CC BY
23
ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2009
Секция 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.713
РЕШЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ^-РЕГУЛЯРНЫХ ЯЗЫКОВ
В. Г. Бушков, Н. В. Евтушенко
Многие задачи синтеза и анализа реактивных систем могут быть сведены к решению уравнения вида СоХ = Б, где С, X, Б суть регулярные или ^-регулярные языки и о — операция композиции языков. Компонента С описывает поведение известной части системы и называется контекстом, компонента Б описывает общее поведение системы и называется спецификацией, X есть неизвестная компонента, поведение которой необходимо найти. В данной работе мы рассматриваем случай, когда компоненты системы взаимодействуют между собой асинхронно, т. е. допускаются произвольные задержки по времени между событиями взаимодействующих компонент. Асинхронное взаимодействие компонент описывается операцией параллельной композиции.
В классе регулярных языков любое разрешимое уравнение имеет наибольшее решение, которое может рассматриваться как резервуар, содержащий все возможные решения, интересные с теоретической или практической точек зрения [1]. Для уравнений, компонентами которых являются регулярные языки, известны методы нахождения наибольшего решения [2]. Поскольку регулярные языки ассоциируются с полуавтоматами и автоматами [3], то решение уравнения для регулярных языков сводится к решению соответствующего автоматного уравнения.
^-Регулярные языки состоят из слов бесконечной длины и описываются полуавтоматами Бюхи (ВисЫ) [4]. Полуавтомат Бюхи распознает слово а, если и только если а посещает финальные состояния бесконечное число раз. Для регулярных языков операция параллельной композиции включает в себя операцию распространения, которая описывает поведение компоненты относительно других компонент системы, и операцию ограничения, которая описывает поведение компоненты относительно интересующих нас алфавитов. Соответственно при определении параллельной композиции для ^-регулярных языков мы также должны определить эти операции. Мы исследовали несколько различных операций распространения ^-языка и выбрали операцию, которая вставляет между символами слов языка всевозможные конечные последовательности, определенные над внешним алфавитом. Иными словами, каждая компонента «общается» с внешней средой посредством конечных слов, но композиция в целом функционирует бесконечно долго. Для определения операции ограничения мы ввели понятие полуавтомата Бюхи с так называемыми е-переходами, где е — пустое слово. Ограничение ^-регулярного языка вводится аналогично ограничению регулярного языка, но операции ограничения ^-регулярного языка и регулярного языка обладают различными свойствами. Введенные операции распространения и ограничения позволяют определить операцию параллельной композиции ^-регулярных языков подобно операции параллельной композиции для регулярных языков.
Как показывает следующий пример, несмотря на то, что операции параллельной композиции регулярных и w-регулярных языков очень похожи, методы решения уравнений для регулярных языков не могут быть напрямую применены при решении уравнений для w-регулярных языков. Рассмотрим w-регулярные языки C = ((¿i + i2)(ui + U2))*(ilUi )ш + (¿2«2)Ш и S = (ii + ¿2)**! (где верхний индекс W означает бесконечную конкатенацию слова) и их множества конечных префиксов Init(C) = ((¿1 + ¿2)(ui + U2))*(ilUi)* + (¿2^)* и Init(S) = (ii + ¿2)*** = (¿1 + ¿2)*. Наибольшим решением уравнения Init(C) о X = Init(S) является регулярный язык Sol = (ui +u2)*. Как обычно, определим предел регулярного языка L как w-регулярный язык, содержащий каждое бесконечное слово, множество конечных префиксов которого содержится в L. Взяв предел регулярного языка Sol, получим lim(Sol) = (ui + u2)!. Однако w-язык (ui + u2)! не является решением уравнения CоX = S, так как (ui + u2)! содержит слово u!, расширение которого на алфавит I содержит слово (i2u2)!, а значит, пересечение C П (lim(Sol))^/ будет содержать слово (i2u2)!, ограничением которого на алфавит I будет слово ¿!, не содержащееся в S. Однако можно показать, что формула наибольшего решения для w-регулярных языков имеет такой же вид, как и при решении уравнения для регулярных языков, т. е. наибольшее решение уравнения C о X = S есть w-язык C о S .В нашем примере наибольшим решением уравнения является w-регулярный язык (ui + u2)!\u%.
Бушков В. Г. выражает благодарность фонду Бортника за финансовую поддержку по проекту 8858, Евтушенко Н. В. выражает благодарность РФФИ за финансовую поддержку по проекту 06-08-89500.
ЛИТЕРАТУРА
1. Buffalov S., El-Fakih K., Yevtushenko N., et al. Progressive solutions for a parallel automata equation // FORTE’03. Berlin: Springer, 2003. P. 367-382.
2. Yevtushenko N. V., Villa T., Brayton R. K., et al. Sequential synthesis by language equation solving // Intenational Workshop on Logic Synthesis. June, 2000.
3. Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов. М.: Физматгиз, 1962. 476 с.
4. Mukund M. Finite-state automata on infinite inputs // The 6th National Seminar on Theorectical Computer Science. Banasthali, Rajasthan, India, 1996. V. 2.
УДК 519.651
БЛИЗОСТЬ К КЛАССУ МОНОМИАЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ПРИВЕДЕННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВЫБОРА БАЗИСА, В КОТОРОМ ОНО ЗАДАНО
А. В. Иванов
Пусть F2 — поле из двух элементов с единицей e, F2n — его расширение степени
n-i
n £ N, trn (а) = a2 — функция след из F2n в F2. Для целых ti,t2 через (ti,t2) будем
k=0
обозначать их неотрицательный наибольший общий делитель.
Основные результаты работы получены с использованием представления булевых функций от n переменных в виде многочленов над полем F2n, принимающих значения в поле F2 (так называемого «приведенного представления»). Описание механизма получения подобного представления можно найти в [1].
