CC BY
59
12 декабря 2011 г. 0:22
ТЕХНОЛОГИИ
Решение задач дифракции методами Т-матриц и диаграммных уравнений
Ключевые слова
Метст Г-матриц метра диаграммных уравме**й, теория дифракции и распространения волн.
Метод Т-матриц (МТМ), предложенный Уотерманом более сорока лет назад • настоящее время широко используется при решении задан дифракции волн, возникающих в оптике, радиофизике, рад иоастрономии и др. Метод диаграммных уравнений (МДУ), впервые предложенный в работе [9] и в дальнейшем успешно примененный к решению шфэкого крута задач теории дифракцш и распространения волн, также позволяет получить решение краевой задачи дифракции, но при этом он гуимв«в«м при значительно менее жестких ограничениях на геометрию рассеивателя, чем МТМ. Привадится сравнение методов МДУ и МТМ.
Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И.,
МТУСИ
Метод Т-матри* (МТМ), предложенный Уо-терменом (1,2] более сорока лет назад в настоящее время ши^хжо используется при решении задоч дифрсжции волн (31. возникающих в оптике, радиофизике, рсадиоастрономии и др. (4, 5). Популярность этого метода обколется, в частности тем, что при решении зсадрчи ди-фрсЖЦИИ при помощи МТМ легко получить связь между коэффициентами разложения подающей и рассеянной волн по сферическом/ базису в виде простого соотношения:
с =777.
ні
где <3 и с — векторы коэффициентов разложе-и« по сфери«есхаму базису падающей и рассеянней волн соответственно, Т — матрица перехода.
Поскольку значения элементов матрицы Т определяются лишь геометрией рассеивателя и видим краевых условий, то соотношение (1) позволяет легко выполнять, например, усредое-*че характеристик рассеяния чостиде по углам ее ориентации (5].
В работах (6, 7] было, однако, показано, что МТМ корректен лишь при условии, что геометрия рассеивателя относится к классу рэле-ееских тел, те. таких, у которых все особенности аналили«еского продолжения дифракционного поля лежат внутри сферы, вгзчсанной в рассеиватель (8]. Класс таких геометрий досто-то**к> узок Например, сфероид (эллик: — в д вумерном случае) является рэлеееским при соотношении полуосей, не превышающем У2.
Метод диаграммных уравнений (МДУ), впервые предложенный в работе [9] и в доль
неилем успешно грименен«*1 к решенио широкого круга заддотеорие дифракции и расгро-странекмя волн, тезоке позволяет получить решение краевой задачи дифракции в виде, аналогичном (1), но фи этом си фименим при значи-телыю менее жесткюс огроиченисс на геометрию рассеивателя, чем МТМ МДУ позволяет получить строгое (те., в прикзетв, с наперед хь д аиой точностью) решение зада*** дофряаз^и на тос называемых слабо невьлукгых телах (9|. Эго такие тела, у которых особенности аналитической деформации грсиицы рассеивателя (10] вовнутрь расположены ближе к началу координат, чем особенности анаттичесхой деформа 1*И гревмд ы во внешнюю по отношению к рос-сеивателю область Все выпуклые тела вход ят в этот класс геометрий. В работе (11) приведен фимер расчета диаграммы россе*иия сплюснутого сфероида С отношением полуосей 401, которая г^хжтичеом совпала с диаграммой тонкого диска такого же диаметра Ясно, что методом Т матриц подобную задену невозможно решить со сколько-нибудь приемлемой точностью.
Следует оговориться что МДУ примеи4м в строгой постсмовке лишь к телам с анагмтичес-кой границей (это, разумеется справедливо и по отношение к МТМ). Однсжо МДУ может быть применен и к расчету харсваеристис тел, имеющих изломы границы (12\ но уже не с наперед задезвюй. а лишь с некоторой ограниченной, но вполне фиемлемой точностью. В работе 113] было девю объяснение этого обстоятельства с привлечением идеи продолженных грочичных условий (14).
Выполним более детальное сравнена обоих методов. Рассмотрим для простоты д вумерную задачу дифракции на рассеивателе с кро-евым условием Дирихле на границе.
Метод Т-матриц основан на известном соотношении нулевого поля (3]
г,о (2)
В этом соотношение и ■ ♦ и , причем
— первичное (падающее) поле, и’ — вторичное (рассегиное) поле, 0,{г.Г) —функция Грина свободоого пространства, Б — граикда рассеивателя, 0 — область внутри 5. Дифференцирована в (2) производится в направлена внешней (по отношению к 0 нормали.
В д вумерном случае
О.(г.г’) = I ?
Введем следующие обозначения:
1 I г, ^ л >
I =—аг =*
4 ()п | кар )
к = ^р:«р)+р':(<р).
где г * р(ф) — уравнение границы Б
С учетом введенных обозначений интегральное уравнение нулевого поля для рассматриваемого нами случая будет неметь следующий виг
Л/(г)€& (3)
где £ — некоторая простая замкнутая кривая внутри 5.
Переход к методу Т-матрщ основан на вы боре в качестве 51 окружности радиуса г ■ целиком лежащей внутри Б [1 ].
Пусть ч*(г) — поле ПЛОСКОЙ ВОЛИ)! и* (г) = ехр| -/Агсоя( <р - (р,)] =
Так ксж на I /=г,< тш р<<р) то в уравнении (3)
И)
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фунд аментальных исследований (проект № 09-02-00126). Т-Сотт #3-2011
59
ТЕХНОЛОГИИ
Н'.:'{к\г-г’\) =
Теперь из (ЗЦ5) получи X ■їщ(Ь0)ї‘'''І Г{<р,)[{,':'ікр<р')к"0(і<р' =
«*— •
Таким образом, мы выразили коэффициент ты разложений (9) рассеянного паля через коэффициенты а падающего поля. Матрица
т=он 1
(12)
(6)
Откуда следует, что
= -Н)’е"*‘. #| = 0.±Ь...
Положим
л<рГ)= £ V
тогд а из (6) получим следующую систему алгебраических уравнений
Xн=0.±1. (7)
в которой
//_ = \ Лр\
о, =-(-1)"е
В области г >г%= там р( <р)
н;‘>{к\г-г\)= «\
Поэтому При г > г,
и'(г)= |У(9'|Я“Ч*|г-г'|М(р' =
= X с.К“(кг)с^.
где
(8)
и называется Т матрицей, а описанная техника реше**1я кроевой задачи />ефрсжции — методом Т-матриц
Для диаграммы рассеяния д(ф) будем иметь
| ./(^)'>е\р[/Ар<фОсаЦ<р - <р')\и<р' =
-£с/Л I'3'
В МДУ соотношение, аналогичное (1), вьн глядит следующим образом:
с = (/-0»‘с°. (14)
где I — единичная матрица, а элементы матрицы С и вектора с 0 имеют вид (9):
(]5|
х[,Хр<*»Я.' \/срНт^Н:"(кр)Ь "-V*.
I (Х») I
«■Г= ^ | (16)
х [рц> (сой Ф - ч>„) + р'( <р< ям 9 - <Р„ 1 ]* хе **‘
где //. т = —©о. <»
(9)
с.= Х<ЛА- (101
причем
Й„ = / (И|
о
В мстгринных обозначениях алгебраическая система (7) может быть записана следующим образом
НЬ = а (7а)
В результате из (7а) и (10) получаем что
с =ОЬ = ОН 'а ш Та (1а)
фракции плоской волны, подающей под углом ф0 * 0, на рэлеевском эллипсе с полуосями
Ь-8,*с-11.
Системы (7) и (14) являются бесконечными при числеимом решении выполним их усечение, ограничив диапазон изменения тип вел и-чиной N. В результате получим для МДУ и МТМ системы размером2М* 1 х2М+ 1. Обозначим дГЧ|(ф) диаграмму, полученную г^эи соответствующем усечении системы. Буд ем рос считывать вели^ну иих||гч<?) '
которая показывает, на сколько отличаются дк аграммы при различных N. Если < Ю"4,
т.е. в д иаграммах соепапрют по крайней мере 7 значащих цифр, будем считать, что требуемая точность расчета диаграммы д остигнута, и не имеет смысла далее увеличивать N. Дополнительно будем контролировать графическое совпадете диаграмм
В таблице 1 приведены результаты расчета величины &£ И^ри различных N,, д ля МДУ
и МТМ
Таблица 1
МДУ МТМ
л*.7Г» 4.7334279-10 ' 4.7133309 10
6.0765886-Ю”* 1.1055532 -10
3.3979730-Ю ’ 1.7063574 І0-*
2.4759473 І0 " 1.6644684 10*
4*Г« 8.3348103 Ю '* 3.2701861-10*
дкг- 1.555208 МО1’ 4,9959884 10*
Видно, что величины с®, хотя и не являются коэффициентами разложения падающей волны по цилиндрическому базису, но, как и коэффициенты ап в МТМ они зависят (функционально) только от угла ф0 падения первичной плоской волны.
Как в»доо из (14), для нахождения вектора С в МДУ необходимо обращать матрицу с заметно более сложными выражениям для матричных элементов, чем в МТМ. Одною при этом обратная матрица (I - С)'1 по существу уже является Г-матрицей, связывающей вектор С° коэффициентов, характеризующих подающую волну, с вектором с коэффициентов рассеянной волны, в то время, как в МТМ д ля получения Г-матрицы необходимо еще выполнить перемножение матриц (хотя и заметно более простых) О и Н . Представляет, таким обро-зом, интерес произвести сравнение скорости и точности вычислений по обоим методам
Рассмотрим в качестве примера зодрчу ди-
Вид но, что МДУ обладает намного более высокой скоростыо сход имости и позволяет получить вдвое большую точность, чем МТМ В МДУ мы добигмсь желаемой точности уже при N = 20, в то время как МТМ вообще не позволил получить желаемую точность. Максимально возможная точность, которую обеспечивает МДУ для данного рассеивателя составляет 8,3348103* 10-14, МТМ же обеспечивает только 1,6644684* 10'4. Можно заметить, что при N > 35 для МДУ и при N>25 для МТ М точность начк*оет уменьшаться. Это связою с тем что гри больших N увеличивается погрешность выделения спецфумкций, которая в конце концов приводит к полному разрушению алгоритма (см (6,71).
Сравним теперь время вычислений. В табл. 2 приведено время в секундах вычислений для МДУ и МТМ гри разлитых N для рассматриваемой задачи
60
Т-Сотт #3-2011
