Решение нелинейной задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 10. 2011. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 532.59.032

В. А. Баринов, К. Ю. Басинский

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ СЛАБОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

1. Введение. Для решения нелинейной задачи о волнах на свободной поверхности идеальной жидкости Стоксом был разработан метод последовательных приближений [1], который успешно применяется до настоящего времени. В случае вязкой жидкости использование этого метода испытывает существенные трудности, обусловленные: диссипацией волнового движения, которая оценивается дополнительным волновым параметром - коэффициентом (декрементом) затухания, а также наличием вихревого движения жидкости и второго динамического условия (для касательных напряжений) на свободной поверхности. В работах [2, 3] найдено условие, при котором можно пренебречь вихревой составляющей скорости и вторым динамическим условием (слабовязкая жидкость). Отношение вязкой частоты к частоте в идеальной жидкости (относительная вязкая частота) не должно превышать 0.4. Для большинства жидкостей при длинах волн более 10-2 см это условие выполняется. Потому решение задачи можно получить в виде затухающих потенциальных волн, т. е. учитывать только диссипацию, пренебрегая вязковихревой составляющей скорости. Однако даже для такой модели решение нелинейной задачи удается найти только с точностью второго приближения, например, для вязкой диссипации [4], для диссипации за счет межфазного трения в двухфазной смеси [5]. Относительная простота определения второго приближения обусловлена отсутствием нелинейных добавок к частоте и декременту затухания волны в этом приближении. Но уже в третьем приближении даже для идеальной жидкости появляются постоянные добавки. При нахождении же дисперсионных соотношений в третьем приближении для слабовязкой жидкости, если частоту и декремент полагать постоянными, возникают неопределенные функции времени. Чтобы задача для третьего приближения стала разрешаемой, необходимо изначально положить частоту (фазовую скорость) волны изменяющейся во времени. Это имеет ясное физическое объяснение. В идеальной жидкости волновые возмущения - незатухающие, как следствие частота и фазовая скорость - постоянные. В вязкой жидкости все возмущения со временем изменяются (затухают), следовательно, должна меняться и частота (фазовая скорость).

Баринов Василий Александрович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования Института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета. Количество опубликованных работ: 63. Научные направления: теория поверхностных волн, математическая физика. E-mail: vbarinov@utmn.ru.

Басинский Константин Юрьевич — аспирант кафедры математического моделирования Института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета. Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доц. В. А. Баринов. Количество опубликованных работ: 5. Научные направления: теория поверхностных волн, математическая физика. E-mail: kbasinsky@mail.ru.

© В. А. Баринов, К. Ю. Басинский, 2011

В настоящей работе за счет данного предположения проводится обобщение метода Стокса на случай слабовязких жидкостей, что позволило получить решение нелинейной задачи с точностью третьего приближения.

2. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечно глубокий слой несжимаемой вязкой жидкости, ограниченный свободной поверхностью z* = £* (t* ,x*). Зададим декартову систему координат так, что плоскость z* = 0 совпадает с невозмущенной поверхностью, а ось z* противоположно направлена вектору силы тяжести g. Пусть по свободной поверхности в направлении оси х* распространяется гравитационная волна. Волновое движение жидкости происходит в плоскости х* z* со скоростью u* = (u*(t*, х*,z*), 0, v*(t*, х*,z*)). Звездочкой обозначены физические (размерные) величины.

В предположении, что истинная частота (фазовая скорость) волны - неизвестная функция времени, безразмерные уравнения и граничные условия на свободной поверхности для волновых возмущений примут вид [2]

a2 du „ , .

div u = 0,---------- --г/oAu + Vp = — e(uV)u, (1)

a — ta' dt

a2

v-------Г7л7=емл“’ z = £i-, 2

a — ta' ot dx

, dv f du dv \

p-^-2^d~z=~£V°{d~z + di)^ Z = £(3)

u ^ 0, z ^ — сю.

Здесь a = c/co = w/wo, c = c (t), w = w (t) - истинная фазовая скорость и частота волны соответственно, co - фазовая скорость волны линейной задачи для идеальной жидкости.

Безразмерные и физические величины связаны равенствами

U* = ecoU, p* = £pclP, P* = P — Pa + Pgz, С = £%/k,

vo = v*k/co, t = kct*, x = kx*, z = kz*, k = 2п/X, c2 = g/k,

где p - плотность; P - давление; Pa - атмосферное давление; £* - форма свободной поверхности; v* - коэффициент кинематической вязкости; X - длина волны.

В силу малости волнового параметра £, условия (2), (3) можно свести к условиям на фиксированной поверхности z = 0. Для этого вместо скорости волнового движения, динамического давления и производных в (2), (3) нужно подставить их разложения в окрестности z = 0. ^

Вертикальную составляющую скорости v будем искать в виде v = ^2 где

i=1

Vi = eiz {A1ti cos [i (x — t)] + A2,i sin [i (x — t)]}, в - безразмерный декремент затухания (pkco - размерный).

Вместо функций u, p, £, a, в в уравнения (1) и разложенные в окрестности z = 0 граничные условия (2), (3) подставим ряды по малому амплитудному параметру £:

ОО ОО О

и = ^£г_1е_г“‘и*, Uj = (m,0,Vi) , Р = ^£г_1е_г“‘р*, g =

i=1 i=1 i=1

в = eo (1 + ^1 (t) £ + &2 (t) £2 + ...) , a = ao (l + ®1 (t) £ + a2 (t) £2 + ...),

-ё± е а

0о t

е ао

eot

1 + £------(ai — bi) + ---- I a2 — &2 H- &i&i — + —— (bi — ai)

/?ot

ao

ao

/?ot

2ao

+

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получим задачи соответствующих приближений. В первом приближении задача имеет вид: при е0

du1

divui = 0, ---/?oUi - г/oAui = -Vpi,

dt

wi=a0^- - /?о£ь -Pi “ Cl “ 2г/о^-= 0, z = 0;

для второго приближения: при £1

(4)

du

divu2 = 0, “о-т^---2/30u2 - г/0Аи2 = -Vp2 - (uiV)ui +

(5)

. SSLt + e “0

d du1 d

^°Ul _ a°^7H ^ai'

dt dt dt

d

V2 = a0 — - 2/3q6 + ^ (wi£i) + e

dx

vi “г: {ta{) + /?o£iТГ (^ai — ^l) dt dt

z = 0,

dv2 d ( dv1 \ (du1 dv1 N $£1

P2 — £2 — = £i"o ( ----Pi ) — г'о ( ---h ) ~k~, z = 0;

dz dz \ dz J \ dz dx J dx

для третьего приближения: при £2

du

divu3 = 0, ---3/30u3 - z/0Au3 = -Vp3 - [(u2V)ui + (uiV)u2] +

dt

(6)

Г dill

+«- 4 —

eo

ao(ta2) + eo(ta\) (tb1 — ta1 ')+aot2(a\ ) + eoui [(t&2) +

H------(^l) (tbi — ta\) + t a\bi

ao

. SSLt

+ e “0

du

2(30vi2{tbi)' - a0-j^(tai)'

db 4n t , d

V3 = «о ~jr— ЗроЬ + j—

dt dx

+ ao(a^) t2 + eo(ta\) (tb1 — ta\) — eo^1

1 dui 2

u^ + u.a + ^i

Mo t J

+ e“° [-Ш eo

1^- [a0(ta2y+

(tb2)' + —(tbi)' (tb\ — ta\) + ao

+ t2ai'bi] } + e“o1 j ao(tai)'^ - 2/30&(tb1)'

dt

dv3 d f dv2 \ f du2 dv2 \ d£1

Рз ~ b ~ 2^o = Cl (2^0 ----P2) ~ ^0 [ -г,---h ---Ь

dz dz \ dz J \ dz dx J dx

d f 1 2 d dv-y^ \ f d£2 8^1 d du dvj.

+ d~z[b+2Cld~z) + + ^

z = 0,

z = 0.

3. Первое и второе приближение. Первое приближение (4) совпадает с линейной задачей, рассмотренной в [2, 6], решение которой имеет вид

u1 = Aez cos х, v1 = Aez sin x,

0

P1 = Aez (ao cos x + vo sin x), £1 = Aez (ao cos x — vo sin x),

a2 + Vo = 1, eo = vo, x = x — t + d,

d = arctg (Ахд/Агд), A = \Ji + ^-2,1-Для новой переменной x выражения для vi примут вид

v1 = Aez sin x, vi = eiz [B1,i cos (ix) + B2,i sin (ix)],

B1}i = A1,i cos (id) — A2ji sin (id), B2i = A2ji cos (id) + A1,i sin (id), i = 2, 3,... .

Тогда задачу во втором приближении (5) запишем следующим образом:

divu2 = 0,

°'0~Ж ~ 2v°U2 ~ щАг1'2 + = [vo(tbi)' cos\~ aoitai)' sin х] ,

c)v д и

ао~ "2.VQV-2 - г/0Д«2 + = Аег+^г [v0{tbi)' sinx + «0(^1)' cosx] - A2e2z,

v

ao-7^7 “ 2г/0 £2 -v2 = A2 (V0 COS 2x + «0 Sin 2\) + Ae^f' [a0vo(tbi -tay)1 cos\ -

— (v^tb1 + aota1)' sin x

z = 0,

dv■ dz

Из первых трех уравнений находим u2, Р2, затем из пятого - £2:

Р2 — £2 — 2г/о-7;— — А2 [(2г/2 — 1/2) cos 2х + 2ao*/o sin 2х + z'o — 1/2] , z — 0.

u2 = e2z (B2,2 cos 2x — B12 sin 2x),

P2 = e2z {[aoB2,2 + voB1,2] cos 2x + [voB2,2 — aoB^] sin 2x} +

+ Aez+°«* [ao(iai)/cosx + ^0(^1/sinx] — A2e2z/2 + C,

£2 = [aoB2,2 — 3voB1,2 + A2 (1/2 — 2v2)] cos2x — [aoB^ + 3voB2,2 +

+ 2а.ощA2] sin 2x + Ae^o1 cosx + vo{tbi)' sinx] •

Подставив выражения для v2 и £2 в кинематическое условие и приравняв коэффициенты при cosx, sinx, cos2x, sin2x, получаем уравнения для определения B12, B22, a1 , b1

(1 + 4v2) B12 + 4aovoB2,2 + 2voA2 = 0, 4aovoB1,2 — (1 + 4v2) B2,2 = 0,

ao(ta1)// — 2vo(tb1)/ = 0, 2ao(ta1)/ + vo(tb1)// = 0.

Решив их с учетом, что при t = 0 функции a1 и b1 должны принимать конечные значения, имеем

a1 = 0, b1 = 0,

2щА2 (l + 4г/2) 8ao^o^2

Bl’2~--------1 + 24^ ’ ’2 “ ~Т+2ЛЩ'

Подставив В12, -82,2, «1 и Ьу в выражения для г^, п2, Р2 и £2, находим решение

задачи во втором приближении:

2и0А2в^

и2 = 1 24г/2 [(l + 4г/g) sin2х — 4а0г/о cos2%],

V2 = -

Р2 = A2 6 =

vo

voA2e-

г + 24^ [4«о^о sin 2\ + (1 + 4г/2) cos 2%],

2v g2z

°24гД Sin 2Х ~~ 5г/° COS 2Х') + ~~ e2Z^^

1 +

A2

[(1 + 16v°° — 32vg) cos2x — 32aov3 sin2x] .

2(1 + 24г/2)

4. Третье приближение. Подставив выражения первого и второго приближений (см. п. 3) в уравнения и граничные условия задачи (6), получим задачу для третьего приближения в явном виде

сИги?, = 0,

du3 . дрз z

а0—---------01/0U3 - 1/0Аи3 + ~7— = Ае

dt dx

dv3 дрз z

ао -7ГГ ~ АЩЩ - V0AV3 + —— = Ае dt dz

Bli2e2z + v0e “о \tb2)'

cos x +

+

B2i2e2z - a0e “° г(га2у sinx|

a0e “о г(1а2)' - 3B2 2e

2z

cos x +

+

3B

i,2e2z + Ще “° г(Л2)' sinx| ;

9A3

dt

+ Aaovo

8(1 + 24v02)

[2aovo (8v°° — 1) cos 3x + (1 + 10v;° — 16vg) sin 3x] +

e “o (tb2 - ta2) +

dv3 A3

/ A2 (56V2 — 3)

4(1 + 24^)

cos x + A

A° (5 — 8v°)) (1 + 14v°)

8(1 + 24 vl)

•^^0 f / O Q \ /

- e “0 (y0tb2 + a0ta2)

sin x, z = 0,

Рз-£з- (1 + 4г/°) sin3X - «0 (3 + 4г/2) cos3x + [ao (3 +

+ 160v° + 448vg) cos x + vo (64vj° — 11 — 448vg) sin x]/(1 + 24V2)} , z = 0. Из уравнений неразрывности, движения и динамического условия находим

u3 = e3z (B2,3 cos 3x — B1,3 sin 3x),

Р3 = e3z {[aoB2,3 + voB1,3] cos3x + [voB2,3 — aoB^] sin3x} +

+ Aezj a0e"s°~t(ta2)/ — B2i2e2z cosx+ ще^г (tb2)' + Bij2e2z sinxj ,

£3 = [aoB2,3 — 5voB1,3 + aoA3e 2eot (3 + 4v°)/8] cos 3x — [aoB1,3+ 5voB2,3 +

2

+ voA3e °eot( 1 + 4v°)/8 sin 3x + aoA

A2

е“'((“2)'-ЩТ^Ц)<3 + 9в‘'» +

+ 448vg)

cos x + voA

e“0° )' + йП fOAos (448vg - 5 - 128v2)

sin x.

8(1 + 24 Vg)

Подставив выражения для v3 и £3 в кинематическое условие и приравняв коэффициенты при cos x, sin x, cos3x, sin3x, получаем уравнения для определения B13, B2,3, a2, b2

( 2) 3aovoA3 (24vn — 1)

(1 + 6u0) Bi,3 + 6а0щВ2<3 = 2(1 + 24г/2) ,

(1 + 6v2) B2,3 - 6a0^oBi,3 = --}I/°A + 24i/°^

2(1 + 24 v2) ’

1/пА2е~^о~г

ao(ta2y - 2i/0(tb2)' = _2 (1 + 24г/2) + + 224vg)

2^0 х

л 2-----^

2 е ао

2а0(^а2) + г/0(£Ь2) = ----------. 2. (2 + 35г/2 - 36г/д + 224г/д) .

2«о (1 + 24^0)

С учетом, что при 4 = 0 функции 0,2 < ж и Ь2 < те, решения этой системы имеют вид В1.3 = . . га°п°Л .„о, (84г/2 - 1 + 288г/д

Х’3 “ 4(1 + 24г/2) (1 + 48г/2) ^ ~ 1 + ’

3v2 A3

В2’3 = 4(1 + 24г/2°) (1 + 48г/2) (б0г/°2 “ 17 “ ’

1 _

°2 = а°А2 Av0t(l + 2Avl) (1 + 20i/°2 + 20г/°4 + 224г/°6) ’

1

62 = a°^2 8v0t (I + 24г/2) (3 + 36г/°2 + 184г/°4 “ 448г/°6) •

Подставив B13, B2,3, a2 и b2 в выражения для v3, u3, Р3 и £3, находим 3A3Voe3z

“3 = 4(1+241/3) (1+481/3) ["° (<Ю"" _ 17 _ 288‘'") С“ЗХ +

+ ao (1 — 84v°° — 288vg) sin 3x] ,

3A3voe3z

v3 =

4(1 + 24v2) (1 + 48v2)

[ao (288vg — 1 + 84v°°) cos3x +

+ vo (60v^ — 17 — 288vg) sin3x]

A3ez ( Voe2z

Рз = —------------от ^ -------0 [54aob'o (8Vn — l) cos3y + 3 (l — 102г/п — 144vg) x

F 4(1 + 24г/2) \ 1 + 48v2 V 0 ' A V 0 0)

x sin3x] + 2ao [1 + 20v° + 20vg + 224vg + 16v0e2z] cos x + vo [3 + 36v°° +

+ 184vg — 448vg — 8e2z (1 + 4^)] sin x} ,

А? ( 1

£з = — 1+ 48^ [«о (3 + 76г/д - 240г/д) соэ Зх + г/0 (5 - 196г^§ + 240г/д) х

1 28^2 1

х втЗх] + 1 + 24г^2 [«О (1 + 12г/о - 32г/д) соэх + г'о (1 - 28г/2 + 32г/д) япх] | .

Из найденных выражений нелинейных добавок для относительной частоты и декремента затухания следует: свое максимальное конечное значение они принимают в начальный момент и с течением времени исчезают, т. е. со временем частота и декремент затухания волны стремятся к значениям, соответствующим линейной задаче.

Собрав вместе решения первых трех приближений, для относительной фазовой скорости, декремента затухания, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности имеем с точностью до третьего приближения

а = ао

в = vо

1 + е2адА2

1 — в а0 4г/0£ (1 + 24г/2)

(1 + 20^0 + 20г/д + 224^0)

1 + е2ао А2

л--------------£

1 — в ао

8г/04 (1 + 24г/д)

(3 + 36^0 + 184^4 — 448^6)

Ав-

21/пАе2г о,*

егсовх + £ 1 + 24г/2 [(1 + 4г/д) 8И1 2х — 4а0ь/о соэ2х] +

ЗА21/ое3г

+ £^ "2ч п , ,Й„2Ч Ь (бОь'д - 17 - 288г/д) совЗх +

4(1 + 24г/0) (1 + 48г/0)

+ а0 (1 — 84^0 — 288^) эт 3х] ^

2 щАе2г-^

V = Ае <*4 егзтх - £ 24^2 [4«о^о вш2х + (1 + 4г/2) соз2х] +

+ £

ЗА21/ое3г 2“*

4(1 + 24г/2) (1 + 48г/2)

[а0 (288^д — 1 + 84^) соэ3х +

р = Ае ( ех («о соэх + щ зтх) + еАе ~ г

+ К2 - е2«/2)] + £24^е+24;о2) {^^2 [54«о.о (8.02 - 1) совЗх + 3 (1 -

— 102^ — 144^0) вт3х] + 2а0 [1 + 20^ + 20г/д + 224^д + 16г/дв22] сов х +

+ ^0 [3 + 36г^0+ 184^д — 448^0 — 8в2г (1 + 4г^0)] этх})

+ и0 (б0^2 — 17 — 288^д) эт 3х] ^ ,

2^0в2г

г 24г/2 (“о вт 2х - 5г/0 соэ 2х) +

£ = Ае “1 «о соэ х — щ вт х + е

Ав-

2(1 + 24 г/2)

[(1 + 16г/д — 32^д) соэ 2х —

2

в

и

в

^2 -2£t f I

- 32a0^0 sin 2x\ + e2---g------| г + 48г/2 [«0 (3 + 76vq - 240vq) cos Зх +

1 28v2

+ щ (5 - 196г/д + 240г/д) sin 3%] + 1 + 24^% [“о (1 + 12г/2 ~ 32z/q) cosx +

+ vo (1 — 28v° + 32vg) sin x] .

Таким образом, получено асимптотическое решение нелинейной задачи с точностью до членов третьего порядка по малому амплитудному параметру. В предельном случае vo ^ 0 из найденных выражений следуют известные результаты для идеальной жидкости [7, 8].

Литература

1. Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves // Math. and Phys. Papers. 1880. Vol. 1. P. 197—229.

2. Баринов В. А. Распространение волн по свободной поверхности вязкой жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 2. С. 18-31.

3. Баринов В. А., Басинский К. Ю. Влияние вязкости жидкости на распространение поверхностных волн // Труды 10-й Всерос. конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». СПб.: Наука, 2010. С. 205-208.

4. Басинский К. Ю. Нелинейные волны на поверхности слабовязкой жидкости // Сб. трудов 3-й регион. конференции «Современные проблемы математического и информационного моделирования». Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 2010. С. 32-36.

5. Баринов В. А., Бутакова Н. Н. Нелинейная задача о поверхностных волнах на двухфазной смеси // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2003. Т. 43, № 12. С. 1870-1883.

6. Joseph D. D., Wang J. The dissipation approximation and viscous potential flow // J. Fluid Mech. 2004. Vol. 505. P. 365-377.

7. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.

8. Алешков Ю. З. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 196 с.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 16 декабря 2010 г.