Решения краевых задач для системы дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом конечных разностей. Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

УДК 519.6

РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Олимов Муродилла НамМКИ, к.ф.-м.н, Проф,+998972513242, molimov5152@gmail.com

Исмоилов Шох,имардон Мухаммаджонович НамМКИ, PhD+998942930606, shohsoft@gmail.com

Абдужалилов Соди; Мухдммадамин угли НамМКИ, преподаватель +998939151592, e-mail: sodiq.abdujalilov1992@gmail.com

Студенкова Диана Викторовна НамМКИ, +998882197775, studenkova.d@gmail.com

Аннотация. В работе рассмотрено система обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Система уравнении записывается в векторной форме. Приводятся вычислительные алгоритмы используя метода конечных разностей с погрешностью O(h2). Полученные алгебраических уравнений решается методом матричной прогонки. Приводиться точные и приближенные решений тестовые задачи. А также оценены погрешности рассматриваемые численные метода.

Аннотация. Maqolada to'rtinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemalari ko'rib chiqiladi. Tenglamalar sistemasi vektor shaklida yoziladi. Hisoblash algoritmlari O(h2) xatolik bilan chekli ayirmalar usuli yordamida berilgan. Olingan algebraik tenglamalar matritsalarni haydash usuli bilan yechilgan. Test masalalarining aniq va taqribiy yechimlari berilgan. Shuningdek, sonli usulning xatolari baholanadi.

Abstract. The paper considers a system of fourth-order ordinary differential equations. The system of equations is written in vector form. Computational algorithms are presented using the finite difference method with an error of O(h2). The resulting algebraic equations are solved by the matrix sweep method. Exact and approximate solutions of test problems are given. And also the errors of the considered numerical method are estimated.

Kalit so'zlar: deformatsiyalangan qattiq jismning mexanikasi, konstruktiv mustahkamlik, elastik va elastik-plastik deformatsiya, amaliy dasturlar paketi, variatsion usullar, hisoblash algoritmi, chegara shartlari, bir xil to'r, Taxminlar, yaqinlashish xatosi, matritsa shakli, matritsali haydsh, haydash koeffitsientlari, farq masalasi, teskari haydash, aniqlik, xatolik.

Ключевые слова: механики деформированного твердого тела, прочности конструкции, упругой и упруго-пластической деформации, пакеты программ, вариационные методы, вычислительный алгоритм, граничных условиях, равномерную сетка, Аппроксимации, погрешностью аппроксимации, матричная форма, матричная прогонка, прогоночные коэффиценты, разностная задача, обратная прогонка, точность, погрешность.

Keywords: mechanics of a deformed solid, structural strength, elastic and elastic-plastic deformation, software packages, variational methods, computational algorithm, boundary conditions, uniform mesh, Approximations, approximation error, matrix form, matrix sweep, sweep coefficients, difference problem, reverse sweep, accuracy, error.

Введение

Решение уравнений механики деформированного твердого тела в общей форме можно получить только численно.По сравнению докомпьютерной порой возможности получения представления и анализа решений существенно выросли. До сравнительно недавного времени единственный путь доведения до числа расчета прочности конструкции состоял в использовании относительно задач упругой и упруго-пластической деформации [7-9].

Численный расчёт во многих случаях позволяет получить решение уравнений механики деформированного твердого тела в достаточно сложных областях,не упрошая сильно конфигурацию. Для этого созданы и используются инженерные пакеты программ,универсальные и специализированные,позволящие «набирать» конструкции в относительно реалистической геометрии и проводить расчёты с использование сложных моделей материала [11].

Эффективность того или иного приближенного метода решения, как известно, определяется многими факторами, среди которых затраты времени на решение задачи и точность полученных результатов являются, по-видимому, наиболее важными.

Анализ широко применяемых приближенных методов приводит к убеждению, что вариационные методы очень трудоемкие в подготовительной работе даже при условии вычисления всех интегралов на компьютере, а метод конечных разностей хотя и универсален, но связен с большим числом алгебраических уравнений.

В данной работе рассматривается вопрос о построении приближенного решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами и сравнительно общими краевыми условиям [6-10].

1. Постановка задачи:

Требуется определить в области [а, Ь] неизвестный вектор функции и(х) = {и (х), и (х),..., и (х)} удовлетворяющей системе дифференциальных уравнений

[ к (х )и"(х)]" + а (х)[ а (х )и"(х)]' + а (х )[аб (х )и'(х)]' + +а3 (х)и"(х)+а (х)и'(х)+а (х )и (х) = / (х),

записанной в матричной форме при граничных условиях

(1)

{аи(х) +ви'(х) +уД (х)и' (х) + е; [К(х)и' (х

{а1 и(х) +р1+2и '(х) +у1+2К(х)и' (х) + е1+2 [к (х)и' (х

=d1; (2)

-а

= dl+2, (3)

I —

Где

К (х), а, (х) (у = и) Л, А, У Л («9 = М)" заданны квадратные матрицы в порядке п,

2. Вычислительный алгоритм: Приведём вычислительный алгоритм выше поставленных задач (1)-(3). Введём обозначения

Ж ( х ) = К ( х )и" ( х ) (4)

Перепищем уравнение:

К ( х )и" ( х )-Ж ( х ) = 0

W"(х) = a5 (anK-lW)' + a (aJU') + a2K~lW + a J' + aJU = f

Построим равномерную сетку с шагом h:

b — ct

со u = { х, = a + ih, 7 = 0,1......,N' h =

(5)

N

Согласно методу баланса [1,2], нз второго уравнения (5) с погрешностью аппроксимации СО2) имеем[3].

4щ+1+Afw, + +a;u!+1+4и, + = J. {в)

Здесь

h

4 = E+- a (х.)

f Л

a.

f Л

х 1 K 1 х 1

гн— гн—

V 2 у V 2 У

h

4 ="2E + -a, (х.)

f \

a.

f \ f \

f Y

х 1 K 1 х 1 - a7 х 1 K 1 х 1

гн— гн— г— г—

V 2 у V 2 у V 2 у V 2 у

2

h J a (х ) K - (х ) dx

h

4 = E a5 (х- )

f \

a.

f \

х 1 K 1 х 1

г— V 2 у г— V 2 у

4 = a4 (* ) a6

f \

х 1

гн—

V 2

+\a2 (хг);

A" ="a4 (Хг )

i Л i \

a.

х 1 + a 6 х 1

гн— г—

V 2 у V 2 у

2

h J a (х) dr;

46 = a4 (х- ) a6

f \

x1

г—

V 2 у

-|a2(x,); / =h ¡f(x)dx-

Е- единичная матрица.

Продела аналогичную процедуру с первым уравнением (5) и обозначив

Ц ^ ! = 3,

Ж

V'; У

представим первое уравнение (5) и уравнение (6) в виде[1-5].

1" СЗ + ВД+1 = , г = 1,2,..., Ж -1,

(7)

(8)

х

2

х

х

х

2

где

A =

K (х ) 0

A6 A

г

C =

2/Л

2 х ( х ) h2 E

- A,5

- A2

A у

B =

K (х) 0

A1

г У

F =

Г 0 ^

V f у

Здесь для нахождения N + 1 неизвестных векторов имеем N+1 матричных уравнений, а недостающие уравнения получаем на граничных условий (2) и (3) с учетом уравнения (4), используя при этом трехточечную аппраксимацию для значений

производных и'(х) и Ж'( х) с точностью 0(к2):

- ад + ад=-к

JQ -Г Q +/?<?= -F

AN$N-2 cN$N-1 ^ bN$N fN ,

(9)

где

К = -2h

A = 2h

Г 4 ^

V 4 J

fVi YiЛ

Bo =-

^ # ] VA #2 J

Co = 4Bo;

V«2

Y2 J

f

Br = 2h

+ 3Bo;

an =

Л

+ 3 An ;

^3 #3 \

VA #4 J' К = -2h

C = 4 A •

^N ^N 5

Г 4 ^

V 44 J

«3 Y3

Y4 J

Итак, мы полностью сформулировали разностную задачу (8)-(9), решение которой, исходя из метода матричной прогонки [1,5], ищем в виде

$ = XMSM + Zi+it i = 1,2..., N-1; (10)

где

Xt ={xf,S } p, s = 1,2....,2л; Zt = {Zfl, Za,.....Zi2lt}

соответственно матричные и векторные прогоночные коэффиценты, определяемые из соотношений

Xi+1 =(C -4X) lBt; Zi+1=(Ct-A,X,) 1 (F + ^^^); (11)

Формулы для вычисления значений X2 и Z2, дающие возможность начать счет для прогоночных коэффициентов по формулам (11), получим так: умножим слева на уравнение (8) при i = 1 матрицу AgA-1 и, отнимая найденное соотношение от первого уравнения (9), приводим к равенству

©! =(C0 - A0A-1C1 )-1 [(Bo -AoA"1^+ F0 - AoA11F1 ]. (12)

Сопоставляя соотношение (12) с формулой (10) при i=1, имеем

X2 =(Co - AoA^ )-1 (Bo - AoA^ ); Z2 =(Co - AoA-1C1 )-1 (Fo - AoA-1F1).

X и Z для всех i, затем решая уравнения

^N-1 = XiA + ZN;

д a _n a 1 d a _

AN-1$N-2 CN-1$N-1 ^ BN-1$N F N

совместно со вторым уравнением (8) получаем

^N = [BN - ANAN-1BN-1 - (CN - ANAN-1CN-1 ) XN _ *

-A А-1 Г \7 -F - A A-1 F

cn anan-1cn-^zn fn anan-1fn-1 .

Далее с помощью обратной прогонки (10) вычеслим i,$N_2,После этого найдем 30 по формуле

$ = A-1 ( ОД-ВД-Ц ).

На основе приведенного выше алгоритма разработана компьютерная программа на среде Python.

В данной работе мы рассмотрели реализационный алгоритм поставленных задач. Приведем некоторие методические задачи, решение которых реализованно компьютеризацией. Практические результаты получили на основе объектно -ориентированного программирования. Рассмотрим уравнения

[(1 + x ) И"]"+( 2 + x3)[( 2 + х ) И"]'+(3 + х )[( 4 + x ) U'],+( 2 + x3) U" +

+ (5 + х) и'-(1 - х) и = 49х5 + 8х4 + 145х3 + 91х2-18х-16 с граничными условиями

И (0) = И'( 0) = И (1) = И' (1) = 0. Точное решение данной задачи имеет следующие вид.

И = х2 (1 - х )2.

Для этой задачи можно установить условие путем непосредственного вычисления, обеспечивающее применимость метода матричной прогонки. В таблице 1. приведены точные и приближенные значения

и ( х ), и'( х ), Ки "( х ), [ Ки( х )]'

Таблица 1

Сравнение результатов__

х Значение и ( х ) и'( * ) Ки"( * ) [ ки"( * )]'

0 Точн. 0 0 2 -10

Прибл. 0,000000000 0,000000000 1,999975821 -10,000012714

0,25 Точн. 0,03515625 0,1875 -0,3125 -8

Прибл. 0,035156193 0,187501317 -0,312501726 -8,000017324

0,5 Точн. 0,0625 0 -1,5 -1

Прибл. 0,062499768 0,000001473 -1,499974161 -0,999993519

0,75 Точн. 0,0351625 0,1875 -0,432501765 1,25

Прибл. 0,035156194 0,187501324 0,4325 1,249976434

1 Точн. 0 0 4 26

Прибл. 0,000001015 1 0,000000421 4,000001147 25,99945677

Рассмотрим следующие уравнение

[(1 + х ) и" ( х )]'' + хи" ( х ) - 2и ( х ) = 6 [ 6 ( 2 + 2х ) + х2 (1 - 2 х2)] При граничных условиях

30

и(0) = и'(0) = 0; и"(1) - 9и(1) = 0; и"(1) = у и'(1) = 0.

Точное решение задачи будет следующее:

и (х) = х3 (1 + х). В таблице 2. даются точные и приближенные значения для

и(х), и'(х), Ки(х), [Ки(х)]'

Таблица 2

Сравнение результатов

X Значение U ( х) и'( x ) KU' ( x ) [ KU" ( - )]'

0 Точн. 0

Прибл. 0,000000000 0,000000000 0,000000000 6,000033271

0,25 Точн. 0,0195314 0,25 2,8125 17

Прибл. 0,019530753 0,249994613 2,81254201 17,00033706

0,5 Точн. 0,1875 1,25 9 33

Прибл. 0,1874994997 1,249995918 9,00002783 33,00028527

0,75 Точн. 0,73828053 3,375 12,803750 51

Прибл. 0,738281791 3,374998643 12,80371953 51,00017631

1 Точн. 2 7 36 78

Прибл. 2,000001120 6,999945675 36,00005231 77,999766129

Выводы

Из приведенных выше табличных данных видно, что точность определения численных результатов хорошо согласуется с погрешностью метода аппроксимации. Шаги интегрирования учитывались точностью h=0.001. Другие многочисленные расчёты на компьютере показали, что изложенные выше вычислительные алгоритмы устойчиво определяют расчётные величины в достаточно широких пределах изменения входных параметров рассматриваемых задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский А.А. Введение в разностные схемы. М., "Наука", 1971.

2. Марчук Г. И. Методы расчёта ядерных реакторов. М., Атомиздат, 1961.

3. Самарский А. А. Хао Шоу. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнения четвертого порядка. Вычислительные методы и программирование. М., Изд-во МГУ, 1967.

4. Бабушка И., Витасек Э., прагер М, численные процессы решения дифференциальных упавнений. М., "Мир", 1969.

5. Олимов М, Ирискулов С, Исманова К, Имамов А, Сонли усуллар ва алгоритмлар."Наманган " нашриёти, 2013йил, 274-бет

6. Olimov M., Boqijonov D, Construction Of A Mathematical Model Of The Geometric Nonlinear Problem Of A Vibrating Beam, International Journal of Progressive Sciences and Technologies (IJPSAT) ISSN: 2509-0119. ©2020 International Journals of Sciences and High Technologies http://ijpsat.ijsht-journals.org Vol. 24 No. 1 December 2020, pp. 01-07

7. Олимов М., Ирискулов Ф., Гойипов У. О решении прикладных задач Молодой ученый. Общество с ограниченной ответственностью Издательство Молодой ученый. 2016 г, ст 16-18

8. Олимов М,. Абдусаттаров А., Юлдашев Т., Исомиддинов И. Разработка компьютерное моделирование процессов упруго-пластического деформирования тонкостенных стержней при пространственно - переменном нагружении. Механика Муаммолари Узбекистон журнали 2014 №1

9. Олимов М., Исмоилов Ш.,Каримов П. К решению краевых задач пространственных стержней при переменных упруго - пластических нагружений с учетом разгрузки, Фаргона политехника Институти илмий-техника журнали 2014 №4

10. М. Олимов, О.О. Жакбаров, Ф. С. Ирискулов, Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки, молодой ученый, 2015, w6, с.193-196, www.moluch.ru

11. М. Олимов, К. Исманова, П. Каримов, Ш. Исмоилов. Амалий математик дастурлар пакети, укув кулланма, 192-бет. Тошкент, 2015 г.