Решение задачи нестационарной электрохимической обработки плоским электрод-инструментом с ограниченной неровностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Уфа : УГАТУ, 2011

^BeahbhtoK,

Т. 15, № 1 (41). С. 113-118

МАШИНОСТРОЕНИЕ

В. П. Житников, Р. Р. Муксимова

УДК ???

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ПЛОСКИМ ЭЛЕКТРОД-ИНСТРУМЕНТОМ С ОГРАНИЧЕННОЙ НЕРОВНОСТЬЮ

Задачи моделирования нестационарного электрохимического формообразования сводятся к решению двух краевых задач для определения аналитических функций комплексного переменного: конформного отображения параметрической плоскости на физическую и частных производных по времени координат точек межэлектродного пространства. Каждая из функций ищется в виде суммы известной функции с особенностями и двух неизвестных функций, определяемых с помощью интеграла Шварца. Одна из неизвестных функций предназначена для описания неровности электрода-инструмента, вторая - обрабатываемой по-верхности.Представлены результаты численного решения задач с электродом в виде сегмента круга и пластины. Нестационарное формообразование; аналитические функции; установление стационарных конфигураций

ВВЕДЕНИЕ

Для решения задач нестационарной электрохимической обработки применяются методы конечных [1] и граничных [2-4] элементов. При этом, как отмечается в [4], применение численных методов, как правило, затрудняется неустойчивостью, в особенности при исследовании длительных процессов и при обработке электрод-инструментами (ЭИ), имеющими острые кромки. Это приводит к необходимости разработки новых методов, обладающих улучшенными свойствами.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ

Рассмотрим нестационарную задачу электрохимического формообразования с помощью ЭИ, представляющего собой плоскость с выступом или впадиной с горизонтальным размером R (рис. 1). ЭИ заглубляется в заготовку со скоростью Vet под прямым углом к поверхности. Начальный межэлектродный зазор (МЭЗ) равен й.

В результате растворения происходит сдвиг точек анодной границы, причем каждая из ее

т/ dW

точек движется со своей скоростью Vecm-----.

dZ

Асимптотическая величина зазора S(t) изменяется и на бесконечности слева и справа приближается к стационарной величине

Контактная информация: (347) 273-32-00 Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-65497.2010.9).

Sst =

kkj hU V„t '

(1)

где к - электрохимическая постоянная; кI - коэффициент, учитывающий средний ток за период (с учетом скважности импульсов и изменения свойств среды); ^ - выход по току. При

этом Vet = V

et К

St

ecm '

Рис. 1. Схема МЭП на физической плоскости

Задачи удобнее решать в безразмерном виде. Сведение к безразмерным величинам для данной задачи проведем следующим образом. В качестве характерного размера выберем величину стационарного зазора (1), который устанавливается при обработке (при обработке поверхности с горизонтальной асимптотой эта величина зазора устанавливается на бесконечности слева и справа).

Перейдем к безразмерным величинам г, х, у, X и V, где

Z

z = -

S.,

х = — у = Y

S

S„

V

t = -

S.

St

S 2

SSt

U

Тогда

у А

Лх

dУA _ 3

і

(3)

ест йх 5 (() *(т)'

При этом согласно (3) значение 5(х) должно удовлетворять следующим условиям:

х х 1

. _ 50 -Х + I ^ст (х1 К _ 50 -Х+ 1 ~( )ЛХ1’

о о .(Хі)

_ 1 + і

Лх .(х)

(4)

2. ЧИСЛЕННЫИ МЕТОД

В связи с эквипотенциальностью электродов форма области МЭП на плоскости комплексного потенциала представляет собой полосу (рис. 2).

Выберем в качестве параметрической переменную % = о + IV, область изменения которой представляет собой горизонтальную полосу единичной ширины (рис. 3, а). Конформное отображение параметрической плоскости % на плоскость комплексного потенциала определяется по формуле Ж = £//%.

Тогда согласно (2)

dw Эу , ™ _Ф + іу_ і% , — _ і, -^_ 1.

Эс

1?

(5)

В В' Є

о р

м N

-и 0

с

А А'

Рис. 2. Форма образа МЭП на плоскости комплексного потенциала

Представим функцию, конформно отображающую полосу плоскости % на область МЭП физической плоскости в неподвижной (относительно тела заготовки) системе координат в виде суммы

^ х) _ -і Ррг + 5(х)% + ^ (%• х) + ^ х) , (6)

о -ПХ1)

где za(х, т) - аналитическая в области О% и непрерывная в ее замыкании О% функция, опре-

деляющая отличие формы обрабатываемой поверхности от прямолинейной (при % = с+/ 1т 2а(х, т) = 0); ^с(Х, т) - аналитическая в области Б и непрерывная в ее замыкании функция,

предназначенная для описания выпуклости на ЭИ (при Х = Ю + /0 1т гс(Х, т) = 0). Функция гс(Х, т) определена на полосе единичной ширины Б (рис. 3, б). Связь Х и %

1 в%^~ 1 . 1 1 +

% = з1п рХ + г, Х = 31п

р ер — г'^ Р

Производные при х = о

ер%+ ерр

лх грс(г2рР - 1)

(1 + в^в^в РС + ерр )•

ЭХ грр(г2рс - 1) лр

Эх 1 1 + ерсерр)(е РС + ерр/ ) Лх

_ ю + і

лх (1 + ерюерр) (ерю+ ерр)

- еРю(е2рР -1) 5

ЭХ грр(г2рю_ 1 ир

Эх ■ грю(г2рр _ 1 Лх

(7)

(8)

(9)

Рис. 3. Формы образов МЭП на параметрических плоскостях % и Х

В силу (6), поскольку горизонтальный размер неровности ЭИ г = Яе 2Б,

vet _-

б

В. П. Житников, Р. Р. Муксимова • Решение задачи нестационарной электрохимической обработки...__________115

—

Г = — = 5(Т)Р(Т)+ ¿с (¥ х)+ ¿а (Р(х) + ^ Х) , (10)

где Ь(х) - образ точки Б, определяемый из этого уравнения. Из уравнения, получаемого дифференцированием (10), найдем производную

db

dt

Эza

Эг

(Ь(х)+г', х)+Эх ¿с(¥ х)+Ь(х)[-1 + ^(1) ]

(Р(х)+/, х)

Э%

(11)

Функция га(х, т) определяется следующим образом. Будем искать решение на границе % = = а + /0 в узловых точках ст (т = 0,... ,п). Заданными на каждом временном шаге будут значения 1т га(ат, т) = Ут. Примем 1т ¿а(ат т) = 0, поскольку га(а, т) быстро (как экспонента) убывает при а®¥. Значения 1т га(а, т) в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна, имеющего две непрерывные производные.

Для восстановления функции га(х, т) используем формулу Шварца с учетом того, что га(%, т) аналитическая функция, имеющая чисто действительные значения на прямой 1т% =1, и 1т га(а, т) = 1т ¿а(-а, т)

¥ йа

га (%, х) = йЬ Р% 11т ¿а(а, х)------ ----. (12)

Эг

ch pa - ch p%

Эг„

Производная Im —- (a, t) = - Im —- (- a, t)

Эа

Эа

тогда

Эг„

sh pa

da. (13)

—“ (%, х)= 11т—- (а, х) й% 0 Эа сЬ ра-сЬ р%

Функция гс(£, т) получается аналогичным образом. Будем искать решение на границе Х=Ю+/ в узловых точках Ют (т=0,...,п). Заданными будут значения 1т гс (ют, х) = ут . Примем

1т гс (юп, х) = 0 . Для восстановления функции гс(£, т) используем формулу Шварца с учетом того, что гс(Ъ>, т) аналитическая функция, имеющая чисто действительные значения на прямой 1тХ = 0, и 1т гс(ю + /, т) = 1т гс(-ю + /, т)

гс(Х, х) = йЬ рХ¥ 1т гс(ю+ /, х)—-—- . (14)

ch рю+ ch рХ

Производная

sh рю

Щт(X,t) = -J Im —(ю+i,t)

ЭХ о Эю ch рю+ch pX

dro.(15)

3. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

Нестационарная задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений и решается численным методом. При этом на каждом временном шаге т/ = /Ат, / =1,2,_,^ решаются задачи конформного ото-

бражения полосы параметрической плоскости х на физическую плоскость г. При этом задача конформного отображения в полном объеме решается только при х = 0. Значения переменных Ут (х/+1) и Ут (х/+1) на следующем шаге по времени вычисляются с помощью частных про-ЭУа (с х ) ЭУс

изводных

—— (a t )

Эг m jh diy"m,'j

— (wm, t j). Частные

производные по времени определяются при решении краевой задачи: найти частную производную — (%, х,) как аналитическую функцию Эх

комплексного параметра х, удовлетворяющую краевому условию [5]

Im

^ Эг Эг ^ Эa Эг

= - Im

Э^

Эa

(16)

Для вычисления производной (С, X ,)

Эх j

применяется способ, аналогичный применяемому для определения конформного отображения za(x, т;). Искомыми параметрами на каждом временном шаге Tj = jAT будут значения

ImЭ^а(am,Xf )= qm . Значения ImЭ^а(a,Xf)

Эх Эх

в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна Q(a, х).

Для восстановления (%, х,) используем фор-

Эх 1

мулу Шварца, аналогичную (12):

(С, х)= sh pcj Q(a, х^———. (17)

Эх 0 ch pa - ch p%

Для вычисления производной (X, х j)

Эх j

также применяется способ, аналогичный применяемому для определения конформного отображения zc(X, Tj). Искомыми параметрами на каждом временном шаге Tj = jAT будут значения

Im(т ,х)= rm . Значения Im^(ю,х,) Эх m j m Эх j в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна ^(ю,х).

Для восстановления (X, х,■) используем фор-

Эх j

мулу Шварца, аналогичную (14):

о

о

(Х, х) _ 8И РХ|я(ю, х)-----—---

Эх 0 оИ РЮ+ оИ рХ

. (18)

С учетом (3)-(9) определяются производные

—, — при % _ с + 10 (на границе анода)

Эс Эх

Эс(сх) _ .(х) ■+ (с, х)+(x(с), х)ЭЭХ

Эс Эс ЭХ Эс

Эг / ч 1

ЭХ(<с х)_- Ї(Х}+

-1+-

1

Л

.(х).

с + — (с, х}+ Эх

+ !т (Х(с). х)+|т (Х(с), х}§.

(19)

(20)

На границе катода Х _ ю + і в системе координат, связанной с катодом,

^ х) _ -.х) + .(х)% + -а (% х) + -с (Х(%} х).

С учетом (3), (4) производные

Эг„

Эс

(с +1, х):

Эг

:.(т) + 1Г^ (с + і, т)+1Т^ (Х(с + і} х),

Эс Эс

Эг„

(21)

_ (с+1,х}_| -1 |с + Э-а(с +1,х}+

Эх ^ .(х)) Эх

+ІХ(Х(с+1 }х}+ІХ(Х(с+1 } ^.

(22)

Для вычисления — (11) найдем производ-Лх

ные

.Э-а

Эх

(р(х}+и х}_

_- 8И рР(х)| 1т Э-а (с, х}- Лс

(23)

Эх ’ оИ рс + оИ рР(х)’

тр (р(х}+и х}_ Э%

¥ г)>7

_ 11т —а (с, х)

(24)

Эс ’ оИ рс + оИ рр(х)

Лс,

—гс (¥, х)= 11т —^ (а + /, х)йа. (25)

Эх 0 Эх

Значения qm, гт определяются методом кол-локаций по краевому условию (16) с учетом (19), (20) и того, что у = а (5),

1т

|Х(с т ^(с т } Эх Эс

+1 _ 0, т _ 0,..., N -1. (26)

На катоде краевое условие с учетом (21), (22) имеет вид

1т

^ К ^(Ю„ } Эх Эс

_ 0, т _ 0,...,N -1. (27)

После решения системы линейных алгебраических уравнений (26), (27) и определения

Эга Эгс

частных производных 1т—- = qm , 1т—- = гт

Эх Эх

производится шаг по времени по методу предиктор-корректор второго порядка точности.

Далее снова повторяется процесс вычисле-

Эга Эгс

ния -г-- , —с , qm, Гт и т. д.

э% эх

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Численные результаты представлены на рис. 4-7. На рис. 4 показаны формы поверхности при обработке полукруглым ЭИ с радиусом г = 10. Картина в системе координат, связанной с подвижной асимптотической поверхностью анода (рис. 4, а), показывает ход процесса растворения и позволяет увидеть установление стационарной формы обрабатываемой поверхности (которая была рассчитана заранее).

б

Рис. 4. Формы поверхности при обработке полукруглым ЭИ с радиусом г = 10 и шагом по времени Дх = 2: а - основная часть поверхности; б - фрагмент обрабатываемой поверхности вблизи излома ЭИ

а

0

0

Рис. 5. Формы поверхности при обработке ЭИ в форме сегмента с радиусом г = 2 и с высотой I = 3 с шагом по времени Дх = 1

Рис. 6. Формы поверхности при обработке ЭИ с выемкой с радиусом г = 2 с шагом по времени Ат = 1

а б

Рис. 7. Формы поверхности обрабатываемой ЭИ в форме вертикальной пластины с высотой I =10 с шагом по времени Дх = 2: а - основная часть поверхности; б - фрагмент обрабатываемой поверхности

Разработанный метод позволяет рассматривать ЭИ с выступом и впадиной, форма которых может варьироваться в широких пределах. В частности, на рис. 7 рассмотрен ЭИ в виде горизонтальной пластины, присоединенной к плоскому основанию.

На рис. 5 и 6 показаны формы нестационарной обрабатываемой поверхности при обработке ЭИ, имеющего выпуклость и впадину в форме сегмента круга. Во всех случаях наблюдается установление стационарной формы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной работе предложен численно-аналитический метод решения задач нестационарной электрохимической обработки при помощи плоского электрода-инструмента с выступом или выемкой криволинейной формы, основанный на аналитическом решении задачи определения частных производных координат по времени и разделении функций, определяющих неровности ЭИ и обрабатываемой поверхности. Рассмотрение численных примеров подтвердило высокую эффективность предложенного метода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Электрохимическое формообразование в условиях локальной изоляции анодной поверхности. I. Теоретический анализ / А. Н. Мустянцэ [и др.] // Электронная обработка материалов. Кишинев: Шти-инца. 1989. № 3. С. 11-15.

2. Котляр Л. М., Миназетдинов Н. М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск. 2004. Т. 45, № 4. С. 7-12.

3. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier. 2004. Vol. 149, No 1-3 4. P. 466-471.

4. 3D electrochemical machining computer simulations / M. Purcar [et al.] // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier. 2004. Vol. 149, No 1-

3. P. 472-478.

5. Житников В. П., Зайцев А. Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки. Уфа: УГАТУ, 1996. 221 с.

ОБ АВТОРАХ

НЕТ ДАННЫХ!