Решение задачи теплопроводности для периодического теплового потока на основе телеграфного уравнения Текст научной статьи по специальности «Физика»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ

И.Н. Ищук

Кафедра «Импульсная техника и электронные приборы»,

Тамбовское высшее военное авиационное инженерное училище радиоэлектроники

(Военный институт)

Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: периодический нагрев-охлаждение; телеграфное уравнение; уравнение теплопроводности гиперболического типа.

Аннотация: Рассмотрена задача распространения тепла вдоль ограниченного теплоизолированного стержня с переменным тепловым потоком. Используется уравнение теплопроводности гиперболического типа. Решение задачи получено в комплексном виде, представляющем макроскопические тепловые волны.

Обозначения

а - температуропроводность, м /с; с - удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); к - безразмерное число; q - плотность теплового потока, Вт/м2;

S - расстояние, м; г - время, с;

Т - температура, К; у - координата, м;

У - комплексная проводимость;

2 - комплексное сопротивление; а - угол сдвига фаз, рад;

Р - коэффициент затухания, Нп;

& - постоянная распространения;

1 - теплопроводность, Вт/(мК);

0 - коэффициент тепловых потерь; р - плотность, кг/м3; т0 - время релаксации, с; ф! и ф2 - аргументы комплексных величин;

га - фазовая частота колебаний, рад/с.

Индексы

т - максимальное.

Рассмотрим задачу о распространении тепловой волны в случае стационарно-периодического состояния (задача без начальных условий) по аналогии с волновыми процессами распространения стационарного электромагнитного поля в цепях с распределенными параметрами.

Постановка задачи. Дан теплоизолированный ограниченный стержень, с одного торца которого воздействует периодический тепловой поток (нагрев-охлаждение), изменяющийся по закону простого гармонического колебания

q (G, t) = -l

(

dT (G, t) dy

= Tm (G)1wsinwt.

(l)

T(G,t)=Tm cos w t

Требуется найти решение в комплексной форме, описывающее распределение температуры вдоль стержня.

\

v

У

Решение задачи. В стационарно-периодическом состоянии процесс распространения теплового потока вдоль стержня на основании [1] и уравнения баланса количества тепла, описывается системой:

- ЭТ Эq

q--1^г-хот-; Эу at

СР

ЭТ Oq

at Эу'

(2)

Для стационарного электромагнитного поля справедлива система телеграфных уравнений [2]:

to Oq І ЭТ;

1 Ot 1 q Эу

1 ЭТ+q (т )--°г,

a Э^ Эу

(З)

при этом 2(г) эквивалентно утечке заряда в линии с распределенными параметрами [1].

На основании принципа подобия, по аналогии между теплофизическими и электрическими величинами, введем [1] Q(Т) = 0Т , тогда Q(Т)/Т = 0 .

Применяя комплексное преобразование, в случае задания гармонического теплового воздействия, в начале стержня у = 0 имеем [2]:

Тт (У) - Тт (G) chgy - qm (G) ZB sh 1У;

qm ( у )- qm (G) chgy- sh gy.

Z в

(4)

При этом у =^[^ У:

Комплексное значение волнового сопротивления примет вид Хо (

Zb -

І .

тт + ia-л 1 1

0 + ia

(0a + a To1)a (0atoa-a1)a

1(02a2 +a212

12) 1(02a2 +a212)

(5)

Для коэффициента тепловой активности материалов и времени релаксации от металлов до теплоизоляторов выполняются условия:

1

л/a

>> І, т0 << І0 8.

(б)

Поэтому выражение для волнового сопротивления в этом случае примет вид

1

( 0a2

2

2 3 “г'“Т ■ (7)

ю213 ю12 ,

Выражение (7), применяя операцию умножения для комплексных чисел и на основании (6), представим в виде

z, -1,a(і-і),

в 1V 2a ’

(8)

1

2

a

\

Волновое сопротивление играет роль сопротивления, которое оказывает материал бегущей тепловой волне.

Глубина проникновения тепловых волн составит £ = — = 2р/— .

а Ни

Комплексное значение постоянной распространения описывается выражением

Y = J1 + ^ А0 + =

0a - w t01 + . wl + ют00а

la

la

(9)

Аналогично расчету ZB , получим

у=лЬи(1+/). (10)

V 2а

Представим постоянную распространения в следующем виде

• а ■ а Г® ГШ

у=Р + /а, где Р = Л/— , а = ,1— .

V 2а V 2а

Анализ результатов. На основании (4) и с учетом у = Р + ]а;

А = Аехр{/'л} и В = Вехр{/ф2} , выражение для мгновенного значения темпе-

ратуры примет вид

Т(/,у) = Яе{гт (у)ехр{Ш}} = Аехр{-Р у}соб(Шt-ау + ф1) +

+В {Ру} соб (Ш-ау + ф2). (11)

_7 _5 2

Для твердых материалов а = 10 ...10 м/с, при Ш = 1 рад/с коэффициент

затухания составит Р = 102...103 Неп, £ = 0,01...0,1 м.

Найдем мгновенное значение температуры. Тепловой поток в точке у = 0 на

основании (1) составит q(0,t) = Тт (0)1шбшШt = -qm (0)соБ^Шt + р^, в комплексной форме Тт (0) = Тт ; qm (0) = -qm ехр|/Р у

Введем замену к = —, тогда для любого заданного значения времени при ус-£

ловии (6) распределение температуры вдоль стержня описывается выражением:

( ПИ г Р\>

Т -Г__^

1Ш '

T(к) = 1 Tm exp{-2кк} cos(wt-2ккcos^wt-2кк + К|

r.T 1,3 I 3 I 1,1 I 1 I 1

Так, при к = 1, exp {-2я}«-; к = —, exp <—я}»-----; к = —, exp <—я}» — .

1 J 536 4 [ 2 111 4 [ 2 5

Т аким образом, независимо от теплофизических свойств материала, частоты и амплитуды колебаний, ослабление амплитуды колебаний на глубине, равной длине тепловой волны (к = 1), составит более 500 раз. Соответственно, волновой процесс в пространстве отсутствует и представляет затухание импульса тепла, не имеющее регулярного характера, рис. 1.

1

(

2

Рис. 1 График распределения температуры по глубине материала:

Ш = 10 рад/с; 1 - а = 10-7 м2/с, 2 - а = 10-5 м2/с

В случае выполнения условий (6) постоянная распространения и фазовая скорость будут зависеть от частоты и температуропроводности материала, что показано в работе [3]. Однако, в общем случае, постоянная распространения, волновое сопротивление имеют зависимости (5), (9).

Вывод. По аналогии с решением телеграфного уравнения, получены выражения для волнового сопротивления и постоянной распространения, которые определяют условия существования тепловой волны в пространстве; определены условия, при которых независимо от свойств материала, частоты и амплитуды колебаний, волновой процесс представляет собой затухание импульса тепла.

Список литературы

1 Шашков, А.Г. Волновые явления теплопроводности: системно-структурный подход / А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, С.Ю. Яновский. - 2-е изд., доп. - М. : Едиториал, 2004. - 296 с.

2 Лимонов, П.А. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1 / П.А. Лимонов, Ю.А. Дейнека, В.В. Козловский. - М. : ВВА им Н.Е. Жуковского, 1981. -544 с.

3 Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М. : Высшая школа, 1967. - 599 с.

Solution of the Problem of Heat Conduction for Periodic Heat Flow on the Basis of Telegraphy Equation

I.N. Ishchuk

Department “Impulse Equipment and Electronic Gadgets ”,

Tambov Military Aviation Engineering College of Radioelectronics (Military Institute)

Key words and phrases: telegrapher’s equation; heat conduction equation of hyperbolic type; periodic heating - cooling.

Abstract: The task of heat distribution along limited heat insulating rod with alternating heat flow is studied. The heat conduction equation of hyperbolic type is applied. The solution to the task is obtained as a complex, representing macroscopic heat waves.

Losung der Aufgabe der Warmeleitfahigkeit fur den periodischen thermi-schen Strom aufgrund der Telegrafengleichung

Zusammenfassung: Es ist die Aufgabe des Vertriebes der Warme entlang des beschrankten warmeisolierenden Kernes mit dem variabelen thermischen Strom unter-sucht. Es wird die Gleichungder Warmeleitfahigkeit des hyperbolischen Typs verwen-det. Die Losung der Aufgabe ist in der komplexen Art, die die makroskopischen thermischen Wellen vorstellt, erhalten.

Solution du probleme de la conductibilite calorifique pour un flux periodique de chaleur a la base de l’equation des telegraphistes

Resume: Est examine le probleme de la distribution de la chaleur le long de la barre thermoisolee avec le flux de chaleur alternatif. Est utilisee l’equation de la conductibilite calorifique du type hyperbolique. La solution du probleme est regue dans une vue complexe presentant des ondes calorifiques macroscopiques.