CC BY
7УДК 517.97:629.78.018
решение обратных задач оценки испытаний изделий ракетно-космической техники с использованием методов теории оптимального управления
© 2015 г. Киренков в.в., микитенко в.г.
Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070, e-mail: post@rsce.ru
История развития прикладных наук знает немало примеров, когда методы и подходы, разработанные для одной из них, оказываются весьма эффективными для других, на первый взгляд, практически с ними не связанных. Это в полной мере может быть отнесено и к задачам обработки и интерпретации опытных данных по результатам испытаний каких-либо динамических систем, в частности, бортовых систем изделий ракетно-космической техники.
В настоящей статье с этой точки зрения рассмотрены некоторые типовые обратные задачи, возникающие при оценке состояния таких систем. Показано, как в ряде часто встречающихся на практике случаев методические трудности решения обратных задач могут быть преодолены посредством использования методов, разработанных в другом известном направлении прикладной математики — теории оптимального управления.
Ключевые слова: обратная задача, динамическая система, методические трудности, прикладная математика, теория оптимального управления.
solving inverse problems in evaluation of tests of rocket and space hardware using the methods of the optimal control theory
Kirenkov v.v., Mikitenko V.G.
S.P. Korolev Rocket and Space Public Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin str, Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, e-mail:post@rsce.ru
There are many known examples in the history of applied sciences where methods and approaches developed for one field of studies turn out to be quite effective for other fields, which at first glance seem to be absolutely unrelated. This observation is fully applicable to problems in processing and interpretation of experimental data from the results of tests on some dynamic systems, in particular, onboard systems of rocket and space equipment.
This paper discusses from that standpoint some of the typical inverse problems encountered when evaluating the state of such systems. It shows how, in a number of cases that often occur in practice, methodological difficulties of solving such problems can be overcome by using methods developed in another known area of applied math, optimal control theory.
Key words: inverse problem, dynamic systems, inverse problems, applied math, optimal control theory.
КИРЕНКОВ Вениамин Васильевич — кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru
KIRENKOV Veniamin Vasil'evich — Candidate of Science (Engineering), Lead Research Scientist at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru
МИКИТЕНКО Валериан Григорьевич — заместитель начальника отдела РКК «Энергия», e-mail: valerian.mikitenko@rsce.ru
MIKITENKO Valerian Grigor'evich — Deputy Head of Department at RSC Energia, e-mail: valerian.mikitenko@rsce.ru
введение
Задачам обработки и интерпретации опытных данных, полученных при испытаниях или штатной эксплуатации каких-либо систем и устройств, всегда уделялось большое внимание, как в теоретическом, так и практическом плане. Среди этих задач все большее место занимают проблемы так называемых обратных задач. Актуальность их решения определяется тем, что оно позволяет дать обоснованное заключение о соответствии характеристик математической и фактической моделей испытываемой системы, а при возникновении нештатных ситуаций (НШС) — дать оценку этих характеристик. Основоположниками раздела прикладной математики, посвященного постановке и решению обратных задач, являются академик А.Н. Тихонов и его школа [1, 2].
Настоящая статья посвящена методам решения типовой обратной задачи, возникающей при испытаниях изделий ракетно-космической техники (РКТ) на этапе их штатной эксплуатации — оценке возмущающих воздействий на объект регулирования. Особенностью этапа штатной эксплуатации является то, что, с одной стороны, при этом реализуются натурные условия, которые невозможно, особенно при возникновении НШС, воспроизвести при моделировании в наземных условиях, а с другой — неизбежно возникающие при этом методические трудности решения, свойственные пассивному эксперименту, в отличие от эксперимента активного, когда система может возбуждаться заранее выбранными тестирующими воздействиями, наиболее благоприятными с точки зрения решения задачи идентификации. На этапе штатной эксплуатации такие возможности отсутствуют. В литературе по обратным задачам, например [3], большое внимание уделяется методам их решения в постановке активного эксперимента, в частности, формированию тестирующих воздействий. В то же время, решению аналогичных задач в условиях реального пассивного эксперимента — в условиях штатной эксплуатации, в т. ч. и возникновения НШС — уделяется существенно меньшее внимание. В некоторой степени это обусловлено упомянутыми
методическими трудностями решения этих обратных задач. Они связаны, не в последнюю очередь, с необходимостью использования для решения таких задач численных итерационных методов. Именно численным методам при решении обратных задач посвящен ряд монографий [2, 4, 5]. В 2009 г. в Сибирском отделении Российской академии наук состоялась международная конференция по теме «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Председателем оргкомитета конференции былпрофессор С.И. Кабанихин, автор одной из упомянутых монографий.
В статье показано, как для некоторого типа динамических систем (допускающих линейную постановку) методические трудности могут быть преодолены путем привлечения методов теории оптимального управления. Основанием для такого подхода является то, что обе эти задачи преследуют с математической точки зрения идентичную конечную цель — нахождение экстремума (min или max) функционала от каких-либо характеристик решаемой задачи. На эту аналогию обращал внимание еще академик А.Н. Тихонов, рассматривая с единых позиций задачи интерпретации (идентификации), а также — синтеза и управления [1].
1. математические модели объекта контроля, измерений и оцениваемых показателей (возмущающих воздействий)
1.1. Математическая модель контролируемой системы. Одним из наиболее признанных путей решения типовой обратной задачи — идентификации состояния динамической системы — является составление ее математической модели и подтверждение по результатам испытаний соответствия (адекватности) параметров этой модели расчетным значениям. Традиционная форма математических моделей объектов или процессов, которые могут быть записаны через обычные дифференциальные уравнения, параметры которых подлежат идентификации, представляется в следующем виде (в форме Коши):
X = f(X, U, F), (1)
где X(t), U(t), F(t) — векторы (матрицы) текущих координат, управления и возмущения с размерностями n*1, m*1, рх1, соответственно.
Весьма желательной, если возможно, является линеаризация этой модели посредством ее представления в отклонениях от опорного программного движения. Тогда соотношение (1) может быть записано в следующем стандартном как для задач идентификации, так и теории оптимальных процессов виде:
-dX = A(t)X + B(t)U + D(t)F, (2)
где A(n*n) — квадратная матрица формирования состояния нестационарной линейной системы; B(n*m), D(n*p) — матрицы управляющих U и возмущающих воздействий F, соответственно.
Целесообразность перехода от формы (1) к форме (2) обусловлена тем, что к настоящему времени для линейных динамических систем разработаны методы решения задач оптимального управления [6-8], охватывающие различные критерии качества. Этого, к сожалению, нельзя сказать о нелинейных системах.
1.2. Математическая модель измерений и их ошибок. Уравнение измерений также представляется в традиционной для теории оптимального управления форме:
Y(t) = C(t)X + V(t), (3)
где Y(lx1), C(lxn) — вектор и матрица измерений, соответственно; V(lx1) — случайный процесс, характеризующий ошибки измерений.
Ошибки измерений V(t) каждой из составляющих вектора Y(t) также целесообразно представить в традиционном виде корреляционной теории случайных процессов. Будем считать, что они представимы в форме стационарных случайных функций, удовлетворяющих следующим условиям:
M (t) = const;
Dv(t) = K(t, t) = K(0) = const;
K(tv t2) = K(t2 - t) = K(t); K(t) = iC(-T).
(4)
В соотношении (4) М (í), Б(€) и £,) — математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайной функции У(Ь), соответственно.
Случайные функции, удовлетворяющие этим условиям, называются стационарными в широком смысле. Как показано в ряде работ [2, 8], затухающая составляющая их нормированных корреляционных функций хорошо описывается одним из следующих выражений: г(т) = е-а|х|ео8рт или г(т) = е-ах2ео8рх. (5)
Корреляционные функции такого общего типа (их называют экспоненциально-косинусными) являются основой при описании стационарных случайных процессов самой различной природы.
1.3. Математическая модель подлежащих идентификации возмущающих воздействий. Решение обратной задачи относительно возмущения ¥(£) во многом определяется его математической моделью — типом множества, в котором производится поиск его значений /(£). Метод решения обратной задачи определения возмущающих воздействий во многом зависит от принятой математической модели — типа множества, в котором производится поиск его значений.
В дальнейшем предполагается, что это множество принадлежит к пространству 12(0, Т) вещественных функций, квадратичная метрика которых на временном интервале 0...Т определяется следующим образом:
Р (fvh)
1
1/2
(6)
Выбор такого пространства обусловлен тем, что к квадратичной метрике обычно прибегают при решении задач фильтрации и идентификации с описанием ошибок измерений вида (4, 5). Как будет видно из дальнейшего, минимизация критерия качества (6) — метрика 12(0, Т) — наиболее удобна и при предлагаемом методе решений рассматриваемой задачи.
Наиболее просто такие задачи решаются, когда из априорных соображений возможно сужение области возможных решений для до компактного множества М. Возможные варианты решения для этого случая рассмотрены, например, в [1, 2, 9], из которых наиболее известен и широко применяется так называемый метод квазирешений. Обозначив дифференциальный оператор систем (2, 3) относительно через Ш, решение обратных задач по методу квазирешений на множестве М можно свести к следующему алгоритму [1, 2, 4]:
\\Ш - У|| = т£ {||ЙГ- У || : ОДеМ). (7)
Когда множество М может быть представлено в виде параметрического компакта с известными весовыми функциями, решение для ¥(Ь) сводится к обычным процедурам метода наименьших квадратов или максимума апостериорной вероятности в соответствии с алгоритмами (6, 7).
Однако далеко не всегда можно обосновать справедливость сужения области возможных решений до компактного множества. Это тем более относится к случаю возникновения возможных НШС, когда решение задачи
определения входных воздействий может быть особенно актуальным. В общем случае, поэтому, приходится предполагать, что возмущающее воздействие Г^) может иметь произвольный характер и, таким образом, возникает задача, которая по терминологии А.Н. Тихонова относится к существенно некорректным. Далее рассматриваются именно такие задачи, для решения которых в общем случае требуется применение итерационных численных методов [2, 4, 5].
2. двойственность задач идентификации и оптимального управления
Итак, главной задачей при идентификации состояния динамической системы в условиях пассивного эксперимента — нормальной эксплуатации — будем считать определение возмущений (внешних воздействий на систему). Такие задачи, будучи существенно некорректно поставленными, в ряде случаев требуют для своего решения построения итерационных (численных) методов. Представляется целесообразным рассмотреть возможность их сведения к процедурам, носящим не итерационный, а аналитический характер, что может существенно упростить расчеты. Такие возможности, базирующиеся на известных методах оптимального управления, и рассматриваются ниже.
Среди разработанных методов теории оптимальных процессов с квадратичным критерием качества есть решение так называемой задачи слежения, которая ставится следующим образом [6, 8]. Математическая модель идеализированной нестационарной линейной системы задается в виде, идентичном приведенной в разд. 1 статьи (без возмущений Г(£) и ошибок измерений У(£)):
йХ
= А(Ь)Х + ШШ;
(8)
г(0 = с(ь)х.
Предполагается, что система (8) является вполне наблюдаемой [6]. Задачей слежения является определение и реализация вектора управления и(£), который обеспечит отслеживание системой желаемого выходного сигнала Z(t). Такая задача имеет аналитическое решение при минимизации следующего квадратичного критерия качества, состоящего из двух составляющих: основного члена — вектора невязки (рассогласования) е(£) = Z(t) - У(€) и вектора управления и^):
1 т
I = кода МО + и(ьук(ь)и(ь)Щ (9)
2 п
где Q(t), — положительно определенные матрицы размерности (пхп) и (mxm).
Показано [6-8], что, исходя из принципа максимума Л.С. Понтрягина, оптимальное управление при таком критерии качества должно формироваться в виде суммы двух составляющих, первая из которых линейно зависит только от текущего состояния системы (вектора X), а вторая — только от значения желаемого выхода системы Z(t) как в текущий момент времени, так и в будущем, т. е.:
Щ€) = -Я(0Х + &(€). (10)
Оптимальный закон управления, следовательно, является синтезом законов управления двух систем — следящей системы с отрицательной обратной связью (первый член) и программного управления, зависящего только от Z(t) (второй член).
Остановимся теперь на том, как методология решения такой задачи оптимального управления может быть использована для решения рассматриваемой здесь обратной задачи -идентификации входных воздействий Г^). Прежде всего, отметим, что для большинства динамических систем с обратными связями деление параметров на «фазовые координаты» и «управляющие воздействия» является условным хотя бы потому, что последние всегда имеют ограниченную скорость изменения. В качестве примера можно привести формирование управляющих моментов при линейных законах управления классическими рулевыми агрегатами летательных аппаратов. Перенося, с учетом этого, управляющие воздействия и(£) в соотношениях (1) и (2) в состав фазовых координат и формируя таким образом расширенный вектор состояния Х (п + т, 1) с расширенной матрицей состояния А((п + т)*(п + т)), придем к линейному соотношению вида (8), а именно:
dХ - -1Г = лт + D(t)F,
У^) = С(^Х,
(11)
в котором под Г нужно понимать не вектор возмущений, а вектор управления, подлежащий определению. Вектор измерений У(£), в который входят и управляющие воздействия и(€), может теперь пониматься как желаемый выход системы Z(t), и задача идентификации входного воздействия сводится, таким образом, к рассмотренной выше и решенной в теории оптимального управления задаче слежения.
Она сводится к решению двухточечной краевой задачи с введением неопределенных множителей Лагранжа [7]. Заменяя их в соответствии с (10), с учетом наблюдаемости
системы (11) и условий трансверсальности для конечного момента времени ^ значения составляющих вектора Г — матрицы И^) и вектора т(£) с размерностями ((п + т) х (п + т)) и ((п + т) х 1), соответственно — определяются решением следующих матричных дифференциальных уравнений [6, 8].
И = Я-1ЮТБ; т = -ЯЮ^; 5 = -БА - АТБ + БОЯ^Б - СТЦС; ё = -(АТ - БВЯ Ю^ + СТОУ; (12)
Б(^) = 0; g(tk) = 0; Г = -Я-1ЮТ(БХ + Я); Х = -Б-1(t0)g(t0),
где Б(t) — матрица размерности ((п + т)х(п + + т)); g(t) — вектор размерности ((п + т)х1).
Система (12), совместно с исходной системой (11), полностью определяет решение задачи. Ее процедура состоит в интегрировании матричных уравнений для Б и g в обращенном времени ^ = -т), а затем в интегрировании в прямом времени исходной системы с одновременным вычислением Г(£) по соотношению (12). Из соотношения (12) следует, что задача решается только в отложенном времени с задержкой опытной информации на интервал tk - ^ [6].
Остановимся, для сравнения, на возможной методологии решения подобной задачи, прибегая к классическому методу решения обратных задач. Как и выше, в разд. 1.3, где упоминался метод квазирешений, будем исходить из принятой формы операторных уравнений АГ = X, где Г — подлежащее оценке входное воздействие; X — вектор выходных параметров.
Подобное соотношение для более простого случая — стационарной линейной системы типа
(11), имеет следующий вид [6, 8]:
г
Х^) = еАХ(0) + \вА( - тЮГ(т)4т
г 0
или \еА^ - т)БГ(т)йт = Х(0 - (АХ^).
Таким образом, оператор А соотношения (13), связывающий текущие значения координат системы Х(€), известные начальные условия и возмущающее воздействие Г(€), является интегральным уравнением Вольтера первого рода, т. е. принадлежит к так называемым вполне непрерывным операторам. Обратные задачи такого типа являются существенно некорректно поставленными (по терминологии А.Н. Тихонова [1]). Избавление от некорректности, когда нет возможности представления класса решений для Г(€) в виде компактного множества, достигается введением, с последующей минимизацией, так называемого сглаживающего функционала I, общий вид которого приведен ниже в разд. 4, и аналогом которого
(13)
в данном случае и является функционал (9). Процедура решения такой задачи обычно строится на численных итерационных методах [1, 2, 4]. Как указывает сам А.Н. Тихонов [1], «...даже при вычислениях на ЭВМ это оказывается трудной задачей». Это справедливо для большинства встречающихся на практике случаев, когда оказывается несостоятельной гипотеза компактности. С учетом этого рассмотренная в настоящей статье методология, основанная не на численных методах, а на обратной и прямой «прогонке» уравнений (12), имеет несомненные преимущества по сравнению с классическими методами решения такого типа обратных задач.
Ниже даны два примера использования алгоритмов слежения для решения типовых обратных задач оценки экспериментальных данных.
В первом примере использованы данные математического моделирования процессов угловой стабилизации в типовой системе управления одного из разгонных блоков РКК «Энергия». Как подчеркивалось во введении, решение рассматриваемых в статье обратных задач может быть особенно актуальным при анализе НШС. Реальная НШС рассмотрена в разд. 3.2.
3. примеры решения обратных задач с использованием алгоритмов слежения
3.1. Математическая модель системы угловой стабилизации разгонного блока.
В качестве модели динамической системы взята система третьего порядка, описывающая работу типового автомата угловой стабилизации (АС) по каналу вращения:
ф=-С55+М
~ ф5 в
(14)
х5 + 5 = а0ф + a^>,
где ф, ° — угол отклонения изделия по вращению; 5, ° — угол поворота управляющего сопла с эффективностью С 5, °/c2; т, с — приведенное запаздывание АС; Мв, 1/c2 — подлежащий оценке возмущающий момент. Численные значения параметров, входящих в соотношения (14) при моделировании, принимались близкими к их значениям, имевшим место на одном из разгонных блоков РКК «Энергия».
В соответствии с (11) приведем эту систему к канонической форме, обозначив
Ф = X,; ф = Х2; 5 = Х3; Мв = Х4 (15)
и дополнив систему (15) соотношением Х4 = U, окончательно получим
X, = X2; Х2 = -Сф5Хз + X4; (16)
Х3 = -1 (а0Х1 + а1Х2 - Х3); Х4 = U.
В матрично-векторной форме, соответствующей (11), будем иметь:
0 1
0 0
%
X X
0 0
БТ = |0
О
1
х
О О
(17)
(18)
При моделировании системы (14) было принято, что имеются только традиционные для такой системы измерения по координатам X1 = ф и X3 = 5, т. е.:
С =
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(19)
По данным моделирования для различных вариантов воздействия Мв формировался в соответствии с (3) «зашумленный» вектор Y(t) = CX + V, где в качестве V принимался гауссовский шум с корреляционной матрицей Кv = а21 (I — единичная матрица).
Результаты расчетов по соотношениям (16-19) для варианта единичного ступенчатого воздействия приведены на рис. 1.
М, 1/с2
1,0 Л
0,5
2,5
5,0
г, с
а)
б)
Рис. 1. Восстановление входного воздействия автомата угловой стабилизации: а — заданного (—) и воспроизведенного (—) воздействий; б — угла отклонения изделия ф и поворота сопла 5 ( — ---модельные данные по 5 и ф;--восстановленные данные)
Примечание. М, 1/с2 — подлежащий оценке возмущающий момент.
Можно отметить практическое совпадение заданных (модельных) и восстановленных значений как внешнего воздействия Мв, так и параметров модели ф и 5.
3.2. Пример восстановления процесса на входе датчика. При разбирательстве одной быстротекущей НШС возникла необходимость восстановления реального входного сигнала датчика давления с учетом его динамики. Амплитудно-частотная характеристика этого датчика хорошо интерпретируется передаточной функцией:
1
Щр) =-3-2-Г • (20)
УИ/ ар + а2р2 + а1р +1 4 '
Требуется восстановить истинное значение сигнала на входе датчика Xвх по измерениям его выхода Xвых (рис. 2) с учетом динамики датчика (20).
Как и в предыдущем примере, преобразуем выражение (20) к стандартному виду. Обозначим:
X = X.; X = X.;
вых 1 вых 27
X = X3; X = X4; X = и.
вых 3 вх 4 вх
(21)
С учетом (20) и (21) выражения для матриц А и Б будут иметь вид:
А =
0 1 0
0 0 1
1 а1 _ а2_
а3 аз аз
0 0 0
0
(22)
(23)
БТ = |0 0 0 1|.
Предполагается, что измерения имеются только по выходу датчика, т. е. по Х1. Матрица С имеет вследствие этого следующий простейший вид:
С =
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(24)
Результаты определения истинного процесса Xвх на входе датчика с использованием соотношений (21-24) приведены на рис. 2. Коэффициенты динамики а1, а2, а3 и статический коэффициент усиления датчика принимались расчетными.
Пунктиром представлен процесс, полученный путем многократного численного дифференцирования исходного процесса. Оба процесса, как видно из рис. 2, близки
друг к другу.
1
б)
Рис. 2. Восстановление процесса на входе датчика давления: а — исходный (измеренный) процесс на выходе датчика; б — воспроизведенный процесс (----процесс прямого решения)
Как отмечалось во введении, существующую методологию решения обратных задач нельзя считать завершенной, и требуется искать пути к ее совершенствованию. В следующем разделе рассматривается один из возможных путей совершенствования методологии решения обратных задач, базирующейся на построении следящей системы.
4. один из путей совершенствования предлагаемой методологии
В разд. 2 уже говорилось, что рассматриваемая задача является типичной некорректно поставленной обратной задачей. Одним из наиболее принципиальных и до конца не решенных методических вопросов является вопрос выбора весовых матриц Q(t), R(t) в функционале (9). Если вопрос выбора матрицы Q хотя бы методически ясен — она определяется корреляционной матрицей ошибок измерений, то вопрос выбора матрицы R куда менее определен. В цитируемой литературе по оптимальным процессам каких-то конкретных рекомендаций для выбора матрицы R не существует. Так, в работе [6] при изложении методологии решения задачи слежения этот
вопрос вообще не затрагивается, а в другом специализированном издании [8] авторы при рассмотрении вопроса выбора матрицы Я ограничиваются лишь замечанием, что «при этом величина сигнала управления и должна находиться в разумных пределах».
Указанные трудности могут быть преодолены, если поставленную задачу рассматривать с позиции обратных некорректно поставленных задач, решая ее путем построения классического (по А.Н. Тихонову) регуляризирующего оператора. Такой оператор, как указывалось выше, реализуется путем операции минимизации так называемого сглаживающего функционала I, записанного через основной член — норму невязок е(0 = 2(€) - ДО и вектора управления (в данном случае возмущений) и(Ь):
I = || е(0 ||2 + а || и(Ь) ||2, (25)
где а > 0 — параметр регуляризации.
Нетрудно видеть, что сглаживающий функционал (25) идентичен ранее введенному квадратичному критерию (8) при следующих значениях весовых множителей ^(Ь), Я(Ь): (Э(0 = Е — единичная матрица; Я(0 = а — матрица регуляризации.
Если критерии (9) и (25) относить только к вектору рассогласований е(0, полагая Я(0 = а = 0, то в такой постановке задача по определению входного воздействия оказывается некорректно поставленной. Введение в эти критерии дополнительного ограничения на управление (возмущение) ДО (а ^ 0) и обеспечивает согласно [1, 2] перевод задачи в разряд корректно поставленных. Это означает, что решение обратной задачи ищется теперь не на множестве ДО, а на его сужении — обладающим свойством компактности подмножестве Д08:
Д05 = п до,
где — класс элементов ДО, для которых норма невязки || е(0 || < меньше погрешности измерений.
Методология определения параметра (матрицы) регуляризации а > 0 в одномерном случае рассмотрена в монографиях по обратным задачам [1, 2, 4]. Она исходит из использования дополнительной априорной информации о погрешностях измерений Предполагается построение итерационной (численной) процедуры определения ДО по описанным выше алгоритмам при последовательном увеличении параметра регуляризации а. Процесс заканчивается при совпадении (близости) нормы невязок е(0 с принятым значением погрешности
Такая процедура, как подчеркивалось в разд. 2, весьма трудоемка даже при примене-
нии ЭВМ. С этой точки зрения рассмотренный подход для линейных нестационарных систем существенно упрощает методологию этих расчетов, поскольку позволяет свести решение задачи не к численным, а, по существу, к аналитическим методам — «прогонкам» матричных уравнений (12) в обратном и прямом направлениях.
Заключение
В статье обращается внимание на близость методов решения обратных задач, возникающих при оценке результатов испытаний сложных динамических систем, с методами решения классических задач теории оптимального управления. Показано, как использование последних может оказаться весьма эффективным при решении некоторых типовых обратных задач оценки испытаний изделий РКТ, в т. ч. существенно некорректно поставленных (по терминологии А.Н. Тихонова). Не исключено, что найдутся и другие обратные задачи, где окажется возможным эффективное использование методов оптимального управления.
Основное преимущество таких подходов состоит в том, что они позволяют перейти от итерационных численных методов решения поставленной обратной задачи к методам, по существу являющимся аналитическими. Эти методы прошли практическую реализацию при решении некоторых обратных задач, примеры чего приведены в статье. Для них разработаны универсальные методики и соответствующее программное обеспечение определения вход-
ных воздействий, действующих на динамическую систему заданной структуры.
список литературы
1. Тихонов А.Н., Арсенин ВЯ. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.
2. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2009. 457 с.
3. Меньшиков В.А., Гришин В.Н., Кирен-ков В.В., Коврижкин Д.В. Определение и идентификация импеданса электрохимических систем. М.: НИИКС, 2008. 249 с.
4. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.
5. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 183 с .
6. Ройтенберг Я.И. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 552 с.
7. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гам-крелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.
8. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимальных процессов. М.: Мир, 1972. 544 с.
9. Киренков В.В., Досько С.И. Типовые обратные задачи и методы их решения при оценке результатов испытаний изделий ракетно-космической техники // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королёв: РКК «Энергия», 2014. Вып. 3. 100 с.
Статья поступила в редакцию 07.04.2015 г.
Reference
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods of solving ill-defined problems]. Moscow, Naukapubl., 1974. 224p.
2. Kabanikhin S.I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and ill-defined problems]. Novosibirsk, Sibirskoe nauchnoe izd-vo publ., 2009. 457p.
3. Men'shikov V.A., Grishin V.N., Kirenkov V.V., Kovrizhkin D.V. Opredelenie i identifikatsiya impedansa elektrokhimicheskikh system [Determining and identifying the impedance of electrochemical systems]. Moscow, NIIKSpubl, 2008. 249p.
4. Tikhonov A.N., Goncharskii A.V., Stepanov V.V., Yagola A.G. Chislennye metody resheniya nekorrektnykh zadach [Numerical methods of solving ill-defined problems]. Moscow, Nauka publ., 1990.232 p.
5. Vainikko G.M., Veretennikov A.Yu. Iteratsionnye protsedury v nekorrektnykh zadachakh [Iterative procedures in ill-defined problems]. Moscow, Nauka publ, 1986. 183 p.
6. Roitenberg Ya.I. Avtomaticheskoe upravlenie [Automatic control]. Moscow, Nauka publ., 1978.552p.
7. Pontryagin L.S., Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. Matematicheskaya teoriya optimal'nykh protsessov [Mathematical theory of optimal processes]. Moscow, Nauka publ., 1983.392 p.
8. Braison A., Kho Yu-Shi. Prikladnaya teoriya optimal'nykh protsessov [Applied theory of optimal processes]. Moscow, Mir publ., 1972. 544 p.
9. Kirenkov V.V., Dos'ko S.I. Tipovye obratnye zadachi i metody ikh resheniya pri otsenke rezul'tatov ispytanii izdelii raketno-kosmicheskoi tekhniki [Typical inverse problems and methods of their solution in evaluating the results of tests on rocket and space hardware]. Raketno-kosmicheskaya tekhnika. Trudy. Ser. XII. Korolev: RKK «Energiya» publ., 2014, issue 3. 100 p.
