Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.85

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА 1

Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений; преобразование Лапласа; система параллельной компьютерной алгебры.

Аннотация: В системе РагСА реализован алгоритм решения систем дифференциальных уравнений с использованием преобразования Лапласа.

Одной из актуальных задач компьютерной алгебры является задача решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эта задача решается в системе компьютерной алгебры РагСА.

Приведем основные этапы алгоритма.

Прямое преобразование Лапласа.

1. Преобразование левой части системы дифференциальных уравнений. В результате прямого преобразования Лапласа левая часть системы дифференциальных уравнений преобразуется в матрицу полиномов А(р) от одной действительной переменной р.

2. Преобразование правой части системы дифференциальных уравнений. Каждая функция в правой части разбивается на отдельные слагаемые и для каждого слагаемого применяется табличная функция для вычисления прямого преобразования Лапласа. Результатом будут целые

р

3. Преобразование начальных условий для системы дифференциальных уравнений. Резуль-

р

4. Вычисление для матрицы А(р) присоединенной матрицы А(р)* и определителя йеЬ(А(р)).

5. Вычисление комплексных корней полинома йеЬ(А(р)) с заданной точностью и разложение дроби 1/йеі(А(р)) в сумму простых дробей в комплексной области

6. Формирование вектора V, каждый элемент которого состоит из сумм преобразованных правых частей системы и преобразованных начальных условий.

7. Вычисление произведения присоединенной матрицы А(р)* на тактор V. В результате получим вектор элементы которого состоят из сумм рациональных дробей.

8. Разложение каждой дроби в компонентах вектора Ш в сумму простых дробей в комплексной области.

9. Вычисление произведения вектора Ш на выражение 1/йеЬ(А(р), которое записано в виде суммы простых дробей, и приведение подобных членов. В результате каждый элемент вектора Ш будет суммой простых дробей в комплексной области.

Обратное преобразование Лапласа.

10. Вычисление прообраза при преобразовании Лапласа, используя табличные функции, для каждой простой дроби и для каждого полинома в компонентах вектора Ш.

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).

© М. А. Рыбаков

1

Пример. Решить систему уравнений

Г x"{t) + x'(t) + y"(t) — y(t) = et,

\ x'(t) + 2x(t) — y'(t) + y(t) = e-t.

Начальные условия: x(0) = 0; x'(0) = 1; y(0) = y'(0) = 0.

Описание задачи на входном языке:

systLDE(D(x, t, 2) + D(x, t) + D(y, t, 2) — 3 = exp(t), D(x, t) +2x — D(y, t) + y = exp(-t))

InitCond(D(x, t, 0, 0) = 0, D(x, t, 0,1) = 1, D(y, t, 0, 0) = 0, D(y, t, 0,1) = 0).

Решение системы дифференциальных уравнений: x(t) = 0.125et — 0.125e-t + 0.750te-t, y(t) = 0.375tet — 0.375te-t.

В докладе обсуждаются эксперименты, в которых решались системы дифференциальных уравнений различной степени сложности, с использованием Межведомственного суперкомпью-терного центра РАН.

Abstract: the algorithm of solving systems of differential equations be means of Laplace transform method is realized in ParCA.

Keywords: systems of differential equations; Laplace transform; system of parallel computer algebra.

Рыбаков Михаил Анатольевич аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Mikhail Ribakov post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: [email protected]

УДК 517.911

BIFURCATIONS OF PERIOD ANNULI AND MULTIPLE SOLUTIONS OF TWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS 1

© F. Sadyrbaev

Keywords: nonlinear boundary value problem; multiple solutions; positive solutions; period annuli.

Abstract: The second order nonlinear boundary value problem is considered where the boundary conditions are of the Dirichlet type. The so called period annuli are possible if the graph of the primitive function satisfies certain conditions. Period annuli may generate solutions of the BVP. We obtain the conditions which ensure the existence of positive solutions of the BVP. These solutions are contained in period annuli.

1The author acknowledges financial support of Latvian Council of Science under grant N 09.1220.