РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МОДАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, СФОРМИРОВАННОЙ РАСШИРЕННЫМ УЗЛОВЫМ МЕТОДОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и математическое моделщюваиие. 2021. МаТеМЯТШ МаТСМаТИЧССКОе

№ 02. С. 22 - 33.

DOI: 10.24108/mathm.0221.0000257 МОДСЛИрОВЙНИС

¿лен Сетевое научное издание

© В.А. Трудоношин, В.А. Овчинников, http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

В.Г. Федорук, 2021

УДК 621.03, 004.942, 519.876.5

Решение задачи модального анализа для математической модели, сформированной расширенным узловым методом

Трудоношин В.А.1' , Овчинников В.А.2, Федорук В.Г.1

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2ООО "Ладуга", Одинцово, Россия trudono bhinva@.bmbtu ли

Специфика формирования математической модели объекта с помощью расширенного узлового метода позволяет расширить возможности программных комплексов анализа динамических систем модальным анализом, что существенно расширяет функциональные возможности комплекса. В статье предлагается вариант модификации математической модели объекта, сформированной в рамках анализа во временной области, для возможности модального анализа (определения собственных частот и собственных векторов). Предложенное решение реализовано в математическом ядре программного комплекса PRADIS Gen2 ПА-8. Приведены расчеты тестовых схем, показавшие корректность предлагаемой методики.

Ключевые слова: математическое моделирование; модальный анализ; собственные частоты; собственные векторы

Представлена в редакцию: 04.03.2021, исправлена 18.03.2021

Введение

Анализ собственных частот и собственных форм (модальный анализ) [1], как проектная процедура, имеет ряд преимуществ перед анализом в частотной области и должен реализовываться в универсальных программных комплексах анализа динамических систем.

В статье предлагается вариант преобразования системы уравнений, сформированных расширенным узловым методом при решении задачи динамического анализа, для нахождения собственных частот и собственных векторов.

Существуют несколько методов формирования математических моделей систем (ММС), среди которых, например, метод переменных состояния (МПС) [2], табличный

[3], классический узловой [4] и другие. Отличаются методы своим базисом, то есть набором переменных, включаемых в вектор неизвестных. Отсюда вытекают достоинства и недостатки каждого из методов. МПС позволяет получить ММС в нормальной форме Коши, но ориентирован на явные методы интегрирования и применялся в первом поколении программ анализа [2]. Табличный метод позволяет снять большинство ограничений на вид компонентного уравнения, но не умеет без препроцессора работать с многополюсными элементами и библиотека математических моделей компонентов этого метода связана с библиотекой методов численного интегрирования. Узловой метод обладает простым просмотровым алгоритмом формирования ММС, в том числе и для многополюсных компонентов, но не пригоден для модального анализа.

Поскольку анализ собственных значений и, соответственно, собственных частот выполняется для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго или первого порядка, разрешенных относительно производных по времени, то среди методов формирования ММС претендовать на роль метода, позволяющего выполнять модальный анализ могут только такие, в базис которых входят производные по времени. К таким относится расширенный узловой метод [5]. К его достоинствам относятся простой просмотровый алгоритм формирования ММС, в том числе и для многополюсных компонентов; независимость библиотеки математических моделей компонентов от библиотеки методов численного интегрирования ОДУ; инвариантность ММС к временному и частотному анализу. Возможность реализации модального анализа для этого метода формирования ММС даст еще более веские основания для его использования в программных комплексах анализа динамических систем.

Корректность подхода показана на тестовых примерах. Приведено сравнение результатов расчетов аналитическим методом и численным методом с помощью реализации в программном комплексе PRADIS Gen2 на математическом ядре ПА-8 [6].

Процедуру приведения ММС к нормальной форме Коши можно распространить и на другие пакеты математического моделирования, в которых математическая модель представлена в виде системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Описание исходной модели

Далее в качестве физической подсистемы, для которой рассматривается методика расчета, будет использована электрическая подсистема, хотя, согласно аналогиям физических подсистем [7], методика будет справедлива для подсистем любой физической природы и их сочетаний. В качестве метода формирования математической модели системы (ММС) в комплексе PRADIS Gen2 используется расширенный узловой метод, базис которого (вектор неизвестных) составляют векторы: производных переменных состояния; переменных состояния; узловых потенциалов и токов идеальных источников ЭДС [5]. Под переменными состояния будем понимать величины непосредственно характеризующие запасы энергии в системе, то есть величины ис- напряжения на емкостях и iL - токи в ин-дуктивностях.

Замкнутая система уравнений для такого базиса получается с использованием следующего набора уравнений (ММС):

%-№ = °, (1) ис - (РI - Р]) = 0 , (2)

Р 1-р]) = 0 , (3)

Р(С^,исЛь>(рЛе) = 0 , (4)

Е-( Р I- р }) = 0 . (5)

Здесь (1) - уравнения численного интегрирования; V = [и сЛ ь\ ; (2) - топологические уравнения емкостных элементов С; (3) - компонентно-топологические уравнения индуктивных элементов Ь; (4) - уравнения равновесия для узлов схемы; (5) - компонентно-топологические уравнения элементов идеальных источников э.д.с.; Е, р - узловые потенциалы; I е - вектор токов источников э.д.с.

Анализ собственных частот и собственных векторов для ММС, заданной в дифференциально-алгебраической форме

Традиционно анализ собственных значений и собственных векторов рассматривается для механических подсистем на основе матриц масс и жесткостей [8,9,10,15], или для ММС, заданных в нормальной форме Коши [11]. Рассмотрим способ расчета собственных частот и собственных векторов для ММС, заданной в дифференциально-алгебраической форме [12]:

д &,гл) = 0. (7)

Здесь - вектор переменных состояния; - вектор остальных неизвестных системы; время. Анализ собственных значений и собственных векторов может быть выполнен или для линейной или линеаризованной системы, поэтому уравнение (6) запишем в линеаризованном виде, а уравнение (7) продифференцируем по времени:

йу 3/ , дf

— = -Lv + -rZ (8)

М ду дг w

ддду ,д_ддг = 0

ду дЬ дг дЬ к 1

Подставим ^ из (8) в уравнение (9) и разрешим относительно получим:

дг

дд

дг

-1

2а 21 у _

ду ду

дд

дг

-1

__д__1 ^

ду дг

В итоге имеем систему дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши и, если представить вектор неизвестных в виде , то получим линеаризованную сис-

тему уравнений в виде:

й£ . — = Ае,

сИ

где

А =

(11)

д£ д£ дг> дг

дг] дг> дг> [дг] дг> дг.

Для матрицы А и следует искать собственные значения и собственные векторы.

Для того, чтобы ММС, сформированную с помощью расширенного узлового метода можно было бы представить в виде (10) потребуются некоторые преобразования из-за того, что в уравнение (4) может входить сразу несколько производных по времени. Проиллюстрируем это на примере схемы, представленной на рис.1.

Рис.1 Расчетная схема.

ММС схемы, представленной на рис.1, с учетом номеров узлов и направлений токов, показанных на рисунке, полученная расширенным узловым методом, без учета формул интегрирования, выглядит следующим образом:

"С1 - (<Р2 - <Рз) = °>

иС2 - <Ръ = 0. «СЗ - (<Рз - = 0, сИц

11' ~сй~ ~ (ф! ~ Фг) = 0'

(ИЬ2

12' 1Г ~ ~ ^ = (р1

-11 + Ж + к1 = 0'

с1х1гл

-¿11 + С1 —=0,

с1игл (^Иг? (£х1г1

-С1 ■ —7^ + С2 ■ + С3 ■ —^ = 0, at М си

-С 3--^- + 1Ь2 = 0, ■ п

Уравнения для индуктивностей в данной модели могут быть представлены в форме (10), например = (р 1 — р 2) ¡^ 1 Но токи емкостей, которые определяются через производную напряжения по времени, могут входить в одно уравнение, что иллюстрирует уравнение для узла 2

(—С1 с2-^ + С3-^=0 ).

4 СИ СИ СИ У

Это уравнение содержит несколько производных и не может быть представлено в виде (10).

Разрешить подобные ситуации можно путем введения дополнительных переменных типа ^^ = у. В этом случае ММС схемы рис.1 примет вид:

йис1

Уь

йг

йиС2 (И

йиС2

dt

сИЬ1 1

= Уг. = Уг.

аг

= Г2( р з — р*) ,

Щ 1 — (Р2 — Р 3 ) = 0 , К-С2 —Р 3 = 0 ,

Щ з — (Р з — Ра) = 0 , Рг

-/1 + И + *" = 0' —£¿1 + С1 * ух = о,

—С1 * у1 + С2 * у2 + СЗ * уз = 0, -С3 * уз + ¿12 = 0, ■ п

То есть ММС получила вид уравнений (6) и (7). В общем случае преобразованную ММС в матричном виде можно записать следующим образом:

йис

~йГ = У'

сИI 1 , Л

ис - (щ - <ру) = О,

Р(су,исЛЬ.<рЛе) = 0. E-i.Pi- Р]) = 0,

Преимуществом такого преобразования модели является возможность использовать матрицу Якоби, полученную после временного анализа, практически без изменения для формирования матрицы А в виде (11), для получения собственных значений и собственных векторов.

Примеры расчета собственных частот и собственных векторов

Ниже представлены примеры решения задачи модального анализа на основе предлагаемого подхода.

Пример1. Для трехмассовой системы (рис.2), состоящей из масс т1, т2 и т3, пружин С1, С2, С3 и элементов трения К1, К2, К3, были получены собственные частоты и собственные векторы для ММС, полученной в нормальной форме Коши и для ММС, полученной расширенным узловым методом.

С1 К2

Рис.2 Схема трехмассовой система

Параметры системы, представленной на рис.2:

т 1 = т2 = т 3 = 1 , с1=100, с2=30, сз=70, К 1 = К2 = К 3 = 0, 1.

Собственные частоты в обоих расчетах совпадают и равны

ш 1=13,065, ш2=10,906, шз=3,216.

Собственные частоты вычисляются как модули собственных векторов. Значения в собственных векторах различны, но соотношения модулей комплексных чисел собственных векторов, которые показывают соотношение амплитуд колебаний - одинаковы. Пример 2. Тестовый расчет был выполнен также для объекта, показанного на рис.3

Г

I

Рис.3 Схема тестового трехмерного объекта

Для массы, закрепленной на стержне имеются аналитические выражения для расчета собственных частот [13,14].

Параметры системы, представленной на рис.2: масса т=46,8 кг, центральные моменты инерции относительно осей Х,У,Ъравны /х = 0,507 к г * м 2, /у = 0,39 к г * м 2, /2 = 0,195 к г * м2 соответственно; длина стержня /=1м; площадь поперечного сечения F = 1 0 "4см 2; модуль Юнга Е= 2* 1 0 11 модуль сдвига 0= 8* 1 0 8

Собственные частоты продольных, поперечных, крутильных и изгибных колебаний рассчитывалась по формулам:

3 Gjsy з G]s

(JÓ = -, ( п„п Л, = I-ir , ( г

ПР л}т1' П0П-У л/ mi3 ' ^non-z Л mi3

J г, (из r_y í г , (из r_z í /z г ,

здесь (пр - собственная частота продольных колебаний; (п 0 пу, (п 0 nz -собственные частоты поперечных колебаний для осей Y и Z соответственно; (кх- собственная частота крутильных колебаний относительно оси X; (из r_y, (изг2 - собственные частоты изгибных колебаний для осей Y и Z соответственно; /5у, /sz - моменты инерции сечений стержня для оси Y и для оси Z соответственно; - полярный момент сечения вокруг оси X; -

центральные моменты инерции тела массой m.

Данная задача колебаний защемленной балки с массой была решена на основе предлагаемого подхода в модуле модального анализа программного комплекса PRADIS Gen2. Полученные результаты и сравнение с аналитическим расчетом показаны в таблице 1.

Таблица 1. Сравнение аналитических и численных расчетов собственных частот (для примера 2)

Мода Аналитический расчет, рад/с Численный расчет, рад/с Погрешность, %

Продольная вдоль оси X 653,7 653,72 0.003

Изгибная в плоскости ХУ 3,26 3,25 0.307

Изгибная в плоскости XX 3,26 3,24 0.613

Крутильная вокруг оси X 16.23 16,23 0

Крутильная вокруг оси У 41,3 41,7 0.969

Крутильная вокруг оси Ъ 58,47 58,7 0.393

Заключение

В статье показано как для расширенного узлового базиса выполнить преобразование, позволяющее получить форму уравнений математической модели, для которой возможно определение собственных частот и форм колебаний.

Приведены результаты тестового моделирования, показавшие корректность используемого подхода.

Необходимую матрицу для модального анализа можно формировать в любой момент времени динамического анализа, используя якобиан, полученный в динамическом анализе. Данную матрицу можно использовать и для решения задачи частотного анализа. Подход позволяет выполнять модальный и частотный анализы как для линейных, так и для нелинейных систем.

Предложенное решение реализовано в математическом ядре программного комплекса PRADIS Gen2 ПА-8, что позволило расширить его функциональные возможности оператором модального анализа.

Список литературы

1. Основы модальных испытаний и анализа. Режим доступа: https://www.dipaul.ru/pressroom/osnovy-modalnykh-ispytaniy-i-analiza (дата обращения 18.04.2021).

2. Анисимов Б.В., Белов Б.И., Норенков И.П. Машинный расчет элементов ЭВМ: учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1976. 336 с.

3. Петренко А.И., Власов А.И., Тимченко А.П. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. Киев: Вища шк., 1977. 188 с.

4. Глориозов Е.Л., Ссорин В.Г., Сыпчук П.П. Введение в автоматизацию схемотехнического проектирования. М.: Советское радио, 1976. 223 с.

5. Норенков И.П., Трудоношин В.А., Федорук В.Г. Метод формирования математических моделей для адаптируемых программных комплексов анализа радиоэлектронных схем // Радиотехника. 1986. № 9. С. 67-72.

6. Ладуга: автомобильный инжиниринг. Pradis. Режим доступа: https://laduga.ru/инженерные-программы/pradis-мультифизика (дата обращения 26.03.2021).

7. Моделирование систем с сосредоточенными параметрами (базовый курс). Режим доступа: http://bigor.bmstu.ru/?cnt/?doc=Mod/base.cou (дата обращения 26.03.2021).

8. Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., Борискин О.Ф. Численный анализ элементов конструкций машин и приборов. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 479 с.

9. Попов В.Б., Чупрынин Ю.В., Джасов Д.В. Анализ собственных частот и определение динамических коэффициентов трансмиссии сельскохозяйственной машины // Вестник Гомельского гос. техн. ун-та им. П.О. Сухого. 2017. № 2(69). С. 32-39.

10. Fuellekrug U. Computation of real normal modes from complex eigenvectors // 13th intern. congress on sound and vibration: ICSV 13-Vienna (Vienna, Austria, July 2-6, 2006): Proc. Vol. 6. Red Hook: Curran Assoc. Inc., 2006. Pp. 5068-5075.

11. Inman D.J. Engineering vibration. 2nd ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 2001. 621 p.

12. Allain L., Neyrat S., Viel A. Linear analysis approach for Modelica models // 7th intern. Modelica conf. (Como, Italy, September 20-22, 2009): Proc. The Modelica Assoc., 2009. Pp. 646-656. DOI: 10.3384/ECP09430097

13. Валишвили Н.В., Гаврюшин С.С. Сопротивление материалов и конструкций: учебник и практикум для вузов. М.: Юрайт, 2018. 428 с.

14. Трудоношин В.А., Федорук В.Г. Математические модели балки и направляющих на ее основе для программ моделирования // Наука и образование МГТУ им. Н.Э. Баумана: электрон. журн. 2015. № 12. С. 215-225. DOI: 10.7463/1115.0824860

15. Sonnerlind H. How to model different types of damping in COMSOL multiphysics. Режим доступа: https://www.comsol.com/blogs/how-to-model-different-types-of-damping-in-comsol-multiphysics/ (дата обращения 28.04.2021).

lM;hm^^3Ma^atlcalModelln8, 2021 Mathematics & Mathematical

DOI: 10.24108/mathm.0221.0000257

Modelling

Electronic journal

© V.A. Trudonoshin, V.A. Ovchinnikov, http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

V.G. Fedoruk, 2021

Modal Analysis Problem Solution for a Mathematical Model Formed by the Extended Nodal Method

V.A. Trudonoshin1*, V.A. Ovchinnikov2, V.G. Fedoruk1

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia 2LLC "Laduga", Odintsovo, Russia trudono &hinva@.bm£tu jh

Keywords: modal analysis, eigenvalues, eigenfrequency, CAE, mathematical model, the normal form of Cauchy Received: 04.03.2021, Revised: 18.03.2021

The article proposes an option for transforming a mathematical model of the object, formed by the extended nodal method in the time-domain solution for modal analysis. Since finding the eigenvalues and eigenvectors for systems of ordinary equations given in the Cauchy normal form is possible, calculations are presented that allow us to obtain a system of equations in the Cauchy normal form from a mathematical model in a differential-algebraic form through linearization. The extended nodal method contains derivatives of state variables in the vector of unknown, and the Jacobi matrix obtained at each Newton iteration of each step of numerical integration can be used to obtain a linearized mathematical model, but the equilibrium equations, as a rule, contain several derivatives with respect to time. By introducing additional variables, it is possible to reduce the linearized mathematical model to the Cauchy normal form, while the Jacobi matrix structure remains essentially unchanged.

The proposed solution is implemented in the mathematical core of the PRADIS Gen2 PA-8 software package, which made it possible to expand its functionality by an operator of modal analysis.

The presented calculations of test schemes have shown the correctness of the method proposed.

References

1. Osnovy modal'nykh ispytanij i analiza [Fundamentals of modal testing and analysis]. Available at: https://www.dipaul.ru/pressroom/osnovy-modalnykh-ispytaniy-i-analiza, accessed 18.04.2021 (in Russian).

2. Anisimov B.V., Belov B.I., Norenkov I.P. Mashinnyj raschet elementov EVM [Machine calculation of computer elements]: a textbook. Moscow: Vysshaia Shkola Publ., 1976. 336 p. (in Russian).

3. Petrenko A.I., Vlasov A.I., Timchenko A.P. Tablichnye metody modelirovaniia elektronnykh skhem na ETSEVM [Tabular methods for modeling electronic circuits on electronic digital computers]. Kiev: Vishcha Shkola Publ., 1977. 188 p. (in Russian).

4. Gloriozov E.L., Ssorin V.G., Sypchuk P.P. Vvedenie v avtomatizatsiyu skhemotekhnicheskogoproektirovaniia [Introduction to circuit design automation]. Moscow: Sovetsloe Radio Publ., 1976. 223 p. (in Russian).

5. Norenkov I.P., Trudonoshin V.A., Fedoruk V.G. Method of forming mathematical models for adaptable software systems for analyzing radio electronic circuits. Radiotekhnika [Radio Engineering], 1986, no. 9, pp. 67-72 (in Russian).

6. Laduga: avtomobil'nyj inzhiniring. Pradis [Laduga: automotive engineering. Pradis]. Available at: https://laduga.ru/HH^eHepHHe-nporpaMMH/pradis-My^bTH^H3HKa, accessed 26.03.2021 (in Russian).

7. Modelirovanie system s sosredotochennymiparametrami [Modeling of systems with lumped parameters]. Available at: http://bigor.bmstu.ru/?cnt/?doc=Mod/base.cou, accessed 26.03.2021 (in Russian).

8. Gavryushin S.S., Baryshnikova O.O., Boriskin O F. Chislennyj analiz elementov konstruktsij mashin i priborov [Numerical analysis of structural elements of machines and devices]. 2nd ed. Moscow: BMSTU Publ., 2014. 479 p. (in Russian).

9. Popov V.B., Chuprynin Yu.V., Dzhasov D.V. Analysis of natural frequencies and determination of dynamic coefficients of agricultural machine transmission. Vestnik Gomel'skogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. P.O. Sukhogo [Herald of the Sukhoi State Technical Univ. of Gomel], 2017, no. 2(69), pp. 32-39 (in Russian).

10. Fuellekrug U. Computation of real normal modes from complex eigenvectors. 13th intern. congress on sound and vibration: ICSV 13-Vienna (Vienna, Austria, July 2-6, 2006): Proc. Vol. 6. Red Hook: Curran Assoc. Inc., 2006. Pp. 5068-5075.

11. Inman D.J. Engineering vibration. 2nd ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 2001. 621 p.

12. Allain L., Neyrat S., Viel A. Linear analysis approach for Modelica models. 7th intern. Modelica conf. (Como, Italy, September 20-22, 2009): Proc. The Modelica Assoc., 2009. Pp. 646-656. DOI: 10.3384/ECP09430097

13. Valishvili N.V., Gavryushin S.S. Soprotivlenie materialov i konstruktsij [Resistance of materials and structures]: a textbook. Moscow: Urajt Publ.,2018. 428 p. (in Russian).

14. Trudonoshin V.A., Fedoruk V.G. Mathematical models of beam and rails for the simulation programs. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the BMSTU], 2015, no. 12, pp. 215-225. DOI: 10.7463/1115.0824860

15. Sonnerlind H. How to model different types of damping in COMSOL multiphysics. Available at: https://www.comsol.com/blogs/how-to-model-different-types-of-damping-in-comsol-multiphysics/, accessed 28.04.2021.