Научная статья на тему 'Решение вариационной задачи по выбору оптимальной формы сжатого стержня'

Решение вариационной задачи по выбору оптимальной формы сжатого стержня Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
88
16
Поделиться
Ключевые слова
СТЕРЖЕНЬ / УСТОЙЧИВОСТЬ / ОПТИМИЗАЦИЯ

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Лопатин Илья Александрович

Представлено решение задачи о выборе закона изменения поперечного сечения стержня, обеспечивающего восприятие максимальной сжимающей силы при заданном объеме материала.

Похожие темы научных работ по механике , автор научной работы — Лопатин Илья Александрович,

SOLUTION OF THE VARIATIONAL PROBLEM FOR THE OPTIMAL COMPRESS ROD SHAPE

The paper provides the solution of the problem of choosing the law of change of cross section of a rod, providing for sensing the maximum compressive force for a given volume of material.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Решение вариационной задачи по выбору оптимальной формы сжатого стержня»

При локализации кистей рук людей наилучшие результаты показали методы пороговой сегментации и алгоритм Краскала: 91,75 и 95,38 % соответственно.

Средняя точность при локализации растений пороговой сегментацией составляет 90,9 %, алгоритмом Краскала - 91,2 %.

В ходе экспериментов было выяснено, что алгоритм Виолы-Джонса не подходит для сегментации растений, поскольку в процессе развития они неоднократно меняют свою геометрию, что затрудняет обучение каскадов Хаара. При этом точность локализации не превышает 37 %.

Все вычисления производились на компьютере Intel Core 2 Duo P8400 2,2 MHz, с 4 Гбайтами оперативной памяти. Следует отметить что реализации алгоритмов Виолы-Джонса и Краскала очень требовательны к ресурсам компьютера. Время работы алгоритма Виолы-Джонса превышает порог в 1 с при об-

работке небольших изображений, например при обработке изображения с размером 1 024x768 - более 3 с, при этом алгоритм Краскала выполняется за 0,4 с.

Библиографические ссылки

1. Бузаев Д. В., Зотин А. Г., Носов А. В. Сравнение методов для системы локализации и обнаружения лиц // Молодежь Сибири - науке России : материалы на-уч.-практ. конф. Красноярск, 2011.

2. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений : пер. с англ. М. : Техносфера, 2006.

3. Felzenszwalb P. F., Huttenlocher D. P. Efficient Graph-Based Image Segmentation // Huttenlocher Intern. J. of Computer Vision. 2004. Vol. 59, № 2. Р. 37-44.

4. Viola P., Jones M. Robust Real-Time Object Detection // Intern. J. of Computer Vision. Kluwer Academic Publishers, 2004. Р. 137-154.

A. G. Zotin, A. V. Nosov, D. V. Buzaev

ANALYSIS OF SUITABILITY OF SEGMENTATION METHODS BASED ON COLOR AND STRUCTURAL FEATURES FOR LOCALIZATION OF OBJECTS

The existing methods of segmentation, according to color and structural features, are considered. The algorithms of the most widely known methods of segmentation based on thresholding, graphs, and cascades are described. Results of the analysis of segmentation methods suitability for objects localization are shown for the cases ofplants, people's faces and areas of the hands.

Keywords: image analysis, segmentation, threshold processing, the Kruskal's algorithm, Haar's cascades.

© Зотин А. Г., Носов А. В., Бузаев Д. В., 2012

УДК 517.972.5

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

И. А. Лопатин

РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ПО ВЫБОРУ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ

Представлено решение задачи о выборе закона изменения поперечного сечения стержня, обеспечивающего восприятие максимальной сжимающей силы при заданном объеме материала.

Ключевые слова: стержень, устойчивость, оптимизация.

Осесимметричные пространственные фермы, составленные из прямолинейных стержней, нашли широкое применение в качестве адаптеров полезной нагрузки. Расчет таких конструкций проводится в предположении, что стержни фермы соединены шарнирно, а основным видом разрушения стержня является потеря устойчивости при действии на него сжимающей силы.

Стержни фермы в большинстве конструкций имеют постоянное по длине поперечное сечение. Однако использование в ферме стержней с переменным поперечным сечением позволяет создавать более эффективные конструкции [1; 2].

Рассмотрим шарнирно опертый стержень длиной I, нагруженный сжимающей силой Р. Пусть стержень имеет круглое поперечное сечение, радиус которого г

зависит от продольной координаты х. Длина стержня I и его объем У0 являются заданными величинами. Необходимо подобрать закон изменения радиуса поперечного сечения, который обеспечивает максимум критической силы Р при известном объеме стержня У0.

Сформулируем условие этой задачи как задачи вариационного исчисления. Объем стержня У0 определяется функционалом

V о = J п[г (х )] 2dx,

(1)

где г(х) - зависимость радиуса стержня от продольной координаты.

Уравнение устойчивости стержня имеет вид

Рм>

w н-----------

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

хх EJ (х)

= 0,

(2)

где w(х) - прогиб стержня; Е - модуль упругости; ,/(х) - момент инерции поперечного сечения.

На краях стержня выполняются следующие граничные условия:

^(0) = 0, м>(1) = 0. (3)

Момент инерции круглого поперечного сечения будет

J (х) =

n[r (х)] 4

Подставляя (4) в (2), получим

2

Г i \"|4 Д w

[r (x )J =—>

Wxx

где

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2 4P

(1 = —.

nE

2

Подстановка [r (x)] из (5) и параметра д из (6) в функционал(1) дает

v oVE

2^кР

hl- ~dx-

'' Wx

Объем У0 в уравнении (7) является постоянным. Поэтому минимум функционала

7=и- -

0 V Wх

-dx

обеспечивает максимум критической силы Р.

Уравнение Эйлера сформулированной вариационной задачи будет следующим:

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

-

-Wx^. I-— +

Wxx

-

Г

Wxx

w = 0.

С помощью замены

Wx

Wx

Умножим обе части уравнения (13) на 2wx:

2WxWxx = -2WxW

-1/3

Интегрируя уравнение (14), получим Wx = 'I3'J a 2-i

2/3

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Разделяя переменные и интегрируя уравнение (15) юмощью замены V = интеграл уравнения (9):

с помощью замены w = u3, dw = 3u2du, найдем общий

u 2 du l~2

\a -u

r + C.

(16)

Выполняя интегрирование в (16), получим общее решение дифференциального уравнения (9):

(4)

(5)

(6)

л/3

x — a

arcsin

+ C,

(17)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

где а и С - постоянные краевой задачи, которые находятся из граничных условий (3):

a =

2

Пу/3

С = 0.

(18)

Подстановка wxx из соотношения (13) в (5) дает следующее выражение для r(x):

(7)

(8)

(9)

(10)

(12)

(13)

(14)

(15)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

3

r =

\[^W.

(19)

С учетом (18) и (19) общее решение дифференциального уравнения (9) можно записать в виде

x = ■

l

■ r r arcsin----------. 1 -

V'о J

где

r0 =-

16l 2P

3n3E

(20)

(21)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

На основе решения дифференциального уравнения (20) получено следующее трансцендентное уравнение для определения оптимального закона г(х):

arcsinу-у/ 1 -у2 -n- s = 0,

где

дифференциальное уравнение (9) приводится к виду

^ - УЫх )х = 0. (11)

Интегрируя уравнение (11) с учетом граничных условий (3) и того, что у(0) = 0, запишем его решение:

r x

у=r0; s=1'

(22)

(23)

где с - постоянная интегрирования. Форма потери устойчивости стержня определяется с точностью до произвольного множителя с, для удобства принятого равным единице:

1

Для того чтобы уравнение (22) имело вещественные корни, достаточно, чтобы значения параметра s изменялись в следующих пределах:

0 < s < 0,5. (24)

Численное решение уравнения (22) было выполнено в приложении MATLAB. Для 100 значений параметра s (начальное значение параметра равно 0, шаг изменения параметра = 0,05) из промежутка (24) было найдено значение корня у (см. таблицу).

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Полученные результаты были аппроксимированы методами регрессионного анализа с помощью приложения Curve Expert (рис. 1). Аппроксимирующая функция имеет следующий вид:

У =-

ab + c - s b + sd

(25)

где a = 4,683 938 10-3; b = 4,683 938-10-3; c = 1,401 818; d = 5,531 21510-1.

W

v = -

W

W = -

Значения корня у для некоторых значений параметра s

5 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

Y 0,592 751 0,726 609 0,810 933 0,870 672 0,914 770

0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Y 0,947 521 0,971 293 0,987 481 0,996 904 1,000 000

Учитывая (23), получим

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

r = ro f(x) ,

где

f (x) =

ab + c\ x - \j

(26)

(27)

Рис. 1. График аппроксимирующей функции

Подставляя выражение для г(х) из (26) в (1), для заданного объема У0 имеем

V0

nj f 2( x)dx

(28)

Из уравнения (21) следует выражение для максимальной критической силы:

3пЕ4 (29)

P =

Подставляя (28) в уравнение (29) для максимальной критической силы Р, получаем

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

P =

3п3 E 1612

V0

nj f 2( x)dx

(3o)

Так как объем материала постоянный, то V - 4%112,

где I - момент инерции стержня, имеющего постоянное поперечное сечение.

(31)

Подставляя (31) в выражение для максимальной критической силы (30), получим

Р-Ьт^-^-Р- Р2)

у j f 2( x)dx

где Рс - максимальная критическая сила для стержня постоянного поперечного сечения.

Интеграл в выражении (32) определялся численно с помощью приложения МЛТЬЛБ:

j f 2(x)dx = 0,749 292-1.

Подставим (33) в (32):

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Ф* 1,36.

(33)

(34)

Рис. 2. Сравнение различных форм стержня

Анализ различных форм стержня показывает, что при заданном объеме У0 использование переменного поперечного сечения, является оптимальным, повышает на 36 % критическую силу по сравнению с критической силой стержня, имеющего постоянное поперечное сечение (рис. 2).

Библиографические ссылки

1. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М. : Гостехтеоретиздат, 1955.

2. Николаи Е. Л. Труды по механике. М. : Гостех-теоретиздат, 1955.

I. A. Lopatin

SOLUTION OF THE VARIATIONAL PROBLEM FOR THE OPTIMAL COMPRESS ROD SHAPE

The paper provides the solution of the problem of choosing the law of change of cross section of a rod, providing for sensing the maximum compressive force for a given volume of material.

Keyword: rod, stability, optimization.

© Лопатин И. А., 2012