CC BY
484. Михалев, М. Ф. Расчет и конструирование машин и аппаратов химических производств : учеб. пособие для студентов вузов / Ф. М. Михалев, Н. П. Третьяков, А. И. Мильченко. - Санкт-Петербург : Машиностроение, 1984. - 301 с.6. Строительные нормы и правила: Тепловая защита зданий: СНиП 23-02-03: Введ. 1.07.2013 - Москва : Минрегион России, 2012. - Режим доступа: http://docs.cntd.ru/document/1200095525.
5. Поникаров, И. И. Машины и аппараты химических производств и нефтегазопереработки : учебник для студентов вузов / И. И. Поникаров, М. Г. Гайнуллин - 6-е изд., стереотип. - Санкт-Петербург : Лань, 2020. - Режим до-ступа: https ://e.lanbook. com/reader/book/130190/#1.
6. Сидняев, Н. И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных : учеб. пособие для магистров/ Н. И. Сидняев - 2-е изд., пе-рераб. и доп. - Москва: Юрайт, 2015. - 495с.
SOLVING NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, SYSTEM OF EQUATIONS AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS BY MODIFIED DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD
Gusynin A.,
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Roesys MedTec GmbH, Germany Gusynin V.,
Doctor of Technical Sciences, Associate Professor,
State Space Agency of Ukraine, Ukraine Ziatdinov Ju.
Doctor of Technical Sciences, Professor, National Aviation University, Ukraine
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Гусынин А.В.,
Кандидат технических наук, доцент, Roesys MedTec GmbH, Германия Гусынин В.П., Доктор технических наук, доцент, Государственное Космическое Агентство Украины, Украина
Зиатдинов Ю.К.
Доктор технических наук, профессор, Национальный Авиационный Университет, Украина
Abstract
Application of the modified differential transform method for solving nonlinear differential equations, systems of equations and nonlinear boundary value problems is considered. Examples of solving problems with different types of nonlinearities and comparison of the obtained approximate results with the exact solution and with the solution obtained by the Runge-Kutta method are given.
Аннотация
Рассмотрено применение модифицированного метода дифференциальных преобразований к решению нелинейных дифференциальных уравнений, систем уравнений и нелинейных краевых задач. Приведены примеры решения задач с разными типами нелинейностей и сравнение полученных приближенных результатов с точным решением и с решением, полученным методом Рунге-Кутта.
Keywords: nonlinear differential equations, system of equations, nonlinear boundary value problems, modified differential transform method.
Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений, нелинейные краевые задачи, модифицированный метод дифференциальных преобразований.
Введение трудности, является метод дифференциальных пре-
Нелинейные обыкновенные дифференциаль- образований (МДП) функций и уравнений [4,5].
ные уравнения, системы уравнений и нелинейные Данный метод является численно-аналитическим и
краевые задачи часто используются во многих об- основан на преобразованиях Тейлора. Он может
ластях науки и техники. В общем случае, они не быть применен непосредственно к решению нели-
имеют аналитического решения и для их решения нейных задач без их предварительной линеариза-
применяются различные численные и численно- ции, исключает зависимость переменных от вре-
аналитические методы, которые доказали свою эф- менного аргумента, допускает возможность полу-
фективность [1-3]. Применение большинства этих чения решения в аналитическом виде и
методов сопряжено с преодолением ряда математи- значительно уменьшает объем вычислительных ра-
ческих и вычислительных сложностей, связанных, бот. В соответствии с данным методом исходная
прежде всего, с нелинейностью задач. Одним из нелинейная математическая задача дифференци-
направлений, позволяющих преодолеть данные альными преобразованиями переводится в область
изображений, решается в ней с последующим возвратом в область оригинала и предоставлением решения в виде усеченного степенного ряда Тейлора. Это позволяет получить хорошее приближение к точному решению при малой длине интервала, на котором рассматривается задача. Длина этого интервала определяется радиусом сходимости ряда Тейлора.
С целью расширения диапазона поиска решения применяют концепцию многоэтапного МДП [6-10]. Данная концепция заключается в разбиении интервала на подынтервалы, поиске на каждом подынтервале решения классическим МДП и получении общего решения уравнения в виде объединения решений на подынтервалах.
Математические трудности, связанные со сложной нелинейностью уравнений, можно преодолеть с помощью применения метода декомпозиции Адомиана (метод полиномов Адомиана) [1116]. В основу данного подхода положено разбиение нелинейного дифференциального уравнения на ли-
X (к) =
н к!
dkx(t) dtk
(1)
Лк
X (к).
(2)
Обычно, для практических применений, функцию х(г) определяют в виде конечного ряда при
Н = 1:
x(t) «Ух(к)tk.
к=0
(3)
Многоэтапный метод дифференциальных преобразований
Рассмотрим нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение т - ой степени:
/(г, X, хг,..., х(т)) = 0, г е [0, Т], (4)
с заданными начальными условиями:
(5)
X'
)(0) = cr, r = 0,1,..., m-1.
С учетом (3), приближенное решение задачи (4)-(5) можно выразить в виде конечного ряда:
x(t) = £х (к )tk
нейные и нелинейные компоненты и аппроксимация неизвестной нелинейной части уравнения полиномами Адомиана. Это значительно упрощает решение задач, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.
Объединение многоэтапного МДП с методом полиномов Адомиана составляет основу модифицированного метода дифференциальных преобразований (ММДП), применение которого значительно упрощает решение нелинейных дифференциальных уравнений, систем уравнений и нелинейных краевых задач [8,10,17].
Дифференциальные преобразования
Дифференциальные преобразования (ДП) позволяют заменить в математической модели объекта функции х(г) непрерывного аргумента г их спектральными моделями в форме дискретных функций X{к) целочисленного аргумента к = 0,1,2,....
Дифференциальные преобразования функции х(г) имеют следующий вид:
Разобьём заданный интервал решения [0, Т ] на
Р
заданных
подынтервалов,
где х(г) - оригинал функции, представляющий собой непрерывную, бесконечное число раз дифференцируемую и ограниченную вместе со всеми своими производными функцию действительного аргумента г, X(к) - дифференциальное изображение оригинала (дифференциальный спектр), представляющее собой дискретную функцию целочисленного аргумента к = 0,1,2,..., Н -масштабная постоянная, имеющая размерность аргумента г и часто равная отрезку 0 < г < Н , на котором рассматривают функцию х(г) . Обратным преобразованием, позволяющем по изображению X (к) получить оригинал х(г) в форме степенного ряда Тейлора, является:
Tq = tq-1 - tq, я = 1Р, У Tq = T . Применяя
q=1
МДП к задаче (4)-(5) на первом подынтервале [0, ^ ] получим приближенное решение в виде:
X
R
(t) = У Х,(к)tk, t е[0,t,].
к=0
Учитывая начальные условия х(г) (0) = и выражение (1) можно найти для первого подынтервала все значения X (к), к = 0,1,2,...Я , где Я -количество учитываемых дискрет. Для Ц > 2 и для
каждого последующего подынтервала \fg-i,гд] будут использоваться начальные условия хГ)(га-1) = х!-1(га-1) . Тогда выражение (1) для Ц
-ого подынтервала примет вид:
ттг
х, (r) = H"
drXq-!(t) dtr
r > 0.
Применяя МДП к задаче (4)-(5) на каждом подынтервале получим последовательность приближенных решений х (г), Ц = 0,1,..., р для решения х(г) где
Я Г 1
(г) = £Xq(к)(г- гч_,)к, г е^,гд].
qW q
к=0
Здесь N = Я ■ р .
В конечном виде, при использовании многоэтапного МДП, получают решение в виде:
к=0
t=t,
t=t
q-1
x(t) =
i(t), t e[0, tx] 2(t), t e[ti,t2]
x,(t)t tp]
Рх + ш+0х = с, (п
где х = х(г); Р =- - нелинейный диффе-
(6) (гп
л ЛГ (
ренциальный оператор, п > 1; N =--линейный
(г
В работе [18] показано, что в случае разделе- дифференциальный оператор, 0 - оператор нелинейной функции / = /(х), с - правая часть урав-
ния заданного интервала решения на подынтервалы одинаковой длины применение многоэтапного МДП обеспечивает в сравнении с классическим нения, МДП снижение верхней границы оценки ошибки в
р6' раз, где р - количество подынтервалов, на которые разбивается заданный интервал решения, 6 - количество учитываемых дискрет дифференциального спектра.
При р = 1 имеем Н = Т и многоэтапный МДП сводится к классическому методу дифферен- ставляется в виде ряда: циальных преобразований.
Полиномы Адомиана
В основу применения метода полиномов Адо-миана для нахождения приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений положено разбиение уравнения на линейные и нелинейные составляющие и аппроксимация неизвестных нелинейных составляющих уравнения полиномами Адомиана.
Рассмотрим следующее нелинейное дифференциальное уравнение в операторной форме:
В соответствии с методом полиномов Адоми-ана нелинейные члены уравнения аппроксимируются рядом:
Qx = £ A
n=0
а решение х(г ) искомого уравнения пред-да:
ОТ
х(г) = Х х* (г).
k=0
Полиномы Адомиана A определяются выражением:
Л = IК
n! I dXn
oil А
V i=o )
Я=0
A = fU), A = Xif(1)(X0), Л2 = X2f(1)(X0) + ^Х2/2^),
Л3 = X3f( ) (X0 ) + X1X2f ( } (X0) + X1 f ( } (X0 ),
Л4 = Xf )(X0) + ( Xi X3 +1X22 If (2)(X0) + ^X2X2f (3)(X0) + 4;X^f^),
элементы которых для нелинейной функции / = / (х) вычисляются по формулам [12]: 1 2!
1
3!
1 х2 х2/(3)( х0) + ^
(7)
Л5 = X5f (1)(X0) + (X2X3 + X1X4 ) f (2)(X0) + Xf X3 + X1X22) f (3)(X0) + ^Xf X2f (4)(X0) -
3!
1
+1 X5f (5)( X0),...
С учетом свойств дифференциальных преобра- жения нелинейной функции / (х) искомого диф-зований компоненты дифференциального изобра-
ференциального уравнения для I -ого подынтервала имеют вид:
= x[(0)f(1)(x(0)) = X(1)f(1)(X(0)),
F(0) = f(Xi(0)) = f(Xi(0)) = f(Xi0), Fi(1) = -df(xi(t))
dt
Fi (2) = Xi (2)f(1) (Xi (0)) +1 (Xi (1 ))2f(2) (Xi (0)),
F (3) = X (3)f(1) (X (0))+X (1 )X (2)f(2) (X (0))+1 (X (1 ))3f(3) (X (0)),
F(4) = Xi(4)f(1)(Xi(0)) + (Xi(1)Xi(3) + i(Xi(2))2)f(2)(Xi(0)) + i(X(1))2X(2)f(3)(X(0)) +
+1 (Xi (1))4f(4) (Xi (0)),
1
Fi(5) = Xi(5)f(1)(Xi(0)) + (X1(2)X1 (3) + Xi(1)Xi(4))f(2)(Xi(0)) + -(XI(1))2XI(3) + +Xi(1)(Xi(2))2)f(3)(Xi(0)) + i(Xi(1))3Xi(2)f(4)(Xi(0)) + i(Xi(1))5f(5)(Xi(0)),....
(8)
3!
Здесь ^ (к) - дифференциальное изображение нелинейной функции / (х) Из сравнения выражений (7) и (8) следует, что компоненты дифференциального изображения оригинала нелинейной функции уравнения могут быть получены из соответствующих компонент полиномов Адомиана путем замещения компоненты решения х^ (I) соответствующим компонентом дифференциального изображения Х1 (к) того же индекса.
В работе [16] показано, что такое замещение может быть применено к любым видам нелинейно-стей дифференциальных уравнений. Принимая во внимание наличие большого количества разработанных алгоритмов для вычисления полиномов Адомиана, такой подход позволяет существенно уменьшить вычислительные затраты с одновременным обеспечением необходимой точности полученного решения.
Решение нелинейных дифференциальных уравнений.
Пример 1. Рассмотрим нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение с квадратичной правой частью [8,14]:
5!
dx(t) dt
= 2x(t) - x2 (t) +1, t e [0,2], x(0) = 0 .(9)
Точное решение данного уравнения имеет вид:
( 1 ( /2 - ^
x(t) = 1 + V2tanh V2t + -log
2
42+1
//
Заданный интервал решения разделим на р подынтервалов одинаковой длины И = 2 / р и запишем уравнение (9) для каждого подынтервала в области изображений с замещением нелинейных слагаемых компонентами полиномов Адомиана : (к +1) Хд (к +1) = 2 Хд (к) - Лц + а(к), (10)
Х,(0) = х1(0) = х(0) = 0, х = хч_1(1ч_1), ц = 2,..., р.
IX к = 0
где а (к) = {
[0, к > 1.
В соответствии с процедурой (7), для нелинейной части уравнения (9) / (х) = х2 вычисляем для каждого подынтервала компоненты Лщ полиномов Адомиана и по ним соответствующие компоненты Л для замещения ими компонент дифференциальных изображений нелинейной части уравнения:
Aq = Xq2(0) , Aq = 2Xq (0) Xq (1) , ^ = X^) + 2Xq (0) Xq (2) ,
1 = 2 Xq (0) Xq (3) + 2 Xq (1) Xq (2) , A4q = 2 Xq (0) Xq (4) + 2 Xq (1) Xq (3) + ,
Л^ц = 2 Хц (0) Хц (5) + 2( Хц (2) Хц (3) + Хц (1) Хц (4)).
и решением по модифицированному многоэтапному методу дифференциальных преобразований при разбиении заданного интервала на 2, 4 и 10 подынтервалов. Решения получены с использованием 6-ти первых дискрет дифференциального изображения функции х(^). В табл.1 приведена относительная ошибка полученных решений.
Подставляя значения Л^ в (10) и учитывая (3),
находим приближенные решения уравнения (9) на каждом подынтервале. Объединяя данные решения, получим общее решение уравнения (9) на заданном интервале в виде (6).
На рис. 1 показано сравнение точного решения заданного уравнения с решением по МДП (р = 1)
2.5
- -То — р= чное решение 2 4 10
—е— р= г / у'
/У S \ \
\ \ \
\
02 0.4 0.6
12 1.4 1.6 1.8
Рисунок 1 - Сравнение решений уравнения (9)
Таблица 1
Относительная ошибка решеиий уравнения (9)_
1 Точное решение Количество подинтервалов
р=1 р = 2 р = 4 р= 10
Решение Решение Решение ¿V Решение
0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.1 0.110295196 0.110295177 8.06е-09 0.110295177 8.06е-09 0.110295177 8.06е-09 0.110295177 8.25е-09
0.2 0.241976799 0.241974042 1.17с-06 0.241974042 1.17е-06 0.241974042 1.17е-06 0.241974042 1.17е-06
0.3 0.395104849 0.395052593 2.22е-05 0.395052593 2.22е-05 0.395052592 2.22е-05 0.395101635 1.36е-06
0.4 0.567812166 0.567384160 1.82е-04 0.567384160 1.82е-04 0.567384159 1.82е-04 0.567802478 4.11е-06
0.5 0,756014393 0.753819406 9.31е-04 0.753819406 9.31 е-04 0.753819406 9.31 е-04 0.756004030 4.40е-06
0.6 0.953566217 0.945254325 3.53е-03 0.945254325 3.53е-03 0.951305884 9.59е-04 0.953557089 3.87е-06
0.7 1.152948967 1.127566235 1.08с-02 1.127566235 1.08С-02 1.150720089 9.45е-04 1.152940023 3.79е-06
0.8 1.346363655 1.280437785 2.80с-02 1.280437785 2.80е-02 1.344380575 8.41 е-04 1.346365965 -9.80е-07
0.9 1.526911313 1.376068943 6.40е-02 1.376068943 6.40е-02 1.526090723 3.48е-04 1.526913446 -9.05е-07
1.0 1.689498392 1.377777000 1.32С-01 1.377777000 1.32с-01 1.693269.326 -1.60е-03 1.689501594 -1.36е-06
1.1 1.831240782 1.238484565 2.51е-01 1.555603647 1.17е-01 1.834477382 -1.37е-03 1.831243482 -1.15е-06
1.2 1.951360119 0.899095559 4.46е-01 1.714827696 1.00е-01 1.954060293 -1.15е-03 1.951356182 1.67е-06
1.3 2.050735693 0.286759215 7.48е-01 1.852929091 8.39е-02 2.052844842 -8.95е-04 2.050732449 1.38е-06
1.4 2.131326610 -0.686977929 1.20 1.969328780 6.87е-02 2.132338811 -4.29е-04 2.131321347 2.23е-06
1.5 2.195633294 -2.128132031 1.83 2.064533078 5.56С-02 2.193498948 9.05е-04 2.195629127 1,77е-06
1.6 2.246285959 -4.162353955 2.72 2.138696629 4.56е-02 2.244614083 7.09е-04 2.246283265 1.14е-06
1.7 2.285778286 -6.937113270 3.91 2.189603939 4.08е-02 2.284481384 5.50е-04 2.285776201 8.84е-07
1.8 2.316324737 -10.62399426 5.49 2.210069511 4.51 е-02 2.315340893 4.17е-04 2.316324057 2.89е-07
1.9 2.339806374 -15.42110393 7.53 2.184756548 6.58е-02 2.339163535 2.73 е-04 2.339805856 2.20е-07
2.0 2.357771653 -21.55559200 10.14 2.086414259 1.15е-01 2.357772701 -4.44е-07 2.357771729 -3.19е-08
Пример 2. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение:
d 2 х(г )
= 2x(t) + 4x(t) • lnx(t), t e [0,2], x(t) > 0,
(11)
dt2
х(0) = 1, х(0) = 0.
Точное решение данной задачи имеет вид [13,16]: х(*) = в .
Заданный интервал решения разделим на р подынтервалов и запишем уравнение (11) для каждого подынтервала [8]:
[к + \)[к + 2)ХС1{к + 2) = 2ХС1{к) + Аксг
X, (0) = (0) = * (0) = 1, X (1) = X, (0) = ¿(0) = 0, ) = ^ ),д = 2,...,р.
Для нелинейной части уравнения (11) /(х) = 4х 1п х вычисляем для каждого подынтервала компоненты Л полиномов Адомиана и соответствующие компоненты Лщ для замещения ими компонентов дифференциальных изображений:
2/14 тл-1/
(12)
Aoq = 4Xq (0)ln Xq (0), Aq = 4X, (1)(ln (0) + 1), A2q = 4Xq № Xq (0) + 1) + ^ (1)X-1 (0). 1 = 4 Xq (3)(ln Xq (0) +1) + 4 Xq (1) Xq (2) Xq-1 (0) - 4 X39 (1) X"2 (0),
3!
1
A4g = 4Xg (4)(ln XQ (0) +1) + 4X;1 (0) • (Xg (\)Xg (3) + - X; (2)) - - X; (l)Xg (2)X;2 (0) +
qw q>
2!
2!
о
+ - Xq4(1) Xq3(0),
4q = 4Xq (5)(ln Xq (0) +1) + 4X;1 (0) • (Xq (2)Xq (3) + Xq (\)Xq (4)) - - X;2 (0) • (X?2 (1)X? (3) +
8
qw q
24
+Xq (1)Xq2 (2)) + - Xq3 (1)Xq (2)X-3 (0) — X\ (1)X-4 (0),
Подставляя значения Aq в (12) с учетом (3)
^ ' 5!
и решением по предложенному модифицированному многоэтапному методу дифференциальных
находим приближенные решения уравнения (11) на преобразований при разбиении заданного интеркаждом подынтервале. Объединяя данные реше- вала на 2, 4 и 10 подынтервалов. Решения получены ния, получим общее решение уравнения (11) на за- с использованием 5-ти первых дискрет дифферен-
данном интервале в виде (6).
На рис.2 показано сравнение точного решения заданного уравнения с решением по МДП (р = 1)
циального изображения функции х(*)
В табл.2 приведена относительная ошибка полученных решений.
Рисунок 2 - Сравнение решений уравнения (11)
Таблица 2
Относительная ошибка решений уравнения (11)_
1 Точное решение Количество подинтсрвалов
р=1 р = 2 р = 4 р= 10
Решение Решение Решение Решение ^
0.0 1 1 0 1 0 1 0 1 0
0.1 1.010050 1.010050 1.53е-14 1.010050 0 1.010050 0 1.010050 0
0.2 1.040811 1.040811 1.57е-11 1.040811 0 1.040811 0 1.040811 0
0.3 1.094174 1.094174 9.15е-10 1.094172 3.66е-08 1.094172 3.66е-08 1.094174 0
0.4 1.173511 1.173509 1.64е-08 1.173483 5.13е-07 1.173483 5.13е-07 1.173509 3.66е-08
0.5 1.284025 1.284017 1.56е-07 1.283854 3.13е-06 1.283854 3.13е-06 1.284023 3.66е-08
0.6 1.433329 1.433276 9.81е-07 1.432576 1.38е-05 1.432871 8.39е-06 1.433325 7.33е-08
0.7 1.632316 1.632060 4.69е-06 1.629658 4.87е-05 1.631536 1.43е-05 1.632309 1.28е-07
0.8 1.896481 1.895481 1.83е-05 1.888491 1,46е-04 1.895302 2.16е-05 1.896469 2.20е-07
0.9 2.247908 2.244559 6.13е-05 2.226624 3.90е-04 2.246104 3.30е-05 2.247888 3.66е-07
1.0 2.718282 2.708333 1.82е-04 2.666667 9.45е-04 2.715011 5.99е-05 2.718249 6.04-07
1.1 3.353485 3.326626 4.92е-04 3.254793 1.81е-03 3.347628 1.07е-04 3.353429 1.03е-06
1.2 4.220696 4.153623 1.23е-03 4.064104 2.87е-03 4.211602 1.67е-04 4.220606 1.65е-06
1.3 5.419481 5.262406 2.88с-03 5.186252 4.27е-03 5.405905 2.49е-04 5.419326 2.84с-06
1.4 7.099327 6.750635 6.39С-03 6.758059 6.25С-03 7.078025 3.90е-04 7.099069 4.73с-06
1.5 9.487736 8.747559 1.36е-02 8.983339 9.24е-03 9.447642 7.34е-04 9.487280 8.35е-06
1.6 12.935817 11.422572 2.77е-02 12.163010 1.42е-02 12.861312 1.36е-03 12.935038 1.43е-05
1.7 17.993309 14.995544 5.49е-02 16.735113 2.30е-02 17.871947 2.22е-03 17.991899 2.58е-05
1.8 25.533722 19.749154 1.06е-01 23.326359 4.04е-02 25.341195 3.53е-03 25.531245 4.54е-05
1.9 36.966053 26.043515 2.00е-01 32.816795 7.60е-02 36.640983 5.95е-03 36.961451 8.43е-05
2.0 54.598150 34.333333 3.71е-01 46.419219 1.50е-01 53.940771 1,20е-02 54.589832 1.52е-04
Полученные результаты численных экспериментов показывают, что точность решения существенно зависит от числа разбиения заданного интервала на подынтервалы. При этом упрощается получение дифференциального отображения нелинейных функций при их аппроксимации полиномами Адомиана. Это подтверждает эффективность применения модифицированного метода дифференциальных преобразований для решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Решение систем нелинейных дифференциальных уравнений.
Ниже приведены примеры решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом дифференциальных преобразований (при Н = 1) и дано сравнение полученных результатов с решением, полученным по методу Рунге-Кутта.
Пример 3. Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравнений [11,12]:
dx (t)
dt
dx2 (t)
dt dx (t)
dx
= -x1(t),
= x,(t) — x22(t),
= x22(t),
(13)
с начальными условиями
х (0) = 1 х2 (0) = 0, х3 (0) - 0.
Заданный интервал решения разделим на р подынтервалов и запишем уравнение (13) для q — го подынтервала [8]:
(к +1) Хх q (к +1) = —X1 ? (k)
ч
(к + 1)X2q (к + 1) =
(к + 1)q (к
Х,(0) = х1(0) = 1, ^2(0) = х2(0) = 0, Хз(0) =
В соответствии с процедурой (7), для нелинейных частей системы уравнений (13)
/2 [х2 (*)] = /3 [х2 (*)] = х2 (*) для каждого подынтервала вычисляем компоненты Л , Л поли-
(14)
= Х1д(к)-А^
= хз(0) = 0, xq (tq—1) = xq—1(*д—Д q = 2,..., Р
номов Адомиана и по ним определяем соответствующие компоненты Л , Л для замещения ими
соответствующих компонентов дифференциальных изображений нелинейных частей второго и третьего уравнений в спектральной модели исходной системы:
A20q = A30q = X2q (0) >
A~21q = A~31q = 2X2? (0)X(1) , A22q = A432q = X2q (1) + 2X,? (0)X,? (2) , A23q = A~33q = 2X2q (0)X^ (3) + 2X^ (1)^ (2)
= Л~34? = 2X2q (0)X2q (4) + 2X2q (1)X2q (3) + Х.^ (2), Л25q = = 2^ (0)^ (5) + 2^ (2)^ (3) + X2q (1)^ (4)]...
Подставляя значения Л^ в (14) получим для
к = 0,1,2,... следующие дискреты дифференциальных спектров для q — го подынтервала: а) Для первого уравнения:
X, (0) = 1, X, (1) = — 1, X, (2) =1, X, (3) = —1, X, (4) = ^, X, (5) = — -1-, X, (6) = 1
2'
6
24'
120'
б) Для второго уравнения:
720 71
X, (0) = 0, X, (1) = 1, X, (2) = —X, (3) = — -1, X, (4) = —, X, (5) = —, X, (6) = —
2 ^ 6 ^ 24 ^ 40 ^ 720'
в) Для третьего уравнения:
1117
X, (0) = 0, X, (1) = 0, X, (2) = 0, X, (3) = -, X, (4) = —, X, (5) =--, X, (6) = —,...
^у 7 ^у 7 ^у 7 3qу 7 3 \К 7 4 ^ 7 60 ^ 72
Таким образом, с учетом (2) приближенное решение системы уравнений (13) для q — го подынтервала имеет вид:
х (*) = 1 — * +1 *2 —1 *3 + — *4--— *5 *6 +...
^ 2 6 24 120 720
хч 5 д 1 S
x2 (t) = t--1--1 + — t + — t —
2 6 24 40
1 4 1 5 7
--14--15 + — t
3 4 60 72
71 720'
t6 +...
xX(t) = 1 t3 —1 t4 — -115 t6 + ..., t e[tq—1, tq ].
Объединяя полученные решения по всем подынтервалам получим общее решение системы уравнений (13) в виде (6).
В табл. 3 показано сравнение решений, полученных с использованием метода Рунге-Кутта и модифицированным методом дифференциальных
преобразований, а также приведена относительная ошибка решения, полученного ММДП с использованием 5-ти дискрет дифференциальных изображений каждого уравнения исходной системы.
Таблица 3
Сравнительная оценка решений системы (13)
T Решение методом Рунге-Кутта ММДП
x1(t) x2(t) x3(t) x1(t) x2(t) x3(t) x1(t) x2(t) x3(t)
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0.1 0.90484 0.09485 3.08e-04 0.90485 0.09485 3.08e-04 3.34e-09 1.84e-08 2.59e-08
0.2 0.81873 0.17900 2.27e-03 0.81873 0.17900 2.27e-03 5.21e-09 6.65e-07 4.05e-08
0.3 0.74082 0.25218 7.00e-03 0.74082 0.25218 7.00e-03 4.40e-08 1.21e-05 3.42e-07
0.4 0.67032 0.31457 1.51e-02 0.67032 0.31452 1.52e-02 3.11e-07 9.78e-05 2.42e-06
0.5 0.60653 0.36668 2.68e-02 0.60653 0.36643 2.70e-02 1.46e-06 4.93e-04 1.13e-05
0.6 0.54881 0.40927 4.19e-02 0.54882 0.40834 4.28e-02 5.17e-06 1.84e-03 4.01e-05
0.7 0.49659 0.44326 6.02e-02 0.49660 0.44045 6.29e-02 1.50e-05 5.57e-03 1.17e-04
0.8 0.44933 0.46962 8.11e-02 0.44937 0.46234 8.83e-02 3.78e-05 1.45e-02 2.93e-04
0.9 0.40657 0.48934 1.04e-01 0.40666 0.47254 1.21e-01 8.52e-05 3.34e-02 6.62e-04
1.0 0.36788 0.50335 1.29e-01 0.36806 0.46806 1.64e-01 1.76e-04 7.01e-02 1.37e-03
Пример 4. Рассмотрим следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений [14,15]:
dx1 (*)
dt
dx2 (t)
= cx1 (t) + щ2 (t) — sxl (t)
= — Qx1(t) — p(2(tX
dt
x1(0) = 1, x2(0) = 1,
где С = ^ = у = 6 = 1, Е = 1 - постоянные величины.
Спектральную модель системы (15) для д -го подынтервала запишем в виде:
(15)
cX, (к ) + nX7 (к ) — sA^
X (к +1) lq 1kq
x, (k +1) =
к +1
— OX ,/k) — yX Ak) к +1
(16)
X1 (0) = x (0) = 1, X2 (0) = x2 (0) = 1, xq (tq—1 ) = xq—1 (tQ_, ).
Вычисляем компоненты Л полинома Адо- замещения ими компонент дифференциального
1к изображения нелинейной части первого уравнения
миана и соответствующие компоненты
A
1kq для
f [x(t)] = x3 (t) спектральной
модели:
<
<
A*. = X3(0)
Д, = 3 X¿(0)X. (1)
3 q
A„ = 3X. (0)X2(1) + 3X¿(О)X. (2),
Ai3q = 3Xi2q (0)Xiq (3) + 6X^ (0)X^ (1)X^ (2) + X^ (1) , A1% = 3 X^ (0) X2 (2) + 3 X2 (1) X^ (2) + 3X2 (0) X^ (4) + 6 X^ (0) X^ (1) X^ (3), As, = 3X^ (0)X2 (2) + 3X2 (1)X^ (3) + 3X2 (0)X^ (5) + 6X^ (0)X^ (1)X^ (4) + + 6X, (0)X, (2)X, (3),...
Из спектральной модели (16) с учетом полу- ^ = 0,1,2,... находим соответствующие дискреты
ченных выражений для Л1к последовательно для дифференциальных изображений первого и второго уравнений для q — го подынтервала:
е2 +ц(е — 3а — в — у)+ а(3а — 4е)
X (0) = 1,X (1) = с + q-e,X (2) = -
X.(3) =
с(с2 + t]C
2
-\3cs- 2г\в- ny-18sr + 27s2)
2
т](г\в - 49s -yd-y2 - 3sy - 21s2 + 6sr) 15 3 6 6 s '...
X ^ (0) = 1, X 2?(1) =-9-y, X ^ (2) =
9(-с - r + s + y) + y
X ,(3) =
■q ' ' 2q • ' ■ - 2q • ' 2
9(-с2 -rp + 4cs + r\Q + 29y) - y3 + 9(3rs - 3s2 + cy-ys- y2)
6 !
Тогда с учетом выражения (2) приближенное решение системы уравнений (15) для q — го подынтервала, 7 е [7 7] будет иметь вид:
г(е(е — 4£ + ц)+ц(—в — Ъе — у) + 3g2)Л
X (t) = 1 + (с + r-s)t +
2
t2 +
( f„2
с +rc - 13cs- 2r9-ry- 18sr + 27s -
r(
(yd-49s-yd-y2 -3sy-21s2 + 6sr)+ 15s3
t3 + ...
x,(t) = 1 + (-9-y)t -
9(- с -r + s + y)+y 2
2Д
t2 +
2
+
2
с -гс + 4cs + r9 + 29y)-y + 9(3rs-3s + су-ys-y ) 6
t3 +...
Объединяя решения по подынтервалам полу- преобразований, а также приведена относительная
чим общее решение системы уравнений (15) в виде ошибка решения, полученная ММДП с использова-
(6). нием 5-ти дискрет дифференциального изображе-
В табл. 4 показано сравнение решений, полу- ния первого уравнения исходной системы. ченных с использованием метода Рунге-Кутта и модифицированным методом дифференциальных
с
+
6
Таблица 4
Сравнительная оценка решений системы (15)_
t Решение методом Рунге-Кутта Решение ММДП Sr
xx(t) X2(t) xx(t) X2(t) xx(t) X2(t)
0 1 1 1 1 0 0
0.2 1.36308 0.60289 1.36308 0.60289 2.68e-07 1.06e-07
0.4 1.67808 0.21614 1.67817 0.21615 4.18e-05 1.08e-05
0.6 1.92697 -0.15163 1.92876 -0.15150 8.12e-04 1.29e-04
0.8 2.10100 -0.49088 2.11539 -0.49034 6.53e-03 5.48e-04
1.0 2.20245 -0.79328 2.27285 -0.79255 3.20e-02 7.32e-04
Метод решения двухточечной нелинейной краевой задачи.
Рассмотрим применение модифицированного метода дифференциальных преобразований к решению двухточечной нелинейной краевой задачи, в которой граничные условия задаются в двух точках, а объект описывается нелинейным дифференциальным уравнением:
X(t) = f[t, x(t)], t е[/„, T ] (17)
с граничными условиями:
X(to) = 0 (18)
a • x(T) + b(T) = c. (19)
Здесь a, b, С - заданные константы. Предполагается, что функция x(t) и ее производные, а также нелинейная по X функция f [t, x(t)] являются непрерывными функциями, а уравнение (17) имеет единственное решение.
Метод решения нелинейной краевой задачи, в основу которого положен модифицированный многоэтапный метод дифференциальных преобразований, предусматривает выполнение следующих операций для каждого q — го подынтервала,
q = lv.. p.
1. Уравнение (17) записывается в области изображений:
(к + 1) ^ (к + 1) = Fq (k ).
(20)
Здесь р (к) - дифференциальное изображение нелинейной функции / [?, х(1)].
2. С учетом (1) и граничного условия (18) определяется первая дискрета решения: X (1) = 0.
Для нулевой дискреты принимается Хд (0) = а , где значение параметра а будет определено в
замещается на соответствующий компонент дифференциального изображение X (к) того же индекса:
р(к) = ^, к = 0,1,2,..., N.
(21)
4. Подставляя (21) в (20) , с учетом (3) и п.2 получают решение нелинейной краевой задачи (17) - (19) в следующем виде:
N=1A
xq(t) = aq +Х
к-1„
Чк
ы к +1
(22)
5. Из краевого условия (1 9) и выражения (22) получают нелинейное алгебраическое уравнение для определения неизвестного параметра а .
6. Подставляя найденное значение параметра а в выражение (22) получают решение нелинейной краевой задачи (17) - (19) на q — м подынтервале. Объединяя решения на подынтервалах получают общее решение задачи на заданном интервале в виде (6).
Аналогичный подход к решению нелинейной краевой задачи выполняется и для других видов задания краевых условий (18), (19).
Примеры решения нелинейных краевых задач.
Ниже приведены решения краевых задач для случая р = 1.
Пример 5. Рассмотрим краевую задачу, описываемую системой нелинейных дифференциальных уравнений [10]:
х1(/) = х 2 ,
дальнейшем.
3. Дифференциальное изображение р (к) замещается соответствующим полиномом Адоми-ана, в котором каждая компонента решения хк (?)
X20 I X22"1 — t'faí\.,
хх (0) = х10 = 0, х: (Т) = х1Т
Х2 (0) = Х20 , Х2 (Т) = Х2Т
x 2 (t) = 1- x2 при дополнительных условиях
(23)
= ln(ch1), t е [0,T], T = 0,8.
(24)
В данном примере неизвестными краевыми условиями являются х20, Х2Т связанные первым уравнением системы (24), а краевая задача (23), (24) имеет следующее точное решение [19]:
Norwegian Journal of development of the International Science No 49/2020 43
Xj (t) = ln(cht), x2 (t) = tht, x2 (0) = 0, x (T) = thl. Запишем краевую задачу (23), (24) в области изображений:
Xi(k +1) = -L X2(к), к +1
X2(k + l) = -^-[b(k)-Akl к +1
X2(0) + X2(T) = thl, (25)
X (0) = x10 = 0, X (T) = xir = ln(chl), X2(0) = x20, X2(T) = x2r, t e [0,T], T = 0,8,
fl, к = 0 где ъ(к) = < .
|0, к > 1
Для нелинейной части второго уравнения системы уравнений (23) [х2 (1)] = х^ (1) вычисляем компоненты Л2к полиномов Адомиана и по ним определяем соответствующие компоненты Л2к для замещения ими соответствующих компонентов дифференциальных изображений нелинейной части второго уравнения в спектральной модели (25):
Л~20 = ^2(0) ,
Л~21 = 2 X2(0) X2(1),
Л~22 = Х22(1) + 2 X2(0) Х2 (2),
Л~23 = 2 X 2(0) X 2(3) + 2 X 2(1) X 2 (2),
Л24 = 2 X"2 (0) X2 (4) + 2 X2 (1) X2 (3) + X2 (2),
Л25 = 2X2(0)X2(5) + 21X2(2)X2(3) + X2(1)X2(4)],...,
Для неизвестного краевого условия х2 (0) = х20 примем х20 = а.
По спектральной модели (25), с учетом вычисленных значений Лй для к = 0,1,2,..., получим выражения для определения первых 6-ти дискрет дифференциальных спектров, выраженных через неизвестное краевое условие а:
X!(0) = х10 = 0, X2(0) = а, X(1) = сх20, X2(1) = (1 -а2), Х(2) = 1 (1 -а2) X2(2) = -а(1 -а2)
Х(3) = - 1а(1 -а2) X2(3) = -1 [1 -4а2 + 3а4] X (4) = - —[1 - 4а2 + 3а4 ],
3
12'
X2 (4) =1 [2а- 5а3 + 3а5 ]
X (5) = — [2а - 5а3 + 3а5 ] 15 1
X,(5) = - —[17а2 -30а4 + 15а6 -2] 2 15 1
X(6) = -^[17а2 -30а4 + 15аб -2],
X, (6) = —-[17а- 77а3 + 105а5 - 45а7] 451 1
Следовательно, с учетом (3), имеем следующее решение краевой задачи:
x (t) = a-1 +1(1 -a2) • t2 -1a(1 -a2) • t3 - ^[l - 4a2 + 3a4 ]•
-4 t4 +
+ — [2a-5a3 + 3a5]• t5 - —[l7a2 -30a4 + 15a6 -2] 15 J 90 J
6 -2lt6 -...,
x2 (t) = a + (1 -a2) • t -a(1 -a2) • t2 - 1[l - 4a2 + 3a4 ]• t3 +1 [2a-5a3 + 3a5 ]• t4 -
— [l7a2 -30a4 + 15a6 -2]t5 - — [17a-77a3 + 105a5 -45a7]• 15 45
t6 -....
Из второго уравнений системы (24), с учетом граничшго условия Х20 + Х2Т = ^ определяем Тогда решение искомой краевой задачи (23),
a = x20 = 0,00015, X2r = 0,76144.
20
неизвестные краевые условия:
(24) будет иметь вид:
X (t) = 0,00015 + 0,5t2 - 0,000053 - 0,083334 + 0,000025 - 3,33-10~616 -... x2 (t) = 0,00015+1 - 0,00015t2 - 0,333333 + 0,0001t4 - 0,000025 - 0,000056 -...
На рис.3 и в табл.5 показано сравнение точного решения краевой задачи (23), (24) с решением по модифицированному методу дифференциальных преобразований, а также приведена относительная
ошибка решения, полученного по ММДП с использованием 6-ти первых дискрет дифференциальных спектров решения.
Сравнительная оценка решений задачи (35), (36)
Таблица 5
t Точное решение ММДП
X1(t) X2(t) X1(t) X2(t) X1(t) X2(t)
0 0 0 0 1.49e-04 0 1.96e-04
0.2 1.99e-02 1.97e-01 1.99e-02 1.97e-01 6.48e-05 1.34e-04
0.4 7.79e-02 3.79e-01 7.79e-02 3.79e-01 6.91e-05 1.52e-03
0.6 1.70e-01 5.37e-01 1.69e-01 5.28e-01 1.97e-03 1.17e-02
0.8 2.91e-01 6.64e-01 2.86e-01 6.29e-01 1.10e-02 4.55e-02
/V
•4- x2
0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1
Рисунок 3 - Сравнение точного решения (-) и решения по ММДП (--), полученногос учетом 6-ти дискрет
Пример 6. Рассмотрим краевую задачу, опи-
ен
г ■ х(г)+2х(г) = — ■ х5 (г), 0 < г < 1 (26)
сываемую нелинейным дифференциальным урав- ется значение функции х(() при ( = 0 . Точное ре-нением второго порядка:
Здесь неизвестным граничным условием явля-[ значение функции х(() при ( = 0 . Точное решение краевой задачи (26) имеет вид:
с граничными
x(0) = 0, x(1) =
условиями x(t) =
3
3 +12
[20,21].
Примем, что х(0) = X (0) = а, где параметр а подлежит определению.
Запишем краевую задачу (43) в области изображений:
(к + 1)(к + 2) X (к +1) = Л^
Для нелинейной части уравнения
(26)
линомов Адомиана и по ним определяем соответствующие компоненты Л для замещения ими со-
/[1, х] = -х5(1) вычисляем компоненты Л по- ответствующих компонентов дифференциальных
изображений нелинейной части уравнения в спек-
тральной модели исходной системы:
Л0 =- X 5(0), Л =-5 X 4(0) X (1), Л2 = -10X 3(0) X 2(1) - 5 X 4(0) X (2), Л3 = - 10X2 (0) X3 (1) - 20X3 (0) X (1) X (2) - 5 X 4 (0) X (3), Л4 = -5 X 4(0) X (4) - 20X 3(0) X (1) X (3) - 10X 3(0) X2 (2) -- 30X2 (0) X2 (1) X (2) - 5 X4 (1) X (3),...
Получим следующие дискреты:
X(0) = а, X(1) = 0, X(2) = -^а5, X(3) = 0, X(4) = -1 а9, X(5) = 0, X(6) = а1
X(7) = 0, X(8) = ■
35
а17, X(9) = 0, X(10) = -
7
10368
Необходимо отметить, что X (к) = 0 , при нечетном к и к > 3 . Решение искомой задачи с учетом 10 первых дискрет имеет вид:
6912
а
,21
1 5^2 , 1 9^4 5 13.6 .
-а t +-
5 2 9 4
x10 (t) = а—а t н--а t —
35
6
24
432
10368
-а1^8.
(27)
^ уравнение для определения неизвестного пара-Учитывая второе краевое условие х(1) = метра а :
получим следующее нелинейное алгебраическое
1 ^ 1 р 5 1 ^ 35
17 Л/3
х1П(1) = а—а н--а--а + н--а = —.
6 24 432 10368 2
Решая данное уравнение относительно неиз- приближенное решение исходной краевой задачи вестного параметра, получаем а = 0,99898. Под- (26): ставляя значение а в выражение (27) получим
х(1) = 0,998982- 0,1658202 + 0,041286:4 - 0,011422:6 + 0,003318:8 -.
На рис.4 и в табл.6 показано сравнение точного ошибка решения, полученного по ММДП с исполь-
решения краевой задачи (26) с решением по моди- зованием 10-ти дискрет дифференциальных спек-
фицированному методу дифференциальных преоб- тров решения. разований, а также приведена относительная
\
0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6
Рисунок 4- Сравнение точного решения (-) и решения по ММДП (--)
Таблица 6
Сравнительная оценка решений задачи (26)_
t Точное решение ММДП
x(t) x(t) x(t)
0 1 0.998982 1.02e-03
0.2 0.993399 0.992414 9.85e-04
0.4 0.974355 0.973463 8.92e-04
0.6 0.944911 0.944160 7.51e-04
0.8 0.907841 0.907330 5.11e-04
1.0 0.866025 0.866344 3.19e-04
Выводы
Рассмотрено применение модифицированного метода дифференциальных преобразований к решению нелинейных дифференциальных уравнений, систем уравнений и нелинейных краевых задач. Метод базируется на математическом аппарате классических дифференциальных преобразований функций и уравнений с аппроксимацией нелинейных слагаемых задачи соответствующими компонентами полиномов Адомиана. Основным преимуществом данного подхода является возможность его применения непосредственно к решению нелинейной краевой задачи без предварительной линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений и допускает возможность получения приближенного решения в аналитическом виде. Применение рассмотренного метода позволяет расширить интервал и повысить точность решения, преодолеть математические трудности, связанные со сложной нелинейностью дифференциальных уравнений и проще в применении. Полученные численные результаты показывают хорошую сходимость с точным решением и решением, полученным методом Рунге-Кутта.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Калеткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.
2. Faires J.D., Burden R.L. Numerical Methods, PWS, Boston, Massachusetts, 1993. - 416 с.
3. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач. - К.: Наукова думка, 1970. - 800 с.
4. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физических процессов. - K.: Наукова думка, 1986. - 160 с.
5. Пухов Г.Е. Дифференциальное преобразование функций и уравнений. - K.: Наукова думка, 1980. - 419 с.
6. Rashidi M.M., Chamkha A.J., Keimanesh M. Application of multi-step differential transform method on flow of a second-grade fluid over a stretching or shrinking sheet // American Journal of Computational Mathematics. - 2011. - Vol.1, No.2. - P. 119-128. -doi: 10.4236/ajcm.2011.12012.
7. Biazar J., Mohammadi F. Multi-step differential transform method for nonlinear oscillators // Nonlinear Sci. Lett. A. - 2010. - Vol.1., No.4. - P. 391-397.
8. Гусынин А.В. Модифицированный многоэтапный метод дифференциальных преобразований
для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Проблеми шформацш-них технологш. - 2016. - №02(020). - С.26-34.
9. El-Zahar E. R. Applications of adaptive multistep differential transform method to singular perturbation problems arising in science and engineering // Appl.Math.Inf.Sci. - 2015. - Vol.9, No.1. - Р. 223-232.
10. Гусынин А.В., Гусынин В.П. Решение нелинейных двухточечных краевых задач модифицированным методом дифференциальных преобразований // Проблемы приборостроения. - 2016. - №1.
- С.3-14.
11. Do Y., Jang B. Enhanced multistage differential transform method: application to the population models // Abstract and applied analysis. Special issue.
- 2012. - Vol. 2012. - Р. 1-14. - doi: 10.1155/2012/253890.
12. Adomian G. Solving frontier problems of physics: the decomposition method. - Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, 1994. - 352 pp.
13. Behiry S.H. Differential transform method for nonlinear initial-value problems by Adomian polynomials // Journal of Applied & Computational mathematics. - 2012. - Vol. 1, Issue 3. - P. 109-114.
14. Elsaid A. Adomian polynomials: a powerful tool for iterative methods of series solution of nonlinear equation/Journal of Applied Analysis and Computation. - 2012. - Vol.2, No.4. - P.381-394.
15. Chang S.-H., Chang I-L. A new algorithm for calculating one-dimensional differential transform of nonlinear functions // Appl. Math. Comput. - 2008. -Vol. 195(2). - P. 799-808.
16. Ebaid A. On a general formula for computing the one-dimensional differential transform of nonlinear functions and its applications // Proceedings of the American Conference on Applied Mathematics, Harvard, Cambridge, USA. - 2012. - P. 92-97.
17. Гусынин А.В. Применение модифицированного метода дифференциальных преобразований к решению систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Проблеми шфор-мацшних технологш. - 2016. - №01(019). - С.31-40.
18. Gusynin A., Gusynin V., Tachinina H. Estimate of accuracy of approximate solutions of non-linear boundary value problems by the multi-step differential transform method // Proceedings of NAU. -2017. - № 1(70). - С.48-54.
19. Баранов В.Л. Решение нелинейных краевых задач на основе дифференциальных преобразований // Электронное моделирование. - 1996. -Т.18, №4. - С. 58-63.
20. Xie L., Zhou C., Xu S. An effective numerical method to solve a class of nonlinear singular boundary value problems using improved differential transform method [Online]. - 2016. - available at: http://arxiv.org/pdf/ 1601.04922v1.pdf (Accessed 5 May 2016).
21. Singh R., Kumar J. An efficient numerical technique for the solution of nonlinear singular boundary value problems // Computer Physics Communications. - 2014. - No. 185. - P. 1282-1289.
RESEARCH OF PERSPECTIVE METHODS OF ELECTROMAGNETIC WAVE GENERATION TO CREATE MULTIFREQUENCY MEANS OF ELECTROMAGNETIC DAMAGE OF RADIO TECHNICAL SYSTEMS ON THEIR BASIS
Fyk O.,
Doctor of Technical Sciences, Associate Professor Department of Military Communications and Informatization National Academy of the National Guard of Ukraine Defenders of Ukraine sq., 3, Kharkiv, Ukraine, 61001
Honchar R., Candidate of Military Sciences Research Center "Military Combat Activities of National Guard of Ukraine" National Academy of the National Guard of Ukraine Defenders of Ukraine sq., 3, Kharkiv, Ukraine, 61001
Vlasov K. senior lecturer
Department of Military Communications and Informatization National Academy of the National Guard of Ukraine Defenders of Ukraine sq., 3, Kharkiv, Ukraine, 61001
Abstract
The peculiarities of choosing the method of construction of the generator device, which is able to create a single or a series of short powerful electromagnetic pulses, which, after radiation from the antenna as a result of electromagnetic radiation, disable the sensitive semiconductor elements of the receiver (current destruction of the p-n junction) are established. Research allows to determine the features and conditions of application of classical technological methods of creation of modern powerful short-pulse generators and to determine the prospects of creation of new generator systems. The necessary properties of generator systems include power, frequency range, and their dimensions. In order to determine the degree of efficiency of the electromagnetic pulses of a powerful generator, an analysis of all existing methods of its construction is made on the basis of the interaction of the electron flow with the electrodynamic system or with the use of forming lines, and restrictions on their use by power, frequency, figure of merit and overall dimensions are determined. To reduce the size of the system and improve its controllability in power and frequency, it is suggested to use a circulator system. Such systems will allow the tuning of the frequency of the generator system and thereby provide the possibility of creating electromagnetic destructive radiation for a larger range of receiving systems. The paper outlines the basic conditions for electronic flow control using a virtual cathode and the creation of high frequency pulses of ultra-short duration. The results of the work allow us to choose, depending on the purpose of the electromagnetic radiation, the type of generator its control modes and to estimate the power level, the duration of the created pulses. Such results can be used not only in the synthesis of electromagnetic multi-frequency high-power damage devices designed to create electromagnetic radiation that causes current on the elements of radio-electronic devices and destroys their p-n junctions, but also to study the possibility of developing effective means of electromagnetic protection of radioelements
Keywords: microwave generator, Cherenkovsky generator, vircator, radio-electron beam of electrons, electromagnetic damage
1 Introduction
This research will present essential means of creating the generators of radiation in a wide range of frequency and the prospects of further development for electromagnetic damage to electronic equipment[1,21-22].
The work of modern SHF generators is based on the interaction between electrons with electric field of stagnant water in endovibrator or with field of travelling wave in decelerating system. In this case the main mechanism of radiation of electronic wave has been the
transition radiation and Cherenkov radiation that requires the use of special electrodynamic systems and determines the constructive form of generator. SHF generator consisted of electron guns, modulating element and electrodynamic system to select energy of high-quality. Such scheme of a generator, driven by the mechanism of generation, has the range of fundamental disadvantages the main of which are the limitation of radiation power and the difficulty of gaining the radiation in the spectrum of short-wave area.
2.Literature review and problem statement
