CC BY
32ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Решение задач линейного программирования методом потенциалов Ишмухаметов Р. А.1, Зарипова Ф. Ф.2
1Ишмухаметов Рустем Айдарович /Ishmukhametov Rustem Aydarovich - студент
магистратуры;
2Зарипова Фания Фаритовна / Zaripova Faniya Faritovna - студент магистратуры, кафедра математического моделирования, факультет математики и информационных технологий, Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал, г. Стерлитамак
Аннотация: транспортная задача является представителем класса задач линейного программирования и поэтому обладает всеми качествами линейных оптимизационных задач, но одновременно она имеет и ряд дополнительных полезных свойств, которые позволили разработать специальные методы ее решения. Ключевые слова: оптимизация, целевая функция, потенциал.
При ведении хозяйственной деятельности человек всегда испытывает недостаток средств. При этом возникает необходимость в решении задачи для определения максимального эффекта при заданных ограничениях на ресурсы. В результате анализа предметной области формулируется целевая функция и уравнения, описывающие область определения. В так называемой «транспортной задаче» присутствует эта линейность. По этой причине из множества задач линейного программирования выделяются подмножества транспортной задачи, решение которых можно осуществлять с помощью метода потенциалов [1].
В общей постановке [2] транспортная задача состоит в отыскании оптимального плана перевозок некоторого однородного груза с m базA1, A2,..., Am n потребителям В1, В2,..., Вп.
Обозначим количество груза, имеющегося на каждой из m баз (запасы), соответственно a1, a2, ..., am, а общее количество имеющегося в наличии груза - а: a = a1 + a2 + ... + am, заказы каждого из потребителей (потребности) обозначим соответственно b1, b2, ..., bn, а общее количество потребностей - b: b = b1 + b2 + ... + bn.
Известны также все тарифы перевозок груза С¡j от поставщика At к потребителю Bj.
Таблица перевозок имеет следующий вид:
Таблица 1. Таблица перевозок
Пункты отправления Пункты назначения Запасы
B1 B2 Bn
A1 c11 x11 c12 x12 c1n x1n ai
A2 c21 x21 c22 x22 c2n x2n a2
Am cm1 xm1 cm2 xm2 cmn xmn an
Потребности b1 b2 bn a=b или a^b
Возьмем для примера следующую транспортную задачу: при заданных объёмах груза в пунктах отправления и потребности в пунктах назначения определить оптимальный план перемещения груза от отправителя к потребителю. Исходные данные:
- запас груза в ьм пункте отправления а1: а! = 30, а2 = 15, а3 = 25;
- потребность j-го пункта назначения в грузе Ь}: Ь1 = 20, Ь2 = 5, Ь3 = 45;
- матрица тарифов (стоимость перевозки единицы груза) С^:
Потребители 1 2 3
1 10 20 30
Поставщики 2 30 10 20
3 5 15 10
Для сравнения решим данную задачу средствами MS Excel и с помощью программы написанную на языке Pascal.
MS Excel позволяет достаточно легко и быстро решить подобные задачи с помощью надстройки Поиск решения. Достаточно ввести данные, входные критерии или ограничения и ячейку с целевой функцией (рис. 1).
À7"- Bj 20 5 45
30 10 20 30 Целевая
15 30 10 20 функция
25 5 15 10 1000
Решение
20 5 45
30 20 5 5
15 0 0 15
25 0 0 25
Рис. 1. Решение задачи в MS Excel
Для программного решения задачи будем использовать метод потенциалов. При этом методе предварительно находят потенциалы баз и потребителей, а затем вычисляют для каждой пустой клетки алгебраическую сумму тарифов с помощью потенциалов. Преимущества метода потенциалов в том, что отпадает необходимость построения циклов для каждой из пустых клеток и упрощается вычисление алгебраических сумм тарифов (рис. 2).
Таблица N1 оимость пЗакрытая задачаЗ 10
\Bj В1 В2 ВЗ
Ai\ 20 5 45 alfa
А1 10 20 30 ш
30 20 5 5 я
А2 30 10 20 -10
15 15
АЗ 5 15 10 -20
25 25
betta 10 20 30
F1=1000
Рис. 2. Результаты решения программы Литература
1. Семериков А. В. Решение транспортных задач [Текст]: учеб. пособие / А. В. Семериков. Ухта: УГТУ, 2013. 58 с.
2. Романовский И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач. Москва: Наука, 1977.
