Решение обратной задачи для модели Гаврильяка – Негами при обнаружении новообразований молочной железы методом импедансной спектроскопии Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 537.226

doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-1

Решение обратной задачи для модели Гаврильяка - Негами при обнаружении новообразований молочной железы методом импедансной спектроскопии

Ю. Г. Смирнов1, А. В. Кузьмин2, В. А. Баранов3

1,2,3Пензенский государственный университет, Пенза, Россия [email protected], [email protected], [email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Рассматривается обратная задача вычисления коэффициентов в модели Гаврильяка - Негами с целью определения структуры неоднородного диэлектрического объекта на основе определения параметров и анализа частотных характеристик относительной диэлектрической проницаемости. Материалы и методы. Применен метод вычисления коэффициентов в модели Гаврильяка -Негами с помощью трех измерений комплексной диэлектрической проницаемости на различных частотах. Результаты и выводы. Разработан численный метод для определения коэффициентов в модели Гаврильяка - Негами, который используется в диэлектрической спектроскопии для раннего обнаружения новообразований в молочной железе.

Ключевые слова: гетерогенная диэлектрическая структура, модель Гаврильяка - Нега-ми, импедансная спектроскопия, обратная задача, новообразование в молочной железе Финансирование: работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации по гранту Государственного задания (Рег. № 124020200015-7).

Для цитирования: Смирнов Ю. Г., Кузьмин А. В., Баранов В. А. Решение обратной задачи для модели Гаврильяка - Негами при обнаружении новообразований молочной железы методом импедансной спектроскопии // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 2. С. 3-12. doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-1

A solution of the inverse problem for the Havriliak - Negami model in detecting breast tumors using impedance spectroscopy

Yu.G. Smirnov1, A.V. Kuzmin2, V. A. Baranov3

123Penza State University, Penza, Russia [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract. Background. The inverse problem of calculating coefficients in the Havriliak -Negami model is considered in order to determine the structure of an inhomogeneous dielectric object based on the determination of parameters and analysis of the frequency characteristics of the relative permittivity. Materials and methods. The method of calculating

© Смирнов Ю. Г., Кузьмин А. В., Баранов В. А., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

the coefficients in Havriliak - Negami model using three measurements of the complex permittivity at different frequencies is applied. Results and conclusions. A numerical method has been developed to determine the coefficients in Havriliak - Negami model, which is used in dielectric spectroscopy for the early detection of tumors in the mammary gland. Keywords: heterogeneous dielectric structure, Havriliak - Negami model, impedance spec-troscopy, inverse problem, breast tumor

Financing: the work was carried out with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation under the grant of the State Assignment (Reg. No. 124020200015-7).

For citation: Smirnov Yu.G., Kuzmin A.V., Baranov V.A. A solution of the inverse problem for the Havriliak - Negami model in detecting breast tumors using impedance spectroscopy. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(2):3-12. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-1

Введение

Рак молочной железы является наиболее распространенным онкологическим заболеванием у женщин. Диагностика этого заболевания на ранних стадиях чрезвычайно важна, поскольку позволяет эффективно его лечить. Быстро развивающимся методом обнаружения новообразований молочной железы является электроимпедансная маммография (ЭИМ), которая представляет собой специфическое применение метода биоимпедансной спектроскопии [1], широко используемое при изучении различных биологических структур [2, 3]. Метод ЭИМ основан на различии комплексного электрического сопротивления раковых и здоровых клеток [4]. ЭИМ не использует ионизирующее излучение, что допускает проведение обследований без ограничения их количества и частоты.

Эффективное лечение неинфекционных социально значимых заболеваний (злокачественных новообразований, сахарного диабета и заболеваний, характеризующихся повышенным артериальным давлением) невозможно без активного участия больного в форме самоконтроля. Самоконтроль диабета и гипертонии в домашних условиях имеет инструментальное обеспечение (глюкометр, тонометр). Самообследование молочных желез с целью выявления признаков формирования новообразований пока не имеет такой поддержки. Применению ЭИМ при самообследовании препятствует необходимость организации механического контакта между электродами, громоздкость устройства. Наиболее перспективным для выявления новообразований молочной железы при самообследовании является один из методов биоимпе-дансной спектроскопии (БИС) - диэлектрическая спектроскопия, свободная от этих недостатков. Относительная диэлектрическая проницаемость (ОДП) новообразования существенно отличается от ОДП здоровых тканей молочной железы [4, 5]. Это открывает возможность раннего обнаружения новообразований путем измерительного мониторинга диэлектрических параметров объекта исследования в информативном диапазоне частот гармонически изменяющегося электромагнитного поля. Емкостный первичный преобразователь не требует механического контакта электродов с кожей и может находиться на наружной поверхности белья.

При использовании метода диэлектрической спектроскопии молочная железа рассматривается как объект исследования с индивидуальными фор-

мои и размерами из диэлектрического материала с неоднородной структурой, участки которого, включая новообразование, имеют различную относительную диэлектрическую проницаемость. Известны математические модели частотной характеристики относительной диэлектрической проницаемости: модель Дебая, модель Коула - Коула и др. Наиболее общей математической моделью, перспективной для использования при исследовании гетерогенных диэлектрических структур, является уравнение Гаврильяка - Негами [6]:

е = е1 + /е2 +

1 + (/ют0)1-а

в '

(1)

где £ - диэлектрическая проницаемость; £2 - диэлектрические потери; £s - статическая диэлектрическая постоянная; - высокочастотная диэлектрическая постоянная; a - вещественный коэффициент ширины спектра, ae[0;1]; в - вещественный коэффициент асимметрии спектра, Ре[0;1]; W - круговая частота синусоидального напряжения; Tq - постоянная времени релаксации.

Определение структуры неоднородного диэлектрического объекта на основе определения параметров и анализа частотных характеристик относительной диэлектрической проницаемости предлагается осуществлять путем решения прямой и обратной задач дифракции. Прямая задача состоит в определении частотных характеристик диэлектрической проницаемости £ и диэлектрических потерь £2, а также зависимости диэлектрических потерь £2 от диэлектрической проницаемости £i в информативном диапазоне частот электрического поля синусоидальной формы, действующего на объект измерения [7].

Обратная задача состоит в вычислении значений параметров модели Гаврильяка - Негами по известным значениям компонент ei и в2, полученным в результате измерений информативных параметров приложенного к объекту измерения диэлькометрического датчика при различных значениях частоты.

Определению коэффициентов в модели Гаврильяка - Негами, выяснению их физического смысла и сравнению с экспериментальными данными посвящены многие работы, в частности [8, 9]. В настоящей статье предлагается другой метод определения этих коэффициентов - путем измерений ОДП на различных частотах.

1. Преобразование уравнения Гаврильяка - Негами

Выполним преобразование уравнения Гаврильяка - Негами для удобства решения обратной задачи.

Пусть выполнено (1). Введем следующие параметры:

A , Ta :=T0"a, q := ,

причем A - комплексная величина, Ta - вещественная величина, q - чисто мнимая величина.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 2 Тогда уравнение (1) принимает вид

1 + (/ю)1-аTa= Ав ,

или

1 + q1-аTа= Ав .

или

1-а

Т

ГУ

Г 1 1 Ав-1

(2)

Прологарифмируем уравнение (2), учитывая, что величины, входящие в (2), являются комплексными (т.е. логарифм рассматривается как многозначная функция комплексной переменной), будем иметь

Ln q =

1

( ( 1 Ц

1 -а

-Ьп

1

Т

1 ГУ

а

V V

Ав -1

//

Пусть

0 := Ьп q,

тогда из (3) и (4) получаем уравнение

0 = -

1

1 -а

-1п

(—1

Т V1 а

+ -

1

1 -а

Ьп

( 1 1 Ав -1

(3)

(4)

(5)

здесь учтено, что величина Та вещественная и логарифм от нее также вещественная функция. Еще упростим (5) введением новых переменных:

1 1 ( 1 1

ао:=-—, Ро:=й, 0, :=а01п — 1 -а Р V Та

В новых переменных (6) уравнение (5) примет вид 0 = 0 + а0Ьп(Аво -1).

(6)

(7)

1

1

2. Обратная задача восстановления параметров по результатам измерений относительной диэлектрической проницаемости

Исходными данными для решения обратной задачи модели Гаврильяка -Негами являются результаты измерения статической диэлектрической проницаемости при минимальной частоте напряжения, высокочастотной диэлектрической проницаемости при максимальной частоте напряжения,

результаты измерении диэлектрическои проницаемости и диэлектрических потерь на трех промежуточных частотах. Обратная задача Гаврильяка - Негами решается методами теории функций комплексного переменного, а также численными методами.

Пусть выполнены измерения на частотах W , W и W3. Обозначим

A1 := A(wj), A2 := A(w2), A3 := A(W3)

и

0! := 0(Wi), 02 := 0(W2) , 03 := 0(W3). Составим систему уравнений

01 = Q + aoLn(Af0 -1),

A

02 = Q + aoLn(A20 -1),

03 = Q + a0Ln(A3Po -1).

(8)

Вычитая первое уравнение в (8) из второго и третьего уравнений,

имеем

Q = 0i -aoLn(Af° -1)

ßo

02 - 01 = aoLn

A

—

03 -02 = aoLn-

Afo Afo

—

—

A?°

-

(9)

Разделим третье уравнение в (9) на второе, получим

A3Po -1 Ln-1-

4 Po

03 -02 _ A2°

02 -01 A?o Ln 2

4ßo A1

— 1

(1o)

Заметим, что

B :=

03 - 02

ln W3 W2

02-01 ln W2

W1

(11)

есть вещественная величина.

Уравнение (10) с учетом (11) можно записать в виде

F (ßo) - B = o,

где функция

(12)

Ьп 3

—

¿£о -1

*ХРо):=-в--(13)

4° -1

Ав° -1

является комплекснозначной функцией вещественной переменной.

Далее решаем уравнение (12) на множестве в° е [1; втах] для достаточно большого втах > 1.

После определения в° как решения уравнения (12) находим последовательно а° из формулы (из второго уравнения (9)):

1 1 А?° -1

а-1 Ьп^в-, (14)

02 -01 Ав° -1 затем 0 из первого уравнения (9), и из (6) получаем

Га=-1-. (15)

ехр(0 / а°)

Далее из (6) и (15) находим параметры в модели Гаврильяка - Негами, которые требуется найти в обратной задаче:

То = Таа°, (16)

а = 1 —-, (17)

а°

Р = в". (18)

Р°

Формулы (16)-(18) дают решение обратной задачи.

3. Численный метод решения обратной задачи

В предлагаемой схеме решения обратной задачи численно решается только уравнение (12) с функцией (13) и константой (11). Решение состоит

в определении точек перемены знака вещественной и мнимой частей функ-

*

ции Е(в°) - В, т.е. таких точек в°, при которых

Яе(Е(Р°) - В) = ° (19)

и

1т Е (Р°) = °. (2°)

На отрезке [1; втах] выбирается равномерная сетка с достаточно мелким шагом к, причем шаг предварительно оценивается с помощью построения

графиков функций из левых частей (19) и (20). Определяются значения этих функций в узлах сетки. Если на каком-то частичном отрезке сетки происходит перемена знака обеих функций (на разных концах частичного отрезка функции имеют разные знаки), то считаем середину этого частичного отрезка

приближенным корнем уравнения (12), и, соответственно, приближенным *

значением для р0.

4. Результаты расчетов

Ниже представлены результаты расчетов коэффициентов модели Гав-рильяка - Негами по предложенному методу и дано сравнение с экспериментальными данными, опубликованными в статье [10].

На рис. 1 представлен график действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости, вычисленные по формуле (1), в зависимости от ^ (ю), где £1 = е', £2 = -£*.

Рис. 1. Частотные зависимости действительной и мнимой частей относительной комплексной диэлектрической проницаемости е = е' — 1е"

при а = 0,33; в = 0,96; т0 = 3,3 10—3 с; е, = 16,93; ем = 3,71

Экспериментальные данные на трех частотах ( = 10 Гц, ( = 100 Гц, ( = 1000 Гц, указанные в табл. 1, были выбраны в соответствии с работой [10]. Таким образом, относительная погрешность для вещественных частей е((Оу), 1 = 1,2,3, составляет ~0,05 %. Самая большая относительная погрешность - это погрешность для мнимой части £((), которая примерно равна

1 %, а остальные мнимые части имеют погрешность около 0,05 %. Результаты расчетов представлены в табл. 2.

Таблица 1

Точные и экспериментальные значения относительной комплексной диэлектрической проницаемости

Параметр Точные значения Экспериментальные значения

e(®1) 16,237 - 1,011/ 16,229 - 1,022 /

e(®2) 13,475 - 3,126 / 13,469 - 3,128 /

e(®3) 7,359 - 3,159 / 7,355 - 3,158 /

Таблица 2 Точные и полученные описанным в данной работе методом значения параметров

Параметр Точные значения Приближенные значения

ß 0,96 0,98

a 0,33 0,335

T0 3,3-10-3 3,134604384 -10-3

Приведенные сравнения показывают, что предложенный в статье метод дает удовлетворительное решение обратной задачи. Конечно, это так только в случае, если реальные частотные зависимости действительно хорошо аппроксимируются с помощью модели Гаврильяка - Негами.

Отметим, что при вычислении коэффициентов в силу неизбежных округлений могут получаться комплексные значения (с небольшой мнимой частью) - в этом случае необходимо взять вещественную часть рассчитываемого параметра.

Заключение

Предложен метод определения параметров модели Гаврильяка - Нега-ми по известным значениям компонент 81 и 82, полученным в результате измерений информативных параметров приложенного к объекту измерения ди-элькометрического датчика при трех различных значениях частоты.

Метод предполагает численное решение комплексного уравнения на отрезке, точнее поиск нулей комплекснозначной функции вещественной переменной на некотором отрезке. Для этого применяется метод перемены знака одновременно для вещественной и мнимой частей функции. Представлен вычислительный алгоритм, выполнены тестовые расчеты. Проведено сравнение с известными экспериментальными данными.

Список литературы

1. Kamal A. M., Sakorikar T., Pal U. M. [et al.]. Engineering Approaches for Breast Cancer Diagnosis: A Review // IEEE Rev. Biomed. Eng. 2023. Vol. 16. P. 687-705.

2. Zarafshani A., Bach T., Chatwin Ch. R. [et al.]. Conditioning Electrical Impedance Mammography System // Measurement. 2018. Vol. 116. P. 38-48.

3. Cherepenin V., Karpov A., Korjenevsky A. [et al.]. A 3D electrical impedance tomography (EIT) system for breast cancer detection // Physiological Measurement. 2001. Vol. 22, № 1. P. 9-18.

4. Grzegorczyk T. M., Meaney P. M., Kaufman P. A [et al.]. Fast 3-D Tomographic Microwave Imaging for Breast Cancer Detection // IEEE Trans. Med. Imaging. 2012. Vol. 31, № 8. P. 1584-1592.

5. Zarafshani A., Dhurjaty S., Wang Y. [et al.]. Feasibility Test of Quantitative Assessment of Breast Density Based on Dielectric Impedance Spectroscopy // JABB. 2017. Vol. 2, № 6. P. 204-210.

6. Havriliak S., Negami S. A complex plane representation of dielectric and mechanical relaxation processes in some polymers // Polymer. 1967. Vol. 8. P. 161-210.

7. Баранов В. А. Измерения параметров композиционных диэлектрических материалов : монография. Пенза : Инф.-изд. центр, 2008. 99 с.

8. Лукичёв А. А. Универсальная спектральная функция для описания релаксационных спектров типа Гаврильяка Негами // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2013. Т. 15, № 4. С. 35-41.

9. Волков А. С., Копосов Г. Д., Перфильев Р. О. О физическом смысле дисперсионных параметров частотной зависимости диэлектрической проницаемости в модели Гавриляка - Негами // Журнал технической физики. 2018. Т. 125, № 9. С. 364.

10. Перфильев Р. О., Копосов Г. Д., Волков А. С. Нахождение параметров модели Гавриляка - Негами для частотной дисперсии диэлектрической проницаемости // Физика. Технологии. Инновации (Секция 1) : тезисы докладов IV Междунар. молодежной науч. конф. Екатеринбург : УрФУ, 2017. С. 155-156.

References

1. Kamal A.M., Sakorikar T., Pal U.M. et al. Engineering Approaches for Breast Cancer Diagnosis: A Review. IEEE Rev. Biomed. Eng. 2023;16:687-705.

2. Zarafshani A., Bach T., Chatwin Ch.R. et al. Conditioning Electrical Impedance Mammography System. Measurement. 2018;116:38-48.

3. Cherepenin V., Karpov A., Korjenevsky A. et al. A 3D electrical impedance tomography (EIT) system for breast cancer detection. Physiological Measurement. 2001;22(1):9-18.

4. Grzegorczyk T.M., Meaney P.M., Kaufman P.A et al. Fast 3-D Tomographic Microwave Imaging for Breast Cancer Detection. IEEE Trans. Med. Imaging. 2012;31(8): 1584-1592.

5. Zarafshani A., Dhurjaty S., Wang Y. et al. Feasibility Test of Quantitative Assessment of Breast Density Based on Dielectric Impedance Spectroscopy. JABB. 2017;2(6):204-210.

6. Havriliak S., Negami S. A complex plane representation of dielectric and mechanical relaxation processes in some polymers. Polymer. 1967;8:161-210.

7. Baranov V.A. Izmereniya parametrov kompozitsionnykh dielektricheskikh materialov: monografiya = Measurements of parameters of composite dielectric materials: monograph. Penza: Inf.-izd. tsentr, 2008:99. (In Russ.)

8. Lukichev A.A. A universal spectral function for describing Havriliak-Negami relaxation spectra. Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiyskoy akademii nauk = Proceedings of Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences. 2013;15(4):35-41. (In Russ.)

9. Volkov A.S., Koposov G.D., Perfil'ev R.O. On the physical meaning of the dispersion parameters of the frequency dependence of the dielectric constant in the Havriliak-Negami model. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki = Journal of Technical Physics. 2018;125(9):364. (In Russ.)

10. Perfil'ev R.O., Koposov G.D., Volkov A.S. Finding the parameters of the Havriliak-Negami model for the frequency dispersion of the dielectric constant. Fizika.

Tekhnologii. Innovatsii (Sektsiya 1) : tezisy dokladov IV Mezhdunar. molodezhnoy nauch. konf. = Physics. Technologies. Innovation (Section 1): proceedings of the 4th Iternationalyouth scientific conference. Ekaterinburg: UrFU, 2017:155-156. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Юрий Геннадьевич Смирнов

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Андрей Викторович Кузьмин доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой информационно-вычислительных систем, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Виктор Алексеевич Баранов кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры информационно-измерительной техники и метрологии, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Yuriy G. Smirnov

Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Andrey V. Kuz'min

Doctor of engineering sciences, associate professor, head of the sub-department of information and computing systems, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Viktor A. Baranov

Candidate of engineering sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of information and measurement technology and metrology, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 09.04.2024

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 19.05.2024 Принята к публикации / Accepted 17.06.2024