CC BY
34
УДК 004.421
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 1
© М. А. Рыбаков
Ключевые слова: алгоритм решения систем дифференциальных уравнений, система дифференциальных уравнений, преобразование Лапласа.
В работе рассматривается алгоритм решения систем линейных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями с помощью преобразования Лапласа, приводятся примеры решения таких систем.
1 Введение
Одной из актуальных задач компьютерной алгебры является задача решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В работе [1] был рассмотрен случай, когда в правой части системы стоят непрерывные функции. С практической точки зрения наибольший интерес представляет система уравнений с кусочнонепрерывными правыми частями. Эта задача решается в системе компьютерной алгебры РагСА.
2 Алгоритм решения систем линейных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями
Приведём схему алгоритма.
Прямое преобразование Лапласа.
1. Преобразование левой части системы дифференциальных уравнений. В результате прямого преобразования Лапласа левая часть системы дифференциальных уравнений преобразуется в матрицу полиномов А(р) одной действительной переменной р.
2. Преобразование правой части системы дифференциальных уравнений. Каждая функция в правой части разбивается на отдельные слагаемые и для каждого слагаемого применяется табличная функция для вычисления прямого преобразования Лапласа. Результатом будут целые и дробно-рациональные выражения с действительной переменной р. Причем в полученные выражения могут входить Гамма-функции.
3. Формирование объектов (К) для хранения дробно-рациональных выражений с Гамма-функциями.
1 Работа выполнена при поддержке программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/1853).
4. Добавление в правую часть слагаемых, соответствующих начальным условиям для системы дифференциальных уравнений. Эти слагаемые являются полиномами переменной р.
5. Вычисление для матрицы A(jp) присоединённой матрицы А(р)* и определителя det(A(p)).
6. Вычисление комплексных корней полинома det{A[p)) с заданной точностью и разложение дроби 1 /det{A{p)) в сумму простых дробей в комплексной области.
7. Формирование столбца V, каждый элемент которого состоит из сумм преобразованных правых частей системы и преобразованных начальных условий.
8.Умножение присоединённой матрицы А(р)* на столбец V. Результатом будет столбец W, элементы которого состоят из сумм рациональных дробей.
9. Разложение дробей в столбце W в суммы простых дробей в комплексной области.
10.Умножение столбца W на выражение 1 /det(A(p), которое записано в виде суммы простых дробей и приведение подобных членов. В результате каждый элемент вектора W будет суммой простых дробей в комплексной области.
Обратное преобразование Лапласа.
11. Нахождение прообразов для простых дробей из вектора W при преобразовании Лапласа, используя табличные функции. И восстановление прообразов по массиву объектов К.
3 Пример
Решить систему уравнений:
Г x'"(t) — x'(t) — 2x(t) — y"'[t) + y(t) = (t2e2i - e^UnitStepÇt — 1) + etUnitStep(t),
\ 3x"'(t) + x' (t) — 2x'(t) + y"'{t) + y(t) = (e2t — te^UnitStepit — 1) + tetUnitStep(t).
Начальные условия: æ(0) = 5;x'(0) = 10;rr"(0) = 30; y(0) = 4;y'(0) = 14;y"(0) = 20. Описание задачи на входном языке: systLDE(
D(x,t, 3)-D(x,t)-2x—D(y,t, 3)+y = i2e2ti7mi5iep(i-l)-etC/mi5iep(i-l)+eit/miS,iep(i), 3D(x,t, 3) + D(x,t, 2) - 2D(x,t) -I- D(y,t, 3) +y — e2tUnitStep(t - 1) - téUnitStep{t - 1) + teiUnitStep(t)))1
InitCond{D(x, t, 0,0) = 5, D(x, t, 0,1) = 10, D(x, t, 0,2) = 30,
D(y, t, 0,0) = 4, D(y, t, 0,1) = 14, D(y, t, 0,2) = 20).
Решение системы дифференциальных уравнений:
x{t) = i2(10.031)e_t - (1.25)eÉ + (5.539)eL228i + 2ea356t(-3.736 cos(0.513i) +
15.530 sm(0.513i)) + 2e~a595(-0.924 cos(0.831i) + 0.061 sm(0.830i)),
y(t) = (10.031)e_i + (0.5)e* - (8.948)eL228i + 0.5e‘i + 2ea356i(-0.493 cos(0.513i) +
33.959 sm(0.513i)) + 2e-°-595t(1.702 cos(0.831i) + 0.930 sm(0.831i)).
ЛИТЕРАТУРА
1. Рыбаков М. A. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа. Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 14, вып. 4, 2009, 791-792.
2. Malaschonok N.A. An Algorithm for Symbolic Solving of Differential Equations and Estimation of Accuracy. Computer Algebra in Scientific Computing. LNCS 5743. Springer, Berlin, 2009, 213-225.
3. Малашонок Г.И. О проекте параллельной компьютерной алгебры. Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 14, вып. 4, 2009. С.744-748.
Ribakov М.A. Solving systems of linear differential equations with a piecewise continuous right-hand parts by means transformation Laplace. An algorithm for solving systems of linear differential equations with a piecewise continuous right-hand parts by means transformation Laplace is considered. Examples for solving such systems are received.
Key words: algorithm solution systems of differential equations, systems of differential equations, Laplace transform.
Поступила в редакцию 20 ноября 2009г.
УДК 004.421
ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ АЛГОРИТМОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРИСОЕДИНЁННОЙ МАТРИЦЫ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ УМНОЖЕНИЕМ ФАЙЛОВЫХ МАТРИЦ1 © А. А. Бетин
Ключевые слова: вычисление присоединённой матрицы, параллельный алгоритм, кластер, файловые матрицы, произведение матриц.
Приводятся и обсуждаются результаты с параллельным алгоритмом вычисления присоединённой матрицы и параллельным умножением файловых матриц.
1 Эксперименты с параллельным алгоритмом вычисления присоединённой матрицы
В работе [1] был рассмотрен параллельный алгоритм вычисления присоединённой матрицы. Рассмотренный алгоритм был программно реализован для многопроцессорных вычислительных систем. Эксперименты с параллельным алгоритмом проводились на вычислительном кластере МВС-100К в МСЦ РАН.
1 Работа выполнена при поддержке программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/1853) и Темплана 1.12.09.
