РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ДЛЯ АВТОМОБИЛЬНОГО МАНИПУЛЯТОРА ИНВАЛИДНОГО КРЕСЛА С ОПТИМИЗАЦИЕЙ СКОРОСТИ РАСКЛАДКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2023 Электротехника, информационные технологии, системы управления № 47 Научная статья

Б01: 10.15593/2224-9397/2023.3.08 УДК 621.876.1

С.П. Круглов, С.А. Иванченко

Иркутский государственный университет путей сообщения, Иркутск, Российская Федерация

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ДЛЯ АВТОМОБИЛЬНОГО МАНИПУЛЯТОРА ИНВАЛИДНОГО КРЕСЛА С ОПТИМИЗАЦИЕЙ СКОРОСТИ РАСКЛАДКИ

Создание манипулятора для погрузки и выгрузки инвалидного кресла в/из багажника автомобиля является важным проектом, который направлен на обеспечение водителя-инвалида свободой перемещения без посторонней помощи. Для реализации проекта уже решен ряд задач, включая разработку конструкции манипулятора, создание кинематической схемы, решение прямой расширенной задачи кинематики и др. В данной работе будет рассмотрено оптимальное по быстродействию решение обратной задачи кинематики. Цель: решение обратной задачи кинематики специального шестизвенного манипулятора, позволяющее найти оптимальные по быстродействию законы управления с соблюдением необходимых ограничений для обеспечения движения кресла манипулятора по назначенной траектории в системе координат, связанной с автомобилем. Методы: обратная задача кинематики решается с помощью формирования двух этапов управления раскладкой манипулятора, построения матрицы Якоби, вычисления ее псевдообращения с получением векторов приращения управления минимальной нормы, на основе которых определяются результирующие законы управления. Доказана оптимальность по быстродействию такого решения. Результаты: результатом решения являются оптимальные с точки зрения быстродействия законы управления приводами манипулятора. Практическая значимость: полученные результаты будут использоваться для управления приводами манипулятора с обеспечением движения инвалидного кресла по назначенной траектории с учетом ограничений и с заданным угловым положением в системе координат, связанной с автомобилем.

Ключевые слова: манипулятор, инвалидное кресло, кинематические соотношения, обратная задача кинематики, матрица Якоби.

S.P. Kruglov, S.A. Ivanchenko

Irkutsk State Transport University, Irkutsk, Russian Federation

SOLUTION OF INVERSE KINEMATICS PROBLEM FOR CAR ROBOTICS WHEELCHAIR LOADER WITH SPEED EXTENSION OPTIMIZATION

Creating a manipulator for loading and unloading a wheelchair into/from the trunk of a car is an important project, which aims to provide a disabled driver with freedom of movement without assistance. A number of tasks have already been solved to implement the project, including developing a manipulator design, creating a kinematic scheme, solving a direct extended kinematics problem, etc. In this research we will solve the inverse kinematics problem which is optimal in terms of performance. Purpose: to solve the inverse problem of kinematics of a special six-wheel manipulator, allowing to find the speed-optimal control laws with the necessary limitations to ensure the motion of the manipulator's seat along the assigned trajectory in the coordinate system, associated with the vehicle. Methods: the inverse problem of kinematics is solved by formation of two stages of manipulator control, building the Jacobi matrix, computation of its pseudo-transversion with obtaining the vectors of increment of control of minimal norm, on the basis of which the resultant control laws are determined. The optimality of such a solution in terms of speed has been proven. Results: The solution results are optimal, in terms of performance, control laws of the manipulator drives. Practical significance: The results obtained will be used to control the drives of the manipulator ensuring the movement of the wheelchair along the assigned trajectory taking into account the limitations and with a given angular position in the coordinate system, associated with the car.

Keywords: manipulator, wheelchair, kinematic relations, inverse kinematics problem, Jacobi matrix.

Введение

Проект по созданию манипулятора для погрузки-выгрузки инвалидного кресла в/из багажника автомобиля водителя-инвалида достаточно востребован, так как нацелен на помощь водителю с ограниченными возможностями и пользующегося инвалидной коляской без посторонней помощи получить свободу в перемещении. Особенно это важно для отечественных водителей-инвалидов, поскольку такие системы в РФ не выпускаются, а зарубежный заказ требует слишком больших средств.

В работе [1], посвященной рассматриваемому манипулятору, были сформированы кинематические соотношения, решена прямая расширенная задача кинематики, определяющая угловую ориентацию и положение манипулятора в зависимости от срабатывания его приводов, сформированы зависимости углов присоединенных переменных и линейных силовых приводов.

Данная работа, являясь логическим продолжением [1], направлена на поиск оптимальных по быстродействию законов управления си-

ловыми приводами для обеспечения движения манипулятора по заданной траектории. Решение этой задачи позволит с максимально возможной скоростью выдвигать и убирать манипулятор с учетом достаточно жестких пространственных ограничений.

Решению обратной задачи кинематики посвящено много работ, например [2-22]. Решение обратной задачи кинематики в настоящей работе в силу ее специфики строится на основе сформированной траектории конечной точки манипулятора и осуществляется с разбивкой его движения при раскладке на два этапа: первый - вывод кресла из багажника с обходом задней оконечности кузова автомобиля, второй -окончательная раскладка манипулятора. Исходя из кинематической схемы манипулятора, два управляющих сигнала задаются заранее, а два других вычисляются для достижения минимального времени раскладывания манипулятора. Для решения этой оптимизационной задачи используется матрица Якоби, ее псевдообращение, далее - нахождение на ее основе минимальных по норме приращений управляющих воздействий и, с учетом ограничений, формирование окончательных законов управления. Складывание манипулятора основано на тех же этапах, только в обратном порядке.

Формирование траектории движения манипулятора

На рис. 1 представлена кинематическая схема 6-звенного манипулятора в разложенном виде (без инвалидного кресла). На ней обозначены системы координат, связанные со звеньями манипулятора: СК0 - нулевая система координат, связанная с автомобилем (формирует абсолютное пространство); СК1-СК6 - системы координат шести звеньев манипулятора с первого по шестое соответственно. Каждая г -я СК задается начальной точкой и осями ОгхгугЕг и для звеньев манипулятора имеет присоединенную переменную 0г - угол поворота г -го звена относительно (г -1) -го. В качестве приводов манипулятора используются поворотный привод, изменяющий 01, и линейные приводы: Л2 - изменяет 02, Лз -изменяет 0з и 04 , Ц4 - изменяет 05 и 06 . Ограничения приводов: О < < 270°, перемещения всех линейных приводов ограничено диапазоном 0,256-0,356 м. Максимальная скорость изменения угла 01: 6%, для линейных приводов Утах = 4,5 мм/а

Рис. 1. Манипулятор в разложенном виде без инвалидного кресла

В работе [1] была решена прямая задача кинематики для этого манипулятора. В частности, вектор Р6 = [Рх6, Ру6, Рг6 ]т, представляющий

координаты точки 06 в абсолютном пространстве, описывается следующей зависимостью (в силу небольшого изменения конструкции манипулятора модель несколько отличается от представленной в [1]):

Рх6(0,, 02, 03, 04, 05, 0б) = 008(0!) • /61(02, 03, 04, 05, еб) -

- 81и(01) • /б2(0з, 04, 05, 06 ),

Ру б (01, 02, 0з, 04, 05, 0б) = ^(0) ^ /б1(02, 03, 04, 05, 0б) + + 008(01) • /б2(03, 04, 05, 0б),

Р1 б(02, 03, 04, 05, 0б) = 0,37 - 8Ш(02) • /бо(03, 04, 05, 0б) -- 0,2б 008(0 ),

(1)

где

/бо (•) = 0,05 + 0,7 008(0 + 0 + 0 ) + 0,39 008(0 + 0 + 0 + 0 ) -- 0,1008(03 + 04) + 0,б8008(03),

/б1(^) = 0,71 - 0,2681П(0) + 008(0) • /б0(03,04,05,0б),

/б2(-) = 0,14 + 0,78т(03 + 04 + 05) - 0,48т(03 + 04 + 05 + 0б) + + 0,1б8т(0 + 0) - 0,688Ш(0 ),

0 ( л2 ) = 4,169л2 + 13,321 л2 - 5,299, 0 ( л3) = -47,8б7 л2 + 14,7б5^3 - 2,282,

0(л3) = 38,916л2 - 9,594^ + 2,209, 0(л4) = 42,331^2 - 40,0б1^ + б,759,

0б(Л4) = -42,226л4 + 40Л4 - 7,283.

Решение обратной задачи кинематики рассмотрим на задаче полной раскладки манипулятора. На основе кинематической схемы манипулятора и ограничений на его движение в среде автоматизированного проектирования SolidWorks была построена виртуальная модель манипулятора, а на основе ее - требуемая траектория движения точки Р6 относительно времени (/) в абсолютном пространстве. Для проведения дальнейших расчетов период раскладывания манипулятора условно взят величиной 30 с. Траектория движения представлена на рис. 2.

мг

Рх 6 1 1

Этап 1 /, Этап 2

/ 1

/ 1 / 1 1

10

16 20 м 0.4

м

-0.5

-1.5

\ 1

Этап 1 1 4 * Этап 2

V "

10 16 20

АС

0.2

Рч 1

/\

Этап 1 V Этап 2

/ 1 / 1

' 1

1

0 10 16 20 Г,С

Рис. 2. Требуемая траектория движения точки манипулятора Р6

Кривые были аппроксимированы с погрешностью не хуже 3 % следующими аналитическими зависимостями:

0,31 -0,133/ + 2,5 -10-3г2 -6,25 -10-4г3, если 0 < г < 6, - 0,361 + 0,043/- 0,839Бт(0,35г -14), если 6 < г < 16, 0,041г + 0,387, если 16 < г < 30,

Рх 6 (г) =

Ру 6 (г) =

Рг 6 (г) =

0,33 + 0,118г -0,33г2 +1,667 • ю-3г3, если 0 < г < 6,

- 0,143 - 0,029г + 0,693 С0Б(0,35г -14), если 6 < г < 16,

- 2,143 -10-3 г - 0,936, если 16 < г < 30,

0,11 - 0,012г + 8,75 -10-3г2 -1,458 40-3г3 если 0 < г < 6, -7,143 • 10-4 -5,952 • 10-4(г-8) + + 6,667 •10-3(г-8)2, если 6 < г < 16,

- 0,029г + 0,869,

(2)

С точки зрения особенностей решения обратной задачи кинематики, направленной на минимизацию времени раскладки манипулятора, а также в силу особенности конструкции манипулятора и ограничений представленная траектория разбита на два этапа (см. рис. 2).

Первый этап (до 16 с) обеспечивает выход манипулятора из багажного отсека с обходом боковой окраины кузова автомобиля. Этот этап задает однозначный характер изменения двух переменных управления: 01 - угол поворота всего манипулятора в абсолютном пространстве и значение определяющее угловое положение переносимого кресла. Второй этап (после 16 с) раскладывания манипулятора предполагает окончательную доставку инвалидного кресла к водительской двери автомобиля. На этом этапе по кинематике манипулятора управляющие воздействия 01 и остаются постоянными, равными конечным значения по первому этапу. Зависимости переменных 01 и по этапам представлены на рис. 3.

е,

1 1

Эми 1 1 '3-181 2

|

1 1

Л2 1 1

Этап 1 \ 1 1 Этап

1 \ 1

1

Рис. 3. Зависимости переменных 01 и

Аппроксимации этих зависимостей с погрешностью не более 3 % имеют вид:

[0,294Г, если 0 < г < 16, [1,5л, если 16 < г < 30,

0,356, если 0 < г < 5, (3)

< - 0,009(г - 5) + 0,356, если 5 < г < 16, 0,256, если 16 < г < 30.

Решение обратной задачи кинематики с минимизацией времени его проведения здесь сводится к определению переменных л3,Л4, которые в условиях ограничений обеспечили бы желаемое свойство.

01 (г) =

Л2(г) =

Поиск переменных при раскладывании манипулятора

Использование известных методов оптимизации управления для наибольшего быстродействия, например, принцип максимума Л.С. Понтрягина [23], методы линейного и нелинейного программирования [24], здесь затруднено из-за значительной нелинейности модели объекта. На трудности решения задач оптимизации движения манипуляторов также указывают ряд авторов, например [2-4] и др.

При обосновании метода построения управления была принята во внимание относительно низкая скорость перемещения звеньев манипулятора, что дает право строить управление на основе кинематической модели манипулятора. Для поиска переменных Лз,Л4, минимизирующих время раскладки манипулятора, предлагается использовать относительно простой (в сравнении с указанными) широко известный метод синтеза управления по линеаризованной кинематической модели на основе матрицы Якоби и ее псевдообращения (скоростной метод управления). Ниже будет доказано, что этот метод обеспечивает минимальное время раскладки (уборки) манипулятора при работе приводов на максимальных скоростях. В связи с этим систему кинематических уравнений (1) запишем в линеаризованном виде на малом временном интервале Дг (далее символ А будет означать приращения переменных на этом интервале времени) как:

~де,

APx6

АРУб APz,

= [ Ji,J2 ]

'i АП2 аПз АП4

(4)

вектор приращения координат заданной

T

где АРб=[АРХб,АРуб траектории; [А^, Ап2, Ап3, Ап4 ]T - вектор с приращениями управле ний; [ J 1з J 2] - матрица Якоби;

J =

дРХб/0П2 РбМ Рб/дП2

5Pzj50i dPzJdn2

J2 =

составные

дРх6/ дп3 дРх6/ дп4 дрУб/ОПз dpx6¡ОП4 дРХ/дПз dPz6¡дП4 , части матрицы Якоби; элементы матрицы Якоби имеют следующие значения (в силу сложности приводимых ниже зависимостей, они имеют следующие обозначения: с1-2 = cos(0-0), s1-2 = sin (01 -02 ) ,

3,4,5,6

= sin(03 + 0 + 0 + 06) и т.п.):

дРх6 /50! = 0, 26^2 + 0, 68с^3 - 0, 14с - 0, 7Ц + 0, - 0, 39^5,бС -

- 0, с - 0, 05^^ + 0,39с3 4 5 + 0, 1сз - 0, - 0, 7с3 4 ;

дРу6 / д0: = 0, 68^2 - 0, 26^ + 0, 71с - 0, 14^ + 0, - 0, 39^5>б^ -

- 0,1^3 4^! + 0,05^ - 0,39Сз 4)5 6С1С2 0,1с3 4С1С2

+ 0,68с1с2с3 + 0,69с3,4,5сс2;

дР^ / д0= 0;

0,26л2 + 0,05^ + 0,7с3 4 -

дРх6/дп2 = д02/дп2(2sin(0,50!)2 -0,26

- 0,39с3 4,5 652 - 0,1с3452 + 0,68с3^2у

дРув / дл2 = д^2 / дл2

(0,025с _2 + 0,26с2^ - 0,025с 2 - 0,39с3 4 -

0,1с3 + 0,68^^^ + 0,69с3 4 у

дРг6 / дл2 = -д02 /

(0,05с2 - 0,26£2 + 0,69с3 45с2 - 0,39^5^2 0,1с3 4с2 + 0,68с2с3

дРх6 / дл3 = 0,68^сд^3 / дЛз + 0,7с34 д(03 +04)/ дл3 -

- 0,39с3,4,5,6^ д(03 +04)/ дп3 - 0,1с3,4^д(0з +04)/ дл3 + + 0,39сЗЛ5,6 с с 2 д(03 +04)/ дл3 + 0,1;

дРу 6 _ д03 _ (- 0 69С3,4,5С1 + 0 39С3,4,5,6С1 - 0 68с1с3 - 0 1с3,4с1 + ^ дл3 дл3 [ + 0,3953 4,5 6с2^ - 0,68с2^ + 0,1^34с2s! - 0,6953 4 5с2^

+ д04 / дл3

+

(- 0 69сз, 4,5С1 + 0 39сз,4,5,6с1 + 0 1с3,4с1 + 0 39^3,4,5,6С2^

+ 0, 153>4с2^ - 0, 69я3, 4, 5с251

дР26 / дЛз = (0,69^3,4,5^ - 0, 39^3,4,5,6^ - 0, 4^ ^ +04)/ дЛз +

+ 0,68^2^3д03 / дл3;

дРх6 / ^4 = 0, 7(сз,4,5^ - ^ 4, 5с1с2 )д05 / ^4 - 0, 39сз,4,5, 6^д(05 +06)/ дЛ4 + + 0,391Уз,4,5,6с1с2д(05 +06)/дЛ4;

дРу 6 / дЛ4 = 0, 39сз, 4, 5, 6с1д(05 +06)/дЛ4 - 0, 39^, 6с2 ¿Д05 +06)/дЛ4 -

- 0,69д05 / дЛ4(с3,4,5с1 - ^3,4,5с2;

дPz6 / 5Л4 = 0,69^3 4 5^2д05 / дл4 - 0,39^3 4 5 6я2д(05 + 06) / 5Л4 .

Поскольку искомыми переменными являются ДЛ3, ДЛ4, из уравнения (4) можно записать:

ДЛ3 Д^4

= Л

ДРХ6 ДРУ6

ДРг.

- Л

Дех ДЛ2

(5)

где Л- матрица, псевдообратная к Л2 ; простейшим способом вы-

+ / Т \ 1 т

числения этой матрицы является равенство: Л2 =1 ^ Л ) Л2 , если

определитель 8= Л2 Л2 ^ 0 [25].

Доказательство оптимальности быстродействия решения (5). По свойству псевдообратной матрицы такое решение дает минимальную эвклидову норму для вектора р = ||Дл3 ,Дл4||2 = ДЛз + ДЛ4 на интервале

времени Дt. В задаче минимизации времени отработки этого смещения органов управления, или нормы р, это решение дает минимум времени в поставленной задаче при отработке управляющих воздействий ДЛэ, ДЛ4 на интервале времени Дг при максимально возможной скорости перемещения этих линейных приводов (выше было показано, что она одинакова для всех линейных приводов и равна Утах ).

Действительно, скорость изменения рассматриваемой нормы определяется по формуле: р = (ф/5Аг|з)г1з + (ф/5Аг|4)г14 . Следовательно, ее максимальное по модулю значение определяется как |Ртах| = |(Ф/5лЛз) + (Ф/5лЛ4)||^тах| • То есть максимальная скорость,

или минимальное время отработки заданных управляющих воздействий на интервале времени Дг определяется только максимальной скоростью перемещения линейных приводов. Отсюда напрямую следует сформулированное выше утверждение, а значит, - минимальное время движения по всей заданной траектории. Если максимальные скорости линейных приводов Дл3, Дл4 будут разными (общий случай) и равными ^3шах и ^4тах , в этом случае уравнение (4) можно переписать в виде

"АРх6 АРу6 -./, М'г,

Jn

дЛз ДЛ4

Дех Дл2

где =

и вместо (4):

Зтах

О

4max АЛз

Дл4.

•12, АЛ3 = АПзЛ'Зтах - АЛ4 = ЛП4/1'

4тах '

=л+

АРх6

ЛРУв

АГг,

- 4

А01 АЛ2

Найденные переменные Ал3, Лг]4 будут иметь одинаковую максимальную скорость, поэтому для них сохраняются приведенные выше выводы. По ним определяются реальные управляющие воздействия:

АЛз - АЛ4 •

Доказательство завершено.

Имеется также следующее замечание: решение (5) не учитывает того, что сигналы Лз -Л4 могут выйти на свои ограничения. В случае достижения ограничения одним из указанных сигналов, например л , он фиксируется на своем ограничении (считается АЛз = 0), и поэтому вместо уравнения (5) используется:

АЛз =( 4 )+

или

АЛ4 =( 4 )

АРх6 АРУ6 АР2.

АРх6 АРУ6 ЬР2„

- 41

- 41

А01 АЛ2

А01 АЛ2.

(6)

где , 4 - первый и второй столбец матрицы 4 соответственно.

Таким образом, решение (5), (6) дает ответ на поиск минимального времени перемещения манипулятора на интервале времени Аг без учета переменных А0 и Ал2 . Очевидно, что это время равно значению max(Ал3 ,Ал4)/vmax . С учетом назначенных на первом этапе траекторий 01 (г ),Л2(г) и определенного на их основе времени на изменение этих переменных на каждом интервале Аг с учетом максимальных

+

скоростей приводов минимальное время отработки траектории манипулятора на этом интервале (обозначим его как ^п ) запишется как:

_

гтш = 1

: тах [[тах(ДЛ3, ДЛ4 )/Утах ), Дге, > Дгл2 ] ' (7)

где Утах - максимальная скорость отработки линейных приводов; Дге ,Дг - время, необходимое на отработку сигналов Де! и ДЛ2, соответствующих ДЛ3 и ДЛ4, исходя из максимальной скорости своих приводов.

Найдя минимальное время на интервале времени Дг, несложно найти суммированием минимальное время реализации этапов раскладывания манипулятора и всего времени раскладывания-складывания манипулятора.

Вычисление зависимостей лз Л4 и верификация

На основании зависимостей (2)-(6) в компьютерной среде МаШСаё были найдены переменные Л3 и Л4. Значения представлены на рис. 4.

м

0.352

.....ч

л \

3 V

'V.

\

\

и-

л4

.....

...../ ■V

б : I

Этап 1 —^ \ Этап 2

1 \ 1 \

1 N. 1 1

Рис. 4. Зависимости л3, Л4 (точки) и их аппроксимации (сплошные линии), 8 = ЛЛ!

На нем же представлен график определителя 8 , подтверждающий корректность решения (5). Аппроксимации зависимостей Лз и ц4 с погрешностью не более 3 % имеют вид:

0,356, если 0 < г < 5,

(8)

Лз(г) =

0,544 - 0,057г + 5,21 • Ю-3г2 -1,634 -10~4г3, если 5 < г < 16, 0,312 - 6,135-10-3г + 4,90940-4г2 -1,07• Ю-5г3, если 16 < г < 30.

Лз(г) =

0,256, если 0 < г < 5,

(0,297 - 0,013г +1,654 • 103г2 - 6,274 • 105 г3 )-

- 0,005, если 5 < г < 16,

(0,099 + 0,02г - 7,803 • 10-4 г2 +1,339 • 105 г3 )-

- 0,013, если 16 < г < 30.

(9)

Значения управляющих переменных (3), (8), (9) были подставлены в систему (1), описывающую нелинейную динамику вектора р .

Сравнительные результаты полученных кривых с назначенной траекторией этого вектора представлены на рис. 5. Результаты показывают, что найденные выражения для переменных управления обеспечивают близость движения манипулятора к заданной траектории.

м 2

1 1

Этап 1 Этап 2

Г1

4 1 у 1 |

м

\ 1 1

Этап 1 Л I 1 Этап 2

I

г.с

г,с

м

, •

Этап 1 Г * 1 >•••• 7 V Этап 2

\ V 1 V*

\ 7 1

1 V

1 1 V

гх

Рис. 5. Траектория вектора Р6: вычисленная по найденным ^з, Ц4 (сплошные кривые) и заданная (точки)

<

Окончательное формирование траекторий управления

На основании заданных траекторий 01, л2 по (3), найденных зависимостей л3, Л4 по (5), (6), существующих ограничений по скоростям приводов и по зависимости (7) были окончательно сформированы траектории сигналов управления в зависимости от времени.

На первом этапе выдвижения манипулятора Л2, Лз, Л4 были скорректированы с учетом максимальной скорости силового привода, обеспечивающего поворот манипулятора в абсолютном пространстве. На втором этапе движения манипулятора значения 0j, Л2 = const ,

а значения Лз пересчитаны с учетом максимальной скорости линейного привода vmax . Они представлены на рис. 6.

Рис. 6. Результирующие траектории сигналов управления и их аппроксимации

Их аппроксимации с погрешностью не более 3 % имеют вид: Г0,1046г, если 0 < г < 451,5л,

ад =1 , , , , (10)

I 0 < г < 451,5л, если 45 < г < 64,524,

Л2О ) ч

0,356, если 0 < t < 15, 0,003t + 0,406, если 15 < t < 45, 0,256, если 45 < t < 64,5,

Л3О1 ) =

0,356, если 0 < t < 5, 0,544 - 0,057t + 5,21 • 10-312 --1,634•Ю-413,если 5 < t < 16, 0,312-6,135•Ю-31 + 4,909•Ю-412 --1,07•Ю-513, если 16 < t < 64,5,

Л4 (t ) = !

(11)

(12)

0,256, если 0 < t < 5,

(0,297-0,013t +1,654•Ю-312 -6,274• 10513) -

- 0,005, если 5 < t < 16,

(0,099 + 0,02t - 7,803 • 10-412 +1,339 • 10513 )-

- 0,013, если 16 < t < 64,5.

(13)

Заключение

При решении обратной задачи кинематики автомобильного манипулятора инвалидного кресла были получены оптимальные с точки зрения скорости раскладки и ограничений управляющие воздействия четырех приводов манипулятора. Они описываются зависимостями (10)-(13) и представлены на рис. 6.

Доказана оптимальность по быстродействию такого решения. Для складывания манипулятора будут использоваться те же зависимости только в обратном времени.

Алгоритмы, описанные в работе [1] и сформированные в данной статье, позволяют находить оптимальные с точки зрения быстродействия законы управления для специальных манипуляторов инвалидного кресла с различными длинами звеньев для интеграции манипулятора в багажные отсеки различного размера.

Библиографический список

1. Круглов С.П., Иванченко С.А., Ковыршин С.В. Решение прямой расширенной задачи кинематики для манипулятора инвалидного кресла [Электронный ресурс] // Вестник Пермского национального ис-

<

следовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - 2022. - № 41. -2022. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=48707454

2. Тимофеев А.В. Управление роботами: учеб. пособие. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. - 240 с.

3. Алябьев М.О. Оптимизация работы алгоритма решения обратной задачи кинематики при помощи нейронных сетей [Электронный ресурс] // Наука молодых - будущее России: сб. науч. ст. 7-й Между-нар. науч. конф. перспективных разработок молодых ученых. - Курск, 2022. - Т. 5. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=50050949

4. Дема Н.Ю., Овчаров А.О. Исследование методов решения обратной задачи кинематики для манипуляторов избыточной кинематики [Электронный ресурс] // Альманах научных работ молодых ученых университета ИТМО XLVII науч. и учеб.-метод. конф. - СПб., 2018. - Т. 1. -URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=41288041

5. Дыда А.А., Оськин Д.А. Решение обратной задачи кинематики для манипуляционного робота методом штрафных функций [Электронный ресурс] // Фундаментальные исследования учредители. - 2015. -№ 11-4. - С. 673-677. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=25098361

6. Ломовцева Е.И., Челноков Ю.Н. Решение обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора c применением бикватернион-ной теории кинематического управления [Электронный ресурс] // Математика. Механика / Саратов. нац. исслед. гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23617417

7. Каргинов Л.А. Иерархический подход к решению обратной задачи кинематики [Электронный ресурс] // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. - URL: https://www.elibrary.ru/ item.asp?id=25837815

8. Рыжиченко А.И. Решение обратной задачи кинематики для шес-тистепенного робота численным методом [Электронный ресурс] // Материалы XXVIII Междунар. инновац.-ориентированной конф. молодых ученых и студ. - 2017. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=28346671

9. Buss S.R. Introduction to inverse kinematics with jacobian transpose, pseudoinverse and damped least squares methods // IEEE JRA. -2004. - Vol. 17, № 1-19. - Р. 16.

10. Челноков Ю.Н. Бикватернионное решение кинематической задачи управления движением твердого тела и его приложение к решению обратных задач кинематики роботов-манипуляторов [Электронный ресурс] // Известия Рос. акад. наук. Механика твердого тела. -URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=18879217

11. Мальцева Э.Ш., Шереужев М.А. Метод решения обратной задачи кинематики пальца бионического протеза кисти на основе адаптивной нейронечеткой системы вывода (Anfis). - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=43878606

12. Serdar Kucuk, Zafer Bingul Inverse kinematics solutions for industrial robot manipulators with offset wrists // Applied Mathematical Modelling. - 1 April 2014. - Vol. 38, iss. 7-8. - P. 1983-1999. - URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0307904X13006264

13. General inverse kinematics method for 7-DOF offset manipulators based on arm angle parameterization / Xiaohang Yang, Zhiyuan Zhao, Zichun Xu, Yuntao Li, Jingdong Zhao, Hong Liu // General inverse kinematics method for 7-DOF offset manipulators based on arm angle parameterization. - URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S009457652200563X

14. Mihai Dupac. Mathematical modeling and simulation of the inverse kinematic of a redundant robotic manipulator using azimuthal angles and spherical polar piecewise interpolation // Mathematics and Computers in Simulation. - July 2023. - Vol. 209. - P. 282-298. - URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378475423000836

15. Javier Alexis Abdor-Sierra, Emmanuel Alejandro Merchán-Cruz, Ricardo Gustavo Rodríguez-Cañizo. A comparative analysis of metaheuristic algorithms for solving the inverse kinematics of robot manipulators // Results in Engineering. - December 2022. - Vol. 16. - P. 100597. - URL: https://sciencedirect.com/science/article/pii/S2590123022002675

16. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Основы управления манипуля-ционными роботами: учебник для вузов. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 480 с.

17. Lewis F.L., Dawson D.M., Abdallah C.T. Robot manipulator control theory and practice. - Second Edition, Revised and Expanded. - Marcel Dekker, Inc. New York, Basel, 2004. - 614 p.

18. Жильцов А.И., Жуков В.С., Рылеев Д.А. Управление манипуляторами с числом степеней свободы более шести // Инженерный жур-

нал: наука и инновации. - 2013. - Вып. 10. - С. 1-11. - URL: http://engjournal.ru/catalog/it/nav/1086.html

19. Кондрашов Д.А. Решение обратной задачи кинематики шес-тизвенного манипулятора с использованием метода Ньютона-Рафсона [Электронный ресурс] // Научный потенциал молодежи и технический прогресс. - Санкт-Петербург, 21 мая 2021 года. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=46290599

20. Карабанов Г.С., Селюков А.Н., Крахмалев О.Н. Демонстрация решения обратной задачи кинематики на примере 6-DOF робота [Электронный ресурс] // XXXIV Междунар. инновационная конф. молодых ученых и студентов по современным проблемам машиноведения: сб. тр. конф. - М.: Изд-во Института машиноведения им. А.А. Благонравова Рос. акад. наук. - M., 2022. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=49872804

21. Голомаздин П.И., Дмитроченко О.Н. Программная реализация решения обратной задачи кинематики шестизвенного манипулятора [Электронный ресурс] // Автоматизация и моделирование в проектировании и управлении. - 2022. - № 3 (17). - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=49478231

22. Коровин О.С. Обзор методов решения обратной задачи кинематики для манипулятора с избыточностью [Электронный ресурс] // Политехнический молодежный журнал. - 2022. - № 12 (77). - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=50172603

23. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Главная ред. физ.-мат. лит-ры, 1983.

24. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.П. Методы оптимизации. - М.: Наука, 1980.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966.

References

1. Kruglov S.P., Ivanchenko S.A., Kovyrshin S.V. Reshenie priamoi rasshirennoi zadachi kinematiki dlia manipuliatora invalidnogo kresla [Solution of direct extended kinematics problem for wheelchair manipulator]. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta.

Elektrotekhnika, informatsionnye tekhnologii, sistemy upravleniia, 2022, no. 41, 2022, available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=48707454

2. Timofeev A.V. Upravlenie robotami [Robot control]. Leningrad: Leningradskii universitet, 1986, 240 p.

3. Aliab'ev M.O. Optimizatsiia raboty algoritma resheniia obratnoi zadachi kinematiki pri pomoshchi neironnykh setei [Optimization of the Kinematics Inverse Problem Solution Algorithm Using Neural Networks]. Nauka molodykh - budushchee Rossii. Sbornik nauchnykh statei 7-i Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii perspektivnykh razrabotok molodykh uchenykh. Kursk, 2022, vol. 5, available at: https://elibrary.ru/ item.asp?id=50050949

4. Dema N.Iu., Ovcharov A.O. Issledovanie metodov resheniia obratnoi zadachi kinematiki dlia manipuliatorov izbytochnoi kinematiki [Investigation of Methods for Solving the Inverse Kinematics Problem for Redundant Manipulators]. Al'manakh nauchnykh rabot molodykh uchenykh universiteta ITMO XLVII nauchnoi i uchebno-metodicheskoi konferentsii. Saint Petersburg, 2018, vol. 1, available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=41288041

5. Dyda A.A., Os'kin D.A. Reshenie obratnoi zadachi kinematiki dlia manipuliatsionnogo robota metodom shtrafnykh funktsii [Solution of the Inverse Kinematics Problem for a Manipulation Robot Using Penalty Functions Method]. Fundamental'nye issledovaniia uchrediteli, 2015, no. 11-4, pp. 673-677, available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=25098361

6. Lomovtseva E.I., Chelnokov Iu.N. Reshenie obratnoi zadachi kinematiki stenfordskogo manipuliatora c primeneniem bikvaternionnoi teorii kinematicheskogo upravleniia [Solving the Inverse Kinematics Problem of the Stanford Manipulator Using Biquaternion Kinematic Control Theory]. Matematika. Mekhanika. Saratov: Saratovskii natsional'nyi issledovatel'skii gosudarstvennyi universitet imeni N.G. Chernyshevskogo, available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23617417

7. Karginov L.A. Ierarkhicheskii podkhod k resheniiu obratnoi zadachi kinematiki [Hierarchical Approach to Solving the Inverse Kinematics Problem]. Nauka i obrazovanie: nauchnoe izdanie MGTU imeni N.E. Baumana, available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=25837815

8. Ryzhichenko A.I. Reshenie obratnoi zadachi kinematiki dlia shestistepennogo robota chislennym metodom [Solution of the inverse kinematics problem for a six-degree-of-freedom robot by numerical method].

Materialy XXVIII Mezhdunarodnoi innovatsionno-orientirovannoi konferentsii molodykh uchenykh i studentov, 2017, available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=28346671

9. Buss S.R. Introduction to inverse kinematics with jacobian transpose, pseudoinverse and damped least squares methods. IEEE JRA, 2004, vol. 17, no. 1-19, 16 p.

10. Chelnokov Iu.N. Bikvaternionnoe reshenie kinematicheskoi zadachi upravleniia dvizheniem tverdogo tela i ego prilozhenie k resheniiu obratnykh zadach kinematiki robotov-manipuliatorov [Biquaternion solution to the kinematic control problem of rigid body motion and its application to solving the inverse kinematics problems of manipulator robots]. Izvestiia Rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela, available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=18879217

11. Mal'tseva E.Sh., Shereuzhev M.A. Metod resheniia obratnoi zadachi kinematiki pal'tsa bionicheskogo proteza kisti na osnove adaptivnoi neironechetkoi sistemy vyvoda (Anfis) [Method for solving the inverse kinematics problem of a bionic hand prosthesis finger based on an adaptive neuro-fuzzy inference system (ANFIS)], available at: https://elibrary.ru/ item.asp?id=43878606

12. Serdar Kucuk, Zafer Bingul Inverse kinematics solutions for industrial robot manipulators with offset wrists. Applied Mathematical Modelling. 1 April 2014, vol. 38, iss. 7-8, pp. 1983-1999, available at: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0307904X13006264

13. Yang Xiaohang, Zhao Zhiyuan, Xu Zichun, Li Yuntao, Zhao Jingdong, Liu Hong. General inverse kinematics method for 7-DOF offset manipulators based on arm angle parameterization. General inverse kinematics method for 7-DOF offset manipulators based on arm angle parameterization, available at: https://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S009457652200563X

14. Mihai Dupac Mathematical modeling and simulation of the inverse kinematic of a redundant robotic manipulator using azimuthal angles and spherical polar piecewise interpolation. Mathematics and Computers in Simulation, July 2023, vol. 209, pp. 282-298, available at: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378475423000836

15. Javier Alexis Abdor-Sierra, Emmanuel Alejandro Merchán-Cruz, Ricardo Gustavo Rodríguez-Cañizo. A comparative analysis of metaheuristic

algorithms for solving the inverse kinematics of robot manipulators. Results in Engineering. December 2022, vol. 16, 100597 p., available at: https://sciencedirect.com/science/article/pii/S2590123022002675

16. Zenkevich S.L., Iushchenko A.S. Osnovy upravleniia manipuliatsionnymi robotami [Fundamentals of Manipulative Robot Control]. 2nd ed. Moscow: Moskovskii gosudarstvennyi tekhnicheskii universitet im. N.E. Baumana, 2004, 480 p.

17. Lewis F.L., Dawson D.M., Abdallah C.T. Robot manipulator control theory and practice. Second Edition, Revised and Expanded. Marcel Dekker, Inc. New York, Basel, 2004, 614 p.

18. Zhil'tsov A.I., Zhukov V.S., Ryleev DA. Upravlenie manipuliatorami s chislom stepenei svobody bolee shesti [Control of Manipulators with More than Six Degrees of Freedom]. Inzhenernyi zhurnal: nauka i innovatsii, 2013, iss. 10, pp. 1-11, available at: http://engjournal.ru/ catalog/it/nav/1086.html

19. Kondrashov D.A. Reshenie obratnoi zadachi kinematiki shestizvennogo manipuliatora s ispol'zovaniem metoda N'iutona-Rafsona [Solution of the inverse kinematics problem for a six-link manipulator using the Newton-Raphson method]. Nauchnyi potentsial molodezhi i tekhnicheskii progress. Sankt-Peterburg, 21 May 2021, available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=46290599

20. Karabanov G.S., Seliukov A.N., Krakhmalev O.N. Demonstratsiia resheniia obratnoi zadachi kinematiki na primere 6-DOF robota [Demonstration of the solution to the inverse kinematics problem using a 6-DOF robot as an example]. XXXIV Mezhdunarodnaia innovatsionnaia konferentsiia molodykh uchenykh i studentov po sovremennym problemam mashinovedeniia. Sbornik trudov konferentsii. Moscow: Institut mashinovedeniia imeni A.A. Blagonravova Rossiiskoi akademii nauk. Moscow, 2022, available at: https://elibrary.ru/ item.asp?id=49872804

21. Golomazdin P.I., Dmitrochenko O.N. Programmnaia realizatsiia resheniia obratnoi zadachi kinematiki shestizvennogo manipuliatora [Software Implementation of the Inverse Kinematics Problem Solution for a Six-Link Manipulator]. Avtomatizatsiia i modelirovanie v proektirovanii i upravlenii, 2022, no. 3 (17), available at: https://elibrary.ru/ item.asp?id=49478231

22. Korovin O.S. Obzor metodov resheniia obratnoi zadachi kinematiki dlia manipuliatora s izbytochnost'iu [Review of methods for solving the inverse kinematics problem for a manipulator with redundancy]. Politekhnicheskii molodezhnyi zhurnal, 2022, no. 12 (77), available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=50172603

23. Pontriagin L.S., Boltianskii V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. Matematicheskaia teoriia optimal'nykh protsessov [Mathematical Theory of Optimal Processes]. Moscow: Glavnaia redaktsiia fiziko-matematicheskoi literatury, 1983.

24. Moiseev N.N., Ivanilov Iu.P., Stoliarova E.P. Metody optimizatsii [Optimization methods]. Moscow: Nauka, 1980.

25. Gantmakher F.R. Teoriia matrits [Theory of matrixes]. Moscow: Nauka, 1966.

Сведения об авторах

Круглов Сергей Петрович (Иркутск, Российская Федерация) — доктор технических наук, профессор кафедры «Автоматизация производственных процессов» Иркутского государственного университета путей сообщения (664009, Иркутск, ул. Чернышевского, 15, e-mail: kruglov_s_p@mail .ru).

Иванченко Степан Александрович (Иркутск, Российская Федерация) - аспирант кафедры «Автоматизация производственных процессов» Иркутского государственного университета путей сообщения (664009, Иркутск, ул. Чернышевского, 15, e-mail: barrier. free. irkutsk@gmail .com).

About the Authors

Sergey P. Kruglov (Irkutsk, Russian Federation) - Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Automation of Production Processes Irkutsk State Railway University (664009, Irkutsk, 15, Chernyshevsky str., e-mail: kruglov_s_p@mail.ru).

Stepan A. Ivanchenko (Irkutsk, Russian Federation) - Graduate Student of the department Automation of production processes Irkutsk State Railway University (664056, Irkutsk, 15, Chernyshevsky str., e-mail: barrier. free.irkutsk@gmail.com).

Поступила: 06.06.2023. Одобрена: 02.10.2023. Принята к публикации: 01.10.2023.

Финансирование. Исследование не имело спонсорской поддержки.

Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов по отношению к статье.

Вклад авторов. Все авторы сделали равноценный вклад в подготовку статьи.

Просьба ссылаться на эту статью в русскоязычных источниках следующим образом:

Круглов, С.П. Решение обратной задачи кинематики для автомобильного манипулятора инвалидного кресла с оптимизацией скорости раскладки / С.П. Круглов, С.А. Иванченко // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - 2023. - № 47. - С. 151-172. DOI: 10.15593/2224-9397/2023.3.08

Please cite this article in English as:

Kruglov S.P., Ivanchenko S. А. Solution of inverse kinematics problem for car robotics wheelchair loader with speed extension optimization. Perm National Research Polytechnic University Bulletin. Electrotechnics, information technologies, control systems, 2023, no. 47, pp. 151-172. DOI: 10.15593/2224-9397/2023.3.08