Решение задачи управляемости для одной нелинейной трехмерной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.1

H.В. Бондаренко1, Э.В. Григорьев^, Е.Н. Хайлов3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

Работа посвящена решению задачи управляемости для нелинейной системы трех дифференциальных уравнений, моделирующей управляемый аэрацией процесс биологической очистки сточных вод с использованием теплового метаболизма термофильных аэробных бактерий. Устанавливаются свойства фазовых переменных такой системы — ограниченность, продолжимость на заданный отрезок. Строится параметризация соответствующего множества достижимости моментами переключений кусочно-постоянных управлений. С помощью нее задача управляемости для рассматриваемой системы сводится к задаче конечномерной условной минимизации вспомогательной функции. Приводятся результаты соответствующих численных расчетов решения исходной задачи.

Ключевые слова: множество достижимости, задача управляемости, очистка сточных

вод.

I. Введение. Биологическая очистка предварительно отфильтрованной сточной воды заключается в ликвидации патогенных микроорганизмов и снижении концентрации органического вещества в воде до приемлемого уровня. Одним из возможных способов такой очистки является так называемая аутотермическая термофильная аэробная обработка (ATAD), которая предполагает очистку с помощью непатогенных термофильных бактерий [1, 2]. Они синтезируют органическое вещество и убивают

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: nataliabondaQmail.ru

2 Техасский женский университет, США, проф., к.ф.-м.н., e-mail: egrigorievaQmail.twu.edu

3 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: khailovQcs.msu.su

5 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

патогены посредством метаболического тепла, которое выделяется в результате синтеза. Процесс такой очистки является эффективным, но дорогостоящим, так как он требует непрерывной аэрации, в связи с чем и возникает необходимость его численного моделирования. Возможность управления таким процессом приводит к решению для математической модели различных задач управления. Первой из них является задача управляемости, которой и посвящена настоящая работа.

2. Математическая модель. В рамках рассматриваемого процесса простейшая математическая модель описывается химической реакцией с тремя реагентами: кислородом с концентрацией х(1); органическим веществом и патогенами с концентрацией термофильными аэробными бактериями с концентрацией z{t). Предполагается, что масса в реакторе хорошо перемешана, т.е. концентрации реагентов являются однородными. Математически изменение концентраций реагентов в результате реакции представляет собой нелинейную трехмерную управляемую систему

¿(г) = + и(г)(т - ж(г)), г е [о,т],

у(г) = -®(г)у(г)2(г), т

¿(г) = х(г)у(г)г(г) - 1 '

ж(0) = ж0, у(0) = у0, 2(0) = ¿0, ж0е(0,т), уа > 0, > 0.

Ее нелинейность обоснована законом действующих масс [3], описывающим зависимость скорости химической реакции от концентрации исходных веществ. Первое уравнение системы (1) представляет собой изменение концентрации кислорода. Первое слагаемое в нем описывает процесс поглощения кислорода в результате реакции, а второе — характеризует подкачку кислорода извне, где и(1) — скорость аэрации и одновременно управляющая функция. Второе уравнение описывает убывание концентрации органических веществ и патогенов под действием данной реакции. Третье уравнение системы (1) показывает рост активной биомассы в результате реакции, часть из которой отмирает в силу естественных условий со скоростью распада Ь. Кроме того, система включает начальные условия и ограничение на подкачку кислорода в начальный момент времени.

В качестве допустимых управлений 1)(Т) рассматриваются всевозможные измеримые по Лебегу функции и(1), которые для почти всех £ € [0,Т] удовлетворяют неравенству

0 < и(1) < итах.

Имеет место утверждение, описывающее свойства фазовых переменных ж(£), у(£), системы (1).

Лемма 1. Пусть задано произвольное управление и(-) € -О(Т). Тогда соответствующие решения х(1), у(1), системы (1) определены на всем отрезке [0,Т] и удовлетворяют неравенствам

0 < х(1) < Жтах, 0 < У< Ушах, 0 < < £тах, ¿€[0,Т],

где жтах, утах5 гтах — некоторые положительные константы.

Обоснование этого утверждения приведено в [4].

3. Множество достижимости. Основным инструментом решения задачи управляемости для системы (1) является множество достижимости Х(Т) С R3 из начальной точки (хо,уо, zq)t в момент времени Т, т.е. множество значений (ж(Т), у(Т), z(T))T решений (x(t), y(t), z(t))T системы (1), отвечающих всевозможным управлениям и(-) € D(T). Здесь знак Т означает транспонирование. Пусть dQ и int Q определяют границу и внутренность компактного множества Q С R3. Из [5] с учетом результатов леммы 1 следует, что множество Х(Т) является компактным множеством в R3, расположенным в области

{(ж, у, z)T € R3 : х > 0, у > 0, z > 0}.

Для границы множества достижимости Х(Т) справедливо утверждение, подробное доказательство которого можно найти в [4].

Теорема 1. Пусть точка (ж, у, z)T принадлежит границе множества достижимости Х(Т) системы (1). Тогда отвечающее этой точке управление u(t) является кусочно-постоянной функцией, которая принимает значения {0;«тах} и имеет не более двух переключений на интервале (0,Т).

4. Параметризация множества достижимости. Привлекая результаты теоремы 1, построим для множества достижимости Х(Т) параметризацию с помощью моментов переключений кусочно-постоянных управлений. Для этого рассмотрим множество

А(Т) = = (в1,в2,в3)т € R3 : 0 < вг < в2 < в3 < т}.

Для каждой точки в € Л(Т) определим управление и$(-) G D(T) по формуле

!imax, если 0 ^ t < 6\,

0, если 0i < t < в2,

щ(ъ) = <

«max, еСЛИ в2 < t < в3,

,0, если 03 5$ i 5$ Т.

После чего обозначим через «^(i) = (x$(t), ye(t), z$(t))T, t € [0,T], решение системы (1), отвечающее управлению ^(i). Наконец, определим отображение F(-,T) : Л(Т) R3 по правилу

F(d,T) = we(T), 0бЛ(Т).

Имеет место утверждение.

Лемма 2. Отображение F(-,T) непрерывно на множестве Л(Т) и имеет непрерывные частные производные Щ-(в,Т), i = 1,3, на внутренности множества Л(Т).

Доказательство. Покажем сначала справедливость первой части утверждения. Рассмотрим произвольные значения е Л(Т). Продолжим управления u$(t), uT(t) нулевым значением на интервал (Т,Т + S), S > 0. Соответствующие траектории we(t), wT(t) системы (1) также окажутся продолженными на этот интервал. После этого перейдем при t € (Т, Т + 5) от задачи Коши (1) к со-ответствущему интегральному уравнению для траекторий w$(t), wT(t). Тогда с помощью леммы 1 оценим разность \\w$(t) — wT(t)||. Используя неравенство Гронуолла [6], в результате получаем неравенство

t€(T,T + 6),

где ].„■ — положительная константа. Полагая в этом соотношении t = Т, находим, что отображение F(-,T) удовлетворяет условию Липшица. Из этого факта и вытекает требуемая непрерывность F(-,T) на множестве Л(Т).

Для обоснования второй части утверждения снова перейдем при t G (Т, Т + 8) для управления u$(t), в G intA(T) от задачи Коши (1) для траектории w$(t) к соответствующему интегральному уравнению. Затем поочередно продифференцируем это уравнение по переменным вг, г = 1,3. Получим интегральные уравнения для функций ^Mi), г = 1,3. После чего вернемся к задачам Коши для этих функций. Выпишем их решения через отвечающее системе (1) матричное уравнение в вариациях. Полагая затем в полученных выражениях t = Т, находим формулы для частных производных ff-(0,Т), i = 1,3. Непрерывность этих производных на множестве intA(T) зависит от непрерывной зависимости траектории w$(t) и решения матричного уравнения в вариациях от значений вг, которая устанавливается с помощью рассуждений, подобных представленным в первой части доказательства этого утверждения. Обоснование завершено.

Замечание. После доопределения по непрерывности производных щ-(в,Т), i = 1,3, в граничных точках множества Л(Т) имеем непрерывные частные производные отображения F(-,T) уже на всем множестве Л(Т).

Далее с помощью отображения F(-,T) введем множество Z(T) = F(A(T),T). Легко видеть, что для этого множества справедливы включения:

Z(T) С Х(Т), дХ(Т) С dZ(T).

Поэтому множество Z(T) играет важную роль при изучении множества достижимости Х(Т). В связи с этим имеет место утверждение.

Теорема 2. Выполняются равенства:

F(intA(T),T) = int Z(T), F(dA(T),T) = dZ(T), и сужение отображения F(-,T) на внутренность множества Л(Т) взаимно однозначно. 6 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

Доказательство этого факта основывается на использовании глобальной теоремы о неявной функции [7], леммы 2 и рассуждений, аналогичных приведенным в теореме 2 из [8].

Далее справедлива

Лемма 3. Множество R3 \ Z(T) является линейно связным множеством.

Доказательство. Используя теорему Браудера Урысона из [9]. построим определенное на R3 отображение Р(% Т) как непрерывное продолжение отображения F{% Т) на все пространство R3. Тогда из [10] и теоремы 2 заключаем, что Р(%Т) отобразит линейно связное множество R3\A(T) на линейно связное множество R3 \ Z(T). Доказательство завершено.

Наконец с помощью леммы 3. теоремы 2 и рассуждений, подобных представленным в теореме 4 из [11], устанавливается справедливость утверждения.

Теорема 3. Для множества достижимости Х(Т) и множества Z(T) имеет место равенство Х(Т) = Z(T).

Таким образом, получено параметрическое описание множества достижимости Х(Т) (его границы и внутренности) с помощью переключений управлений ug(t), образующих множество Л(Т), и отображения F(9,T). Кроме того, в каждую внутреннюю точку множества Х(Т) приводит управление и$ (t) с тремя переключениями, а каждая граничная точка этого множества достигается таким управлением с не более чем двумя переключениями.

Ниже на рис. 1, 2 представлены множества достижимости Х(Т), построенные в среде Matlab с использованием результатов теоремы 3, для следующих двух примеров.

Пример 1. Начальные условия и параметры системы (1) принимают значения:

■То УО Zo тп Ъ ^тах т

1.UUUUUU 1.UUUUUU 1.UUUUUU 2.UUUUUU 1.UUUUUU 4.UUUUUU 1.UUUUUU

Рис. 1. Множество достижимости Х(Т) из примера 1

х 10

У

2 2.5 3 29-6

х

Рис. 2. Множество достижимости Х(Т) из примера 2

Пример 2. Начальные условия и параметры системы (1), взятые из [1], принимают значения:

х0 УО zo тп Ь ^¿rriax т

U.UU1922 74.93998U U.U8743U U.U48U38 U.24UUUU 4.UUUUUU 6.UUUUUU

5. Задача управляемости. Добавим к системе (1) заданные конечные условия. Получим систему вида

'¿(¿) = + и{1){т - х^)), I € [О.Т],

< = - Ъг{1), (2)

ж(0) = ж0, у(0) = уо, ^(0) = zo, х0 € (0, т), уа >0, > О, х(Т) = Х1: у(Т) = у 1, z(T) = х\ > 0, у\ >0, г\> 0.

Задача управляемости заключается в отыскании момента времени Т и управления и(-) € 1?(Т), которое переводит систему (2) из заданной начальной точки то = (хо, Уо, ^о)т в заданную конечную точку го1 = (ж1,У1, В терминах множества достижимости Х(Т) рассматриваемая задача может быть переформулирована следующим образом. Требуется найти такой момент времени Т, для которого справедливо включение € Х(Т). С учетом построенной параметризации множества Х(Т) задача управляемости приводится к задаче конечномерной минимизации для вспомогательной функции

С(0,Т) = 0.5- 11^(0,Т) -ад^2 (3)

по переменным 0 € Л(Т) и Т > 0. В [12] подобные рассуждения использованы при решении задачи оптимального быстродействия для нелинейной управляемой системы.

Важной особенностью этой задачи минимизации является справедливость факта, непосредственно вытекающего из приведенных выше рассуждений.

Лемма 4. Пусть задача управляемости для системы (2) имеет решение. Тогда наименьшее значение функции 0{в,Т) равно нулю.

Задача минимизации функции £?(0,Т) решается приближенно. Для нахождения наименьшего значения функции (3) используется метод проекции градиента [6], соответствующий численный алгоритм которого реализован на языке программирования Си++. Сходимость метода в рассматриваемой задаче обусловливается выполнением следующих двух условий: непрерывной дифференцируемостью функции £?(0,Т) по переменным 0^, Т, г = 1, 3, на множестве Л(Т) х [Ттт,Ттах] и выполнением на том же множестве для градиента функции О(0,Т) условия Липшица

дО дО

дО дО

—(01,т1),^(01,т1)

<¿0(1102-0111 + 122-^1),

(4)

где Ьа — положительная константа, а Тт-т, '/"„,.,х — заданные положительные параметры.

Из анализа формулы (3) следует, что сформулированные выше условия имеют место, если отображение .Р(0,Т) непрерывно дифференцируемо на множестве Л(Т) х [Ттш,Ттах] и выполнены условия

Липшица для .Р(0,Т) и его частных производных Ц-(0,Т), г = 1,3, Цт(0,Т):

д£_ Ж

|^(02,Т2) -^(0!,Тг)\\ <М1|02 дР

(02, Т2)

до,,

■(01,^1)

< Кв( ||02 - 01

11 + 1Т2-Т!!), \Т2-Т!\), г = 1Д

д£_

дт

(02, Т2)

д£_

дт

(01, )

<^(1102-0111 + ^2-^1),

(5)

(6)

(7)

где /./.. Кд, Кт — также положительные константы. В неравенствах (4)—(7) величины 01, 02, Т\, Т2 произвольны и удовлетворяют включениям: 01,02 € Л(Т), Т\,Т2 € [Тт,п,Ттах]. Соотношения (5)-(7) доказываются с помощью рассуждений, подобных представленным в лемме 2.

Для примера 1 результаты соответствующих численных расчетов приведены в таблице.

XI У\ 21 в1 в2 вз Т £

1.4350 0.6292 1.0160 0.1210 0.1757 0.3306 0.3649 0.0001

1.4000 0.6320 1.0000 0.1174 0.1794 0.3267 0.3688 0.0001

0.8000 0.6500 0.8800 0.0392 0.2742 0.2842 0.4949 0.0001

0.9700 0.7000 0.9300 0.0299 0.2289 0.2766 0.3870 0.0001

Здесь (х\,у1, — координаты заданной конечной точки, (01,02,0з)Т — искомые значения моментов переключений кусочно-постоянного управления и$(1), переводящего систему (2) из заданной начальной точки гоо в заданную конечную точку , Т — искомый момент времени, за который этот перевод осуществляется, е — точность вычисления наименьшего значения функции О(0,Т).

В этом примере динамика изменения множества достижимости Х(Т) при решении задачи управляемости для системы (2) показана на рис. 3.

6. Заключение. В работе был предложен приближенный алгоритм решения задачи управляемости для нелинейной трехмерной системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс

7 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

1.04-,

ж: 1.435 у\ 0.6292 г: 1.016

0.7

0.5

2

У

х

Рис. 3. Динамика изменения множества достижи-

мости Х(Т)

биологической очистки сточных вод. В его основе лежит параметризация множества достижимости рассматриваемой системы. С помощью этой параметризации задача управляемости сводится к задаче конечномерной условной минимизации вспомогательной функции.

1. Rojas J.. Burke М.. Chapwanya М. et al. Modeling of autothermal thermophilic aerobic digestion// MathematicB-in-InduBtry Саве Studies J. 2010. N 2. P. 34 63.

2. Gomez J., dc Gratia M., А у ев a E. et al. Mathematical modeling of autot hernial thermophilic aerobic digesters // Water Research. 2007. 41. N 5. P. 959 9G8.

3. Краснов К. С.. Воробьев Н. К.. Годнев И. Н. и др. Физическая химия. Кн. 2. Электрохимия. Химическая кинетика и катализ. М.: Высшая Школа. 1995.

4. Бондаренко Н.В.. Григорьева Э.В.. Хайлов Е. Н. Множество достижимости трехмерной нелинейной системы, описывающей процесс очистки сточных вод // Проблемы динамического управления. Вып. 5. М.: МАКС Пресс, 2010. С. 28 41.

5. Lee Е.В.. Marcus L. Foundations of Optimal Control Theory. N.Y.: John Wiley & Sons. 1967.

6. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс. 2002.

7. Shi goo I. A note on global implicit function theorems // IEEE Transactions on Circuits and Systems. 1985. 32. N 5. P. 503 505.

8. Хайлов E. H.. Григорьева Э. В. О множество достижимости одной нелинейной системы на плоскости // Вестн. Моск. ун-та. Сор. 15. Вычисл. матом, и киборн. 2001. № 4. С. 27 32.

9. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: ЛКИ. 2010.

10. Виро О.Я.. Иванов О. А.. Нецветаев Н.Ю. и др. Элементарная топология. М.: МЦНМО. 2010.

11. Хайлов Е. Н.. Григорьева Э. В. Описание множества достижимости одной нелинейной управляемой системы на плоскости // Вестн. Моск. ун-та. Сор. 15. Вычисл. матом, и киборн. 2005. № 3. С. 23 28.

12. Хайлов Е. Н. О нахождении моментов переключения экстремального управления в нелинейной задаче быстродействия // Диффоронц. уравн. 1992. 28. № 11. С. 1988 1993.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Поступила в редакцию

20.06.11

SOLUTION TO THE CONTROLLABILITY PROBLEM FOR A NONLINEAR THREE-DIMENSIONAL SYSTEM

Bondarenko N. V., Grigorieva E. V., Khailov E.N.

The work is devoted to solving the controllability problem for a nonlinear system of three differential equations, modeling the controlled aeration of the process of biological wastewater treatment using a thermal metabolism of thermophilic aerobic bacteria. The properties of the phase variables of this system are established — limitation, continuation to the specified interval. An appropriate parametrization of the attainable set by switchings of piecewise constant controls is constructed. Using it the controllability problem for the system reduces to a finite-dimensional constrained minimization of an auxiliary function. The results of the numerical solution of the considered problem are presented.

Keywords: attainable set, controllability problem, wastewater treatment.