CC BY
7
У
правление техническими системами и технологическими процессами
УДК 519.6; 629.735.33 РС!: http://doi.org/10.25728/pu.2020.5.8
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ НА ЭТАПЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ МАНЕВРЕННОГО САМОЛЕТА
О.В. Огородников
Аннотация. Рассмотрена модель многокритериальной оптимизационной задачи в условиях параметрической экспертной неопределенности. Данную модель целесообразно применять, когда параметры с экспертной неопределенностью не могут быть заданы экспертом точным значением. Для описания таких параметров применена теория неопределенности Б. Лю, так как она предоставляет аналитические выражения для вычисления детерминированных дубликатов целевых функций и ограничений, что позволяет эффективно решать оптимизационные задачи с экспертной неопределенностью, сводя неопределенные модели оптимизации к детерминированным моделям математического программирования. С использованием рассмотренной модели формализована и решена задача предварительного расчета параметров сверхзвукового маневренного самолета на этапе предварительного проектирования. Актуальность применения теории неопределенности в д анной задаче связана с возросшей ролью этапа предварительного проектирования при разработке перспективной авиационной техники. Разработан и реализован численный оптимизационный алгоритм, который учитывает экспертные оценки неопределенных параметров и позволяет получить значения технических характеристик разрабатываемого летательного аппарата с различными уровнями степени уверенности в их реализации.
Ключевые слова: экспертная неопределенность, эпистемическая неопределенность, модель оптимизационной задачи, предварительное проектирование, Парето-решения, детерминированный дубликат, маневренный самолет, неопределенное программирование.
ВВЕДЕНИЕ
Предварительный расчет технических характеристик перспективного летательного аппарата (ЛА) представляет собой начальный этап проектирования, в ходе которого принимаются решения, определяющие последующий облик ЛА как технической системы, и выполняется расчет его технических характеристик.
В настоящий момент из-за удорожания авиационной техники значительно возросла роль этапа предварительного проектирования, так как ошибки, допущенные при определении технического облика ЛА, впоследствии могут привести к большому ущербу на всех остальных этапах жизненного цикла.
Предварительное проектирование нового ЛА неизбежно сопровождается неопределенностью
его итоговых технических характеристик. Это связано с тем, что на этапе предварительного расчета летно-технических и маневренных характеристик перспективного ЛА невозможно сказать, каков будет уровень технологического совершенства конструкции планера, материалов, двигателя и других элементов на момент его непосредственного создания. Отсюда возникает целесообразность учета неопределенности исходных данных в предварительном расчете характеристик создаваемого ЛА. Неопределенность исходных д анных означает, что невозможно точно сказать, какое значение будет принимать тот или иной параметр, однако можно определить диапазон значений, где каждому значению соответствует некоторая степень уверенности в его реализации. Такие параметры задаются на основе экспертной оценки специалиста, которую он делает на основе своего опыта.
Существует два типа неопределенности — статистическая (алеаторная) и экспертная (эпистеми-ческая). Первая из них возникает, когда параметры характеризуются вариабельностью, зафиксированной в статистических д анных, достаточных для принятия статистических гипотез о неопределенных параметрах. В этом случае параметру соответствует функция распределения вероятности. Экспертная неопределенность возникает из-за недостатка знаний, результатов наблюдений. В этом случает информацию получают от экспертов. Для работы с экспертной неопределенностью существует много математических теорий. Наиболее популярные из них это интервальная математика [1], теория нечетких множеств Л. Заде [2] и теория возможностей Л. Заде [3]. В данной работе для описания неопределенных параметров ЛА предлагается теория неопределенности Б. Лю, так как в ней существует эффективный инструмент для решения оптимизационных задач с экспертной неопределенностью, а именно, простые аналитические выражения для вычисления детерминированных дубликатов целевых параметров для достаточно широкого класса функций. Ранее с применением теории Б. Лю решались другие задачи предварительного проектирования в условиях параметрической [4, 5] и смешанной [6, 7] неопределенности.
1. МОДЕЛЬ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ
ЗАДАЧИ В УСЛОВИЯХ ЭКСПЕРТНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
1.1. О теории неопределенности
Приведем базовые понятия теории неопределенности Б. Лю [8], необходимые для формализации выбранной задачи предварительного расчета технических характеристик перспективного ЛА. Центральным понятием теории неопределенности служит мера неопределенности М, которая удовлетворяет аксиомам нормальности, дуальности, субаддитивности и произведения (мера произведения событий равна минимальной из мер этих событий). Мера неопределенности события отражает степень уверенности эксперта в том, что это событие произойдет.
В теории неопределенности вводится понятие неопределенной переменной §, которая определяется функцией распределения неопределенности Ф(х) = М{§ < х|, где Ф(х) есть функция Ф: Я ^ [0, 1].
Распределение неопределенности содержит информацию о неопределенной переменной. Оно представляет собой совокупность значений вещественной переменной х и меры неопределенности М{§ < х|, соответствующей этому значению. Эксперт на основе своего опыта ставит в соответствие каждому значению переменной § степень уверенности М (меру неопределенности) в том, что она
Рис. 1. Пример функции распределения неопределенности
не больше х. Функция распределения неопределенности Ф(х) строится как аппроксимация полученных от эксперта значений х и М{§ < х| (рис. 1).
В теории неопределенности приводятся выражения для расчета д етерминированных д убликатов функции, зависящей от неопределенных параметров — ожидаемого значения Е [§], дисперсии ^§], критических значений БиРа[§] и ЖУа[§].
Если х — вектор действительных чисел (вектор д етерминированных параметров) и / — непрерывная строго возрастающая по §2, ..., §т и
строго убывающая по §т + 1, §т + 2, ..., §п, то § = /(х, §1, §2, ..., §п) имеет следующие ожидаемое значение и дисперсию при любом х:
1
Е [§] = / х, Ф-1(а), Ф21(а), ..., Фт1 (а),
0
Ф~т + 1(1 - а), ФтХ+ 2(1 - а), ..., Фп1 (1 - а))йа, 1
V [§] = | / х, Ф^а), Ф2Х(а), ..., Фт1 (а),
Ф~Л+ 1(1 - а), ФтХ+ 2(1 - а), ..., ФпХ(1 - а)) -- Е[§])2^а,
где Ф]4, ..., Ф,,1 — функции, обратные функциям
распределения неопределенных переменных §1,
§2, ... , §п.
Критические значения (аналогичные квантилю) неопределенной переменной §:
5иРа[§] = /(х, Ф^а), Ф2Х(а), ..., Фт1 (а),
ФтХ+ 1(1 - а), ФтХ+ 2(1 - а), ..., ФП1(1 - а)),
ЖЕа[§] = / х, Ф!1 (1 - а), Ф21 (1 - а), ...,
ФтХ(1 - а), ФтХ+ 1 (а), ФтХ+ 2(а), ..., Ф,1 (а)). (1)
1.2. Задача неопределенного программирования
Общая постановка задачи оптимального проектирования с неопределенными параметрами выглядит таким образом:
шш(тах)[Дх, |)], gj(х,|)< 0,} = 1, 2, ..., р,
х — вектор проектируемых параметров (вектор решений), | — вектор неопределенных параметров, Дх, |) — целевая функция, ^.(х, |) — функция ограничения.
В таком виде эта задача не имеет решения, так как целевая функциязависящая от неопределенных параметров, сама является неопределенной. Чтобы перейти к задаче м атематического программирования, необходимо заменить целевые функции и ограничения их детерминированными дубликатами:
шш(шах)[й[/(х, |)]],
X
й*(gj(х, |))< 0,* = 1, 2, ..., р,
(2)
где й — множество детерминированных дубликатов целевой функции, й* — детерминированные дубликаты функции ограничений.
2. АЛГОРИТМ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ МАНЕВРЕННОГО САМОЛЕТА ПОД ЗАДАННЫЕ ТРЕБОВАНИЯ
Предлагается алгоритм расчета параметров маневренного самолета в условиях экспертной неопределенности, который основан на инженерной методике расчета основных технических характеристик маневренного самолета под заданные тактико-технические требования (ТТТ) [9, 10]: требуемую дальность Ь крейсерского [8] полета на дозвуковой скорости, нормальную перегрузку в режиме маневра (характеризует маневренность самолета), энергетическую скороподъемность Рз (характеризует, насколько быстро самолет может увеличивать свою кинетическую энергию) и массу полезной нагрузки тес. Разработанный алгоритм позволяет получить требования к геометрическим и массовым характеристикам, аэродинамическому качеству [11], параметрам силовой установки. Выходные параметры: объем самолета, площадь омываемой поверхности, взлетная масса, масса топлива, конструкции, силовой установки, взлетная форсажная тяга двигателя, а также максимальное аэродинамическое качество на режиме маневра и крейсерского полета. Выполнение полученных тре-
бований к аэродинамике, силовой установке, геометрическим и массовым характеристикам обеспечит выполнение заданных ТТТ.
2.1. Задача расчета параметров
Задачу расчета параметров маневренного самолета можно представить как многокритериальную оптимизационную задачу в условиях экспертной неопределенности исходных данных. Предлагается минимизировать расчетные требования к максимальному аэродинамическому качеству на режиме крейсерского полета Кшах сг создаваемого самолета и взлетной тяге двигателя Р0:
шш Кт
тт Р0,
400 <у0 < 600, 3 < Р< 3,5, 0,13 < Уепе < 0,2.
Оптимизируемые детерминированные параметры: уо — плотность самолета, уе — отношение веса силовой установки к тяге двигателей, Р — коэффициент формы (равен отношению площади поверхности самолета к поверхности равновеликой по объему сферы).
Неопределенные параметры: Ксотрг — отношение аэродинамического качества на режиме маневра к качеству на режиме крейсерского полета
(Кшах сг к Кшах man), кдз1 и кдз2 — коэффициенты, требующиеся для расчета массы 1 м2 поверхности планера самолета, тс1 — относительная масса топлива, затраченного на участке набора высоты перед крейсерским полетом, тйе!1 — относительная масса топлива, затраченного на участке снижения после крейсерского полета, Ьйз+с1 — сумма длин участков набора высоты и снижения, С — коэффициент эквивалентного трения [10].
Минимизация требований к аэродинамическому качеству расширяет возможности для подбора аэродинамической компоновки перспективного ЛА, а минимизация требований к двигателю расширяет возможности по его подбору из уже существующих либо по разработке нового, так как время, затрачиваемое на создание нового авиационного двигателя, сопоставимо со временем создания всего самолета в целом.
В текущей постановке задачи отсутствуют ограничения в виде функций от неопределенных переменных, но присутствуют ограничения на оптимизируемые детерминированные параметры.
Применив модель оптимизационной задачи (2) и аналитические выражения для дубликатов целевых функций (1), перейдем к детерминированной двухкритериальной задаче оптимизации критичес-
ких знаЧений Kmax ^ и Р0:
min inf. [ Kmax cr ],
min inf [ Po ],
p(\
где а к , a p — соответственно уровни степеней
max cr 0
уверенности в том, что значения Kmax cr и Po будут
max cr 0
меньше определенного фиксированного значения.
На рис. 2 показано, что ц елевые функции Kmax cr и P0 строго монотонны по всем неопределенным параметрам. По оси абсцисс отложены значения неопределенных параметров, отнесенных к их номиналу.
2.2. Алгоритм расчета технических характеристик
Далее представлен алгоритм вычисления целевой функции Ктах се, в котором учитывается неопределенность входных параметров. Чтобы алгоритм был пригоден для вычисления целевой функции Р0, необходимо на ш аге 5 заменить ФС^ - а)
на Ф^Ха), так как значение Р0 строго монотонно
возрастает по неопределенному параметру С/, а значение Ктах е убывает. По остальным неопреде-
таХ се
ленным параметрам целевые функции ведут себя одинаково.
Для краткости приведены только те расчетные формулы, в которых присутствуют неопределенные параметры.
При выполнении разработанного алгоритма подбирается значение потребного максимального аэродинамического качества на режиме маневра К тап, обеспечивающего выполнение ТТТ и удов-
тах ^тап
летворяющего всем функциональным зависимостям между массовыми параметрами, геометрическими параметрами и параметрами силовой установки самолета.
Шаг 1. С помощью формулы Бреге [10, 11] определяется потребная для реализации дальности относительная масса полного запаса топлива:
т
f = (1 + <*(«» - (1 + фт>)) (L - фЛ X1 - а)) Се
exp
V K
' cr-1 vmax cr
к = к
max cr max man
фК (1 - а),
Рис. 2. Зависимость целевых функций от неопределенных параметров
где Се сг — удельный расход топлива на режиме крейсерского полета, Усг — скорость в режиме крейсерского полета, Ктах се — максимальное аэродина-
тах сг
мическое качество на режиме крейсерского полета; Ф^ (а), Ф!1 (а), Ф^1 (1 - а) и Ф^ (1 - а) —
т4ев тС1 ёе$+с1 сотре
обратные функции распределения неопределенности для неопределенных параметров т^, тс1, ^1ееа+с1 и Ксотрг соответственно. Все массовые параметры отнесены к взлетной массе самолета т0.
Шаг 2. На основе требований к установившейся перегрузке nzеeq и энергетической скороподъемности Ра определяется потребная тяговооружен-ность (отношение тяги д вигателей к весу самолета) на режиме маневра Рса1с/(тса1д) и взлетная тягово-оруженность Р0/(т0^).
Шаг 3. Далее с учетом взлетной тяговооружен-ности и коэффициентов, определяющих уровень
max cr
технологии двигателя и силовой установки, вычисляется относительная масса силовой установки
трр. Способ расчета трр приведен в работе [9].
Шаг 4. На основе статистических закономерностей с учетом вычисленных ранее массы топлива, силовой установки и заданной массы полезной нагрузки тес определяются основные массовые и геометрические параметры: взлетный вес т0, площадь омываемой поверхности Лм>е1 и объем самолета V,,:
m„
m0 =
1 - mPP - mf- mcch
m
cch
= (Ф-Л (a) + (a) Vf)A^,
qs1
qs2
m
0
Awet = (36n)1/3FVf,
V = mo
^ Ya '
где тсск — масса планера самолета, элементов управления и гидравлики, Ф^1 1 (а) и Ф^12 (а) — обратные функции распределения неопределенности для неопределенных параметров и £зз2.
Шаг 5. Далее выполняется поиск значения К тп, при котором невязка Д становится мень-
шах тап
ше заданного проектировщиком значения. При таком Кшах тап будут согласованы полученные техни-
шах тап
ческие характеристики и реализованы все ТТТ:
Д =
Pcalc nx 1 n z req
mcalc8 nZ req - 1.
1
qcalc
_ Фс1(1 - a) A
wet
mcalcS
где qcalc — скоростной напор [11] на расчетном режиме полета, nx1 — значение тангенциальной перегрузки [10, 11] при нормальной перегрузке nz = 1, g — ускорение свободного падения, mcalc — масса самолета на расчетном режиме полета, Фс^(1 _ a) —
обратная функция распределения неопределенного параметра Cf.
В конце выполняется финальный расчет с найденным значением Ктах man.
2.3. Результаты расчета
Для решения поставленной задачи предварительного расчета технических характеристик перспективного ЛА задаются параметры aK , a P
max cr 0
и вид функций распределения неопределенности Ф неопределенных проектных параметров Ya, Yeng и F.
Рис. 3. Парето-фронты, соответствующие различным степеням уверенности от 0,6 до 1
В общем случае вид функции Ф определяется только экспертом, но в данной задаче принято, что Ф имеет вид
Ф(х) = I 1 + exp
п ( e - х) л/3ст
где е — номинальное значение неопределенного параметра, ст — стандартное отклонение.
Потом применяется многокритериальный генетический алгоритм в системе МаИаЪ. Для каждой комбинации варьируемых в процессе оптимизации проектируемых параметров выполняется расчет согласно разработанному алгоритму из п. 2.2, вычисляются детерминированные дубликаты целевых функций. В результате применения описанного метода оптимизации на основе алгоритма предварительного расчета технических параметров маневренного самолета получены Парето-фронты, представленные на рис. 3.
С увеличением значений aK
и a P повыша-
ется степень уверенности в том, что итоговые значения Kmax cr и P0 при создании ЛА не превысят значений из соответствующего Парето-фронта.
Расчет выполнен для маневренного самолета типа J-20. Номинальные значения для неопределенных проектных параметров Ya, Yeng и F заданы на основе экспертных оценок, взятых из открытых источников. Стандартное отклонение ст принято равным 4 % от номинала. Реальные значения K„„„ „„ и
max cr
P0, взятые из открытой печати, также обозначены на рис. 3. Видно, что они соответствуют степени уверенности, которая лежит в диапазоне 0,75—0,8. На этапе предварительного проектирования данные значения степени уверенности принято считать удовлетворительными. Значения aK и aP
max cr 0
взяты равными.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложена модель многокритериальной оптимизационной задачи расчета летно-технических характеристик маневренного ЛА в условиях параметрической экспертной неопределенности. Параметры с экспертной неопределенностью моделируются с помощью теории неопределенности. Реализован численный оптимизационный алгоритм, в котором учитываются мнения экспертов, для получения технических характеристик ЛА с различными уровнями степени уверенности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Добронец Б. С. Интервальная математика: учеб. пособие. — Красноярск: Красноярский гос. ун-т., 2004. — 216 с. [Do-bronets, B.S. Interval'naya matematika: ucheb. posobie. — Krasnoyarsk: Krasnoyarskii gos. un-t, 2004. — 216 s. (In Russian)]
2. Zadeh, L.A. Fuzzy Sets // Information and Control. — 1965. — Vol. 8. — P. 338—353.
3. Zadeh, L.A. Fuzzy Sets as the Basis for a Theory of Possibility // Fuzzy Sets and Systems. — 1978. — Vol. 8. — P. 3—28.
4. Veresnikov, G.S., Ogorodnikov, O.V., Pankova, L.A., Pronina, V.A. Determining Maneuverable Aircraft Parameters in Preliminary Design Under Conditions of Uncertainty // Procedia Computer Science. — 2017. — Vol. 112. — P. 1123—1130.
5. Вересников Г.С., Пронина В.А., Панкова Л.А., Огородников О.В. Решение задач предварительного проектирования в условиях параметрической неопределенности // Проблемы управления. — 2017. — № 4. — С. 65—73. [Veresnikov, G.S., Pronina, V.A., Pankova, L.A., Ogorodnikov, O.V. Solving Preliminary Design Problems Under Conditions of Parametric Uncertainty // Control Sciences. — 2017. — № 4. — S. 65—73. (In Russian)]
6. Veresnikov, G.S., Pronina, V.A., Pankova, L.A., Ogorodnikov, O.V. Optimal design of technical objects under mixed parametric uncertainty / Proceedings of the 12th International Conference «Management of Large-Scale System Development» (MLSD). Moscow, 2019. — URL: https://ieeexplore.ieee.org/document/ 8911060.
7. Вересников Г.С., Панкова Л.А., Пронина В.А., Огородников О.В. Предварительное проектирование летательных аппаратов в условиях смешанной неопределенности / Тр. 13-го Всерос. совещ. по проблемам управления (ВСПУ XIII, Москва, 2019). — М.: ИПУ РАН, 2019. — С. 3155—3160. [Veresnikov, G.S., Pankova, LA, Pronina, V.A., Ogorodnikov, O.V. Predvaritel'noe proektirovanie letatel'nykh apparatov v uslovi-yakh smeshannoi neopredelennosti / Tr. 13-go Vseros. sovesh-ch. po problemam upravleniya (VSPU XIII, Moskva, 2019). — M.: IPU RAN, 2019. — S. 3155—3160. (In Russian)]
8. Liu, B. Theory and Practice of Uncertain Programming: 2-nd ed. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — 485 p.
9. Bashkirov, I.G., Irodov, R.D. Calculation of Jet Aircraft Parameters Under Design Requirements // World Aviation Congress, October 13—16. — Anaheim, California, 1997, paper no. 975598.
10. Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов / под ред. Г.С. Бюшгенса. — М.: Физмат-лит, 1998. — 816 с. [Aerodynamics, stability and controllability of supersonic aircraft / ed. G.S. Byushgens. — M.: Fizmatlit, 1998. — 816 s. (In Russian)]
11. Авиация: Энциклопедия / Гл. ред. Г.П. Свищев. — М.: Большая рос. энцикл.: Центр. аэрогидродинам. ин-т, 1994. — С. 407—408. [Aviation: encyclopedia / Gl. ed. G.P. Svish-chev. — M.: Great Russian encyclopedia: Central Aerohydro-dynamic Institute, 1994. — S. 407—408. (In Russian)]
Статья представлена к публикации членом редколлегии
А. С. Манделем.
Поступила в редакцию 27.04.2020, после доработки 7.07.2020.
Принята к публикации 14.07.2020.
Огородников Олег Викторович — науч. сотрудник,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,
г. Москва, Н o.v.ogorodnikov@gmail.com.
THE SOLUTION OF THE PROBLEM OF MULTICRITERIA OPTIMIZATION UNDER PARAMETRIC UNCERTAINTY DURING PRE-CALCULATION OF JET AIRCRAFT PARAMETERS
O.V. Ogorodnikov
V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
M o.v.ogorodnikov@gmail.com
Abstract. A model of a multi-criteria optimization problem under parametric expert uncertainty is considered. This model is useful when the expert cannot set an exact value for a parameter with expert uncertainty. To describe such parameters, the uncertainty theory is applied. It provides analytical expressions for calculating deterministic duplicates of objective functions and constraints, which allows us to effectively solve optimization problems with expert uncertainty, reducing undefined optimization models to deterministic models of mathematical programming. The problem of preliminary calculation of supersonic jet aircraft parameters at the preliminary design stage is formalized and solved using the considered model. The relevance of applying the uncertainty theory to this problem relates to the increased role of the preliminary design stage in the development of advanced aircrafts. A numerical optimization algorithm has been developed and implemented that takes into account expert estimates of uncertain parameters and allows us to obtain the values of the technical characteristics of the developed aircraft with different levels of degree of belief in their implementation.
Keywords: expert uncertainty, epistemic uncertainty, model of an optimization problem, preliminary design, Pareto solutions, deterministic equivalent, maneuverable aircraft, uncertainty programming.
