Решение обратной узловой задачи для интегродифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тогда имеет место оценка

< с,

равномерная по 3.

Лемма 5. Система собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) полна в Ь2[0,1].

Теорема 2. Система с.п.ф. функций оператора Ь образует базис Рисса со скобками в Ь2[0,1]. При этом в скобки следует объединять те с.п.ф., которые соответствуют собственным значениям Ато; для которых' числа 1\т/\f~di попали внутрь кон туров Г

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Раппопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений, Киев: Изд-во АН УССР, 1954,

2, Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с многоточечным краевым условием // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2004, Вып. 6,

С. 80-87.

УДК 517.984

Ю.В. Курышова

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ УЗЛОВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В статье приводится формула восстановления потенциала д £ Ь2(0,п) интегродифференциального оператора Ь(д, М), заданного выражением

X

(у +д(х)у + /х е [м,

0

и краевыми условиями

у(0) = у (п) = 0,

по так называемым узлам, — нулям собственных функций (СФ). Суммируемая функция М(ж,£) полагается известной.

Узлы как спектральные данные (ОД) были введены в работе Джойс Ма-клахлин [1], где доказывалась единственность восстановления классического

оператора Штурма - Лиувилля по узлам. Для указанного интегродифферен-циального оператора в [2] была доказана теорема единственности решения обратной узловой задачи.

Обозначим Л = р2 и {Л^^0 собственные значения (СЗ) краевой задачи, которую обозначим также как и оператор Ь(д, М)

¿У = Лу, (1)

у(0) = у (п) = 0. (2)

Пусть S(х, Л) есть решение уравнения (1) с начальными условиями S(0, Л) = 0 5"(0, Л) = 1. Для этого решения имеет место следующее асимптотическое представление

S(x, Л) = - ^PtJ q(t)dt + cos p(x - 2t)q(t)dt+

0 0

+P2 J sin p(x - t)dt J M(t, С) sin p(d( + O(^). 00

x t , , (3)

Функции S(х, Лп) являются СФ задачи (1), (2), а соответствующие СЗ совпадают с пулями характеристической функции задачи Д(Л) = S(п, Л), то есть Д(ЛП) = 5(п,Лп) = 0.

Из асимптотики СФ ясно, что, начиная с некоторого номера N узлы задачи Ь(д,М) имеют те же свойства, что и узлы Ь(д, 0) (см. [1]). То есть, каждая п-я СФ, имеет внутри интервала (0, п) ровно п нулей (п > N) и узлы образуют плотное в (0,п) множество. Обозначим позпцпю ]-го узла п-й СФ х^■ Из (3) с учетом того, что 5(х,Лп) — СФ, получаем

1

р„ху] = п] + О(—), Рп :=\/ЛП, п е N. (4)

рп

Стандартным методом можно получить, что

п

1 Г к

Рп = п + д(*)Ш + И, п е N, {кп}п=1 е 12. (5)

Положим в (5) x — x jn), Л — Лп и, поделив обе части па cos pnxjn), получим

x(n) x(n)

tgpnxjn) — J q(t)dt - 2p * x(n) J cos pn(xjn) - 2t)q(t)dt—

r/ 0 ¿pn^UbpnXj 0

xjn) t

■2-(П) J sin pn(xjn) - t)dtJ M(t,C) sin pn£d£ + O(p2).

2pn COS pnxj 0 0 П

Воспользуемся формулой Тейлора для тангенса и, комбинируя последнее равенство с (4), имеем

(n) (n)

xj xj

(n) _ ^ I 1 Г „(+\й+ 1 Г „„с ^ (Jn)

(n) (6)

PnXjn) = jn + J q(t)dt — --(ny J cos pn(x;n) — 2t)q(t)Ut—

■ 2Pn 2pn cos p„Xj- 0 ■

0

x ' t

2 JL-Xny f sin Pn(xjn) — t)Ut f M(t,£) sin pnÇUÇ + O(4,).

¿pncosPnXj о 0

■pn

Положим в (3) x = п, X = Xn. Учитывая, что S(n,Xn) = 0 и, снова применяя формулу Тейлора, получим

f f

nPn = ПП + ¿n f q(t)Ut — 2pncLsпрЛ C0S Pn(n — 2t)q(t)Ut —

n 0 n n 0

—1 smPn(П — t)Ut f M(t, 0 sin + °(pLn). о 0

Отсюда,

f

lim (pn — n)Pn = — q(t)dt. (7)

0

Из (5), очевидно, имеем n ^ 1, при n ^ то. Зафиксируем x и выберем

— —> x i— = хЫи n —>

подпоследовательность ^ ^ ж {■Л = ж) при п ^ то. Из (6) имеем

Еп ■) = М + о(1).

п ■ п п2

Тогда для выбранного подмножества индексов

ж^ ж, при п ^ то. (8)

Рассмотрим последовательность ((рпХп) — ]пп) + Хп)(п — рп )) рп для выбранного подмножества индексов и перейдем к пределу при п ^ то. С учетом (6), (8) и (7), получим

x

1x

Km ((Pnxt) — jnn) + j)(n — Pn^ Pn = 1 J q(t)Ut — 2П I q(t)Ut.

0

С другой стороны, этот предел в силу асимтотики (5) равен

g(x) := lim (nxjn) — n. (9)

n—\ jn J

Итак,

f

X п

д(х) = 2 I - X I (10)

0 0

Функция д(х) Е АС[0, п]. Дифференцируя (10), с учетом того, что д(0) = = д(п) = 0, получим

п

11

д'(х) = 2^(х) — ^ п.в. на [0,п].

0

Сформулируем полученное утверждение.

Теорема. Пусть N3[0,п] — множество узлов задачи (1), (2), аХ — плотное его подмножество. Для точки х Е [0,п] выберем подпоследовательность {х^} С X, к ней сходящуюся. Тогда существует предел, д(х) в (9) и имеет место следующая формула восстановления потенциала:

п

д(х) = 2д'(х) +— п.в. на [0,п].

п 3

0

Заметим, что имеется проблема переопределенности узловых СД для любых обратных задач, так как, вообще говоря, не существует минимального плотного подмножества узлов из NS[0,п]. В [3], где рассмотрена обратная задача для оператора Штурма - Лиувилля, сделана попытка преодолеть эту переопределенность, взяв за СД классы эквивалентности последовательностей узлов с одинаковым асиптотическим поведением.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты, 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. McLaughlin J. R. Inverse theory Using Nodal Points as Data - A Uniqueness Result // J.Dif. Eq. 1988. V. 73, №2. P. 354-362.

2. Курышова Ю.В. Единственность решения обратной узловой задачи для интегро-дифференциальных операторов // Математика. Механика. Сб. науч.тр. Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 44-47.

3. Lau С.К., Tsay J. On the well-posedness of the inverse nodal problem // Inverse problems. 2001. V. 17. P. 1493-1512.