CC BY
5
УДК 519.6
А.В. Сохацький
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ Р1ВНЯНЬ НАВ'е-СТОКСА З ВИКОРИСТАННЯМ КОМП'ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГ1Й
Постановка проблеми. Сучасний етап дослщження рiзноманiтних фiзичних явищ характеризусться широким використанням математичного моделювання з застосуванням комп'ютерних технологiй. Математичнi модел^ алгоритми, комплекси програм, електрообчислювальнi машини (ЕОМ) та системи ix тдтримки е важливими елементами моделювання. Сукупшсть вказаних елементiв створюе теxнологiчний ланцюг математичного моделювання: математична модель - чисельш алгоритми -програмування - ЕОМ - розрахунки - аналiз результат - прийняття рiшення.
Значна потреба в математичному моделюванш зумовлена наступними чинниками: складшсть дослiджуваниx задач, дорожнеча експериментального обладнання, зростання щн на енергоресурси, скорочення термiв дослщжень, успixи розвитку ЕОМ, необxiднiстю розробки автоматизованих систем управлiння на виробницга та рiзноманiтниx галузях людсько'1' дiяльностi.
Анал1з публ1кац1й по тем1 дослщження. Бшьшють фiзичниx процесiв, що вивчаються е нелiнiйними та еволюцiйними. Ix описують вiдповiдними системами рiвнянь. Теорiя таких рiвнянь вивчена недостатньо i для бiльшостi задач ix розв'язок може бути неединим [1]. Складшсть та багатомiрнiсть дослщжуваних явищ вимушуе приймати цiлий ряд припущень i шукати ix наближена постановку задача Математична модель повинна описувати основш закономiрностi дослiджуваниx процесiв. При виборi моделi необxiдно аналiзувати весь технолопчний ланцюг та враховувати не тшьки досконалiсть складових, але й рiвень теxнiчниx засобiв, що доступнi.
Вщсутшсть строгих доказiв iснування та едност розв'язку ставить питання про вщповщнють фiзико-математичноi моделi дослiджуваному явищу. При недостатнш iнформативностi процесiв слiд розглядати ряд варiантiв з рiзними моделями, що ураховують основнi закономiрностi явища. Таким чином вибiр та формулювання фiзико-математичниx моделей е багатопараметричною задачею, що вимагае для свого розв'язування аналiзу цшого ряду моделей.
Постановка задачь Необxiднiсть розв'язування складних задач вимагае розробки математичних моделей рiзного рiвня складностi, якi б описували закономiрностi дослiджуваниx явищ з потрiбною точнiстю [2-4]. Найбiльш поширеною математичною моделлю опису турбулентних течiй в наш час е осереднеш по Фавру-Рейнольдсу рiвняння Нав'е-Стокса, замкнув вiдповiдною моделлю турбулентно'1' в'язкостi. Вiдомi аналiтичнi розв'язки рiвнянь Нав'е-Стокса одержат, в основному, для випадюв, коли ix вдаеться призвести до лшшних, або знайти автомодельну змiнну. Ц розв'язки надають велику допомогу при розумшш практично важливих процесiв, але ix кшьюсть дуже незначна. Сучасний рiвень обчислювально'1' теxнiки та числових методiв дозволяе проводити моделювання течш на основi числового iнтегрування цих рiвнянь з використанням сучасних комп'ютерних технологш. Останнiм часом друкуеться все бшьше наукових праць з чисельних методiв розв'язку повних та осереднених рiвнянь Нав'е-Стокса. Ix аналiз показуе, що значний прогрес був досягнений в результат застосування скшченно^зницевих методiв та емпiричниx моделей турбулентностi. Проте юнуе i ще цiлий ряд проблем розв'язування задач аеродинамши з використанням рiвнянь Нав'е-Стокса. У зв'язку з цим необхщно проводити пошук нових ефективних шляxiв розв'язку рiвнянь Нав'е-Стокса для розрахунку аеродинамiчниx характеристик тш з використанням сучасних шформацшних теxнологiй.
Основна частина. Основними piB^HraM^ яю описують npocropoBi течп стисливо'1 в'язко'1 рiдини з постшними властивостями при вщсутност зовнiшнiх сил е осереднет рiвняння Нав'е - Стокса [2].
Осереднет рiвняння Нав'е-Стокса вiдносно узагальнених криволшшних координат (Ъ,,ц,С) мають вигляд
âq + âEzÊ+ézhÊ+ÉLzÊ.=н.
ât д£ дц âÇ
(1)
де E = ÇXEV +ÇyFv + , F = ^XEV +VyFv + ^2GV, G = ÇXEV +ÇVFV + Ç&, H -вектор
ix v l y v l zV
x v ^ y v ^ z v '
джерельних членiв.
Вектори q, Eh Fh Gh Ev, Fv, Gv визначаються наступними стввщношеннями
q =
J
p " pu ' " pv ' " pW ~
pu E = J pUu + p ■ F = J ppuV G ii Jl i puW
pv pUv pvV+p pvW
p pUw pwV pwW + p
_ Et _ _(Et + p )U _ _(Et + p )V _ _(Et + p )W _
Ev = J
ХУ
UTxx + vTxy + WTxz - q
F = J
UTxy + vTyy + WTxz - Яу
, G = J
ut + vt + wr- q
xz yz zz l.
де p - густина, u, v, w - декартовi складовi вектора швидкостi, U = %xu + + £zw, V = ^xu + ^yv + ^zw, W = Çxu + Çyv + Çzw - контраварiантнi складовi вектора швидкосп,
e = p
1 (u
2
£ + -\U2 + v2 + W2,
повна енерпя, t ,t ,t ,t ,t ,t
г ' xx 7 yy 7 zz? xy x2 У2
компоненти
тензора напружень, qx, q , q - тепловi потоки.
Система рiвнянь (1) доповнюеться рiвнянням стану
= (т-e-1 p\
2 2 2 e - — p(u + v + w
(2)
Для замикання системи рiвнянь (1) в роботi використано модель турбулентносп Спаларта -Аллмараса в реалiзацiï вiд'еднаних вихорiв (DES) [5].
Турбулентш ефекти описуються в рамках гiпотези Буссинеска про уявлення дотичних напружень з використанням натвемтрично'1 моделi для турбулентно'1 в'язкостi. Рiвняння (1) замикаеться диференщальним рiвнянням переносу вихорово'1 кшематично'1 псевдов'язкостi:
^+^(più,J)= Et + F -G + Tt
ât âx
(3)
1
0
0
0
r
t
T
xz
xx
xy
T
T
yz
yy
T
r
T
zz
xz
yz
де Et = —
а
(
дХ:
р{у+~
dxj J
+ СЪ2р
д ~ д ~
dxj dxj
- дифузiйний член, що задовольняе межовi
yMOBi на стiнцi V = 0 ; F = С\ (l- fa )Р ~ -вираз, що описуе виробництво тyрбyлентностi в обласп i пiдтримyе опис течп в ламiнарномy пiдшарi;
Г ~ !2
G = Cwlfw p\~ I - вираз, що описyе розпад тyрбyлентностi в ламiнарномy пщшарц
T = f paU2 + f2pCyI — ! - вираз наближеного опису перехiдного режимy з к ^ d J
згладжyвальними фyнкцiями fti, fi , якi забезпечyють перехщ вiд ламiнарного до тyрбyлентного режимy в пристiннiй областi.
Вихорова в'язюсть розраховyеться за спiввiдношенням:
Vur =PVfv 1, (4)
де fvl = 1 -%ъ/(хъ -С^)- демпферна функщя для вiдношення кiнематичних в'язкостей X = V/vlam , що вщповщае демпферу Ван-Дрiста. Допомiжнi спiввiдношення визначаються з виразiв
~ = fv3fi + T—2 fv 2 ,
(к Г v 2'
де d- найближча вiдстань до стшки, fv2 =1 - x/(1 + X-1), fi? =|Vx~|- модуль вихорy,
(1 + fX1 fv2 )
fv2
1
"v 2
fv3
X
fw = g[(+CW3 )/(g6+CW3 )f
g = Г + Cw2 (f6 - r) Г = (~K 2
Cw1 = Cj K2 +(1 + Cb2 Va,
Cw2 = 0,3, g = r + Cw2(r6 -r),
' 1+cl !
Cw3 = 2, f = g
g6 + C
w3
f1 = Cagt exP
- c.
12
AU2
■[d2 + gd II,
gt = min(0_1, AU/fiAx), f 2 = ct3 cxp (- ct4 x2 ^
Cv! = 7.1, Cv2 = 5.0, Ct! = 1, Ct2 = 2, Ct3 = 1.1, Ct4 = 2, CM = 0,1355, Съ2 = 0,622, Q3 = 2/3.
Модель вщокремлених вихорiв (DES) формуеться шляхом замши змшно!' d на d , яка визначаеться за формулою [6]
d = min (d, CD£SA) , (5)
де A = max (Ax, Ay, Az ), CDES = 0,65 - стала моделi DES.
В робот використовуеться модель тyрбyлентностi модель Спаларта- Аллмараса в реалiзацiï вщокремлених вихорiв.
Комп'ютерн1 розрахунки. Для чисельного розв'язування системи вихщних рiвнянь використано метод контрольного об'ему. Конвективш потоки через граш контрольного об'ему визначались за допомогою методу розщеплення Ван^ра [7].
д
Виконано числовi розрахунки обтшання перспективного транспортного засобу, який рухасться поблизу трапецеподiбноi шляхово'1' структури. Комплекс програм написано на мовi програмування БОЯТКАдаО.
Транспортний апарат мае вiсесиметричний корпус, перерiз якого мае форму близьку до кола. Носова та кормова частини мають елшсощальну форму. Розрахункова область складаеться з двох блоюв (рис.1.). Отка блока №1 мае H-подiбну форму у поздовжнiй площиш та С-подiбну форму у поперечнш площинi. Сiтка блока №2 також мае Н - подiбну форму у поздовжнш площинi та С - подiбну форму у поперечнш площиш. Загальна кшьюсть вузлiв складае 1214396. Вщстань до поверхнi трапецеподiбноi шляхово'1' структури складае h=0,0125 максимального поперечного розмiру мiделя транспортного апарата. Розрахунки проведено для чисел Рейнольда Яе=2000000 та Маха М=0,4.
Для розрахунку обтшання використовувалися осередненi за Рейнольдсом рiвняння Нав'е-Стокса, замкненi однопараметричною моделлю турбулентностi Спаларта-Аллмараса в реалiзацii вiдокремлених вихорiв [5,6].
За результатами розв'язування рiвнянь Нав'е-Стокса було отримано розподш величин тиску та вектора швидкосп навколо транспортного апарата. На рис.2-5 показано розподш iзобар, завихренносп, iзомах.
а) б)
Рис. 1. Багатоблокова структура розрахунково'1' обласп навколо корпусу швидкiсного транспортного апарата: а - перерiз у поздовжнш площиш; б - перерiз у поперечнш площиш
Рис. 2. 1зобари в площиш XOY розрахунково'1' обласп навколо корпусу швидкiсного транспортного апарата
Рис. 3. Ьзолшп завихренностi у площиш XOY розрахунково'1' областi навколо корпусу швидюсного транспортного апарата
Рис. 4. Ьзолшп завихренносп у площиш XOZ розрахунково'1 областi навколо корпусу швидюсного транспортного апарата
Рис. 5. 1зомахи площинi XOY розрахунково'1' област навколо корпусу швидкiсного транспортного апарата
Розрахунки показали, що при наближенш до шляхово'1 структури порушуеться симетрiя обтiкання. Зона найбiльшого тиску в носику змщуеться вниз до площини шляхово'1 структури. Це призводить до появи кабрувального моменту. Ид днищем транспортного апарата, в поздовжньому напрямку, тд дiею шляхово'1 структури зменшуеться величина тиску в порiвняннi з верхньою частиною. Мiж шляховою структурою та днищем транспортного апарата зона пониженого тиску бшьш виражена, шж над транспортним апаратом. В результат виникае вщ'емна тдшмальна сила, яка намагаеться змiстити транспортний апарат до шляхово'1 структури. Висновки та перспективи подальших дослщжень.
Розроблено методику, алгоритм та програмний комплекс для чисельного розв'язування осереднених рiвнянь Нав'е-Стокса замкнутих за допомогою однопараметрично'1 диференщально'1 моделi турбулентностi Спаларта-Аллмараса в реалiзацii вiд'еднанниx виxорiв. Наведено результати розрахунку аеродинамши перспективного транспортного апарата поблизу шляхово'1 структури.
Л1ТЕРАТУРА:
1. Ковеня В.М. Некоторые тенденции развития математического моделирования/ В.М Ковеня // Вычислительные технологии. - 2002.-Т.7. - № 2. - C.59-73.
2. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмш/ Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер. - М.: Мир, 1990. - Т.1. - 392 с. - Т.2. - 336 с.
3. Приходько А.А. Компьютерные технологи в аэрогидродинамике и тепломассобмене. / А.А. Приходько.- Киев: Наукова думка, 2003. - 380 с.
4. Приходько А.А. Математическое и экспериментальное моделирование аэродинамики элементов транспортных систем вблизи экрана/ А.А. Приходько, А.В. Сохацкий - Днепропетровск: Наука и образование, 1998. - 160 с.
5. Spalart P.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows/
P R. Spalart, S R. Allmaras // La Recherche Aerospatiale. - 1994.- N 1. - P. 5-21.
6. Forsythe J.R. Detached-Eddy Simulation of Fighter Aircraft at High Alpha / J R. Forsythe, K.D. Squires, K.E. Wultzer, P.R. Spalart// AIAA Paper. - 2002. -Vol.
0591.
7. Van Leer B. Flux-vector splitting for the Euler equations / B. Van Leer //Lecture
Notes in Phys. - 1982. - V. 170. - P. 507-512.
СОХАЦЬКИЙ Анатолш Валентинович - д.т.н., кафедра транспортних систем та технологий Академп митно! служби Украши, старший науковий ствроб^ник 1нституту транспортних систем та технологий НАН Украши.
Науковi штереси:
- математичне моделювання з використанням сучасних комп'ютерних технологий.
