CC BY
16
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
УДК 621.316 DOI: 10.17213/1560-3644-2020-4-23-27
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ РАВНОГАБАРИТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЭА МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ПОКООРДИНАТНОГО СПУСКА
© 2020 г. Т.Р. Арутюнян
АО ВПК «НПО машиностроения», Москва, Россия
THE SOLUTION TO THE PROBLEM OF PLACING ELECTRONIC COMPONENTS, A MODIFIED METHOD OF ALTERNATING-VARIABLE
DESCENT METHOD
T.R. Arutyunyan
JSC MIC «NPO mashinostroeniya», Moscow, Russia
Арутюнян Тигран Робертович - инженер-программист Arutyunyan Tigran R - Programmer of JSC MIC «NPO АО ВПК «НПО машиностроения», Москва, Россия. E-mail: Mashinostroeniya», Moscow, Russia. E-mail:
tigran_201094@mail.ru tigran_201094@mail.ru
Рассматривается задача оптимального размещения элементов электрических и электронных цепей. В качестве критерия выбран минимум взвешенной длины соединений. Предложен вычислительный метод, являющийся модификацией метода покоординатного спуска и одним из вариантов общего подхода на основе парных перестановок. Схема задана матрицей соединений. Рассматривается фиксированный набор позиций элементов и матрица расстояний на основе ортогональной метрики. Данная задача является вариантом общей математической модели, получившей название задачи квадратичного назначения. Геометрическое ограничение задачи - в одной ячейке размещается не более одного элемента. Установлено, что подходы на основе парных и т.п. перестановок являются экономичными, а метод функции штрафа приводит к «забуриванию» и малоэффективен. Описан модифицированный метод покоординатного спуска, являющийся вариантом метода парных перестановок, в котором пары выбираются на основе метода покоординатного спуска.
Ключевые слова: электрическая схема; ограничения размещения; топологические параметры; метрические параметры; коммутационное поле; критерии и методы оптимизации.
The problem of optimal placement of elements of electrical and electronic circuits is considered. The minimum weighted connection length is selected as the criterion. A computational method is proposed that is a modification of the coordinate descent method and one of the variants of the General approach based on pair permutations. The scheme is defined by the connection matrix. We consider a fixed set of element positions and a distance matrix based on an orthogonal metric. This problem is a variant of the General mathematical model, called the quadratic assignment problem. Geometric restriction of the problem - no more than one element can be placed in one cell. It is stated that approaches based on paired and similar permutations are economical, and the method of the penalty function leads to «ditching» and is ineffective. A modified coordinate descent method is described, which is a variant of the pair permutation method, in which pairs are selected based on the coordinate descent method.
Keywords: electrical circuit; placement constraints; topological parameters; metric parameters; switching field; optimization criteria and methods.
Введение
Задача оптимального размещения элементов электрических и электронных цепей и трассировки их соединений является одной из актуальных при проектировании радиотехнической
аппаратуры. При решении этой задачи применяются различные критерии и ограничения, а также математические модели и методы [1 - 10]. В результате расчета находятся координаты расположения отдельных элементов цепи на коммута-
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
ционном поле и топологические характеристики соединений их клемм.
Критерии и ограничения подразделяются на две группы: метрические параметры (размеры элементов и расстояния между ними, размеры коммутационного поля, расстояния между выводами элементов, допустимые длины соединений и т.д.), топологические параметры (число пространственных пересечений соединений, число межслойных переходов, близость расположения друг к другу тепловыделяющих элементов или несовместимых в электромагнитном отношении элементов и соединений).
Задача формулируется в следующем виде: дано множество конструктивных элементов, связанных между собой в соответствии с принципиальной электрической схемой узла. Требуется разместить элементы на некотором плоском коммутационном поле (КП) таким образом, чтобы некоторый функционал достигал экстремального значения. Вариантами КП могут быть: панель с проводными соединениями, печатная плата, подложка микросборки, кристалл БИС.
При конструктивно однотипных элементах позиции для их установки на КП фиксированы, расположены в узлах прямоугольной решётки и могут быть описаны следующей системой параметров: пх, пу, Нх, ку, где пх - число позиций в горизонтальном ряду; пу - число позиций в вертикальном ряду; Нх - горизонтальный шаг между позициями; ку - вертикальный шаг между позициями.
Возможные конструктивные особенности КП, связанные с расположением контактов элементов и внешних выводов узла, могут быть определены дополнительным набором параметров: координатами контактных площадок относительно центров позиции (хь, уь) и т.д.
При конструировании печатных плат с разногабаритными навесными элементами, подложек гибридных ИС, а также топологии твердотельных ИС и БИС с одним слоем коммутации позиции для размещения элементов заранее не фиксированы и окончательно определяются после трассировки соединений. Характерной особенностью задач размещения в этих конструкциях является необходимость учёта разнога-баритности отдельных элементов, требований минимизации суммарной площади, занимаемой схемой, и ограничений по числу внутренних пересечений.
Критерием в большинстве случаев является критерий минимума взвешенной длины (МСВД) соединений, который интегральным образом
учитывает многочисленные требования, предъявляемые к расположению элементов и трасс их соединений [5 - 10]. Это обусловливается рядом факторов:
- уменьшение длин соединений улучшает электрические параметры схемы;
- чем меньше суммарная длина соединений, тем, в среднем, проще их реализация в процессе трассировки;
- уменьшение суммарной длины соединений снижает трудоёмкость изготовления монтажных схем, особенно схем проводного монтажа.
Данный критерий относительно прост с математической точки зрения и позволяет косвенным образом учитывать другие параметры схем путем присвоения весовых оценок отдельным соединениям.
Описание метода
Пусть даны элементы е1, ..., еп и для каждой пары элементов заданы весовые коэффициенты Ту (¡, у = 1, ..., п), определяющие «степень связи» элементов друг с другом. Таким образом, считаем, что схема задана матрицей соединений
к=Ь }■, . (1)
Пусть имеется некоторый фиксированный набор позиций для размещения элементов рх,...,рт(т > п) . В дальнейшем будем полагать, что т = п.
Если т > п, можно ввести (т - п) фиктивных элементов, не имеющих соединений с остальными элементами Ту = 0, (/ = п+1, ., т; у = 1,., т).
Определим расстояние йу (¡,' = 1,...,п)
между парами позиций. Для этого воспользуемся дополнительной информацией. Пусть на коммутационном поле фиксированы позиции для размещения элементов. Для них задаем матрицу расстояний
° = К t
} =1,...,п
в которой элемент ёу (¡, у = 1, ..., п) равен расстоянию между центрами позиций р, р}-. Матрица О = \йи } - симметричная, с нулевой
главной диагональю ёу = 0 (/ = 1,., п).
Для вычисления элементов матрицы В используем ортогональную метрику, причём расстояние между соседними позициями по вертикали и горизонтали равно 1.
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
Произвольное размещение элементов в позициях представляет собой некоторую перестановку р = (рь ...,рп), гдер7 задает номер позиции, присвоенной 7-му элементу. Таким образом, имеется всего п! различных вариантов размещения элементов.
Попытки найти оптимальный вариант полным перебором безуспешны даже при малых значениях п:
9! = 362880,
16! = 20922789888000 = 101332,
25! = 15511210043330985984000000 = 102519.
Рассмотрим задачу минимизации суммарной взвешенной длины (МСВД) соединений при следующих предположениях.
Соединения считаем условно исходящими из геометрических центров элементов. Кроме того, предполагаем совпадение центров элементов и позиций. Как правило, при решении задачи размещения необходимо учитывать предварительное закрепление некоторых элементов в позициях и соединения элементов с внешними выводами. Сопоставляя с внешними выводами элемент е0 и фиксируя расположение части элементов, получим упрощенное представление коммутационного поля (рис. 1 и 2).
Рис. 1. Представление коммутационного поля / Fig. 1. Representation of the commutation field
Обозначим через Е3 множество всех фиксированных элементов, включая элемент е0; тогда суммарная взвешенная длина соединений элемента е7 с элементами из Е3 оценивается по формуле
агр(г) = X ГгАр(г)* О' = Ъ п) , (2)
где - расстояние между элементом е7, находящимся в позиции р7, и элементом
Учитывая вышесказанное, а также симметричность матриц Я и В, запишем выражение для суммарной взвешенной длины соединений при произвольном размещении:
1 п п п
Р (р) = - XX Г^р(г) р(} ) +Х агр(г) . (3)
г=1
2 ¿=1 j=1
Таким образом, задача размещения по критерию МСВД соединений состоит в минимизации функционала (3) на множестве перестановок Р соединений:
1 п п !\ II 1\
Р (р) = ^ХХгу ( Хг - + Я - УJ ) +
2 г =1 ]=1
n ! + Х X rs (
¿=1 seE?
X - x,.
y,- у0
Данная задача является вариантом общей математической модели, получившей название задачи квадратичного назначения.
Геометрическое ограничение - в одной ячейке размещается не более одного элемента, т.е.
min max <
i,j=1,.„n
min max
i=l,...n
\Хг - Xj\ У - yj\
0 0
Xi Xs Уi - У0
■> 1,
> 1,
Рис. 2. Фиксированный набор из 12 позиций / Fig. 2. Fixed set of 12 positions
Очевидно, что длина соединений между элементами е7 и ej оценивается величиной
Lij = rijdp(i)p(j) (i,j = !'...,n) .
Хг = 1гкх' Уг = ■1гНу' г = п',
I е{1,...,п}, J1 е{1,...,п}.
Модифицированный метод покоординатного спуска в задаче размещения
Будем решать задачу целочисленной оптимизации с целевой функцией ^(х), где х - вектор оптимизируемых параметров размещения, а именно перестановка без повторений номеров позиций п элементов. Координаты ячеек для размещения элементов можно вычислить через номер позиции. Подобный подход является экономичным по той причине, что автоматически учитываются геометрические ограничения. Опыт
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
показывает, что если решать задачу обычным образом для целевой функции с учетом геометрических ограничений методом штрафных функций, то трудоемкость весьма значительно возрастает. Происходит «забуривание» на одном месте в штрафной области, которая имеет сложную форму. Выход из штрафной области сильно затруднен, вследствие чего все рассмотренные классические методы оптимизации не дают должного результата. Если рассматривать только пространство перестановок без повторений, то необходимости в штрафных функциях нет. Но при использовании обычных вариантов методов оптимизации при первом же шаге происходит выход за пределы рассматриваемой допустимой области. Избежать этого позволяет некоторая модификация стандартных методов оптимизации. Наиболее просто проблема решается методом покоординатного спуска [4]. В этом методе поочередно делаются шаги по каждой координате с целью поиска меньшего значения целевой функции (рис. 3). Здесь возможны варианты: можно искать для каждой координаты локальный минимум с той или иной точностью, например, можно ограничиться одним шагом в сторону уменьшения значения функции, а можно искать точное значение координаты локального минимума. Первый подход представляется прагматичным по ряду причин, прежде всего в силу упрощения алгоритма, особенно учитывая целочисленный характер аргументов.
Рис. 3. Классический метод покоординатного спуска для двух независимых переменных / Fig. 3. Classical method of coordinate descent for two independent variables
При первом же шаге классической процедуры оптимизации по любой координате, как правило, происходит выход за пределы допустимой области. В модифицированном методе после такого шага перестановка корректируется: отыскивается аргумент, значение которого совпало с новым значением варьируемой координаты. Значение данного аргумента заменяется на исходное значение (до шага оптимизации) варьируемой координаты. В результате происходит возвращение в пространство перестановок без повторений (повтор значений номеров позиций устраняется).
Таким образом, в модифицированном методе покоординатного спуска на одном этапе вычислений меняются одновременно две координаты (а не одна, как в обычном методе оптимизации): по одной из координат делается обычный пробный шаг, а по другой - корректировка, возврат в допустимую область. Далее вычисляется значение целевой функции в найденной точке и сравнивается с достигнутым ранее значением. Если произошло улучшение значения, то найденная точка становится новой стартовой. Иначе делается шаг по другой координате с одновременной корректировкой вектора номеров позиций элементов (возврат в допустимую область). Понятно, что рассматриваемое усложнение алгоритма метода покоординатного спуска может привести к некоторому снижению его обычной высокой эффективности. Тем не менее опыт применения модифицированного метода при решении задачи размещения элементов ЭВА показал его значительные преимущества по сравнению с другими известными методами, например генетическим алгоритмом, а также методом штрафных функций [1 - 10].
Пример вычислений
Матрица соединений (1) задана аналитически в виде
Гу = • + У(1 * Л ги = 0,(i,у = Х..^п) .
Шаг ячейки, количество шагов по координатам и общее число ячеек и элементов: к = 1; п0 = 6; п = 36.
Вначале осуществлялся поиск начального приближения методом Монте-Карло (10 000 итераций), после чего начинались вычисления локального оптимума модифицированным методом покоординатного спуска в пространстве перестановок без повторений (задавалось ограничение в 100 итераций). Начальное значение шага по координате равно п, далее на каждой итерации оно уменьшалось на один до минимально возможного значения, равного единице. Начальное приближение оказалось равным
Х0 = (36,12,6,1,35,19,5,32,31,26,29,34,8,16,28,
33,13,24,10,2,18,4,27,21,22,15,7,25,11, 3,17,9,23,14,20,30),
функция штрафа равна нулю, соответствующее значение целевой функции 1/тт_0 = 177648.
После вычислений модифицированным методом покоординатного спуска решение имеет вид:
Х]= (36,1,6,31,35,2,12,32,5,7,25,4,30,33,34,13,19, 24, 3,18,26,29,8,28,11,27,9,10,23,20,17,14,16,21,15,22).
0
x
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
Функция штрафа нулевая, локальный оптимум fmn = 171168.000 (наименьшее значение из найденных при большом количестве итераций 171120).
Пример вычислений без нахождения уточненного начального приближения. После первой итерации методом Монте-Карло:
штраф = 0,000, fmin_o = 185400.000; х0 = (6,30,19,3,12,33,2,10,9,20,18,25,7,26,13,
4,24,27,16,23,17,8,28,21,5,34,29,11,22, 36,15,1,35,31,32,14).
Решение, найденное далее модифицированным методом покоординатного спуска значительно лучше:
штраф = 0,000, fmn = 171192.000; х(1) = (6,1,36,31,35,12,5,25,30,2,32,33,7,3,34,
18,24,4,19,29,13,8,11,9,26,28,10,20,14, 17,27,23,16,15,21,22).
Выводы
Разработан и реализован модифицированный метод покоординатого спуска для решения задачи оптимального размещения элементов электронной аппаратуры. Особенностью метода является отсутствие функции штрафа. Поиск автоматически осуществляется в пространстве перестановок без повторений. Вычислительные эксперименты показали высокие вычислительные качества предложенного метода.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
Литература
1. Справочник по автоматическому управлению / под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука,
1978. 832 с.
3. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 496 с.
4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.
5. Алгоритмы размещения элементов [Электронный ресурс]. https://helpiks.org/8-12562.html. (дата обращения 17.11.2020)
6. Николов Н.П. Размещение элементов электронных узлов методом многоуровневой декомпозиции и макромоделирования и реализация на его основе ППП для САПР РЭА: дис. ... канд. техн. наук. Львов, 1985.
7. Горбачев А.А. Методы и алгоритмы пространственной трассировки печатных плат: дис. ... канд. техн. наук. Калининград, 1999.
8. Ильин В.Н., Фролкин В.Т., Бутко А.И. Автоматизация схемотехнического проектирования: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1987. 368 с.
9. Эйдес А.А. Алгоритмы; размещения элементов радиоэлектронной аппаратуры, моделирующие процесс трассировки // Автоматика и телемеханика. 1984. № 12. С. 145 - 150.
10. Меркухин Е.Н. Оптимизация характеристик надежности путем рационального размещения электронных элементов на плате с теплопроводами // Эл. науч. журн. Современные проблемы науки и образования. 2015. № 2-2. URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=22183 (дата обращения: 17.11.2020).
References
1. Manual for automatic control / Edited by A.A. Krasovsky, Moscow: Nauka. 1987. 712 p.
2. Korn G., Korn T. Handbook of mathematics. Moscow: Nauka. 1978. 832 p.
3. Trenogin V.A. Functional analysis. Moscow: Nauka. 1980. 496 p.
4. Vasiliev F.P. Numerical methods for solving extreme problems. Moscow: Nauka. 1988. 552 p.
5. Algorithms for placing elements [Electronic resource]. https://helpiks.org/8-12562.html (accessed 17.11.2020).
6. Nikolov N.P. Placement of elements of electronic nodes by multi-level decomposition and macromodeling and implementation on its basis of PPP for CAD REA. Dissertation for the degree of candidate of technical Sciences in the specialty 05.13.12 "computer-aided design Systems". Lviv, 1985.
7. Gorbachev A.A. Methods and algorithms for spatial tracing ofprinted circuit boards. Dissertation for the degree of candidate of technical Sciences in the specialty 05.13.12 "computer-aided design Systems". Kaliningrad, 1999.
8. Ilyin V.N., Frolkin V.T., Butko A.I. Automation of circuit design: Textbook for universities: Moscow: Radio and communications,
1987. 368 p.
9. Eides A.A. Algorithms for placing elements of radio-electronic equipment that model the tracing process // Automation and Remote Control. 1984. No. 12. Pp. 145 - 150.
10. Merkukhin E.N. Optimization of reliability characteristics by rational placement of electronic elements on a Board with heat pipes // Е-journal. Modern Problems of Science and Education. Surgery. 2015. No. 2-2. URL: http://science-education.ru/ru/article /view?id=22183 (accessed: 17.11.2020).
Поступила в редакцию /Received 16 ноября 2020 г. /November 16, 2020
