Решение с потенциалом Хиггса на алгебре октонионов в ранней вселенной Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 12/2017 ISSN 2410-700Х_

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 524.851

Дорофеев В. Ю.,

канд. физ.-мат. н., доцент, Лаборатория теоретической физики им. А. А. Фридмана,

Санкт-Петербург, Россия.

РЕШЕНИЕ С ПОТЕНЦИАЛОМ ХИГГСА НА АЛГЕБРЕ ОКТОНИОНОВ В РАННЕЙ ВСЕЛЕННОЙ

Аннотация

Исследуются решения дифференциального уравнения с потенциалом Хиггса на алгебре октав Кэли в ранней Вселенной с различными значениями констант.

Ключевые слова Нелинейное дифференциальное уравнение, потенциал Хиггса.

Введение. Потенциал Хиггса в полевых уравнениях обычно рассматривается без своей привязки к дифференциальному уравнению для которого он написан, так как главный интерес исследователей, который вызывает этот потенциал состоит в поиске решений вблизи минимума потенциала Хиггса. Автором [1] показано, что рассмотрение полей на алгебре октав Кэли приводит к нелинейному уравнению следующего вида

x) + ay 3( x) = 0, a = ±1. (1)

Формально это уравнение не является уравнением с потенциалом Хиггса, так как различные значения постоянной a в этом уравнение приводят к различны по структуре решениям - либо периодическим [1], либо быстро растущим или быстро убывающим, то возникает мысль обобщить данное уравнение, добавив в его правую часть управляющий линейный полевой член by(x) с различным по знаку коэффициентом b. Приведение д. у. с стандартному виду. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

A"(t) + s2c2A3(t) + s1c12A(t) = 0, s12 = ±1, 0. (2)

где ci,2 - постоянные величины и A"(t) = d2A/dt2. Сделаем замену t = x/Ci, A(t) = Ciy(t)/C2, в результате получим:

y"(x) + s2 y3(x) + s1y(x) = 0 S1,2 =±1,0, (3)

где A"(x) = d2A/dx2. Назовём вид (3) стандартным видом д. у. (2). Первый интеграл д. у. (3). Умножим (3) на y'(x) и проинтегрируем:

2y'2 +2^y2 + S2y4 = E, 2y'2 = E - 2sxy2 - ^y4 > 0, (4)

при этом 2y'(0)2 + 2siy2(0) + S2y4(0) = E. В зависимости от знаков si,2 постоянная E также может быть как положительной либо равной нулю, так и отрицательной.

Второй интеграл д. у. (3). Если S1 = S2 = -1, то как показано в [1], решение периодическое. Если же S1 = S2 = 1, то нетрудно проинтегрировать (4), то есть

} 42dq

] U , Л „ =±(x - x0) (5)

y^2q + q + E

решение коллапсирующее, то есть за конечное время (порядка единицы) амплитуда достигнет либо бесконечного значения в случае положительной начальной производной, либо нулевого значения, если начальная производная отрицательна. Аналогичное поведение решения будет и при нулевой постоянной S1. Поэтому остались только случаи разных знаков S1 и S2.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 12/2017 ISSN 2410-700Х

а). Рисунок 1. б).

а). Sl = 1, S2 = - 1. Как видно из рисунка 1 а), решение определяется начальными значения поля, которые определяют E, которая либо больше единицы, либо меньше: для малых положительных значений амплитуды и её производной существует периодическое решение, а для больших значений поля решение только коллапсирующее.

б). Sl = - 1, S2 = 1. Как видно из рисунка 1 б) , если решение существует (а квадрат производной на Рисунке 1 должен быть неотрицательным), то оно обязательно периодическое. Действительно, рассмотрим интеграл

у J2dq

. I 9 , -±(Х ~ Хо) (5)

гол/-^ + q + Е

при q = р + уо приближающемся к уо подынтегральное выражение ведёт себя как 1/^р, а при устремлении к бесконечности подынтегральное выражение ведёт себя как 1^2. Таким образом интеграл конечен на промежутке (уо, +®). Это означает, что за конечное время амплитуда поля достигнет бесконечно большого значения и другого решения нет.

Выводы. Периодическое решение (4) возникает всегда при положительном значении постоянной при старшей степени поля и допустимых начальных условиях, определяемых постоянной Е. Если при старшей степени поля стоит отрицательная постоянная, а начальные значения малы по сравнению с единицей и допустимы (4), то также возникают периодические решения.

Если постоянная при старшей степени поля в (4) отрицательна, а начальные значения поля велики по сравнению с единицей, то решение коллапсирующее - за малое время (порядка единицы) амплитуда поля достигнет либо бесконечно большого значения, либо станет равной нулю в зависимости от знака производной, при этом решение не периодическое.

Благодарности.

Работа выполнена при финансовой поддержки фонда РФФИ, Грант № 15-02 06818 «Суперколлайдеры элементарных частиц во Вселенной».

Список использованной литературы 1. Дорофеев В. Ю. Нелинейное решение на алгебре октонионов в ранней вселенной. Инновационная наука. г. Уфа: «Аэтерна», №3-2/2017, с. 10-11.

© Дорофеев В. Ю., 2017

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 12/2017 ISSN 2410-700Х_

ХИМИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 541.123.6

Солиев Лутфулло,

доктор химических наук, профессор кафедры «Общая и неорганическая химия» ТГПУ им. С.Айни, г. Душанбе, Республика Таджикистан.

E-mail: Soliev.lutfullo@yandex.com Усмонов Мушаммадсалим Бозорович, кандидат химических наук, заведующий кафедры «Химическая технология и экология»

ТГПУ им. С.Айни, г.Душанбе, Республика Таджикистан

E-mail: usmonov.86@mail.ru Мухиддинов Шошрух Бахтиёрович, магистр кафедры «Химическая технология и экология» ТГПУ им. С.Айни,

г. Душанбе, Республика Таджикистан. Мухторов Парвиз Алимашмадович, магистр кафедры «Химическая технология и экология» ТГПУ им. С.Айни, г. Душанбе, Республика Таджикистан.

ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ Na, Ca //CO3, F- H2O ПРИ 50оС

Аннотация

Методом трансляции исследованы фазовые равновесия системы Na, Ca //CO3, F- H2O при 50оС. Установлено, что для неё характерно наличие 3 нонвариантных точек, 7 моновариантных кривых и 5 дивариантных полей. Построена замкнутая фазовая диаграмма исследованной системы.

Ключевые слова

метод трансляции - фазовые равновесия -компоненты - диаграмма - геометрические образы -нонвариантные точки - моновариантные кривые - дивариантные поля.

Диаграмма состояния химических систем является главным инструментам при создании технологии переработки природных и технических солевых, оксидких и металлических объектов. Закономерности фазовых равновесий регулируют условия кристаллизации и растворению соединений в соответствующих химических системах и служат научной основой для создания оптимальных условий их выделения.

Знание закономерностей фазовых равновесий в системе Na, Ca// СО3, F- H2O необходимо не только в теоретическом аспекте, т.к. она не исследована вообще [1], но и также для поиска оптимальных условий переработки природного и технического (жидких отходов производства алюминия) сырья, содержащих карбонаты, фториды натрия и кальция.

В работе рассмотрены результаты исследования фазовых равновесий в системе Na, Ca// СО3, F- H2O при 50оС методом трансляции. Метод трансляции базируется на принципе совместности элементов строения частных n компонентных и общей n+1 компонентной системы в одной диаграмме [2] и правило фаз Гиббса [3]. Более подробно применение метода трансляции, для исследования фазовых равновесий в многокомпонентных водно - солевых системах, рассмотрены в работах [4 - 6]. Ранее методом трансляции была исследована данная система при изотермах 0 и 25оС [7 - 8].

Исследуемая четырёхкомпонентная взаимная система Na,Ca//CO3, F - H2O включает следующие трёхкомпонентные системы: Na2CO3 - CaCO3 - H2O; NaF - CaF2 - H2O; Na2CO3 - NaF - H2O и CaCO3 -CaF2 - H2O.

Согласно [7] трёхкомпонентные системы Na2CO3 - CaCO3 - H2O и Na2CO3 - NaF - H2O исследованы методом растворимости и для них, соответственно, установлены две и одна нонвариантные точки. Относительно изученности трёхкомпонентных систем NaF - CaF2 - H2O и CaCO3 - CaF2 - H2O в литературе информации нет. Если принят, что они являются простыми эвтоническими, то для исследуемой четырехкомпонентной системы на уровне трёхкомпонентного состава характерно следующие нонвариантные точки с характерными для них равновесных твёрдых фаз (табл. 1).