CC BY
37решение задачи в транспортной логистике с использованием метода нахождения точки равновесия по нэшу
solving problems in transport logistics using the method of finding the point of nash equilibrium
Анисова М.А. — ст. преподаватель кафедры Математики Кемеровского Института (филиала) Российского Экономического Университета имени Г.В. Плеханова
Харлампенков Е.И. — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры Торгового Дела Кемеровского Института (филиала) Российского Экономического Университета имени Г.В. Плеханова
Anisova M.A. — Senior lecturer of the Department of Mathematics, Russian Plekhanov University of Economics (branch of Kemerovo)
Kharlampenkov Ye.I. — Cand. Sc. (Technical), Associate Professor of the Department for Trading Business, Russian Plekhanov University of Economics (branch of Kemerovo)
Аннотация
Снижение затрат на перевозку грузов и, как следствие, повышение конкурентоспособности предприятия, является актуальной задачей транспортной логистики. Нами рассматривается проблема составления планов перевозок клиентов транспортной сети (равновесие по Нэшу). Тарифы на перевозки при этом линейно зависят от суммарных объемов перевозок всех клиентов. В качестве приложений модели могут служить так же электрические сети, трубопроводные системы, железнодорожный транспорт.
Abstract
Decrease in expenses for transportation of goods and, as a result, increase of competitiveness of the enterprise, is an actual problem of transport logistics. We consider the problem of drawing up plans of transportations of clients (Nash equilibrium). Transportation tariffs depend linearly on total volumes of transportations of all clients. Electric networks, pipeline systems, railway transport can serve as an application of this model.
33
Ключевые слова: нелинейная транспортная модель; логистика; оптимизация перевозок; тарифы; равновесие Нэша; квадратичное программирование.
Key words: nonlinear transport model; logistics, optimization of transport; tariffs; Nash equilibrium; quadratic programming.
Преамбула. Кузбасс расположен, практически, в центре России, соответственно транспортная составляющая, связанная с вывозом кузбасской продукции и ввозом материально-технических ресурсов, является для нашей области достаточно существенной. Необходимо учитывать, что эффективное функционирование логистической системы предприятия возможно при тесной взаимосвязи всех функциональных логистических направлений и необходимостью комплексного подхода к решению логистических задач.
■ Транспорт
■ Склад
■ Сбыт
■ Управление запасами
■ Административные расходы Рис. 1. Структура логистических издержек
Как видно из диаграммы (рис. 1), львиную долю логистических издержек — 43% составляют транспортные затраты. Вполне очевидно, что на большинстве предприятий логистики стремятся разработать методики, позволяющие оценить транспортные затраты и определить удельные издержки по доставке грузовой единицы как при внутригородских так и междугородних перевозках.
Для ряда региональных промышленных предприятий и предприятий торговли актуальной стала задача определения удельных транспортных издержек на единицу реализуемого товара. Это связано с формируемой на предприятиях системой оценки удельных затрат, внедрение системы управленческого учета и более широкое использование функционально-стоимостного анализа для оценки деятельности предприятия. В конечном итоге, снижение транспортных затрат повышает конкурентоспособность предприятия. На ниже приведенных рисунках (2, 3, 4) представлены зависимости соотношение тарифов на перевозку грузов для разных типов автомобилей в зависимости от расстояния перевозки.
34
Рис 2. Зависимость тарифа от расстояния перевозки
Из графика видно, что часовой тариф при равных расстояниях перевозок возрастает в зависимости от грузоподъемности автомобиля. Данные по взаимосвязи двухставочного тарифа за один км пробега при тех же расстояниях перевозки представлены на рис. 3.
Из рис. 3 видно, что стоимость покилометрового тарифа снижается с расстоянием перевозки. Темп снижения тарифа уменьшается
И,00р, -1-
12,ооа ■
10/Юр, -
8,00р.
2,ООр, ■
О.ООр,..... г- -г т- - - ..... - - -г -I п - —
6,00 10,00 15,00 30,00 50,00 100,00 150,00 300,00 300,00 500,00 700,00 1000,00
ГАЗ ЗЭ02 -■- ЗИЛ-5 301 ГАЗ-3307 МАЗ- 5336 —— КШАЗ-5 320
Рис. 3. Зависимость тарифа от расстояния перевозки
35
с увеличением расстояния перевозки, т.е. можно говорить о суживающихся тарифах, используемых на автомобильном транспорте. С учетом количества поддонов, загружаемых в автомобиль, можно определить тариф на перевозку одного поддона по часовому тарифу для каждого типа автомобиля, представив полученные данные на графике (рис. 4).
Представленные в графическом виде данные свидетельствуют, что актуальной задачей для предприятий в области логистики стала Г я)
5 45
40
35
30 25
20
Ф ,5
Рис. 4. Тариф на перевозку паллеты, руб./часпаллета
задача оптимизации задач перевозки. Во-первых, в области идут трансформационные процессы перевода логистики компании с уровня 1 PL и 2 PL на уровень 3 PL, когда ряд логистических задач отдается на аутсорсинг, во-вторых, за последнее время произошел количественный рост транспортно-экспедиционных компаний, осуществляющих свою деятельность в регионе, В-третьих, процессы организации и управления перевозками активно информатизируются, транспортно-экспедиционные компании оснащаются программами класса TMS, на транспортные средства устанавливают GPS-оборудование, позволяющее в режиме реального времени отслеживать местоположение транспортного средства. В-четвертых, в компаниях разрабатывают и вкладывают в комплект товаросопроводительных документов маршрутные карты, предписывающие водителю определенный порядок объезда обслуживаемых территорий.
36
10 1S 30 50 II» ISO Ж! 300 ЯХ1 700 1000
-1ЛЗ-3302 -»-ЭИЛ-5303 -*-ГАЗ-ЗЭС7 —¿-МЛЗ-53Э6
— КЛМЛЗ-5320
Научно-методической основой разработки оптимальных маршрутов движения транспортных средств является «Нелинейная транспортная модель», с нахождением точки равновесия по Нэшу. Задача актуальна, так как на практике любое предприятие окружено плотной сетью поставщиков, предлагающие аналогичные материально-технические ресурсы, входящие в одну ассортиментную группу.
Цель задачи. Сформировать план перевозок ресурсов определенным числом перевозчиков, доставляющих грузы из узлов транспортной (оптово-распределительные центры торговых сетей, предприятия производители продукции) определенному количеству клиентов, с нахождением точки равновесия по Нэшу, обеспечивающего минимизацию затрат на перевозку с учетом тарифных планов компаний.
Постановка задачи. Пусть т — число узлов (I -1, 2, ..., т), п —
число дуг (у - 1, 2, ..., п ), А — матрица их инцидентности т х п
с элементами; Ь — количество клиентов, которым необходимо перевезти
груз; Ь1 е Ят (I - 1, 2, ..., Ь) — векторы, компоненты которых равны
объемам транспортируемых грузов из узла I клиентом I. Считаем, что
объемы поставляемых в транспортную систему грузов и получаемых
из нее каждым клиентом совпадают, тогда векторы удовлетворяет уст 1
ловию: ¿6 = 0(1 = 1,2.....V)
Объем перевозок грузов по транспортной сети обозначим как вектор х1еЯп. Его компоненты х. соответствуют количеству груза, перевозимого по дуге] клиентом I, будем его называть планом перевозок клиента. План является допустимым, если выполняются условия:
Ах1 = Ь1, х1 > 0
Здесь первое условие — баланс ввозимых и вывозимых грузов клиента в каждом узле. Второе условие означает, что грузы могут перевозиться только по заданному для каждой дуги направлению. Обозначим, г1 — вектор, компоненты которого равны суммарным объемам перевозок всех клиентов по отдельным дугам
Тариф на перевозку по дуге у будем рассматривать в виде линейно возрастающей функции от объема перевозок по данной дуге у: = а.г+в;]=1,2,...,п. Здесь а, в — некоторые вещественные числа, причем а положительно. Данное предположение подтверждается примером из практики перевозок, приведенным на рис. 3 и рис.4.
Произведение тарифа на объем перевозок клиента по дуге . будет давать величину затрат этого клиента на перевозки по данной дуге. Суммируя затраты по всем дугам, получим затраты на перевозки клиента.
37
Для клиентов единой транспортной сети, стремящихся перевезти свои грузы с наименьшими затратами, равновесием Нэша будет такой набор допустимых планов перевозок каждого клиента при котором никому из них не выгодно менять свой план.
В общем случае получаем задачу следующего вида:
F1 (z; X) = £а (j + j)Xj + ßjX J ^ min, AX = b1, x> 0
Решение данной задачи позволяет минимизировать ресурсы предприятия, выделяемые на совершение транспортной работы.
Решение задачи. Для этой задачи будем использовать метод квадратичного программирования. А именно, находим градиент целевой функции этой задачи. Согласно условиям оптимальности Куна-Такке-ра для задачи минимизации дифференцируемой выпуклой функции при линейных ограничениях для того чтобы вектор x1 был решением задачи, необходимо и достаточно выполнение условий: Ax1 = b1, X > 0, f1(z1; x1) > ATtt, (x1)T(f1(z1; x1) - ATXl) - 0 ) при некотором A.
Вектор X состоит из множителей Лагранжа ограничений - равенств исходной задачи.
Для поиска точки равновесия Нэша используется еще ряд преобразований и обозначений (вводится функция, градиент которой совпадает с градиентом целевой функции F1(z1; x1) и доказывается теорема о том, что решение новой квадратичной задачи является точкой равновесия по Нешу в нелинейной транспортной модели).
Пример решения задачи. В качестве примера рассмотрим процесс перевозок внутри простой транспортной сети (рис. 5), осуществляемых тремя клиентами.
В данной транспортной сети находим равновесие Нэша для пяти узлов и соединяющих их шести дуг, перевозки по которой осуществляют три клиента.
Заданными являются объемы транспортируемых грузов — векторы b1 (первый и второй клиенты везут 5 и 7 единиц груза в вершину 3; третий клиент везет 9 единиц груза в 4 узел). Введем функции тарифов на перевозку грузов для каждой дуги сети, при этом стоит отметить, что тарифные планы для каждого перевозчика могут быть индивидуальны и меняться в зависимости от направления перевозки по принципу «in city» или «out city».
P1(z1) - 0,2z1+ 2, P2(z2) - 0,5z2+ 4, P3(z3) - 0,7z3+ 1,
P4(z4) - 0,9z4+ 2, P5(z5) - 0,6z5+ 3, P6(z6) -z6+ 2
38
Рис. 5. Схема перевозок в сети
Составляем суммарные функции затрат на перевозку грузов по сети для каждого клиента и получаем три взаимосвязанные задачи оптимизации. Первая задача: рассматривая векторы x2 и x3 как параметры,
найти вектор х1 из условий, представленных ниже:
6
Fl(x1;x3;x') — (zj + x\)x\ + ßjxlj ^ min,
Xj X5 Хб — X; x2 — 0, x i Хц — 5,
-xj + X4 + x6 — 0, -X4 + X5 — 0, x1 > 0, x2 > 0, x1 > 0.
Аналогично составляются вторая и третья задачи.
Решение задачи для трех грузоперевозчиков представим, в следующем виде:
H (X1; x2; X3) — j(0,2(( X + X2 + X?)2 + (+ (X2)2 + (X?)2 +
0,5(( X + X2 + X?)2 + (X;)2 + (X2)2 + (X?)2) + ...) +
2( х+X2+X?)+4( X2+X2+X?) +...+2( X+4+X).
Используя метод решения матричных уравнений, получим оптимальное решение по объему перевозок:
x1 - (3,85;3,85;1,15;0,16;0,16;0,99)T, F1=62,66,
x2 - (5,15;5,15;1,85;0,44;0,44;1,41)T, F2=88,01,
x3 - (0;0;0;3,3;3,3;5,7)T, F3=93,38 усл. ед.
Рассматривая вопрос согласования по Нэшу интересов пользователей сети, интересно сравнить полученное решение с так называемым «общесистемным оптимумом», т.е. случаем, когда отсутствует конкуренция, а перевозки по сети осуществляет один клиент. Такая ситуация может наблюдаться, когда поставщик, например, «Крестьянское хозяйство А.П. Волков» доставляет свою продукцию в магазины, принадлежащие разным торговым сетям. Поиск общесистемного оптимума, состоит в решении задачи условной минимизации, где целевая функция
39
формируется в виде суммы произведений тарифов по дугам на суммарный объем перевозок, а ограничения представляют объединение ограничений всех клиентов.
Для рассмотренного примера такой оптимум составляет 241,70 усл.ед., а сумма затрат на перевозки всех клиентов в точке равновесия Нэша составляет 244,05 усл.ед. Видно, что решение, равновесное по Нэшу, проигрывает в эффективности общесистемному оптимуму, т.е. сумма затрат на перевозки конкурирующих клиентов всегда не ниже, чем затраты одного агрегированного из всех них клиента.
Использование предложенной методики в практической деятельности. Предложенная методика позволяет решать на настоящем этапе задачи развозки с ограниченным количеством дуг и узлов, но реальные предприятия работают с большой плотностью поставщиков, и увеличение числа поставщиков, и перевозчиков вынуждает корректировать предложенную методику с учетом большого количества узлов, что потребует в дальнейшем разработку программного обеспечения, в котором заложен алгоритм предложенной методики. Использование предложенного метода решения транспортной задачи позволит предприятию экономить денежные средства и корректировать бюджет, выделяемый на транспортную работу.
Библиографический список
1. Зоркальцев В.И., Киселева М.А. Равновесие Нэша в нелинейной транспортной модели // Дискретный анализ и исследование операций, 2008. — Т.15. — №3. — С.31-42.
2. Анисова М.А., Астраков С.Н. Математическое моделирование экономических взаимодействий на графах // Вестник РГТЭУ — Кемерово, 2009. — № 6 (33). — C. 39-43.
Контактная информация:
650992 Российская Федерация, г. Кемерово, пр-т Кузнецкий, 39, Тел.: +7 (384-2)75-43-98. e-mail: anisovam@mail.ru
Contact links:
Kuznetsky pr. 39, 650992, Kemerovo, Russian Federation Tel.: +7 (384-2)75-43-98. e-mail: anisovam@mail.ru
40
