Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара Текст научной статьи по специальности «Математика»

"-'г

Ут+1 + £ «2>-1 +

+ а2) вт]

2 ту

т

(74 х)

Г+1

Ут = 1,12, Т=36, /я = 12. Доверительный интервал для прогнозных значений [2] имеет вид:

Ут+х

|-0.5о

тК

^Уг+х -

¡та

где а, - оценка дисперсии случайной составляющей, ^(Т-т) - квантиль уровня 1-0,5а распределения Стъюдента с числом степеней свободы Т-т, а = 0,05. Результаты прогнозирования и построения доверительного интервала изображены на рис. 5.

40000

зоооо

л

»оварь,.1906. . . .1нвлрк,.1997. . . ли парк, .1998. , , лщирь,1999

Рис. 5. График продаж с построенным прогнозом

прогнозные значения продаж утл» иа 1949г. докрнтслытИ иптсрмл

В результате анализа временного ряда продаж угля удалось построить модель, отображающую исходные данные. Сезонная составляющая модели была представлена в виде тригонометрического тренда, что привело к функции оценки спроса вида (4). С помощью этой модели на основе наблюдаемых

значений продаж за 1996-1998 гг. был построен прогноз спроса на уголь на 1999 г.

Важно отметить, что прогноз является основным ориентиром, позволяющим определить потребности потребителей, и неверный прогноз может повлечь за собой значительное уменьшение прибыли.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кендам М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981.

2. Глинский В.В., Ионии В.Г. Статистический анализ. М.: Филинъ, 1998.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 19 февраля 2000 г.

УДК 658.512

Ю.И. Параев

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ, ХРАНЕНИИ И СБЫТЕ ТОВАРА

Обсуждается задача об управлении процессом производства, хранения и сбыта товара с точки зрения теории оптимального управления. В отличие от работ [1, 2] вводится дополнение в математическую модель рассматриваемой задачи, связанное с учетом количества средств у потребителя, предназначенных для покупки товара. Основной результат состоит в том, что при конечных начальных средствах время производства товара уменьшается, причем тем больше, чем меньше количество начальных средств.

В настоящее время возможность использования математических методов для исследования экономических процессов, в том числе и при решении задач маркетинга, зависит от разработанности, сложности и адекватности соответствующих математических моделей. В [1] приведена и проанализирована динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товаров повседневного спроса. В [2] эта модель несколько уточнена, и для нее решена задача об оптимальном управлении процессом производства, хранения и сбыта товара. В настоящей работе вводится дополнение в математическую модель рассматриваемой задачи, связанное с учетом количества средств у потребителя, предназначенных для покупки товара. Для простоты проведения анализа влияния вводимой характеристики на решение задачи рассматривается упрощенная модель с товаром неограниченного спроса.

1.Постановка задачи

Пусть z(t) - количество товара на складе производителя, w(t) - количество средств у потребителя, предназначенных для покупки данного товара. В отличие от [2] здесь отсутствует переменная v(i) - количество товара у потребителя, что допустимо при предположении, что товар имеет неограниченный спрос. Изменение введенных величин во времени можно описать уравнениями:

z = и-Р, z(0) = 0, w = -сР, и>(0) = w0, (1.1) где idj) - темп производства; P(t) - темп продажи, т.е. u(t)At - количество товара, произведенного за время At, P(t)At - количество товара, проданного за это же время; с{() - текущая цена товара. Так как здесь речь идет о товаре неограниченного спроса, то, как следует из [2], функция P(f) не зависит от количества товара у покупателя. Поэтому выберем ее в виде

P(t)=z(t)N{c(t), w(0}, (1-2)

где N(c,w) - зависимость покупательной способности потребителя от цены товара и имеющихся средств, которую выберем в виде

N(c, w)=noexp {—c(/)wq /w(t)}, (1.3)

где по - некоторый параметр, который можно назвать коэффициентом покупательной способности. Из (1.3) видно, что с уменьшением Ц/) покупательная способность падает. При Wo=a> имеем н»</и{/)=1 и JV(c,H>)=«oexp{-i(0}> т.е. получается случай, рассмотренный в [1,2].

Предположим, что должно выполняться условие

и(')е[0,ио], (1.4)

где щ - максимально возможный темп производства. Пусть весь процесс продолжается в течение конечного интервала времени [0,7]. Общий доход

J(T) = )[c(t)P(t)-u(t)-kz(t)]dt, (1.5) о

где к- коэффициент затрат на хранение товара (¿20).

Получается стандартная задача из теории оптимального управления: найти такие функции с(0 и u(t) на интервале времени [0,7], при которых функционал (1.5) максимален. Очевидно, что если производство не включается, то J=0. Такое решение назовем тривиальным. При решении данной задачи нужно также найти ограничения на параметры задачи пьщк и Т, при которых можно получить оптимальное решение, отличное от тривиального и такое, что Д7)>0.

2. Применение принципа максимума JI.C. Понтрягина

Применение принципа максимума JI.C. Понтрягина состоит из выполнения следующих этапов. Вначале составляется функция Гамильтона

H(z,wj>ij)2,u,c)=p \(u-P)-p2cP-cP+u+kz=

=м(р1+1Нр.+(1+Л)с)/,+&, (2.1) где pi(t) и p£t) - вспомогательные переменные. Минимум функции H по и с учетом (1.4) достигается при

* Г0,еслиА(/) + 1>0, и \Ио,еслиР|(0+1<0. ^

Минимум функции Я по с(0 с учетом (1.3) достигается при

"о !+/>:(') Wo I <7(0/ где q(t)=w(t)( 1 +p2(t))/wQ. При этом должно выполняться условие

дс w(t) w2(t)

Здесь

N' (t)=N(с',w)-b expj^J,

P > 0. (2.4)

(2.5)

где Ь=по/е. После подстановки (2.2) и (2.3) в (2.1) получаем гамильтониан

=и*(0(Р1+1М<7^(0-*)г=соп81. (2.6) Переменные и р2(1) должны удовлетворять уравнениям

р,=-д Н*/дг=ЧЫ' -к, рх(Г) = 0. (2.7)

__дН' ( 1 +р,

Рг~~

Pi

р. _ Ч~Р\ р' 2 '

W

(2.8)

dw ^ w0 w(/)J А(7> 0.

Основная проблема при решении задач оптимального управления - нахождение начальных значений Pi(0) и/>2(0), для которых существует решение краевой задачи для уравнений (1.1), (2.7) и (2.8).

3. Предварительные результаты

Из уравнений (1.1) и (2.8) можно получить, что производная величины q равна нулю, т.е. <y=const. При этом

q=\+p2(0)=w(T)/w0. (3.1)

Так как всегда должно выполняться условие 0< <w(i)<w0, то 0<д<1. Если и>о=°о, и<7)=оо, <7=1 и p2(t)=0. Этот случай рассмотрен в [2]. Получается, что параметр q тем меньше, чем больше средств тратится на покупку товара. Ниже будет показано, что параметр q монотонно увеличивается от 0 до 1 при увеличении w0 от 0 до Из последнего также следует, что условие (2.4) всегда выполняется. Отличие данной работы от [2] сводится к появлению в уравнениях постоянного параметра q<\ при конечных значениях w0. То, что этот параметр постоянный, позволяет почти полностью повторить результаты работы [2].

Решение уравнения (2.7) можно записать в виде

(3.2)

(3.3)

где

^^^(expj^J.,).

При ¿H)

Щу=\ЩТч) и F(0 = ~Ь ехр

>0,

т.е. функция ЯО монотонно убывает до 1. Из (3.2) следует, что

Га(Г-О1

ь \к

(3-4)

4. Необходимые условия существования оптимального решения

Как следует из (2.2), оптимальное управление производством является релейным, т.е. производство либо включается на полную мощность, либо останавливается. Включения или остановки производства происходят в моменты времени, когда выполняется равенство

рАОг-1, (4.1)

т.е. когда функция р^О пересекает уровень -1. Подставляя (32) в (4.1), получаем единственный корень

и=т-пд\ (4.2)

дЪ-к

где Г*(д) = -1п-

к дЬ-кехр {1/<у}

=(ехр {1 /<у}—1 Отметим, что дЪ-к

(если к=0, то Р(дУ=

-ехр{1/<7},

(4.3)

дЬ-кехр{1/д} = £ ехр{-1/9}.

Таким образом, ^ - момент остановки протводства. Из требования, чтобы 0ЯХ<Т, т.е. чтобы в начальный момент времени производство включалось, получаем первое необходимое условие оптимальности>

Т>Р(д). (4.4)

Смысл этого условия в том, что величина Т должна быть достаточно большой, чтобы было выгодно начинать производство. Как показывает анализ, функция /*(<?) монотонно увеличивается до бесконечности при уменьшении д до нуля. Поскольку время Т предполагается конечным, то для выполнения условия (4.4) необходимо, чтобы величина д была ограничена снизу. В частности при к=0, должно выполняться условие д>М\п(\+ЬТ).

Далее, чтобы функция р,(/) переходила из значения _р1(/1)=-1 в значение р\(Т)=0, необходимо, чтобы в точке *1 производная этой функции была положительной. Учитывая (2.7) и (4.3), получаем второе необходимое условие оптимальности:

*<?6ехр{-1/9} или (4.5)

Можно проверить, что если условие (4.5) выполняется, то производная функции р\({) всегда положительна и эта функция монотонно возрастает на интервале [0,7]. Можно также проверить, что при выполнении условия (4.5) аргумент логарифма в (4.2) всегда больше 1. Смысл условия (4.5) заключается в том, что для получения оптимального решения затраты на хранение товара должны быть достаточно малы. Если правую часть уравнения (2.7) умножить на г, то видно, что производная функции />1(0 будет всегда положительной, если выполняется условие дР(/)>кг(1), т.е. затраты на хранение должны быть меньше темпа продажи, умноженного на д. Таким образом, получается, что при оптимальном решении на интервале [0,^] производство работает на максимальную мощность, а на интервале [/ь7] 154

производства нет, а идет только продажа. Все это естественно, так как не следует производить лишний товар. Можно отметить, что длина интервала [гь7] не зависит от величины Т. Если /,>0, то произведенное количество товара равно При этом отношение времени производства ^ ко всему интервалу Гравно

д-к

(4.6)

Т кЬТ д-к ехр{1/<дг}'

где к =к/Ь. Как функция от к отношение ^/Г достигает наибольшего значения при к=0, когда нет затрат на хранение товара. В этом случае имеем

'1(<7.0)=1_ехр{1/<7}-1

(4.7)

Т ЪТ

Как функция от д отношение 1\/Т достигает наибольшего значения при д= 1. Это значение равно

т кЬТ 1 -ке Анализ показывает, что при уменьшении параметра д отношение г^Т убывает до 0. Зависимость гх(д, к УТ от д представлена на рис. 1 для разных значений к (кривая 1 -при к = 0; 2-при к = 0,1; 5-при к = 0,2). Видно,что с уменьшением параметра д при фиксированном значении Г время производства /1 и произведенное количество товара щЦ уменьшаются.

•Цт Г

Рис. 1

5. Другие результаты

На всем интервале [0,7] гамильтониан постоянен и из (2.6) получаем, что при оптимальном управлении

(5.1)

Рх (0-^,(0)

где

5(/) =

дМ (0-к р( 0) + 1

при 0</</,, при < г < Т.

дМ'О) -к

Отсюда на основании (22) имеем /*(0=иоЯ(0Л'*(г). Подставляя (2.3) в (1.1), получаем уравнение для изменения во времени средств потребителя

\у = - и>-

1-

РЛО)

Я

И' (05(0, м<0) = 1*0.(5.2)

Решение этого уравнения можно записать в виде

w(t) = w0 ехр

АО)},

где

(5.3)

(5.4)

IV(г,0) = Г| 1 — р(/)ЛГ ♦ (/)<Л. оЧ Я )

Последние выражения определяют решение задачи, но они зависят от неизвестного пока параметра Чтобы его найти, нужно решение (5.3) подставить в (3.1) и получить уравнение для вычисления д:

In q = -=2-W(T,0).

w„

(5.5)

Нужно найти корень этого уравнения, лежащий в интервале [0,1], с учетом неравенства (4.4). Проще решить обратную задачу: найти значение

ZSL -

W(T, 0) ln(l/<?)

(5.6)

как функцию q на интервале [0,1] с учетом (4.4).

У01и0Т

Рис.2

Для иллюстрации рассмотрим простейший случай, когда к=0, т.е. отсутствуют затраты на хранение товара. В этом случае выражение (5.6) принимает вид "о _ ^(ОХ'п ^(0) -1) - )(1п ) -1) ЬТ Щ/д)

причем 1Щ=\+Ь1; 1пЖг,>=1/^, /1(/,)=ехр{1/<7}. Заметим, что щТ- количество товара, произведенного за время Т, если бы производство постоянно работало. В результате табуляции последнего выражения получается зависимость параметра д от величины м^щТ, которая представлена на рис. 2 для разных значений ЬТ (кривая 1 -при ЬТ=е\ 2 - при ЬТ= 10; 3 - при ЬР=50\ 4- при ¿7КЗОО).

Можно также протабулировать функцию 1\1Т при к=0 и при различных значениях q - (см. формулу (4.7). В результате можно получить зависимость 1{1Т от м>о/и0Т, которая представлена на рис. 3.

vjuj

Рис.3

и0Т

Из рис. 3 видно, что при малых значениях и»,, время производства товара также оказывается малым.

Заключение

В работе проанализировано влияние начального количества средств у потребителя, предназначенных дня покупки товара, на решение задачи об оптимальном управлении процессом производства, хранения и сбыта товара Анализ показал, что введение этой величины не привело к существенному изменению содержания решения. Основной результат состоит в том, что при конечных начальных средствах время производства товара уменьшается, причем тем больше уменьшается, чем меньше количество начальных средств. Это легко объясняется - не следует производить лишний товар, который в дальнейшем не будет распрод ан.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горский A.A.. Колпакова И.Г., Локшин Б.Я. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товаров повседневного

спроса // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 1. С. 144-148.

2. Параев Ю.И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара // Изв. РАН. Теория и системы управления.

2000. №2. С. 103-107.

Статья поступила в научную редакцию 15 апреля 2000 г.