаях.

тахаЬ(ж,у) = |

Обозначим через Т^ множество всех функций из 1%. которые сохраняют любое подмножество множества /•.'/,. (любой предикат вида ж € Е, где Е С Е^). Нетрудно видеть, что Т^ содержит функцию р, все функции вида тахаг> и замкнуто относительно операции суперпозиции.

Пусть 7г — перестановка на множестве Ек и / € Рк. Функция

Г{хг, ...,хп) = тг_1(/(я-(ж1),... ,тг(жп)))

называется двойственной к функции / относительно перестановки тт. Функция, двойственная себе относительно перестановки ж, называется самодвойственной относительно перестановки тт.

Функция / из Рк называется однородной, если / самодвойственна относительно любых перестановок на /•-'/,.. Множество всех однородных функций из /'/■• сохраняющих множество /•-'/. 1. обозначим через Нк. Известно (см. [9] или [10]), что всякая функция из ///, сохраняет любое ¿-элементное подмножество из /•-'/,. / 1.2.....к - 2.

Назовем наборы (а\,..., ап), (Ь\,..., Ьп) однотипными, если для любых г, ], 1 ^ г, ] ^ п, выполняется эквивалентность

(а* = а^) (Ьг = Ъз).

Утверждение 1. При любом к ^ 2 система функций {р, тах01, тах02,..., та,Х1~-2,к-1} полна в классе Тк.

Доказательство. Возьмем произвольную функцию д(х\,... ,хп) из класса Тк. Если п = 1, то, очевидно, д{х\) = х\. В этом случае имеем, например, д{х\) = тах01(ж1,Ж1).

Предположим, что п ^ 2. Покажем, что для любых двух различных наборов

(й1, ..., ап), (¿>1,..., Ьп) € •

из которых хотя бы один содержит не менее двух элементов, наборы

(аь ... ,ап,тахо1(а1,а2),тахо1(а1,а3),..., тах01(ап_1, ап),...

..., та а2), тах^_2,^-1(а1, а3),..., тах/г_2)/г_1(ап_ь ап)),

(6Ь ... ,6п,тах01(б1, 62),тах01 (61,63), • • •, тах01(6п_1, Ьп),...

..., тах^_2,^-1(б1, 62), тах^_2,^-1(б1, 63),..., тах^_2,^-1(6п_1, Ьп)), (1)

состоящие каждый из к(к — 1 )п(п — 1)/4 + п элементов, не однотипны.

Можно считать, что набор («1,... ,ап) содержит не менее двух элементов. Выберем такие числа г, 1 ^ г, ] ^ п, что а* < а^ и (а^а^) ф (б^б^). Непосредственным перебором вариантов убеждаемся в том, что наборы

(а*, ау, тах^а. (а*, а.,-)), (6*, 6-,-, тах^а. (6*, 6-,))

не однотипны. Следовательно, неоднотипными будут и наборы (1).

Как известно (см. [9] или [10]), функция р образует базис по суперпозиции в классе Нк. Известно также, что любую функцию из I/¡'""' можно полностью определить значениями на максимальном (по числу элементов) множестве попарно неоднотипных наборов из ЕОтсюда сразу следует, что в классе ///, можно выбрать такую функцию к от к(к — 1 )п(п — 1)/4 + п переменных, что будет выполняться тождество

д{х1, ...,хп) = Цх 1,... ,жп,тахо1(ж1,ж2),тахо1(ж1,ж3),..., тах01(жп_1, хп),...

.. .,тах/г_2)/г_1(ж1,ж2),тах/г_2)/г_1(ж1,ж3),..., тах^_2^_1(жп_1, хп)).

Утверждение доказано.

Пусть д — п-местная функция из Рк. Характеристическим рядом функции д назовем упорядоченную последовательность всех функций вида д{х,11,... ,Хгп), где г\,...,гп € {1,... ,к}. Принцип упорядочения может быть, например, лексикографическим:

д{хъ .. .,Х1 ),д{хъ .. .,х1,х2),.. -,д(хк,... ,хк,хк-г), д(хк, ...,хк).

Пусть {д1(х\,... ,хк),..., дкп(х\,... ,хк)} — характеристический ряд функции д, где для единообразия все функции считаем зависящими от переменных х\,...,хк. Нетрудно заметить, что характеристический ряд функции полностью определяет данную функцию. Действительно, набор (51(0, ... ,к — 1),... ,дкп{{), — 1)) есть вектор значений функции д, принимаемых ею на всех кп

наборах из Ек.

Теорема 2. Пусть к ^ 2, п ^ 1, .Р с р1п) и .Р ф$. Тогда существует система функциональных уравнений с функциональными константами р, тахо1, тах02,..., которая определяет

множество Р.

Доказательство. Определим в классе Тк (кп + й + 2)-местную функцию к. Для любой функции д из .Р пусть

к{хъ ... ,хк,у!,у2,д1(х 1,.. .,хк),.. ,,дкп(х!,.. .,хк)) = уг (2)

и

Цхъ ■ ■ -,Хк,У1,У2,г1, ■ ■ = У2 (3)

для всех остальных значений ¿1,..., гкп.

Функция к принадлежит классу Тк, поскольку ее значения совпадают со значениями переменных Уъ 'У2-

Предположим, что п-местная функция д' не входит в множество Р. Тогда равенство (2) для функции д' не может выполняться при всех значениях переменных х\,... ,хк. В самом деле, в противном случае, согласно определению функции к, например для значений х\ = 0,..., хк = к — 1, существует такая функция д € Р, что выполняется равенство

(О,..., к-1, д[(0,..., к-1),..., д'кп(0,..., к-1)) = (0,... ,¿-1,01(0,..., к-1),... ,дкп(0,..., ¿-1)). (4)

Однако, как отмечено выше, вектор (¿4(0,..., к — 1),... ,д'кп(0,..., А; — 1)) полностью определяет функцию д'. Следовательно, равенство (4) противоречит соотношениям д' ^ Р, д € -Р.

(п)

Из доказанного следует, что произвольная функция д из Р^ принадлежит множеству Р тогда и только тогда, когда соотношение (2) выполняется тождественно по переменным х\,... ,хк,у\,у2-Отсюда легко получить искомую систему функциональных уравнений с двумя функциональными переменными. Сначала в соответствии с утверждением 1 строим систему функциональных уравнений Н1 с одной функциональной переменной (р 1 и функциональными константами {р, тах01, тах02,... ... , шкхк-2,к-\},, которая определяет функцию к. Затем вводим новую (главную) функциональную переменную ф2 и в соответствии с равенством (2) добавляем к системе Н1 уравнение

<Р1(Х1, . . . ,Хк,У1,У2,(р2(х1, ... ,х1),(р2(х1,. . .,Х1,Х2), ■ ■ -,<Р 2(хк, ... ,хк,хк-1),(р2(хк, ■ ■ -,хк)) = у\,

в котором распределение переменных хг,...,хк под знаком функциональной переменной ср2 соответствует их распределению при получении характеристического ряда функции д в равенстве (2). (Нетрудно заметить, что функциональную переменную (р\ использовать в доказательстве не обязательно — ее можно заменить соответствующим термом, построенным из функциональных констант р, тах01,..., шкхк-2,к-\-) Теорема доказана.

Отметим, что при к = 2 (случай булевых функций) функция тах01 есть дизъюнкция, а функцию р в теореме 2 можно заменить конъюнкцией.

Утверждение 2. Пусть к ^ 2, и — перестановка на множестве Ек, С} — множество функций из /'/.. самодвойственных относительно перестановки ж, и множество функций Р определяется некоторой системой функциональных уравнений над Тогда множество Р вместе с каждой функцией / содержит также двойственную функцию /7Г.

Доказательство. Пусть система функций {/¿1,..., /¿то } является решением системы уравнений Н над Если ¿1, ¿2 — термы над множеством функций С} и {/г1; • • • ,/гт} и равенство = ¿2 выполняется при всех значениях индивидных переменных, входящих в термы ¿1, ¿2; то в силу самодвойственности функций из С,} и принципа двойственности для функций многозначной логики при всех значениях индивидных переменных будет выполняться равенство . где термы , полу-

чаются из термов ¿1, ¿2 заменой функций ...,/¿т соответствующими двойственными функциями . Отсюда сразу следует, что системе уравнений Н будет удовлетворять система функций {/£,..., }■ Утверждение доказано.

Теорема 3. Пусть к ^ 2, я ) 1 и ? — непустое множество функций из Ркп\ которое для любой перестановки ж на множестве Ек наряду с любой функцией / содержит двойственную функцию /7Г. Тогда существует система функциональных уравнений с единственной функциональной константой р, которая определяет множество Р.

Доказательство. Так же как в доказательстве теоремы 2, определим в классе Нк с помощью равенств (2) и (3) (кп + к + 2)-местную функцию к. По построению функция к сохраняет любое

подмножество множества /•.)■. Поэтому, чтобы установить включение h G ///,. достаточно доказать, что для любых двух однотипных наборов

(ai,..., ак, bi,b2, ci,..., скп), (ai,..., а'к, Vi,b'2, с[, ...,скп) (5)

из равенства

h(au ... ,ak,bi,b2,ci,.. .,скп) = bi (6)

следует равенство h(a[,..., а'к, b[, Ь'2, с[,..., с'кп) = Ь[.

Однако из однотипности наборов (5) вытекает, что найдется перестановка ж, которая переводит первый из наборов (5) во второй, т. е.

ai = 7r(ai), ...,ак= ж (ак), Ь[ = ж(Ь), Ь'2 = ж (Ь2), с[ = tt(ci), ...,скп = ж (скп). (7)

Далее, из равенства (6) и определения функции h (см. равенство (2)) получаем, что для некоторой функции g из множества F выполняются соотношения

с i = gi(ai,... ,ак), ...,скп = дкп(а ь .. ,,ак).

Значит, с учетом равенств (7) второй из наборов (5) можно представить в виде

(7r(ai),... ,7r(afc),7r(bi),7r(b2),îr(5,i(ab • • • ,Ofc)), • • •, n(gkn (ab ... ,ak))).

Однако в силу определения двойственности имеем

—i

ж (ffi(a!,...,ak)) = ffi (я (ai),..., ж(ак)), 1 < i < кп.

Следовательно, при определении функции h, согласно равенству (2), второй из наборов (5) появится —i —i для функции дж . Остается заметить, что по условию теоремы функция дж принадлежит множеству F.

Требуемая система функциональных уравнений далее строится совершенно аналогично системе из доказательства теоремы 2. Теорема 3 доказана.

В случае булевых функций функциональную константу р в теореме 3 можно не использовать.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Марченков С. С., Фёдорова B.C. О решениях систем функциональных булевых уравнений // Дискретный анализ и исследование операций. 2008. 15. № 6. С. 48-57.

2. Ekin О., Foldes S., Hammer P.L., Hellerstein L. Equational characterizations of Boolean function classes // Discrete Mathematics. 2000. 211. P. 27-51.

3. Foldes S. Equitional classes of Boolean functions via the HSP Theorem // Algebra Universalis. 2000. 44. P. 309-324.

4. Pippenger N. Galois theory for minors of finite functions // Discrete Mathematics. 2002. 254. P. 405-419.

5. Марченков С. С. Эквациональное замыкание // Дискретная математика. 2005. 17. № 2. С. 117-126.

6. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

7. Rosenberg I. G. Über die funktionale Vollständigkeit in den mehrwertigen Logiken // Rozpravy Ceskosloven-ske Akad. Ved. Rada Math. Pfir. Vëd. 1970. 80. N 4. S. 3-93.

8. Марченков С. С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004.

9. Ganter В., Plonka J., Werner H. Homogeneous algebras are simple // Fund. Math. 1973. 79. N 3. P. 217220.

10. Марченков С.С. Однородные алгебры // Проблемы кибернетики. Вып. 39. М.: Наука, 1982. С. 85-106.

Поступила в редакцию 11.02.09