Решение задачи синтеза оптимальной траектории для балки из композитного материала Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.072.3 В. М. Котляр

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ ДЛЯ БАЛКИ ИЗ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

Ключевые слова: вариационный метод, конструкция, композитный материал, синтез,граничные условия, оптимальная

балка.

В работе рассматривается обобщение вариационного метода решения задачи синтеза оптимальной траектории в классе кусочно-непрерывных функций на ограниченном множестве, изложенного в [1], для случая когда разрывы функций и их первых производных подлежат определению. Задача синтеза сведена к задаче на условный экстремум функционала, зависящего от координат точек переключения и неизвестных скачков функций и их первых производных. Показано, что разрешающая система уравнений является полной. В качестве примера применения изложенной методики решена задача проектирования балки минимального веса, работающей в условиях чистого изгиба, с переменным по высоте сечения модулем упругости.

Key words: variational method, design, composite material, synthesis, boundary conditions, optimal design.

This paper considers a generalization of the variational method of solving the problem of synthesis of optimal trajectory in the class of piecewise continuous functions on the restricted set presented in [1], for the case when discontinuities offunctions and their first derivatives are to be determined. The synthesis problem is reduced to the problem on conditional extremum of the functional, depending on the coordinates of the switching points and jumps of the unknown functions and their first derivatives. It is shown that the resolving system of equations is complete. As an example of the use of set of methods solved the problem of designing minimum-weight of a beam working in pure bending, with a variable height cross section modulus of elasticity.

1. Постановка задачи. В наиболее общем виде задача оптимального проектирования конструкции может быть сформулирована следующим образом [1], [3]: необходимо найти решение, доставляющее экстремум функционалу

J = | X, У, У) ¿х (1.1)

где

у = {У 1, У 2.-. Ул}, У = {У1У2 '■■■' Ул}, У = ¿У-, / = 1,2,л,

аХ

при наличии уравнений связи

Т(х,У,У)= 0 , г = I < л (1.2) и дополнительных ограничений в виде неравенств (Х) ^ Фш (х У' У) ^ (Х) Ш = 1,2 ,т < л ,

где

Vleo(x )<V 2ш(х )

(1.3)

В качестве уравнений связей и ограничений в задачах оптимизации конструкций из композиционных материалов могут быть уравнения равновесия [2], ограничения по прочности, деформациям, упругим характеристикам, а также различного рода конструкционные и технологические ограничения [1]. Наличие системы неравенств (1.3) указывает на то, что экстремум функционала (1.1) отыскивается на ограниченном множестве. А так как в вариационном исчислении отсутствуют аналитические признаки отбора точек экстремали принадлежащих границе области, то необходимо преобразовать неравенства (1.3) в равенства, например, путём введения дополнительных неизвестных функций [1],[3],[4]

е„

= 6ffl(x),ю = 1,2,...,m.

Тогда систему (1.3) можно записать следующим образом

Ф.(*.y,y) = V1ra(x) + . (1.4)

Теперь вместо исходной задачи (1.1) - (1.3) будем рассматривать задачу (1.1), (1.2) , (1.4) которая является задачей Лагранжа на условный экстремум.

Проведенное в [1] исследование необходимых условий экстремума приводит к существованию нескольких классов решений сформулированной задачи, из которых необходимо построить оптимальное решение.

2. Построение оптимальной траектории при произвольном числе граничных условий. Результаты, полученные в [1] могут быть обобщены на случай, когда величины скачков функций и их производных неизвестны, причём считается, что эти скачки имеют место в точках переключения решений а1,а2,..., а к _1 и относятся к точкам а1 + 0, а2 + 0,..., ак _i + 0.

Пусть y1, y 2,..., yk - решения из числа различных дуг экстремалей, а число граничных условий и условий трансверсальности равно s, причём s > k . Начнём построение оптимальной траектории с левого конца. Тогда функционал (1.1) запишется в виде

а2 а 2

J = Jfo(x,y,y) dx + Jfo(Xi, y2,y2(ai ), y2(ai )) dx +... +

ai ai

ak

+ J fo [x, yk, yk, yk (ai), yk (ai),...yk (a k _i ), y (a k _,)] dx.

a k _1

Или

x

0

J = J [а0, а1.-> а к, У2(а1), 3^2(а1),-", У к (ак-1^ у к К-1)] ■

(2.1)

Кроме того, граничные условия и условия трансверсальности также могут зависеть от величин скачков функций и их первых производных, то есть:

Д1 = Д1 [а о,..., а к, У 2 (а^, У2(а1)>--->

У к (а к-1). у к (а к-1)] Д 2 =Д 2 [а о,..., а к, У 2 (а1), .2(а1), У к(а к-1^ у к(а к-1)]......

(2.2)

Д s = Д s [а о,..., а к, У 2 (а 1), У 2(а 1),...,

Ук(а к-1^У к(а к-1)].

В виде (2.2) записаны граничные условия и условия трансверсальности. Таким образом, нам необходимо найти экстремум функции 3к -1 переменных (2.1) при дополнительных условиях (2.2). Следуя обычной процедуре неопределённых множителей Лагранжа, составим функцию Ф = J [а о, а1, а к, У 2(а 1), У 2(а 1),...,

Ук(а к X У к(а к-1)] +

s

+ у • Д у [а о,..., а к, У 2Ю, У 2 (а к у=1

(2.3)

Ук(а к-1), У к(а к-1)], где л у - неопределённые множители Лагранжа.

Предполагая функцию (2.3) непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных воспользуемся для её минимизации теоремой Ферма. Согласно этой теореме необходимыми

условиями экстремума уравнений:

ЭФ

(2.3) является система

(2.4)

(2.5)

— = о, i = о,1,..., к

Эа,-

*ф = о, Эу *

-ЭФ = о, У = 2,3,..., к.

Э/ *

где введены обозначения:

у2 = У 2 («1), У 2 = у 2 («1

У к = Ук(а к-1), у к = у к(а к-1^

Система уравнений (2.4) может быть записана в виде:

ЭФ

Эа

= /о [а t, У г (а г), У, (а г), /2 , У2 Уг , У г] -

- /о [а t, У t+1 (а t), У t+1 (а t), /2 , У 2 У*, У * ] +

+ 1

p=t+1

э/о

Э/о ЭУр

ЭУр Эаt

а р

а

р-1

с(

ЭУр с(х

Э/о

чЭу р у

ЭУр

х—рс(х

Эаt

+ 1 У У=1

ЭД у (а0,---, ак, у 2, У 2 ,■■■, Ук, Ук)

Эа.

о,, (2.6)

для t = о,1,..., к.

В предыдущих соотношениях необходимо иметь в виду, что функция /о доопределена для решений

уо и ук+1 следующим образом:

/о [ао, У о(ао), У о(а о)]-/о [«о, У1(«о), У1(а о)] = о,

№к,Ук+1 (акXук+1 (ак),У2,У2,■■■,У^ук] = о • Система уравнений (2.5) приводится к виду:

ЭФ

эу;

Э/о Эу,

Эу Эу„

а

/-1

1

Э/о

й Г Э/о ^

Эу,- с(х ЧЭу

т у

Х-^ЬХ К ЭУт

® ЭД у (а о,■■■, ак, у2, З^.. у; У^ о

у —-*-= о.

у=1

ЭУт

ЭУт

(2.7)

с/о •^У, Эу, Э/т

/ _ А

Эу,- йх

Э/о

.ЭУт

+Ел у у=1

ЭД у (ао,..., ак, у 2, У 2,..., /к, У *)

эУ т

ЭУт I

: о (2.8)

для т = 2,3,...,к .

Добавив к системам (2.6)-(2.8) граничные условия (2.2), получим систему 3к -1+ 5 для определения 3к -1 + 5 неизвестных:

ао,а1,-, ак,у2,у2.....Ук,Ук,Л1>Л2'■■ ■ Л .

Таким образом, изложенный метод позволяет решать задачи синтеза экстремалей и в случае, когда разрывы функций и их первых производных подлежат определению.

Проверка достаточности может быть проведена непосредственной подстановкой оптимального решения в минимизируемый функционал.

3. Балка минимального веса из композитного материала. В качестве примера применения изложенной методики рассмотрим задачу проектирования балки минимального веса из композиционного материала, удовлетворяющую при заданной нагрузке ряду ограничений конструктивного характера.

Пусть необходимо спроектировать балку прямоугольного поперечного сечения Ь х h длиной I из двух материалов, которые можно смешивать произвольным образом. Будем считать, что имеет место техническая теория изгиба, а упругие характеристики материала изменяются симметрично относительно оси симметрии сечения.

Характеристики материалов: Е1, Е2 - модули

упругости; а, ст^ — допускаемые напряжения; У1, У2 — объёмные веса. Для определённости предположим, что все характеристики первого

а

+

1=т

+

а

(-1

а

а

+

¡-1 а/-1

а

t

+

а

р

1

+

+

а

р-1

материала больше соответствующих характеристик второго.

Считая, что оба компонента деформируются совместно и имеет место закон Гука, можно воспользоваться теоремой суммирования [5],[6] и, обозначив через л коэффициент объёмного содержания первого материала в смеси, записать характеристики смесевого материала:

E * = E •" + (1-л)• E2,

СТ * = CTi • л + (1 - л) • ^2,

У* =Yi •" + (1-Л)^2-

Тогда вес балки:

h/2

P = b • / •

J У *dy

(3.1)

(3.2)

-h/2

записывая условие равновесия в виде:

1 ^/2

|ст*-У • ¿А = Ь•- |е* • У2 • ¿У = м

А Р —1 /2

для нормальных напряжений получим: * м• У _*.

(3.3)

h/2

где IX = b • JE *(y) • y2 • dy.

-h/2

-*

СТ =

*

у =

Принимая за основное неизвестное Е = Е (у), (3.1) и (3.2) можно представить в виде:

——— •СТ • (Е* -Е2) + а2 • (Е1 -Е*)],

Е1 — —2

1 2 (3.4)

•[у1 • (Е* — —2) + У2 • (—1 — Е*)],

Е1 - Е2

р гм • г|у1 • (Е —Е2)+У2. (Е — Е* )]. ¿У. (3.5) Е1 — Е2 0

Поскольку материал балки должен удовлетворять прочностным ограничениям, то: ст* < ст *, или, используя (3.3), (3.4):

М*У • Е(У) •[ст • (Е — Е) +СТ • (Е| — Е)]. (3.6)

1х Е1 —Е 2

Кроме того модуль упругости смеси должен быть ограничен модулями упругости исходных материалов:

Е2 < Е*(У) < Е1. (3.7)

Таким образом, окончательно задача оптимизации состоит в том, чтобы найти минимум функционала (3.5) при ограничениях в виде неравенств (3.6), (3.7).

Преобразуем (3.6), (3.7) с помощью дополнительных неизвестных функций б^У) и 02( У) [3],[4] в равенства:

M

У • e -СТ • (E*-E2) +СТ2 • (E -E)__1

IX Ei - E2 i+ef(y)

Ei - E2

E * ( у ) = E2 +

i + 02 (У)

(3.8)

(3.9)

и, вместо задачи (3.5),(3.6),(3.7) будем решать задачу на условный экстремум (3.5),(3.8),(3.9), которая ей эквивалентна.

Составляем минимизирующий функционал:

L =

2 • b • /

Ei - E2 M • y

Г

J- У

• E * -

•[Yi • (E * - E2) + у2 • (Ei - E *)]+Xi x CTi • (E* - E2) + СТ2 • (Ei - E *)

(Ei - E2) • (i + e2)

E* - E2 -

Ei - E2

i+e"

2 ;

Анализируя необходимые условия экстремума функционала L [7]:

5L „ 5L „ 5L „

-= 0,-= 0,-= 0,

5E* sei да2

получим три возможных класса экстремалей поставленной задачи:

1. E * (y) = E2 = const,

2. E * (y) = Ei = const,

3.

M • y

Г

A У

E * (У) =

= CTi • (E* - E2) + CT2 • (Ei - E*)

Ei - E2

т.е. действующие напряжения всюду равны допускаемым. Причём это решение не существует при У = 0 .

4. Задача синтеза оптимальной траектории. Величина изгибающего момента, который может воспринимать балка прямоугольного сечения Ь х 1 лежит в пределах:

b • h2

• ст1 < M <

b • h2

•CT2 .

(4.1)

6 6

Если в (4.1) имеют место равенства, то балка должна быть целиком изготовлена из первого или второго материалов. Причём прочностные ограничения будут выполнены.

Если же в (4.1) имеет место строгое неравенство, то спроектировать балку, целиком состоящую из одного из материалов невозможно (не нарушив прочностных ограничений) или нецелесообразно (принимая во внимание вес балки). Смесевое же решение не существует при У = 0 .

Поэтому для решения задачи при произвольном значении изгибающего момента необходимо синтезировать оптимальное решение из полученных в п.3 трёх классов экстремалей.

Для того, чтобы можно было математически сформулировать задачу синтеза, можно без ограничения общности предположить, что оптимальная траектория имеет вид, представленный на рис.1. Причём этот набор решений является полным[1]. Количество и расположение точек переключения подлежит определению.

Учитывая характер распределения напряжений при изгибе, предположим, что модуль упругости возрастает в пределах каждого полного набора решений.

Получим закон изменения модуля упругости.

Запишем обобщённую жёсткость балки:

X

x

у 12 0

Рис. 1

В = ь

/=1

У/2 У/3 У/4

1Е2 • у2 • с(у + 1Е* • У2 • Су + 1Е1 • у2 • с(у

_У,1 У,2 У/3

Тогда из условия равновесия будем иметь:

Е2, У/1 < У < У/2,

М • у • Е, ..

а = —„ „ ' , где Е/ = 2 • В '

Е/, У/2 < У < У/3,

Е1 У/3 < у < У/4.

Учитывая, что для смесевого решения действующие напряжения всюду равны допускаемым, можно представить В в виде:

М • У/2 • е;(У/ 2) • (Е - Е)

2 • В=-

О • [Е;(У/2) -Е>]+ст2 • [Е1 -ЕГ(У/2>] у • Е*(у) = О, • [Е*(у) -Е2] + а2 • [Е, -Е*(у)]

(4.2)

У/2 • е;(У/2) а • [Е(У/2) -Е2]+а2 • [Е1 -Е(У/2)] Вводя обозначения:

а = а2 • Е1 - а • Е2, р = а - а2,

е; (у,. 2) = Е;, А,. = Е; • у,. 2/(а+р^ Е;),

получим окончательно:

Е; (у) = а • А/ /(у -Р- А/). (4.3)

При решении задачи необходимо учесть ряд дополнительных условий. Это ограничения по напряжениям:

М • Ук 2 • Е2 <О2

2 • В 2

М •Л • Е1 2 1

2 • В

(4.4)

< О

и величине модуля упругости смеси:

Е* > Е2, и Е;(у,3) < Е1 (4.5)

для / = 1,2,..., к.

С учётом (4.2) неравенства (4.4) могут быть приведены к виду:

Е2 • (а + р• е;) <_ —^- —

е; • (Е1 - Е2) 2

Л• Е • (а + р• Е*) <_

< а1,

(4.6)

2 • Ук2 • Ек • (Е -Е2)

Записывая (4.2) последовательно для / = 1,2,..., к -1, получим к уравнений связи вида:

2 • В = м • у,. 2 • Е; • (Е1 - Е2),

а+р • е;

~ * I/ ~ *

У,2 • Е _ у/+1,2 • Е+1

а + р • Е; а + р • Е*+1

(4.7)

для / = 1,2,...,к -1.

С учётом сделанных выше преобразований вес балки

2 • Ь • I "

Р = Г •1[У2 • (Е2 - Е1) • У/1 + Е2 • (У1 -У2 ) • У/2 а^ У/3 +р^ Е; • (У/3 - У/2)

Е1 - Е2 7=1

+ 0.^ • Е; • у,. 2 • |П

а + р^ Е*

У/2

+Е1 • (У2 - У1) • У/3 + У1 • (Е - Е2) • У/4].

(4.8)

Окончательно поставленную задачу

сформулируем следующим образом — необходимо найти решение доставляющее минимум функции (4.8) при дополнительных условиях(4.5)-(4.7). Вводя 2к + 2 неизвестных функций, преобразуем (4.5) и (4.6) в равенства и будем решать обычную задачу на условный экстремум непрерывной по совокупности переменных функции, используя метод неопределённых множителей Лагранжа[7].

Исследуя необходимые условия экстремума обобщённой функции Лагранжа получим: У12 = У22 = ■■■ = Ук2, и

У13 = У 23 = ■■■ = Ук 3 = У14 = У 24 = ■■■ = Ук-1,4 ■ Отсюда необходимо сделать вывод о том, что достаточно рассмотреть решение, представленное на рис.2.

Для этого в (4.5)-(4.7) необходимо положить

у2 0

Е'

2

Рис. 2

Е, Е

к = 1, у11 = о, у14 = л/2, е; = Е2.

Теперь задача существенно упростилась и может быть сформулирована следующим образом: найти минимум функции

+

+

P = E^E •¿[E2 • (Yi-У2) • У2 E1 - E2 /=1

+ а- (yi -У2) • E2 • y2 • /П

а + р^ E2

а^ Уз +Р^ E2 • (Уз - У2)

а • У2

+Ei • (У2 -Yi) • Уз +Yi • (Ei -E2)• h/2]: при наличии условий связи:

h• Ei • (а + р• E2) <СТ

(4.9)

2 • y2 • E2 • (Ei -E2)

< CTi,

а • E2 • У 2

а • У з +Р- E2(y з - У 2)

< Ei

2 • B =

M•y2• E2

СТ2

(4.10)

Вводя дополнительные неизвестные функции Л1(У) и л2(У), преобразуем неравенства в равенства и запишем лагранжиан:

L = P + XT •

CTi

+ X 2

E1 • h • (а + р • E2)___

_2 • y2 • E2 • (Ei -E2)_T+"

«-• E2 • У 2 Ei

2 • В -

а • У з +Р- E 2 • (Уз - У 2) 1 + л M • y2 • E2 • (Ei - E2)

+ X з x

а + р • E 2

Рассматривая необходимые условия экстремума

L:

= 0А = оА = 0А = 0 ,

5У2 5Уз 0Л1 9л2 можно получить три случая существования решения:

1° Х1 =Х 2 = 0 ,

X = /• (У2 -Yi) .^L = 0. В = M• У2 • E2

'з ,,2

Уз2 • (Ei - E2) 5y 2

2° Л1 = X 2 = 0,

2 • СТ2

h Et О2. В = M-y2 ^2 .

2 '

3° Л1 = Л2 = 0,

y2 B =

2 2 E2 стт 2В

h ET СТ2 h

У2 = -т-^ Уз = 2; 2 E2 стт 2

M=

4•В^CTT

(4.11)

1 •Е1

Оптимальное решение может быть найдено путём непосредственной подстановки полученных решений в функцию (4.9).

При численной реализации было установлено, что оптимальным, при принятых исходных параметрах, является решение 1°. Решение типа 2°, существует только при значениях 4•В•ст1

M >

h • ET

и незначительно проигрывает в весе 1°. При значении изгибающего момента из (4.11) все три типа решений дают одинаковый результат.

Сравнение полученных результатов показало значительный выигрыш в весе (от 3% до 20%) по сравнению с балкой без смесевого материала.

Литература

1. Котляр, В.М. Об одном методе построения оптимальной траектории / В.М.Котляр/ Вестник Казанского технологического университета, 2015. - т.18 № 24.С.106 - 108с.

2. Абдулхаков, К.А. Исследование влияния ширины ленты на прочность композитных оболочек вращения в зависимости от ориентации ленты при намотке / К.А. Абдулхаков, В.М. Котляр / Вестник Казанского технологического университета, 2011. - т.14 № 8.С.144 - 150с.

3. Петров, Ю.П. Вариационные принципы теории оптимального управления / Ю.П. Петров// Ленинград. «Энергия».1977. -280с.

4. Гельфанд, И.М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд, С.В. Фомин / Москва - Ленинград. «Физматгиз». 1961. - 228c.

5. Рабинович, А.Л. Об упругих постоянных ориентированных стеклопластиков / А.Л. Рабинович, И.А. Верховский/ Инж.ж.,1964. -т.4,вып.1.С.90-100с.

6. Тарнопольский, Ю.М. Композиционная прочность и деформативность стеклопластиков / Ю.М. Тарнопольский, А.М. Скудра / Рига.« Зинатне».1966. -260с.

7. Черевацкий, С.Б. Проектирование балки минимального веса из композиционного материала / С.Б. Черевацкий, В.Л. Сегал, В.М. Котляр /Деп.ВИНИТИ,1978. -№8.б/о257.

© В. М. Котляр, канд. техн. наук, доцент каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, [email protected].

© V. M. Kotlyar, candidate of technical sciences, associate professor, department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU, [email protected].

+

+

x