Решение сингулярных интегральных уравнений теории крыла модифицированным методом панелей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.642.7

Д. Г. РЕДРЕЕВ

Омский филиал ИМ СО РАН

РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ КРЫЛА

МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ПАНЕЛЕЙ

Предложен модифицированный метод панелей, позволяющий повысить точность решения краевых задач обтекания крылового профиля. Это достигается за счет специальной аппроксимации уравнения контура и учета особенности решения в окрестности передней кромки для тонкого профиля. Проведены тестовые расчеты, показывающие эффективность метода.

1. Краевые задачи теории крыла удобно сводить к решению интегральных уравнений, поскольку это снижает размерность задачи. В частности, задачу обтекания крылового профиля потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости можно свести к сингулярному интегральному уравнению (СИУ). Это уравнение, как прапило, решается приближенно численными методами. Среди них одним из эффективных является метод панелей [ 1 -3]. Метод панелей сводит исходное интегральное уравнение к системе алгебраических уравнений (СЛАУ) путем замены контура профиля и искомого решения соответствующими аппроксимациями. Для гонких телесных профилей метод панелей дает недостаточную точность [2]. В настоящей работе построена модификация метода панелей — метод криволинейных панелей, который позволяет повысить точность решения за счет использования аппроксимаций уравнения контура и решения, учитывающих особенности соответствующих функций. Приведены результаты численных расчетов, показывающие эффективность разработанного метода.

2. Пусть контур профиля Ь задан в комплексной плоскости (рис. 1). Его передняя и задняя кромки имеют соответственно комплексные координаты

Пусть контур имеет угловую либо острую заднюю кромку и вне нее обладает непрерывной кривизной.

Задача обтекания крылового профиля потенциальным стационарным потоком идеальной несжимаемой жидкости может быть сведена к СИУ относительно интенсивности вихревого слоя У, моделирующего контур I [2], При введенных обозначениях уравнение имеет вид:

-у(:)+Ке

2 т

¿3

= - Яе(е""

(1)

где л- - дуговая координата точки £ , Т>х - величина комплексно-сопряженная скорости потока на бесконечности = \рх\е'а [а - угол атаки), в{г) -угол наклона касательной к Ь в точке - , направление касательной соответствует обходу Ь , при котором область вне контура остается слева. Уравнение (1)следует дополнить условием

Г(г,) = 0, (2)

следующим из постулата Кугга-Жуковского об ограниченности скорости жидкости стационарного потока в угловой или ос трой задней кромке.

3. Приведем основные идеи метода панелей. Метод панелей сводит решение (1) к решению СЛАУ.

Для этого контур £ аппроксимируется контуром Ь , составленным из панелей . Уравнение (1) записывается на Ь , при этом искомая функция представляется на как полином с неизвестными коэффициентами. Далее в ряде контрольных точек

е ставятся условия удовлетворения полученного интегрального уравнения. Эти условия дополняются (2). В результате получается система уравнений для определения коэффициентов полинома, задающего приближенное решение.

Точность решения зависит от точности приближения контура Ь, углов наклона его касательных и решения соответствующими аппроксимациями. Для построения аппроксимаций обычно применяются линейные сплайны. Однако для тонких профилей они обладают большой погрешностью в окрестности передней кромки, что приводит к недостаточной точности метода панелей. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

4. Обратимся к аппроксимации контура. Пусть

Ь = и , где Ьк - разомкнутые контуры с концами в передней и задней кромках, которые имеют

координаты г0 =0,2, =1 (рис. 1). Пусть задают-

Рис. 1. Контур профиля

в

-0,01 о

-0,01 о

0,04

X 0,09

а)

б)

Рис. 2. Углы наклона касательной к профилю Жуковского и его аппроксимации линейным сплайном (а) и предлагаемым способом (б) (сплошная линия - точная функция, кружки аппроксимация!

ся уравнениями у = /к (х) , £к (х) = х + г[к (х) е Ьк, хе[0,1] и на равномерной сетке Д = {х, = /г = 1 / И, / = 0, ..., Ы) определены значения /к1 = /¿(х(). Определим аппроксимацию £ как I = и ¿2 • Контуры Ьк, к = 1,2 аппроксимируют

¿1 и составлены из панелей = . Пусть

/=0

задается уравнением у =/к(х), £к(х) = х +

+ 1/к(х)еЬк, х € [0,1].

Применим интерполяцию линейным сплайном для

аппроксимации Ьк, тогда [к (х,) = [к , л:, б А, панели

. X" ' — X

задаются уравнениями >' = Л,(*) = Л, — ---

А

/ = 0...../V-!.

В окрестности передней кромки эта аппроксимация обладает большой погрешностью, растущей по мере утончения профиля. Для иллюстрации приведем графики (рис. 2а) углов наклона касательной к тонкому (относительная толщина 1%) симметричному профилю Жуковского в(х) и к его аппроксимации линейным сплайном (уу = 20)-

Рассмотрим аппроксимацию решения, Обозначим через ук, £ = 1,2 сужение У на Ьк. Аппроксимацию ук - ук (х) = ук (С,к (х)) линейным сплайном будем обозначать ук = ук (х) = ук (£к (х)) ■ Ап" проксимация всего решения у определяется как

(функция, равная ук ни Ьк . Эта аппроксимация также имеет большую погрешность в окрестности передней кромки, где у обладает большим градиентом. При уменьшении толщины профиля градиент растет, что приводит к увеличению погрешности. В качестве примера приведем аппроксимацию линейным интерполяционным сплайном (Д/=20) функции у| (х) (интенсивность на верхней дужке) ддя точного

решения (1) с параметрами | |= 1, а = 10 на том же симметричном 1% профиле Жуковского (рис. За).

Таким образом, для тонких профилей рассмотренная аппроксимация контура и решения обладает большой погрешностью в окрестности передней кромки, и ее применение в методе панелей может привести к недостаточной точности [2].

5. Повысить точность метода панелей возможно, если воспользоваться более точными аппроксимациями, учитывающими асимптотику уравнения контура в окрестности передней кромки и особенность решения при утончении контура. Далее построим такие аппроксимации и модификацию метода панелей на их основе, которую назовем методом криволинейных панелей.

Для начала построим аппроксимацию контура [4].

Пусть функции /к, к = 1,2 в окрестности точки х - 0 имеют асимптотику ^ и могут быть представлены в виде

у = М= /=; (0) * 0. (3)

Такой асимптотикой обладает широкий класс крыловых профилей, например, профили, у которых окрестность передней кромки задается дугой окружности. Обозначим толщину профиля

б = шах I/, (х) - /2 (х)| и определим утончение

,те[0.1] 1

-0,01 0

0,04

л: о.оэ

1г1

15

о

-0,01 о

0,04

X 0,09

а) б)

Рис. 3. Аппроксимация решения уравнения (1) линейным сплайном (а) и предлагаемым способом (б) (сплошная линия - точная функция, кружки - аппроксимация]

контура как S —» 0 • Зададим характер утончения контура как

limFt(0) = 0. (За)

Учитывая (3), определим Lk уравнениями

у = ft (л) = (х) ,£(*,) = Fh = Ft {х, ), / = 0.....Л' • (4)

Панели Lki, / = 0,.... N - I задаются уравнениями

Теперь перейдем к выводу СЛАУ метода криволинейных панелей для определения коэффициентов

gkl в (9). Запишем (1) на контуре Ь (4) с искомой функцией в виде (8):

f(r) + Re

\

g/(9(r) J_ J2 î Z

7 ni

ds

h h Производная fk определяется по формуле

2Vx h

(5)

(6)

(10)

Прежде чем записать интегральное уравнение (10) в контрольных точках, преобразуем интеграл по контуру к удобной форме: в виде линейной комбинации коэффициентов gkl. Для этого запишем его

в виде суммы интегралов по панелям Ьк1. Затем в каждом интеграле перейдем к интегрированию по х

Аппроксимация (4), (5) уже не имеет снижения точности в окрестности передней кромки. Пусть

Рк е С2 [0,1] I тогда погрешность имеет оценку

/к(х)-/к(х) = ^0(И2),

0к(х)-вк(х) = ^О(И2),хе[ 0,1].

где 9к (х), 9к (х) - утлы наклона касательной соответственно к в С/с(х) и в £к(х)- Для иллюстрации рассмотрим углы наклона касательной к тому же симметричному 1% профилю Жуковского и к его аппроксимации, построенной предложенным способом (рис 26).

Теперь построим аппроксимацию для у. При утончении контура имеет большой градиент в окрестности передней кромки, а в пределе (профиль обращается в дужку) имеет асимптотику х'уп. Представим Ук в виде

(при этом ds = Jki{x)dx, Jki(x) = yj\ + {/k,(x)f ) и, наконец, воспользуемся представлением ук (8), (9):

i«l.2 )----О T.L, -

--lïT^^-r

Л- = l. 2 iH) Xi i—

(и)

Rb(z)=Pb(z) + Qt, _,(?),

где Çk,(x) = x + if/a(x)' Функции Pk,(z\ Qh(z) определены формулами

PkN^.Qk -I -0;

r lx)- ,-— m pu (?) = J

dx

Это представление соответствует асимптотике У. В самом деле, учитывая (3), (За), получаем, что при

выполняется ~JxJк(x)->4x при х«0-

Аппроксимируем ук функцией ук = ук (х)

е*,(2> f

? - Çh 00

dx

l h4x z~Çki (x)

, i = 0,...,N- 1

1,2,

rt(x) = h, W, w ^Jt(x),

Jjx) = лДНЛ'Дл-))2

где gkl -линейнаяфункция

(8)

/ = 0,..., /V -1.

Определим, насколько точно (8), (9) позволяет аппроксимировать точное решение. Для этого положим в (9) £к/ = gk (х1), тогда погрешность (8) в

предположении gk,Fk еС'"[0,1] может быть оценена как

ук(х)-ук(х) = 0(Ь),хе[0,\].

Следовательно, ук также не имеет понижения точности в окрестности х = 0- Для иллюстрации рассмотрим аппроксимацию предложенным способом функции 7,(х) для точного решения на том же симметричном 1 % профиле Жуковского и при тех

же параметрах | |= 1, а - 10 , что и ранее (рис. 36).

Выберем контрольные точки е Ьгп , г ■ п = 0,..., N - 1 по формулам

С = х0п + /у, (х0„), х0п = х„ + А , у„ в (0,1). (12)

С учетом (11) запишем (10) в контрольных точках (12), полагая г = ^ , и получим уравнения

in i =1.2/ = Ч

(13)

= - Re(e"7,*:' !î,J, r = 1.2 , n = 0.....S - 1.

В (13) ) вычисляется с использованием (6)

по формуле

) _ 1 + '/,»(*о»)

лЫ/ж,,))2;

интегралы Рш ), ^ } _ входящие в ^ ^ о } _ в

случае к = г, ¡-п являются сингулярными и их следует понимать в смысле главного значения по Коши.

а2

62

Рис. 4. Сравнение решений для 10% (а1, а2) и 1% (61, 62) профиля Жуковского (сплошная линия - точное решение, точки -стандартный метод панелей, кружки - метод криволинейных панелей)

К уравнениям (13) необходимо добавить условие (2), имеющее здесь вид у^ (1) + у2 (1) = 0 [2], и условие

непрерывности у{ (0) = у2 (0). Используя (8), (9), запишем первое условие как

= 0.

(14)

7,(1) J2( 1)

Второе условие, полагая У к (0) = '¡го Y к (•*•) и используя представления (6), (8), (9), запишем в виде

g|Q _ S20 ^10 ^20

= 0.

(15)

Для этих же приближенных решений приведем погрешность (рис. 5) е(х) = шах {е, (х), с2 (х)) , где

в узлах сетки

Уравнения (13) - (15) составляют СЛАУ для определения коэффициентов gkl,k-\,2, ¡ = 0,..., N приближенного решения (8), (9) уравнения (1) методом криволинейных панелей.

6. Приведем результаты численного эксперимента по сравнению решения (1) стандартным методом панелей (аппроксимация линейным сплайном контура и решения) и методом криволинейных панелей. В уравнении (1) полагалось | Х>т | = 1, а = 10 , расчет производился на симметричных профилях Жуковского с толщиной 10% и 1%. При решении стандартным методом панелей линейный сплайн строился на равномерной сетке с /V = 20. контрольные точки выбирались на расстоянии 3/4 от Мины панели [2]. При решении уравнения методом криволинейных панелей также полагалось Л^ = 20.а для выбора контрольных точек (12) предварительно были проведены тестовые расчеты, показавшие

целесообразность выбора \>п = 3/ 4, п = 0.....N - 1.

Результаты расчетов изображены на рис. 4. В левой колонке (а 1, а2) даны расчеты для толстого 10%, в правой (61, 62) - для тонкого 1% профилей. Сплошной линией изображено точное решение У, точками — приближенное решение, полученное стандартным методом панелей (а 1, 61), кружками -решение, полученное предлагаемым методом криволинейных панелей (а2, 62).

шпро-4х и

с к (*) =1У к (*)" У к (*) I / тах | у(0 |,

более густой, чем применялась в методе панелей. На рис. 5а дана погрешность для 10% профиля Жуковского, на рис. 56 — погрешность для 1% профиля, точками изображается погрешность стандартного метода, кружками - модифицированного,

Сравнивая на рис. 4, 5 соответствующие графики, приходим к следующему выводу. Для толстых профилей применение и стандартного метода панелей, и модифицированного приводит к погрешности одного порядка. Для тонких профилей стандартный метод приводит к недостаточной точности в окрестности передней кромки, в то время как метод криволинейных панелей обладает высокой точностью, позволяя устранить погрешность стандартного метода папелей.

7. Делаем основные выводы. Применение аппд ксимации контура с выделением множителя аппроксимации решения с выделением множителя, учитывающего особенность интенсивности для тонкого контура, позволяет предлагаемому н работе методу криволинейных панелей решать СИУ, к которым сводятся краевые задачи обтекания крылового профиля, с высокой точностью как для толстых, так и для тонких профилей. Решение интегрального уравнения для толстых профилей модифицированным методом обладает незначительным преимуществом в точности перед стандартным методом панелей. Для тонких профилей уравнение целесообразно решать модифицированным методом, поскольку стандартный метод дает недостаточную точность. Следует отметить, что предлагаемый метод позволяет решать СИУ, используя лишь равномерную сетку, без сгущения, тем самым упрощая алгоритм расчета.

Метод криволинейных панелей также может быть применен для решения других уравнений, подобных (1), (2). К примеру, ядро интеграла в уравнении (1)

0,6

£ 0,4

0,2 -<

О -

Оф

0

0,5

X 1

1,5 -,

! -

0,5 0

о

0,5 X

а|

б)

Рис. 5. Погрешность решения для 10% (а) и 1% (б) профиля Жуковского (точки - погрешность стандартного метода панелей,

кружки _ предлагаемого метода)

может иметь другой вид, а условие (2) может быть заменено другим условием.

Библиографический список

1. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Телес, Л. Вроубел. - М.: Мир, 1987.

2. Горелов Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла /Д. Н. Горелоп. ■ Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

3. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике / Под ред Т. Круз, Ф. Риццо. • М.: Мир, 1079.

4. Горелов Д.Н., Редреев Д.Г. Применение кубических сплайнов для аналитического представления замкнутого контура, заданного таблицей координат / Д. Н. Горелов, Д. Г. Редреев // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2005. - №2(22]. - С. 26-31. - Т. 8.

РЕДРЕЕВ Денис Григорьевич, аспирант.

Дата поступления статьи в редакцию: 24.06.06 г. © Редреев Д.Г.

УДК 535 621 31 в. и. ГОРБУНКОВ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ГАЗОРАЗРЯДНЫХ ЛАМП__

На примере широко распространенной ртутной дроссельной бактерицидной лампы, работающей на постоянном токе, рассмотрен вопрос влияния колебаний сетевого напряжения на спектральные характеристики газоразрядных ламп. Отмечается соответствие спектральных характеристик газоразрядных ламп, размещенных в непрозрачном металлическом корпусе по закону излучения Планка.

Введение

Неослабевающий интерес к источникам ультрафиолетового диапазона [1] заставляет обратить внимание на характеристики излучения ртутных ламп, подверженных влиянию целого ряда факторов. Одним из основных факторов нестабильности излучения газоразрядных ламп низкого давления (НД), учесть который достаточно сложно, является изменение напряжения в сети. Следует ожидать, что уровень нестабильности интегрального и монохроматического излучения в целом соответствует уровню нестабильности напряжения сети, поэтому важна оценка излучательных характеристик дроссельной ртутной газоразрядной лампы как объекта управления при стабилизации интенсивности излучения.

На близость газоразрядных источников света к термодинамически равновесным указывал еще С.Э.Фриш |2], и он же предупреждал о сложности характера протекающих в них процессов, отличающихся от равновесия.

Основная часть

Исследования проводились на лабораторной установке, состоящей из ртутной газоразрядной лампы (ДРБ-8) с пусковым устройством для питания лампы на постоянном токе [3] (см. рис.1).

Подогрев катода лампы осуществлялся кнопочным включателем с возвратом, время переключения которого не более 0,2 с.

Для моделирования колебания сетевого напряжения на входе схемы установлен регулирующий