CC BY
14УДК 518.5
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫМ МЕТОДОМ ПЛП-ПОИСКА
И.Н. Статников, канд. техн. наук,
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН E-mail: [email protected] Г.И. Фирсов,
Институт машиноведения им. А.А Благонравова РАН E-mail: [email protected]
Аннотация. В статье рассматривается применение метода ПЛП-поиска, уже зарекомендовавшего себя положительно по критерию рационального проведения вычислительных экспериментов, для решения задач анализа и синтеза многопараметрических и многокритериальных задач проектирования.
Ключевые слова: ПЛП-поиск, эвристические методы оптимизации, метод Монте-Карло, планирование имитационных экспериментов.
Abstract. Based on the example of problems of the selection of quantity and sites of installation of the spacing lattices (partitions) is examined the application of a method of the PLP- search, which already recommended itself positively on the criterion of the rational conducting of computational experiments with analysis and synthesis of multiparametric and multicriterional tasks.
Keywords: PLP-search, the heuristic methods of optimization, the Monte Carlo method, planning the imitation experiments.
Проектирование и создание динамических систем по существу есть процесс сотворения человеком искусственной природы, которая помогает ему выжить в естественных условиях. Отсюда и постоянная задача человека - повышение эффективности систем искусственной природы с точки зрения его выживания. На протяжении тысячелетий эта задача решалась, в основном, методом проб и ошибок. С появлением теоретических наук, и прежде всего естественных (физика, математика, теоретическая механика и др.), крен в решении вышеупомянутых задач
смещается в сторону расчетов при наличии математических описаний создаваемых систем - математических моделей (ММ). В настоящей работе под решением задачи проектирования динамической системы понимаем комплекс рекомендаций по выбору значений конструктивных параметров системы и условий управления работой системы, обеспечивающих ее максимальную эффективность по технико-экономическим и экологическим критериям качества. Такое понимание явно свидетельствует о том, что задачи проектирования динамических систем - многопараметрические и многокритериальные.
С теоретической точки зрения эффективность применения того или иного метода оптимизации, понимаемой широко, существенно зависит от степени адекватности используемой ММ реальным динамическим процессам, происходящим в создаваемом или усовершенствуемом устройстве. Разумеется, в узком смысле, при использовании одной и той же математической модели всегда имеет место конкуренция различных методов оптимизации (по точности, по скорости сходимости результатов расчетов, по ясности интерпретации этих результатов). Но уже при числе критериев К > 2 и числе анализируемых (а в ПЛП-поиске -варьируемых) параметров J > 3 стало практически бессмысленным говорить об оптимизации искомых решений в узком смысле, а речь может идти только об отыскании рациональных решений задачи, что чаще всего соответствует поиску компромиссных решений. Но в этом случае сама эффективность применения того или иного метода становится заложницей объема и качества априорной информации, имеющейся к моменту начала решения прикладной задачи оптимизации.
Поэтому кажется очевидным, что наиболее привлекательными становятся такие методы поиска рациональных решений, которые, при наличия адекватной ММ, требуют минимума априорной информации о решаемой задаче, более того, позволяют по ходу решения получать такую информацию легко и просто. Такие методы естественно называть универсальными. К ним будем относить семейство методов Монте-Карло и их различные модификации. В основе использования этих методов лежат принципы случайного поиска решения задачи и статистической обработки получаемых результатов, что и делает такой подход универсальным. Но платой за такую универсальность является определенная «слепота», и это приводит к громадным объемам вычислений даже для современных ЭВМ, тем более, что имеет место рост размерности решаемых задач (растут число фазовых координат, число конструктивных
<ib
МФЮА московский финансово-юридическии университет
параметров J, число критериев качества K, характеризующих систему (объект). А громадные объемы получаемой информации при проведении вычислительных экспериментов затрудняют ее интерпретацию. Возникла потребность сочетания универсальности метода Монте-Карло с элементами более интеллектуального анализа результатов численных экспериментов, чем простая констатация статистических оценок, т.е. усовершенствование технологии проведения математических экспериментов. Полагаем, что в значительной мере указанной потребности удовлетворяет метод ПЛП-поиска [1,2], в основание которого положена рандомизация расположения в области G(a) векторов а, рассчитываемых по ЛПт-сеткам [3], и которая возможна благодаря тому, что весь вычислительный эксперимент производится сериями. В ПЛП-поиске на сегодняшний день можно варьировать одновременно значения до 51-го параметра (J = 51). В ПЛП-поиске алгоритм рандомизации построен на использовании датчика псевдослучайных чисел q (0 < q <1) из [3]. Рандомизация состоит в том, что для каждой h-ой серии экспериментов (h = 1,...,H(i, j)), где H(i, j) - объем выборки из элементов для одного критерия ф., вычисляется свой вектор случайных номеров строк j ( j1h, ..., jв ) в таблице направляющих числителей (ТНЧ) по формуле:
jeh =[R х q] + 1, (1)
а значения а., в h-ой серии рассчитываются с помощью линейного преобразования
аФ = а/ + q^eh х Ааj (2)
где: Аа . = а .** —а j*, а и а - соответственно верхние и нижние границы области G(U ); Р = 1, ...,J; R - любое целое число (в ПЛП-поиске R = 51); j - фиксированный номер варьируемого параметра; i = 1,...,M(j) - номер уровня j-го параметра в h-й серии; M(j) - число уровней, на которое разбивается j-ый параметр; в общем случае jh ^.(в чем и состоит одна из целей рандомизации). Было доказано с помощью критерия Романовского [4], что числа j вырабатываемые по формуле (1), оказываются совокупностью равномерно распределенных по вероятности целых чисел. Обратим внимание, что M(j) и есть количество экспериментов, реализуемых в одной серии. И если M(j)= М = const и H(i, j) = H = const, то в этом случае параметры NO, Ми H связаны простым соотношением:
NO = М X H, (3)
где NO- общее число вычислительных экспериментов (ВЭ), при этом длина выборки из Ф.к в точности равна H. Но в общем случае, когда M(j) = var, то и H(i,j) = var, . и тогда формула (3) для одного критерия примет такой вид NO = X i=i H (i, j).
С помощью формул (1) и (2) в ПЛП-поиске реализуются следующие варианты матриц планируемых экспериментов:
1. M = const; NO считается по формуле (3); в этом случае можно строить МПЭ для таких случаев:
а) £ = 0; учитываются точные значения границ области G(а), но в этом случае необходимо увеличивать число экспериментов NO, так частота появления граничных значений а. в 2 раза меньше частоты появления внутренних значений этого параметра;
б) 0 < £ << 1; границы изменения j-го параметра образуют интервал (а . + £ ;а JM - £), а далее расчет по формуле (2);
в) 0 < £ << 1; границы изменения j-го параметра образуют интервал (а - £ ;а „ + £), а далее расчет по формуле (2).
2. M = var; в этом случае также возможны три варианта построения МПЭ, но для каждого j-го параметра берется свое £.; при этом 0 < £ j << 1.
Для проведения однофакторного дисперсионного анализа [5] по всем параметрам для каждого критерия производится сортировка результатов вычислений, полученных при вычисления в точках матрицы планируемых экспериментов (МПЭ). В результате сортировки для одного критерия будет получено J матриц, состоящих из элементов Ф.к, а для К будет получено J х К матриц, состоящих из элементов Ф где к - номер критерия. Этот анализ позволяет принять (или отвергнуть) с требуемой вероятностью Р > 1 - Д где [) - заданный уровень значимости, следующую нулевую гипотезу: средние значения Ф. не существенно (случайно) отличаются от общего среднего значения k-го критерия. Если принят положительный ответ (гипотеза принята), то допускается на следующем этапе решения задачи несущественно влияющий параметр а. не варьировать, ^зафиксировать одно из его значений, например, а. = а. для такого i, где Фук имеет наилучшее значение в смысле искомого экстремума.
Теперь опишем типовую формализованную постановку задачи, для которой будет полезным использование ПЛП-поиска. Пусть задана математическая модель исследуемой системы в виде
L( У (а, t ),а) = 0, ф (а) > 0, (4)
<ib
мфюа московский финансово-юридическии университет
где L - оператор, воздействующий на систему уравнений (4) (линейный или нелинейный), y (а, t) - вектор фазовых координат системы, ф (а ) -вектор функциональных ограничений на параметры и поведение системы (4), а = (alv..,a J) - вектор коэффициентов уравнений. Исходная область G(a) изменения коэффициентов задается в виде I-мерного параллелепипеда а., < а. < а.,„ где а., и а, - соответственно нижние и верхние граничные значения j-го коэффициента j = l, J. И, наконец, задается система критериев качества функционирования устройства (в явном или неявном виде) {фk =фк(ä),äe G(а),k = l,K}. Реализация пунктов «б» и «г» осуществляется алгоритмически и с помощью следующих графиков: кривой максимумов Ф. (а.); кривой средних; кривой общего среднего Фм; кривой минимумов Ф. (а.). При этом были сформулированы следующие эвристические правила выделения искомых подобластей:
а) если доверительная (теоретическая) вероятность Р влияния параметра на значения анализируемой функции меньше заданной Р а Рз < 0,95, то исходный диапазон изменения этого параметра не меняется;
б) если Р > Р то поступаем так: если кривая общего среднего Фм пересекает линию кривой средних Ф. (а.) один или два раза, то выделяем новый поддиапазон из исходного в соответствии с математическим смыслом искомого экстремума (min или max); если число пересечений кривой общего среднего Фм линии кривой средних Ф jk (а j) больше двух, то, несмотря на значения P, исходный диапазон параметра не меняем (впрочем принятие решения в этом случае, как и выбор значения Р остается за исследователем, поскольку само решение влияет на объем проводимых экспериментов).
Ниже приведены некоторые из примеров использования ПЛП-поиска при решении задач проектирования различных динамических систем. Здесь ММ - математическая модель, НДУ - нелинейное дифференциальное уравнение, ЛДФ - линейное дифференциальное уравнение, УРЧП - дифференциальное уравнение в частных производных.
1. Поворотный делительный стол с гидромеханическим приводом. ММ: 3 НДУ второго порядка. J = 9. K = 3. Результат: найдена область компромиссных решений, объем которой составил ~0,2% от исходно заданной.
2. Пневморегулятор давления повышенной точности. ММ: 4 НДУ второго порядка. J = 4. K = 1. Результат: найдена область лучших решений с объемом в 0,5% от исходно заданной.
3. Пневмовстряхивающая машина. ММ: 4 НДУ второго порядка. J = 8. К = 1. Результат: определены 4 влиятельных параметра; выделенная область составила 5% от исходно заданной.
4. Швейная машина. ММ: 5 НДУ неоднородных второго порядка. J = 6. К = 5. Результат: в выделенных областях построены регрессионные зависимости собственных частот от параметров ММ.
5. Резонансный преобразователь для судовых валопроводов. ММ: 2 НДУ второго порядка. J = 6. К = 1. Результат: определены два влиятельных параметра; значение критерия улучшилось в 5,2 раза по сравнению с аналогичным в исходной области.
6. Трансмиссия главного привода рабочей клети прокатного стана. ММ: 5 НДУ второго порядка. J = 5. К = 5. Результат: найдена область компромисса, составляющая ~3,5% от исходно заданной.
7. Теплообменный аппарат. ММ: 1 УРЧП. J от 8 до 18. К = 4. Результат: определены для каждого J существенные параметры и построены области компромисса.
Мы видим, что в каждом из приведенных примеров реализуются один или одновременно несколько пунктов из формализованной постановки. Более того, полученные результаты носят практический характер, и могут быть основанием для завершения расчетов. Еще более важно то, что при решении каждой из указанных задач возникали вопросы к результатам их решения, которые нельзя было предвидеть заранее, даже при аналитической проработке. Последнее, во-первых, естественно при использовании дискретных методов, а, во-вторых, имелись явные вероятностные оценки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Статников И.Н., Андреенков Е.В. ПЛП-поиск - эвристический метод решения задач математического программирования. - М., 2006.
2. Статников И.Н., Фирсов Г.И. ПЛП-поиск и его реализация в среде МАТЪАВ // Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЪАВ. - М., 2004.
3. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. - М., 1969.
4. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. - М., 1971.
5. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. - М., 1980.
