Решение проблемы Гронвелла об эквивалентности грассмановых тканей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.763.7

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ГРОНВЕЛЛА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

ГРАССМАНОВЫХ ТКАНЕЙ

© А. М. ШЕЛЕХОВ Тверской Государственный Университет, кафедра функционального анализа и геометрии e-mail: amshelekhov@rambler.ru

Шелехов А. М. — Решение проблемы Гронвелла об эквивалентности грассмановых тканей // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 311—320. — Пусть GW и GW — две эквивалентные грассмановы три-ткани, образованные слоениями размерности r > 1, p — локальный диффеоморфизм, переводящий слоения ткани GW в слоения ткани GW. Тогда p — проективное преобразование. Отсюда вытекает положительно решение проблемы Гронвелла в случае r > 1: если W — грассманизуемая три-ткань, p и p — локальные диффеоморфизмы, отображающие ткань W на грассманову три-ткань, то pp-1 — проективное преобразование. В случае r =1 проблема Гронвелла имеет положительное решение для нерегулярных тканей. Грассманова три-ткань GW, эквивалентная заданной регулярной грассмановой три-ткани GW, определяется вместе с отображением p с произволом в 12 постоянных.

Ключевые слова: три-ткань, грассманова три-ткань, эквивалентные три-ткани, проблема Гронвелла

Shelekhov A.M. — Solution of Gronwell problem on equivalence of grassmannian webs // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 311—320. — Let GW and GW be

two equivalent Grassmannian three-webs, formed by the leaves of dimension r, and p be a local diffeomorphism which maps the foliations of GW onto the foliations of GW. Then, p is a projective transformation. It follows from that the positive solution of the Gronwell problem in case r > 1: let W be a grassmannizable three-web, p and p be local diffeomorphisms mapping the web W onto a Grassmannian three-web, then pp-1 is a projective transformation. In case r = 1 the Gronwell problem has a positive solution for non-regular webs. A Grassmannian three-web GW which is equivalent to the given regular Grassmannian 3-web GW, together with the corresponding local diffeomorphism p, exists with the arbitrariness of 12 constants.

Keywords: three-web, Grassmannian three-web, equivalent three-webs, Gronwell problem

1. Напомним, что три-тканью называется совокупность трех слоений коразмерности r на гладком многообразии размерности 2r. При этом областью определения ткани считается максимальная область, в которой слоения трансверсальны, то есть в каждой точке области определения проходящие через нее слои ткани трансверсальны.

Следуя В. Бляшке, мы рассматриваем ткань с точностью до локальных диффеоморфизмов, то есть до наиболее широкого отношения эквивалентности. Локальные диффеоморфизмы сохраняют трансверсальность слоев ткани, замкнутость или незамкнутость конфигураций, образованных слоями ткани.

Пусть W — три-ткань, образованная тремя r-мерными слоениями на гладком многообразии X размерности 2r, причем r > І. В касательном пространстве Tp произвольной точки p многообразия X возникает конус Сегре Cp, образованный двумерными плоскостями, трансверсальными касательным пространствам к слоям Fi (i = 1, 2, 3) ткани W, проходящим через точку p [1]. Конус Сегре Cp несет также однопараметрическое семейство r-мерных образующих, изоклинных по отношению к тройке плоскостей Ti, касательных к слоям ткани Fi в точке p.

Диффеpенциально-геометpическая стpуктуpа, опpеделяемая на многообразии полем конусов Се^е, называется почти ^ассмановой стpуктуpой и обозначается AG(1,r + 1). Таким образом, три-ткань, заданная на многообразии, естественным образом определяет на нем почти ^ассманову стpуктуpу, которая обозначается AGW.

Предложение 1. При локальных диффеоморфизмах грассманова структура переходит в грассманову структуру.

□ Действительно, если Ф : X ^ X — локальный диффеоморфизм, то dФ|p : Tp ^ Tp — биекция. Следовательно, dФ|p сохраняет размерность пересечения подпространств касательного пространства, и поэтому конусы Сегре переводит в конусы Сегре. Ш

Следствие 1. Пусть ткани W и W, заданные соответственно в областях D и D, эквивалентны, то есть существует локальный диффеоморфизм Ф : D ^ D, переводящий слои ткани W в слои ткани W. Тогда Ф сохраняет почти грассманову структуру AGW, то есть поле конусов Сегре переводит в соответствующее поле конусов Сегре.

□ Действительно, dФ|p переводит касательные пространства к слоям ткани W в точке p в касательные пространства к соответствующим слоям ткани W в точке Ф^) Поэтому конус Серге Cp, определяемый грассмановой структурой AGW, перейдет в конус Сегре Cp, p = Ф^), определяемый грассмановой структурой AGW. Ш

Напомним некоторые определения из [1]. Почти ^ассманова стpуктуpа, заданная на многообразии X, называется r-полуинтегpиpуемой, если на X существует (r + 1)-паpаметpическое семейство r-меpных подмногообpазий Vr, коте^ые в каждой своей точке касаются r-меpных обpазующих конуса Сегре, причем каждая такая обpазующая касается одного и только одного подмногообpазия Vr.

Аналогичным обpазом опpеделяется 2-полуинтегpиpуемость почти ^ассмановой стpуктуpы и соответствующие интегральные подмногообpазия V2. Если почти ^ассманова стpуктуpа AG(1, r + 1) является одновpеменно r- и 2-полуинтегpиpуемой, то она называется интегpиpуемой.

Три-ткань W называется изоклинной, если определяемая ею грассманова структура AGW является r-полуинтегрируемой. Соответствующие интегральные подмногообразия этой структуры называются изоклинными поверхностями три-ткани. В частности, изоклинными поверхностями являются слоения три-ткани.

Три-ткань называется трансверсально-геодезической, если определяемая ею грассманова структура AGW является 2-полуинтегрируемой. Соответствующие интегральные двумерные поверхности называются трансверсально-геодезическими.

Три-ткань называется грассманизуемой, если она является одновременно изоклинной и трансверсально-геодезической.

Предложение 2. При локальных диффеоморфизмах r-полуинтегpиpуемая и 2-полуинтегpиpуемая грас-смановы структуры переходят соответственно в r-полуинтегpиpуемую и c2-полуинтегpиpуемую грас-смановы структуры.

□ Действительно, локальные диффеоморфизмы переводят поверхности, касающиеся конуса Сегре в точке p, в поверхности, касающиеся соответствующегося конуса Сегре в соответствующей точке pT. Ш

Отсюда вытекает

Следствие 2. При локальном диффеоморфизме а) изоклинная три-ткань переходит в изоклинную, причем ее изоклинные поверхности переходят в изоклинные поверхности; б) трансверсально-геодезическая три-ткань переходит в трансверсально-геодезическую, причем ее трансверсально-геодезические поверхности переходят в трансверсально-геодезические поверхности; в) грассманизуемая три-ткань переходит в грассманизуемую, причем ее изоклинные и трансверсально-геодезические поверхности переходят соответственно в изоклинные и трансверсально-геодезические поверхности.

Грассманизуемая три-ткань эквивалентна так называемой грассмановой ткани, которая определяется на грассмановом многообразии С(1,п + 1) прямых проективного пространства Рп+1 следующим образом [1]. Пусть Ха (а = 1, 2, 3) — три гладкие гиперповерхности в проективном пространстве Рг+1, р — некоторая прямая, пересекающая их (но не касающаяся) в точках ж, у и г соответственно. На грассмановом многообразии С(1, г +1) в окрестности прямой p возникает три-ткань, слоями которой служат связки прямых с вершинами, лежащими на поверхностях Ха. Такая три-ткань называется гpассмановой и обозначается СШ. Грассманова три-ткань определена существенно локально, так как только о достаточно близких к р прямых можно утверждать, что они, как и прямая р, трансверсальны поверхностям Ха.

Отметим, что для грассмановой ткани условие "три слоя из разных семейств проходят через одну точку" означает "три связки прямых из разных семейств содержат общую прямую".

В [1] доказано следующее

Предложение 3. Всякая грассманизуемая три-ткань эквивалентна (локально диффеоморфна) некоторой грассмановой ткани СШ. При этом изоклинными поверхностями грассмановой ткани СШ, проходящими через точку р, соответствуют всевозможные связки прямых, содержащие прямую р — образ точки р. Трансверсально-геодезическими поверхностями грассмановой ткани СШ, содержащими прямую р, являются всевозможные плоские поля прямых, двумерные носители которых содержат р.

Пусть теперь СШ и СШ — две эквивалентные грассмановы три-ткани, определенные на грассмановых многообразиях С(1, п +1) и С(1, п+1) прямых проективных пространств Р”+1 и Р)п+1 соответственно. Пусть, как и выше, Ф : С(1,п +1) ^ С(1,п +1) есть локальный диффеоморфизм, переводящий слои ткани СШ в слои ткани СШ. Тогда, согласно следствию 2, Ф переводит изоклинные поверхности первой ткани в изоклинные поверхности второй, то есть связки прямых пространства Рп+1 переводит в связки прямых пространства Рп+1.

Отсюда следует, что Ф порождает точечное отображение Рп+1 ^ Рп+1, обозначим его р.

Лемма. Отображение р является проективным.

□ Действительно, пусть р — произвольная прямая в Рп+1. Рассмотрим семейство связок прямых, вершины которых лежат на р. Чтобы найти образы точек прямой р при отображении р, надо найти образы соответствующих связок при отображении Ф. Но последнее переведет связки в связки, а прямую р, как общий элемент всех связок, переведет также в общий элемент всех связок, то есть в некоторую прямую р. Таким образом, вершины всех связок-образов окажутся на одной прямой. Следовательно, р переводит прямые в прямые, то есть является проективным преобразованием. ■

Таким образом, вместо отображения Ф можно рассматривать отображение р, поскольку оно также переводит прямые в прямые. Итак, доказано

Предложение 4. Если грассмановы ткани СШ и СШ эквивалентны, то соответствующий локальный диффеоморфизм есть проективное преобразование.

Покажем, что отсюда вытекает решение проблемы Гронвелла, то есть верно Предложение 5. Если ткань Ш грассманизуема, то локальные диффеоморфизмы, переводящие ее в грассманову ткань, отличаются не более чем на проективное преобразование.

□ В самом деле, пусть локальный диффеоморфизм в переводит грассманизуемую ткань Ш в грассманову ткань СШ, а локальный диффеоморфизм в переводит ткань Ш в грассманову ткань СШ. Тогда преоб-

разование в о в-1 переводит грассманову ткань СШ в грассманову ткань СШ. Согласно предложению 4, это некоторое проективное преобразование П, так что в о в-1 = П или в = в о П. ■

2. Пусть теперь г = 1, то есть СШ — грассманова три-ткань на проективной плоскости Р2, заданная кривыми Ьі і = 1, 2, 3. В этом случае конус Сегре вырождается в плоскость, так что предыдущий способ рассуждений не применим.

Следуя [1], рассмотрим на проективной плоскости Р2 подвижной репер {Аи} (и, г, ад = 0,1, 2), уравнения инфинитезимальных перемещений которого записывают в виде

^Аи = ©иА^, (1)

а формы ©и удовлетворяют уравнениям структуры проективного пространства:

а©и = ©^ л ©;. (2)

Совместим точки Ао и А2 подвижного репера с текущими точками М1 и М2 кривых Ь1 и Ь2 соответственно, а точку А1 поместим на пересечение касательных к Ь1 и Ь2 в точках Ао и А2. Тогда уравнения

кривых Ь1 и Ь2 запишутся соответственно в виде

©о = 0, ©2 = 0, (3)

а формы ©0, ©°+1 будут базисными формами грассманова многообразия С(1, 2) прямых плоскости Р2.

Найдем уравнение кривой Ьз, описываемой точкой М3. Так как эта точка лежит на прямой А0А2 и не совпадает ни с одной из точек Ао, А2, то репер можно нормировать условием М3 = Ао + А2. Дифференцируя это соотношение с помощью (1), придем к равенству:

^Мз = ©о Ао + ©2А2 + (©о + ©2ОА1.

Исключив отсюда точку А2, получим

ЙМз = ©2Мз + (©о - ©2)Ао + (©1 + ©1)А1.

Так как точка М3 описывает кривую, то форма ©° — ©2 должна выражаться через форму ©о + ©°:

©о — ©2 = а(©о + ©1). (4)

Это и есть уравнение кривой Ьз в рассматриваемом репере.

Пучки прямых, образующих три-ткань СШ на грассмановом многообразии С(1, 2), в построенном репере выделяются уравнениями

©1 = 0, ©1 = о, ©о + ©1 = 0.

Поэтому формы ©° = Ш1, ©2 = Ш2 будут базисными формами грассмановой три-ткани СШ, см. [1]. Найдем структурные уравнения три-ткани СШ. Из уравнений (2) находим:

Й©1 = ©о л ©о + ©1 л ©1, Й©1 = ©2 л ©1 + ©1 л ©1. (5)

Как видно из уравнения (4), формы ©о и ©2 могут быть представлены в виде:

©о = © + а©о, ©2 = © — а©2, (6)

где © — некоторая форма Пфаффа. Внося эти выражения в (5), получим уравнения

й©° = ©о л ш, ^©2 = ©2 л ш, (7)

где обозначено

eQ - e.

(8)

Сравнивая уравнения (7) со структурными уравнениями произвольной три-ткани (см. [1]), мы видим, что форма ш есть форма связности Г ткани .

Дифференцируя внешним образом уравнения (3) и применяя лемму Картана, выразим формы 02 и через базисные формы

eQ

eQ, eQ:

e2 = bQeQ, eQ = -b2eQ.

Диффеpенциpуя внешним обpазом уpавнение (4), придем к уравнению

(9)

Va + eQ - eQ = -b3(eQ + e2),

(1o)

где обозначено Va = da — aw. С учетом (9) последнее pавенство запишется так:

Va = (b1 — b3)eQ + (b2 — b3)e2.

(11)

Дифференцируя какое-либо из равенств (6), получим уравнение

de = —b3eQ л e2,

а диффеpенциpуя фоpму w, опpеделенную pавенством (В), получим уpавнение

dw = eQ л eQ + eQ л e2 — de.

Отсюда в силу (В) и (9) находим:

dw = beQ л eQ,

(12)

где

b = b1 + b2 + b3.

(1З)

Уpавнения (12) есть в точности структурные уравнения произвольной три-ткани [1], следовательно, b есть ^ивизна грассмановой три-ткани GW.

3. Дифференцируя внешним образом уравнения (9) и (10), получим квадратичные уравнения

(db1 — 2bQw — abQeQ) л eQ = o, (db2 — 2b2w + ab2eQ) л eQ = o,

(db3 — 2b3w — ab3eQ) л (eQ + e2) = o.

Отсюда

db1 — 2b1 w = cQeQ + abQeQ, db2 — 2b2w = —ab2eQ + c2e2, db3 — 2b3 w = ab3eQ + c3(eQ + eQ).

Продолжая подобным образом уравнения (14), придем к уравнениям

ЙС! — Зсхш = с110° + (ас1 + 3(61)2 + 26162 + 61 Ь3)@2,

^С2 — Зс2ш = —(ас2 + 26162 + 3(62)2 + 6263 ) 00 + С22 0°, йсз — Зсзш = (асз — 26163 — 6263 — З(63)2)0° + С32(00 + 02)-

Продолжая уравнения (15), получим уравнения

Йс21 — 4с21ш = с1110д + (ас21 + а6!63 — 2а6162 + 1061с1 + Б62сд + З63с2 + 61с3)0°, ЙС22 — 4С22Ш = —(аС22 + 2а6162 + Б61С2 + 1062С2 + З63С2 + 62С3)0° + С222©2,

ЙС32 — 4с32ш = (ас32 — 2а6163 — Б61с3 — З62С3 — 1063С3 — 63С2)00 + С322(0° + ©2)-

(14)

(1в)

(1б)

w

4. С произвольной криволинейной три-тканью W связаны относительные инварианты: кривизна b и ее ковариантные производные, определяемые уравнениями:

db — 2bw = biwi + b2^2, (17)

dbi — 3biW = bii^i + bi2^2, db2 — 3b2^ = b2iWi + b22W2, (18)

dbii — 4bii w = biiiWi + bii2^2,

dbi2 — 4bi2 W = bi2iWi + bi22^2, (19)

db2i — 4b2i W = b2iiWi + b2i2W2,

db22 — 4b22 W = b22iWi + b222W2,

и т. д., см. [2]. Эти инварианты связаны соотношениями вида

bai2e — ba2ie = ( mod « + 2)bba, (20)

где а в — мультииндексы из чисел 1 и 2, а mod а — длина мультииндекса а. В частности, из (20)

получаем:

bi2 — b2i = 2b2. (21)

Независимых ковариантных производных в дифференциальной окрестности порядка к всего к — 2 [2].

С другой стороны, грассманова три-ткань задается тройкой кривых, которые определяют относительные инварианты а, bi, b2, b3 , ci, С2, сз, cii,..., см. уравнения (14) - (16). Эти системы правильно про-

должаемы, и в каждой дифференциальной окрестности дают 3 новых относительных инварианта. Итак, у нас имеется 2 геометрических объекта: относительные инварианты ткани и относительные инварианты тройки кривых. Первые можно выразить через вторые (один объект охватывает другой, по терминологии Г. Ф. Лаптева). Чтобы получить соответствующие уравнения, надо продифференцировать уравнение (13) и заменить полученные дифференциалы с помощью (14) и (17). Сравнивая в полученных соотношениях коэффициенты при независимых базисных формах, получим равенства:

bi = ci + С3 — ab2 + ab3, b2 = С2 + сз + abi. (22)

Дифференцируя далее (22) и пользуясь уравнениями (15) и (18), придем к соотношениям

bii — cii + С32 + 2ac3 + (a) (b + b) — b(b + b) — 4(b ) ,

b12 = c32 + acQ — ac2 + ac3 + 3(bQ)2 — (b2)2 — (b3)2 + 2bQb2 + bQb3 + 2b2b3,

b21 = c32 + acQ — ac2 + ac3 + (b1)2 — 3(b2)2 — 3(b3)2 — 2bQb2 — 3bQb3 — 2b2b3,

b22 = c22 + c32 + (a)2bQ + bQ(b2 — b3).

(2З)

Продифференцировав первое и последнее уравнения (23), с помощью уравнений (16) и (19) получим, в частности:

6112 = С322 + асц + 2ас32 + (а)2(с2 + с3) + С1(1061 + Б62 + З63) — 61С2 + С3(262 — 1063)+ + а(—З6162 + 2(62)2 — 2(63 )2), (24)

6221 = С322 — ас22 + ас32 + (а)2С1 + С1(62 — 63) — С2(Б61 + 1062 + 463) — С3(661 + 462 + 1063)+

+ а(2(61)2 — З6162 — Б6163)-

Вычитая второе уравнение из первого, найдем с учетом (23) и (22):

6112 — 6221 = а(6ц + 622 — 621) — (а)36 — 86С3 — а6(Б6 — 862).

Отсюда

86С3 = —6112 + 6221 + а(6ц + 622 — 621) — (а)36 — а6(Б6 — 862). (2Б)

5. Пусть теперь СШ — еще одна грассманова три-ткань, заданная на проективной плоскости Р2 кривыми Ь г = 1, 2, З. Соответствующие ей формы и функции обозначим теми же символами, что для ткани Ш, но с тильдой. Тогда для этих форм будут выполняться все написанные выше соотношения (3) - (25). _

Предложение 6. Пусть три-ткани Ш и Ш эквивалентны. Тогда соответствие между реперами можно установить так, что в выбранных реперах кривизны и соответствующие ковариантные производные кривизны будут совпадать.

□ Предположим, ткани СШ и СШ эквивалентны, тогда соответствующий локальный диффеоморфизм Ф задается уравнениями [1]:

0 0 = Р01, 0 2 = Р02- (26)

С другой стороны, эти уравнения определяют некоторое отображение грассманова многообразия прямых

С(1, 2) плоскости Р2 на грассманово многообразие прямых С(1, 2) плоскости Р2.

Дифференцируя уравнения (26) внешним образом, пользуясь структурными уравнениями (2) и аналогичными с тильдой, придем к равенствам:

(р + р(00 — 01 — 0 0 + 01)= р101, (27)

йр+^(02 — 01 — 02 + 01)= Р201- ( )

Вычитая из первого уравнения второе и пользуясь соотношениями (4) и аналогичными с тильдой, получим

(ра — р2й)(0° + 0°) = Р100 — Р20°-

Отсюда находим р1 = —р2 = ра — р2а, в результате из двух уравнений (27) остается одно независимое, которое можно переписать в виде:

( 1п р + 00 — 0]; — 0 0 + 01 = (а — ра)00- (28)

Прежде, чем продолжать это уравнение, вспомним, что кривизна 6 ткани является относительным инва-

риантом веса 2, и при допустимой замене базиса форм

01 = А01, 01 = А02 (29)

преобразуется формуле 6 = А26 [2]. Поэтому из формулы (12) и аналогичной формулы для ткани СШ

получим (ш = (ш, откуда

ш = ш + (р. (З0)

С другой стороны, при преобразовании (29) форма ш преобразуется следующим образом: ш = ш +

(1п А [2]. Выбирая подходящим образом А, приведем равенство (30) к виду

ш = ш. (З1)

Заметим, что после того, как нормировка (31) произведена, замена форм (29) допустима только при постоянном А.

Из соотношений (31) и (8) вытекает равенство 0]; — 0 = 01 — 0, которое перепишем в виде

01 — 01 = 0 — 0 - (З2)

С учетом последнего равенства уравнение (28) примет вид

(1п р + 00 — 0 — 00 + 0 = (а — ра)00,

откуда в силу первого из равенств (6) и аналогичного с тильдой получаем йр = 0, то есть р — постоянная. Заметим, что допустимой заменой (29) с постоянной А величину р можно привести к единице. В результате предыдущее уравнение примет вид

Непосредственным вычислением с использованием структурных уравнений тканей Ш, СШ и уравнения (31) доказывается следующее

Предложение 7. Уравнение (33) вполне интегрируемо, то есть его внешнее дифференцирование приводит к тождеству.

Теорема. Пусть СШ — криволинейная нерегулярная грассманова три-ткань. Тогда эквивалентная ей грассманова три-ткань СШ вместе с соответствующем локальным диффеоморфизмом Ф существует с произволом 8 постоянных.

□ Будем считать, что три-ткань Ш задана, а эквивалентную ей три-ткань Ш вместе с соответствующим диффеоморфизмом требуется найти. Тогда формы 0^, кривизну 6 ткани Ш, ее ковариантные производные функции а, 61, 62, 63 и т.д. надо считать известными. В силу предложения 6 кривизна ткани Ш и ее ковариантные производные также будут известными величинами, а формы 0^ и функции а, 61, 62, 63 и т.д., входящие в уравнения ткани Ш, аналогичные уравнениям (16) - (18), подлежат определению. Формы 0^ удовлетворяют уравнениям (26’) и уравнениям, аналогичным уравненям (3), (4), и т.д.:

Отметим, что в силу приведенных уравнений тканей СШ и СШ уравнение (32) вполне интегрируемо.

Для ткани СШ будут иметь место уравнения, аналогичные уравнениям (14), которые в силу (26’), (31) и (34) имеют вид:

(61 — 261 ш = + a6102, (62 — 262ш = —а6200 + с202,

00 - 0 - 00 + 0 = (а - 5)00,

(33)

(26')

Ь = Ь,

(34)

а дифференцирование последнего равенства с учетом (17) (26’) и (34) даст

Ьі = Ьі, 62 = 62,

(35)

и т.д. ■

02 = 0, 00 = 0, 00 - 02 = 5(01 + 02), 01 = Ь10і, 0? = -Ь20і, уа = (Ь1 - Ь3)0? + (Ь2 - Ь3)0?,

(4')

(9')

(11')

(3')

(33')

йЬ3 - 2Ь3^ = аЬ300 + г3(00 + 01).

Функции Ь1, Ь2 и Ь3 связаны соотношением

Ь1 + Ь2 + Ь3 = Ь,

(14')

(36)

которое получается из условия (34). Если отсюда выразить b3 и подставить в третье уравнение (14’), то оно удовлетворится тождественно. Таким образом, в системе (14’) остается два независимых уравнения.

Далее заметим, что функции с1, с2 и с3 связаны соотношениями, аналогичными соотношениям (22). В силу (35) они запишутся так:

bi = ci + С3 — ab2 + ab3, b2 = C2 + C3 + ab1. (22')

Выразим отсюда с1 и c2 через c3, подставим в первые два уравнения (14’) и продифференцируем их внешним образом. Разрешив полученные квадратичные уравнения по лемме Картана, после некоторых преобразований придем к уравнению:

dc3 — 3 c3w = [b2l + (a)2(b — 2b1 — 2b2) + b(bl + b2) + a(b2 — b1) — 2(bl)2 + 2(b2)2]0j+

(37)

+ [bl2 — ac3 + (b)2 + (a)2(b — 2b1 — 2b2) — b(3bl + 4b2) + a(b2 — ь1) — (b1)2 + зь1ь2]©1.

Непосредственным вычислением доказывается Лемма. При внешнем дифференцировании уравнения (37) получается тождество.

Доказательство использует само уравнение (37), уравнения (17) - (21), (25), (11’), (14’), (36), (22’).

Таким образом, для определения неизвестных форм и функций мы получили систему из 12-ти пфаффовых уравнений: (26’), (3’), (4’), (9’), (33’), первые 2 уравнения (14’) и уравнение (37), замкнутую относительно операции внешнего дифференцирования (обозначим эту систему £). Следовательно, эта система вполне интегрируема и решение существует [3].

Найдем произвол существования решения. Так как ткань по условию не является регулярной, то b = 0, и функция С3 в уравнении (25) присутствует. Продифференцируем (25) и заменим dС3 по формуле

(37). Приравнивая в полученном равенстве коэффициенты при базисных формах, получим 2 соотношения, в которые входят неизвестные функции b1, b2 и a (обозначим эти соотношения Д). Из них выразим b1 и b2 через a и подставив найденные значения в (25) и соотношения типа (22), записанные для ткани GW, выразим через a функции С3, Ci и С2.

Затем продифференцируем соотношения Д и заменим в полученных равенствах величины db1 и

db2

с помощью (14’), а bi и bi — с помощью Д. В результате получим уравнения содержащие только одну неизвестную функцию a. Так как решение исследуемой системы существует, то из этих соотношений найдем a. В результате в системе £ останется 8 уравнений: (26’), (3’), (4’), (9’) и (33’). Следовательно, произвол существования - 8 постоянных [3].И

Следствие. Произвольное проективное преобразование плоскости переводит грассманову ткань в грассманову и зависит от 8-ми постоянных. Следовательно, других преобразований, кроме проективных, не существует. Отсюда вытекает положительное решение гипотезы Гронвелла.

В случае, если ткань GW является регулярной (шестиугольной), то b = 0 и уравнение (25) тождественно обращается в нуль. В этом случае в системе £ останется 12 независимых уравнений, следовательно, решение существует с произволом 12 постоянных. Последние имеют следующий геометрический смысл. Как известно, регулярная грассманова ткань определяется тройкой кривых, принадлежащих одной кубической кривой, обозначим ее K. Чтобы задать ткань GW, эквивалентную ткани GW, надо задать произвольную кубическую кривую — это 9 параметров (неоднородные коэффициенты уравнения кривой K). Чтобы задать соответствие между тканями GW и GW, надо выбрать на последней шестиугольную фигуру, соответствующую некоторой фиксированной шестиугольной фигуре ткани GW. Шестиугольная фигура задается тремя произвольными точками на кубике K — итого 12 параметров.

Следствие. Полученные результаты верны и для прямолинейных тканей, поскольку между грас-смановыми и прямолинейными тканями существует коррелятивное соответствие.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М. А. Акивис, А. М. Шелехов. Многомерные три-ткани и их приложения// Тверской госуниверситет, Тверь, 2010, 307 с.

2. Лазарева, В.Б.; Шелехов, А.М.; Уткин А.А.: К теории криволинейных три-тканей. Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Том 124, Москва, 2010, с. 63-114.

3. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения.