Решение задачи о движении тела в поле тяготения с учетом сил инерции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 521.1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ С УЧЕТОМ СИЛ ИНЕРЦИИ

Г.Е. Нагибин

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск E-mail: kafedra@nifti.krasnoyarsk.ru

Показана возможность решения задачи с использованием представления в векторной форме силы инерции, а также её составляющих - центробежной и поворотной. На основе выражения для вектора Лапласа составлено векторное уравнение, которое можно трактовать как условие направленного действия сил - инерции и тяготения, результирующая которых равна неизменяемой по направлению силе. Это позволяет получить уравнения для решения задачи невозмущенного кеплеровского движения, рассчитывать параметры траектории и привести в удобной и относительно простой форме зависимости изменения координат от времени.

Ключевые слова:

I. Известно, что при движении тела в центральном поле с потенциалом и=-а/г, наряду с моментом импульса Ь и полной энергией Е, сохраняется векторная величина / - вектор Лапласа [1] или вектор Рунге-Ленца [2].

(1)

a-r

f = v х L--.

r

F =-

a - r

(2)

- это сила притяжения (или отталкива-

ния в зависимости от знака а).

Fl = а/ г2.

V х Ь

—^ - есть величина, определяющая силу инер-г

ции ¥1.

Если разложить вектор скорости V на радиальную составляющую Vг и перпендикулярную радиус-вектору V,, то получим общепринятые составляющие силы инерции:

F =

v х L v х L vr х L

(3)

r r r Обозначим |vj=r, |^ф=гф. v„ х L

2 - данное выражение есть вектор цен-

F2 = ф

r

тробежной силы инерции.

F2 = шгФ 2 = L2/,

V Vг х Ь

гъ =-г—2— - этот вектор определяет величину и г

направление поворотной силы инерции (сила Ко-риолиса). В3=гЬ/г2.

V X Ь а■ г

суммарная радиаль-

Вектор / лежит в плоскости орбиты, и его направление совпадает с линией апсид - прямой, соединяющей центр силового поля с перицентром траектории движения тела. Физический смысл, как силовой характеристики для вектора / можно получить следующим образом.

Разделим выражение (1) на г2 и получим векторное уравнение, каждый член которого имеет размерность силы.

/ V х Ь а ■ г

F = F + F =

1 4 1 2 т 1 1

r r ная составляющая сил.

F4 = L2/mr3 -a/r2.

f

F5 =— - суммарная составляющая силы притяже-r

ния и силы инерции.

F = fir2.

Действие указанных сил показано на рисунке.

mr

Рисунок. Силы, действующие на тело при движении в центральном поле

Таким образом, представление и использование сил инерции в форме (3) позволяет рассматривать выражение (2) как условие направленного действия сил, когда суммарная составляющая сил притяжения и инерции изменяется только по величине (обратно пропорционально квадрату расстояния) и не изменяется по направлению.

3

r

Известия Томского политехнического университета. 2008. Т. 313. № 2

Записав уравнение (2) в проекциях на полярные оси, получим достаточно простые уравнения для решения задачи о движении тела в центральном поле:

/■ 008р = гф ■ Ь -а; /■ БШф = г- Ь. (4)

Переносим в первом уравнении а в левую часть и, разделив второе уравнение на первое, получим:

ёг / Бшр ; (^г ф / ыпрёр

гёр а + /соър' ( г Р а + /соър'

где p = -

а ■ m

1 + e ■ cos ф

F f

e = — = — - эксцентриситет тра-F а

F3

tg^o = TT =

ro ■L

отсюда ф0 = arctg

F4 L / mr0 - а

r0 ■L

L / mr0 — а

Используя условие (2), можно получить уравнение движения тела в декартовой системе координат. Записав (2) в проекциях на координатные оси х,у, после необходимых преобразований получим уравнение кривой второго порядка в декартовой системе координат с центром в фокусе, которое имеет следующий вид:

( x — eaf — y'2_ = a2 ap

(5)

ln r =— 1п(а + f cos ф) .

Ir0 |ф0

Таким образом, для траектории движения получаем известное уравнение кривой второго порядка в полярных координатах.

r = r0(1 + e ■cos Ф0) 1 + e ■ cosp

Если отсчет угла производить от линии апсид, в этом случае r0=rmin, и, как будет показано ниже,

Р

r =-

ектории, определяемый отношением суммарной результирующей силы к силе притяжения.

Отсюда имеем известные условия для траекторий движения:

• эллиптического - /<а, е<1);

• гиперболического - /5>/! (/>а, е>1);

• параболического - /5=/! (/=а, е=1).

Для определения положения орбиты в её плоскости, т. е. для определения углового расстояния от перицентра до начального радиус-вектора г0, можно использовать формулу:

где а=р/(е2-1).

Действительно, при е<1 слева в ур. (5) будет сумма квадратов - и это есть уравнение эллипса.

При е>1 остается разность квадратов - уравнение гиперболы.

При е=1, после подстановки этого значения и соответствующих преобразований, выражение (5) переходит в уравнение параболы:

у2 =-(2 рх - р2).

Это показывает, что уравнение (2) является инвариантным по отношению к повороту координат.

II. Зависимость г(/) также определяется из уравнений (4). Чтобы избавиться от р, возведем эти уравнения в квадрат, сложим их и получим следующее выражение

тЬгёг

dt =

(6)

Здесь также использовано выражение для Ь=ш12р.

Разрешенные и граничные значения, которые может принимать радиус, и интеграл этого выражения зависит от знака величины (/2-а2).

1. /<а (е<1) - имеем эллиптическое движение. Действительно, дискриминант квадратного трехчлена в (6) всегда положителен (либо равен нулю),

Б = 4т2 /2 Ь4

и г может принимать значения в пределах от гтш до гшш, которые, как следует из (6), равны:

L

Четверть, в которой лежит г0, зависит от знаков, которые имеют / и /4. Знаки по четвертям, которые принимает /3, равны (+,+,-,-), для Д - (+,-,-,+).

Если рассматривать замкнутое (эллиптическое движение) по четвертям, то с точки зрения рассматриваемых здесь сил ситуация выглядит следующим образом. В первой и четвертой четвертях силы инерции являются преобладающими и препятствуют падению тела на силовой центр. Во второй и третьей четвертях преобладающее воздействие оказывает сила притяжения.

Параметр р определяет расстояние и точку на траектории, в которой радиальная составляющая силы /4=0, т. е. сила притяжения и центробежная сила инерции уравновешивают друг друга.

rmin =-

Р .

L

г = ■

m(f +а) 1 + e т(а — f) 1— e

Выделяя в (6) полный квадрат под знаком ради-

кала, получим:

dt =

rdr

а ,Ja2e2 — (r — a )2

где a =

1 — e2

Введем новую переменную U=(r—a)/ae,

dt = a % m ■ (eU+)dU .

U2

Интегрирование этого выражения окончательно дает:

t = а 32./т (агтат и - е-]1 -и2) V а

(7)

Безразмерный параметр V изменяется в пределах от -1 до +1.

Выполняя интегрирование от гтш до гпш из (7), получим выражение для периода обращения (третий закон Кеплера):

Т = а Упп, .

V а

Для вычисления ф) можно также использовать разложение (7) в ряды по степеням V.

2. />а (е>1) в этом случае, как следует из (6), г может изменяться от г^ до ж (гиперболическое движение).

Ь р

При этом гш1п = -

т(/ +а) е +1

Выделяя полный квадрат в (6), оно приводится

к виду:

Л =

а т

а

гСг

^(г + а - а '2 е2

где а =

Р . (8)

е2-1

Используем также новую переменную и'=(г+а)/а'е, подстановка которой в (8) дает следующую зависимость:

t = а '■

[е^и'2-1 - 1п и'+>/и,2-1

а

(9)

3. Для параболического движения (когда е=1) интегрирование уравнения (6) дает следующее выражение:

t = 1т(и,,+ 1^2и "-1 / \ а

где и" = г/р. (10)

р=-—■

Используя условие (т^+т^/^0), и рассматривая движение тела 1 относительно центра масс, можно силу В заменить на эквивалентную силу Вь действующую на него из центра масс (ВХ=В).

^ =-в-

где

/л1 = т//(т1 + т2)2.

Аналогично силу В, действующую на тело 2, заменяем эквивалентной силой В2, также действующей на него из центра масс (В2=В).

где

¡л2 = т//(т1 + т2)2.

Общим для уравнений (7), (9), (10) является то, что время движения пропорционально характеристическому параметру орбиты в степени 3/2.

III. Аналогичный метод расчета можно использовать для решения задачи при движении двух тел вокруг общего центра масс.

Если два тела массой т1 и т2 на расстоянии г взаимодействуют между собой с силой В

Таким образом, зная силы В1 и В2 и начальные условия (г10, vw, г20, у20), можно решить задачу для каждого тела по приведенному выше способу.

Рассматриваемый в задаче метод решения относится к описанию невозмущенного кеплеровского движения, т. е., зная начальные условия и определив вектор/ можно получить решение задачи [1]. К тому же в каждый момент времени будет известна результирующая сила В5=//гг. В этом случае можно попытаться решать задачу возмущенного движения следующим образом.

Разбивая траекторию движения на малые участки, в пределах которых возмущающую силу можно считать постоянной и, добавляя её к результирующей силе //г2, можем таким образом вводить поправки на изменение вектора / Исходя из новых значений вектора / рассчитываем (в пределах малого участка) новые параметры траектории движения тела.

Предлагаемый способ требует, конечно, более детальной расчетной и экспериментальной проверки.

Силы инерции в форме (3) не являются в принятом понимании д'аламберовыми силами инерции, и принцип Д'Аламбера выполняется для них только при условии /=0. Их введение может быть оправдано тем, что в такой форме они легко определяются (зная значение скорости тела V) относительно любой точки пространства. Это может оказаться удобным для решения ряда задач с использованием силовых векторных уравнений.

2

и

и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 2. Жирнов Н.И. Классическая механика. - М.: Просвещение,

1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. 1980 - 330 с.

- М.: Наука, 1975. - 800 с.

Поступила 23.05.2007г.