Научная статья на тему 'Решение задачи о движении тела в поле тяготения с учетом сил инерции'

Решение задачи о движении тела в поле тяготения с учетом сил инерции Текст научной статьи по специальности «Теоретическая геодезия»

CC BY
490
73
Поделиться

Аннотация научной статьи по геодезии и картографии, автор научной работы — Нагибин Г. Е.

Показана возможность решения задачи с использованием представления в векторной форме силы инерции, а также её составляющих центробежной и поворотной. На основе выражения для вектора Лапласа составлено векторное уравнение, которое можно трактовать как условие направленного действия сил инерции и тяготения, результирующая которых равна неизменяемой по направлению силе. Это позволяет получить уравнения для решения задачи невозмущенного кеплеровского движения, рассчитывать параметры траектории и привести в удобной и относительно простой форме зависимости изменения координат от времени.

SOLUTION OF THE PROBLEM ON MOTION OF BODY IN THE GRAVITATION FIELD IN VIEW OF INERTIA FORCES

The solubility of the problem with use of presentation in the vector form of inertia force, as well as its components centrifugal and rotary, is shown. On the basis of the expression for Laplace's vector a vector equation is worked out which can be treated as a condition of the directed action of inertia and gravitation forces, resultant of which is equal to the invariable towards the force. It allows us to obtain equations for solution of the problem of undisturbed Keplerian motion, to calculate trajectory parameters and to reduce time dependences of coordinate change in a convenient and relatively simple form.

Текст научной работы на тему «Решение задачи о движении тела в поле тяготения с учетом сил инерции»

УДК 521.1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ С УЧЕТОМ СИЛ ИНЕРЦИИ

Г.Е. Нагибин

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск E-mail: kafedra@nifti.krasnoyarsk.ru

Показана возможность решения задачи с использованием представления в векторной форме силы инерции, а также её составляющих - центробежной и поворотной. На основе выражения для вектора Лапласа составлено векторное уравнение, которое можно трактовать как условие направленного действия сил - инерции и тяготения, результирующая которых равна неизменяемой по направлению силе. Это позволяет получить уравнения для решения задачи невозмущенного кеплеровского движения, рассчитывать параметры траектории и привести в удобной и относительно простой форме зависимости изменения координат от времени.

Ключевые слова:

I. Известно, что при движении тела в центральном поле с потенциалом и=-а/г, наряду с моментом импульса Ь и полной энергией Е, сохраняется векторная величина / - вектор Лапласа [1] или вектор Рунге-Ленца [2].

(1)

a-r

f = v х L--.

r

F =-

a - r

(2)

- это сила притяжения (или отталкива-

ния в зависимости от знака а).

Fl = а/ г2.

V х Ь

—^ - есть величина, определяющая силу инер-г

ции ¥1.

Если разложить вектор скорости V на радиальную составляющую Vг и перпендикулярную радиус-вектору V,, то получим общепринятые составляющие силы инерции:

F =

v х L v х L vr х L

(3)

r r r Обозначим |vj=r, |^ф=гф. v„ х L

2 - данное выражение есть вектор цен-

F2 = ф

r

тробежной силы инерции.

F2 = шгФ 2 = L2/,

V Vг х Ь

гъ =-г—2— - этот вектор определяет величину и г

направление поворотной силы инерции (сила Ко-риолиса). В3=гЬ/г2.

V X Ь а■ г

суммарная радиаль-

Вектор / лежит в плоскости орбиты, и его направление совпадает с линией апсид - прямой, соединяющей центр силового поля с перицентром траектории движения тела. Физический смысл, как силовой характеристики для вектора / можно получить следующим образом.

Разделим выражение (1) на г2 и получим векторное уравнение, каждый член которого имеет размерность силы.

/ V х Ь а ■ г

F = F + F =

1 4 1 2 т 1 1

r r ная составляющая сил.

F4 = L2/mr3 -a/r2.

f

F5 =— - суммарная составляющая силы притяже-r

ния и силы инерции.

F = fir2.

Действие указанных сил показано на рисунке.

mr

Рисунок. Силы, действующие на тело при движении в центральном поле

Таким образом, представление и использование сил инерции в форме (3) позволяет рассматривать выражение (2) как условие направленного действия сил, когда суммарная составляющая сил притяжения и инерции изменяется только по величине (обратно пропорционально квадрату расстояния) и не изменяется по направлению.

3

r

Известия Томского политехнического университета. 2008. Т. 313. № 2

Записав уравнение (2) в проекциях на полярные оси, получим достаточно простые уравнения для решения задачи о движении тела в центральном поле:

/■ 008р = гф ■ Ь -а; /■ БШф = г- Ь. (4)

Переносим в первом уравнении а в левую часть и, разделив второе уравнение на первое, получим:

ёг / Бшр ; (^г ф / ыпрёр

гёр а + /соър' ( г Р а + /соър'

где p = -

а ■ m

1 + e ■ cos ф

F f

e = — = — - эксцентриситет тра-F а

F3

tg^o = TT =

ro ■L

отсюда ф0 = arctg

F4 L / mr0 - а

r0 ■L

L / mr0 — а

Используя условие (2), можно получить уравнение движения тела в декартовой системе координат. Записав (2) в проекциях на координатные оси х,у, после необходимых преобразований получим уравнение кривой второго порядка в декартовой системе координат с центром в фокусе, которое имеет следующий вид:

( x — eaf — y'2_ = a2 ap

(5)

ln r =— 1п(а + f cos ф) .

Ir0 |ф0

Таким образом, для траектории движения получаем известное уравнение кривой второго порядка в полярных координатах.

r = r0(1 + e ■cos Ф0) 1 + e ■ cosp

Если отсчет угла производить от линии апсид, в этом случае r0=rmin, и, как будет показано ниже,

Р

r =-

ектории, определяемый отношением суммарной результирующей силы к силе притяжения.

Отсюда имеем известные условия для траекторий движения:

• эллиптического - /<а, е<1);

• гиперболического - /5>/! (/>а, е>1);

• параболического - /5=/! (/=а, е=1).

Для определения положения орбиты в её плоскости, т. е. для определения углового расстояния от перицентра до начального радиус-вектора г0, можно использовать формулу:

где а=р/(е2-1).

Действительно, при е<1 слева в ур. (5) будет сумма квадратов - и это есть уравнение эллипса.

При е>1 остается разность квадратов - уравнение гиперболы.

При е=1, после подстановки этого значения и соответствующих преобразований, выражение (5) переходит в уравнение параболы:

у2 =-(2 рх - р2).

Это показывает, что уравнение (2) является инвариантным по отношению к повороту координат.

II. Зависимость г(/) также определяется из уравнений (4). Чтобы избавиться от р, возведем эти уравнения в квадрат, сложим их и получим следующее выражение

тЬгёг

dt =

(6)

Здесь также использовано выражение для Ь=ш12р.

Разрешенные и граничные значения, которые может принимать радиус, и интеграл этого выражения зависит от знака величины (/2-а2).

1. /<а (е<1) - имеем эллиптическое движение. Действительно, дискриминант квадратного трехчлена в (6) всегда положителен (либо равен нулю),

Б = 4т2 /2 Ь4

и г может принимать значения в пределах от гтш до гшш, которые, как следует из (6), равны:

L

Четверть, в которой лежит г0, зависит от знаков, которые имеют / и /4. Знаки по четвертям, которые принимает /3, равны (+,+,-,-), для Д - (+,-,-,+).

Если рассматривать замкнутое (эллиптическое движение) по четвертям, то с точки зрения рассматриваемых здесь сил ситуация выглядит следующим образом. В первой и четвертой четвертях силы инерции являются преобладающими и препятствуют падению тела на силовой центр. Во второй и третьей четвертях преобладающее воздействие оказывает сила притяжения.

Параметр р определяет расстояние и точку на траектории, в которой радиальная составляющая силы /4=0, т. е. сила притяжения и центробежная сила инерции уравновешивают друг друга.

rmin =-

Р .

L

г = ■

m(f +а) 1 + e т(а — f) 1— e

Выделяя в (6) полный квадрат под знаком ради-

кала, получим:

dt =

rdr

а ,Ja2e2 — (r — a )2

где a =

1 — e2

Введем новую переменную U=(r—a)/ae,

dt = a % m ■ (eU+)dU .

U2

Интегрирование этого выражения окончательно дает:

t = а 32./т (агтат и - е-]1 -и2) V а

(7)

Безразмерный параметр V изменяется в пределах от -1 до +1.

Выполняя интегрирование от гтш до гпш из (7), получим выражение для периода обращения (третий закон Кеплера):

Т = а Упп, .

V а

Для вычисления ф) можно также использовать разложение (7) в ряды по степеням V.

2. />а (е>1) в этом случае, как следует из (6), г может изменяться от г^ до ж (гиперболическое движение).

Ь р

При этом гш1п = -

т(/ +а) е +1

Выделяя полный квадрат в (6), оно приводится

к виду:

Л =

а т

а

гСг

^(г + а - а '2 е2

где а =

Р . (8)

е2-1

Используем также новую переменную и'=(г+а)/а'е, подстановка которой в (8) дает следующую зависимость:

t = а '■

[е^и'2-1 - 1п и'+>/и,2-1

а

(9)

3. Для параболического движения (когда е=1) интегрирование уравнения (6) дает следующее выражение:

t = 1т(и,,+ 1^2и "-1 / \ а

где и" = г/р. (10)

р=-—■

Используя условие (т^+т^/^0), и рассматривая движение тела 1 относительно центра масс, можно силу В заменить на эквивалентную силу Вь действующую на него из центра масс (ВХ=В).

^ =-в-

где

/л1 = т//(т1 + т2)2.

Аналогично силу В, действующую на тело 2, заменяем эквивалентной силой В2, также действующей на него из центра масс (В2=В).

где

¡л2 = т//(т1 + т2)2.

Общим для уравнений (7), (9), (10) является то, что время движения пропорционально характеристическому параметру орбиты в степени 3/2.

III. Аналогичный метод расчета можно использовать для решения задачи при движении двух тел вокруг общего центра масс.

Если два тела массой т1 и т2 на расстоянии г взаимодействуют между собой с силой В

Таким образом, зная силы В1 и В2 и начальные условия (г10, vw, г20, у20), можно решить задачу для каждого тела по приведенному выше способу.

Рассматриваемый в задаче метод решения относится к описанию невозмущенного кеплеровского движения, т. е., зная начальные условия и определив вектор/ можно получить решение задачи [1]. К тому же в каждый момент времени будет известна результирующая сила В5=//гг. В этом случае можно попытаться решать задачу возмущенного движения следующим образом.

Разбивая траекторию движения на малые участки, в пределах которых возмущающую силу можно считать постоянной и, добавляя её к результирующей силе //г2, можем таким образом вводить поправки на изменение вектора / Исходя из новых значений вектора / рассчитываем (в пределах малого участка) новые параметры траектории движения тела.

Предлагаемый способ требует, конечно, более детальной расчетной и экспериментальной проверки.

Силы инерции в форме (3) не являются в принятом понимании д'аламберовыми силами инерции, и принцип Д'Аламбера выполняется для них только при условии /=0. Их введение может быть оправдано тем, что в такой форме они легко определяются (зная значение скорости тела V) относительно любой точки пространства. Это может оказаться удобным для решения ряда задач с использованием силовых векторных уравнений.

2

и

и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 2. Жирнов Н.И. Классическая механика. - М.: Просвещение,

1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. 1980 - 330 с.

- М.: Наука, 1975. - 800 с.

Поступила 23.05.2007г.