РЕШЕНИЕ МАТРИЧНО СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МИНИМАЛЬНОЙ СИЛЫ И С МНОГОМЕРНЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление

УДК 517.928.2+517.977.5

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНО СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МИНИМАЛЬНОЙ СИЛЫ И С МНОГОМЕРНЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ

© 2018 Ю.В. Корыпаева1, В.В. Пешков2

военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Россия

2Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия

Аннотация: предлагается асимптотический подход к решению задачи оптимального управления с помощью минимально возможной силы. Динамическая система относится к классу линейных матрично сингулярно возмущенных систем. Управляющие функции считаются многомерными, причем евклидова норма их значений ограничена. Для матрично сингулярно возмущенных систем анализ этой проблемы до сих пор не осуществлялся. Ранее задача в аналогичной постановке, но для линейной сингулярно возмущенной динамической системы была решена А.И. Калининым. В нашем исследовании перечисляются условия, при которых исходное уравнение состояния может быть приведено к системе, в которой выделены быстрые и медленные переменные. Конструируется и обосновывается алгоритм поиска асимптотического решения рассматриваемой задачи, который основывается на расщеплении исходной возмущенной задачи оптимального управления на две задачи меньшей размерности и не содержащих возмущений, при этом одна из них является соответствующей вырожденной задачей. После решения этих задач структура оптимального управления полностью определена и может быть получено в явном виде выражение для асимптотически субоптимального управления желаемого порядка точности

Ключевые слова: сингулярные возмущения, асимптотические методы, оптимальное управление, многомерные управляющие воздействия

Введение

В фундаментальной математической теории управляемых систем серьезный интерес вызывают задачи об управлении объектами, движение которых описывается сингулярно возмущенными системами. Подобные задачи имеют огромную практическую значимость. Библиография по этой тематике объемна, но систематизация теоретических основ сингулярных возмущений в задачах управления была проведена в обзоре А.Б. Васильевой и М.Г. Дмитриева [1]. Что касается последующих исследований, то с новыми методами и результатами можно ознакомиться в обзоре М.Г. Дмитриева и Г.А. Куриной [2].

Использование основных асимптотических подходов, таких как метод пограничных функций, методы согласования асимптотических разложений и разделения движений, а также прямую схему построения асимптотических разложений, при решении задач с управляющей функцией, ограниченной по норме, наталкивается на ряд осложнений. Практически до конца XX века исследования подобных задач носили по большей части качественную направленность.

При нахождении оптимального управления в задачах с подобной постановкой важным моментом является проблема существования и расположения добавочных точек переключения оптимальной управляющей функции. Результаты исследования этого вопроса приведены в трудах Collins W.D., автором рассматривалась задача оптимального быстродействия. Для аналогичной задачи в случае, когда динамическая система является матрично сингулярно возмущенной, анализ этой проблемы проводился в работах Корыпаевой Ю.В.

Огромный вклад в решение проблемы поиска асимптотики решения для разнообразных классов управляемых систем, с ограничениями на управляющую силу в виде замкнутых неравенств, был сделан А.И. Калининым [3].

В процессе решения сингулярно возмущенных задач оптимального управления приходится неоднократно интегрировать прямую и сопряженную системы, которые в подобных задачах оказываются жесткими [4]. Эта особенность неизбежно вызывает сложности при вычислениях: увеличение времени счета, аккумуляцию вычислительных ошибок. Поэтому асимптотические методы являются тем подспо-

рьем, которое позволяет эффективно преодолевать эти проблемы.

Прием, предлагаемый А.И. Калининым, основан на специальной конечномерной параметризации оптимального управления и делает возможным отыскание асимптотического разложения точек переключения как скалярного, так и многомерного оптимального управления и для любого натурального числа N позволяет построить в явном виде асимптотически N субоптимальное управление (определение субоптимальности приводится в [3, 5]).

Огромным преимуществом подхода А.И. Калинина оказывается возможность преобразовать исходную возмущенную задачу к решению нескольких более легких задач, размерность которых меньше, чем у исходной.

Предлагаемая работа содержит обоснованную идею конструирования асимптотики решения задачи о нахождении оптимального многомерного управления линейной матрично сингулярно возмущенной системой, имеющего минимальную интенсивность. В рассматриваемом случае интенсивность будем понимать как максимум евклидовой нормы управления. В задачах с практическим содержанием интенсивность чаще всего трактуется как наибольшее значение обобщенной силы, которая в свою очередь интерпретируется как управляющее усилие. В связи с этим предлагаемую задачу называют задачей об управлении минимальной силой (см. [10] и монографию Ю.В. Ракит-ского и С.М. Устинова).

В настоящей работе к исследованию задачи применяется подход, описанный А.И. Калининым в [3] — [5].

Постановка задачи

Предметом исследования является задача оптимального управления, динамическая система которой является линейной матрично сингулярно возмущенной:

(А + еВ) ^^ = Сх(0 + Du(t),

dt

х(0) = х0, x(T) = 0, ||u(t)||< 1, J(u) = sup ||u(t)|| ^ min.

te[0;T ]

(1)

Будем полагать, что х^) е Rт, а функции управления и^) = (u1(t),..., иг(t)), t е[0; Т], г > 2, имеют кусочно-непрерывные элементы и || и^) м12(t) +... + и2гУ) - евклидова норма вектора и (О.

Для последующих рассуждений нам потребуется, чтобы были выполнены условия:

1°. Длина всех В жордановых цепочек оператора А одинакова и равна р.

2°. Оператор QCP: КегА ^ КегА', где Р, б -ортогональные проекторы пространства состояний на КегА, КегА' соответственно, имеет об-

ратный. А' — соответствующий сопряженный оператор.

Линейная замена переменных [8] позволяет осуществить разделение движений на быстрые и медленные. Поэтому вместо задачи (1) далее будем рассматривать задачу:

df = G1(s)u,

dt

epdf = E2(e)f + G2(e)u, dt

(2)

£(0) = r(0) = r°, £(T) = 0, f(T) = 0, || u(t) ||< 1, J(u) = sup ||u(t)|| ^ min,

te[0;T ]

где |(t) e Mm-n, f(t) e M", - новые переменные, а операторы в правых частях динамической системы представляются в виде

да да

Ei(e) =£ekCk0, C° = C0, E2(e) =£ekCf, = Q, (3)

к=0 к=0

да да

Gi(e) = ^ek^0k, D0 = D0, G2(e) = £ekDf, D? = Д, k =0 k =0 явный вид операторов C0, D0, C1, D1 подробно указан в [8].

Для упрощения рассуждений, будем полагать, что f не зависят от e.

Предположим, что выполнены условия:

3°. Матрица C устойчива.

4°. rank(D0, C0D0, • • •, C0m-n-1D0) = m - n , rank( D1, C1D1, •, C1n-1D1) = n .

Если предположения 3°, 4° выполняются, то система (2) с достаточно малым e является управляемой [9]. Тогда, в соответствии с полученным в [10] результатом, в задаче (2) оптимальное управление будет существовать и являться единственным, при этом евклидова норма его значений будет постоянна, причем ||u0(t,e)||= L0(e), t e [0;T].

Не все предположения, сделанные в настоящей работе, являются жесткими. Можно привести примеры, в которых не все из них выполняются. Это может повлиять на асимптотическую точность полученного в итоге решения, но не на возможность его построения.

В частности при выполнении всех предположений из настоящей работы будем иметь

асимптотическое приближение к оптимальному управлению порядка е. Если же налагаемые условия ослабить, то такая точность уже не может быть гарантирована.

Вырожденная задача, которая соответствует (2), получается при е = 0, и она может быть записана следующим образом:

du = Со1+ DU'

|(0) = I0'|(T) = 0, ||u(t)||< 1' Jx(u) = sup ||u(t)||^ min.

ie[0;T ]

(4)

Далее нам будет необходимо, чтобы было выполнено следующее условие.

50. Существует решение вырожденной задачи (4).

Введем следующие обозначения:

, = ,J], ,0 Jf

Л

| £ К™-", Л £ К"

, E,(e)

E (e) =

0 —E2(e)

G(e) =

, G1(e) ^ (5)

v

V e

и перепишем систему (2) в виде

d, = E (e), + G(e)u, dt

,(0) = ,0, ,(T) = 0, || u(t) ||< 1, (6)

J(u) = sup ||u(t)|| ^ min.

t£[0;T ]

В статье описывается алгоритм, основанный на идее метода А.И. Калинина. Суть алгоритма состоит в том, что исходная задача распадается на две задачи оптимального управления меньшей размерности [3, 5, 6], что позволяет избежать интегрирования жестких систем.

Первая базовая задача

Построение асимптотики задачи (1) будем проводить в два этапа. Первый этап будет заключаться в решении задачи (4), назовем ее первой базовой задачей.

Если условие 50 будет выполненным, то в этой задаче будет существовать оптимальное управление u0(t), евклидова норма значений которого постоянна и || u0(t)||= L0, t £[0;T].

Применим принцип максимума Понтряги-на [7]. Будем иметь

A0(t)u0(t) = maxA0(t)u, t £ [0;T],

|u|< L

(7)

где функция переключений А0(г)=^0'(t)D0, г £ [0; Т] - это множитель при управляющей функции в формуле для гамильтониана, по-

строенного по нетривиальному решению ^0(t) соответствующей сопряженной системы

d^ö dt

= -00, V0(T) F0(0)|° = -1, а F 0(t),

t £ [0;T], - матричная функция, являющаяся решением дифференциального уравнения

dF т-,0^ т-п0.

dt

= -FC F (T) = Im

Пусть 20 = \//0(T), тогда

A0(t) = 2° 4(4 t £[0; T],

(8)

(9)

где

Фо(0 = F°(0Во, г £ [0; Т], (10)

Если предположение 4 выполнено, то вектор-функция А0(г), которую называют ко-управлением, может обращаться в нуль лишь в конечном множестве точек. Из равенства (7) видно, что за исключением нулей коуправления выполнено

u„ = WO

|| A0(t )||

t £ [0;T].

(11)

Далее предположим, что выполняется условие

60. А0(Т) *0.

Пусть далее £,°(г), г £ [0;Т] - оптимальная фазовая траектория, соответствующая управлению (11).

Вторая базовая задача

Особенностью сингулярно возмущенных задач является тот факт, что структура оптимального решения возмущенной задачи не определяется в полной мере после решения первой базовой (вырожденной) задачи. Поэтому требуется дополнительная корректировка решения с помощью второго этапа поиска асимптотики, который заключается в решении следующей задачи оптимального управления:

= С1л+ Dju, ||u(s)||<1, s < 0,

ds

Л(0) = 0, Л(-») = -C1-1D1

||A0(T )|

(12)

0

J2(u)=J (A0(T)u(s) - ||A0(T)||)ds

^ min.

Задачу (12) назовем второй базовой, а ее оптимальное управление обозначим и „(я), s < 0.

Далее нам будет необходимо, чтобы было выполнено следующее условие.

0

ь

70. Для задачи (12) существует оптимальное управление и ,(5), 5 < 0, которое определяется из принципа максимума [7].

Замечание 1. Положение равновесия динамической системы задачи (12) при значении

управляющей функции и(5) = А"(Т) , находит-

||А0(Т )|1

. В этом случае в

ся в точке -С11D1

А°(Т) |А°(Т )|

функционале ^2(и) подынтегральное выражение обращается в нуль.

Применим принцип максимума Понтряги-на [7]. Будем иметь

ПА'(5)и„(5) = тах ПА'ОФ, 5 < 0,

М<1

(13)

где

ПА'(5) = Б[Пщ( 5) + А0(Т), (14)

а Пщ(5), 5 < 0 - будет являться решением со-

СПщ(5) , пряженной системы-1-= -С1 Пщ(5).

сСа

Пусть у0 = Пщ(0), тогда

ПА(5) = ПФ'(5)у0 +А0(Т), 5 < 0, (15)

где

ПФ(5) = G(5)Д, 5 < 0, (16)

а G(5), 5 < 0 - это матричная функция, которая является решением системы с начальным условием

СО>)

= -о (5)С1, О (0) = 1„.

(17)

С учетом справедливости предположений 30, 40, 60 коуправление задачи (12) ПА(«), 5 < 0, может обращаться в нуль лишь в конечном множестве точек. Из (13) видно, что за исключением нулей коуправления

, ч ПА(5)

и*(5) = ._ .., 5 < 0.

(18)

| ПА(5) |

Пусть далее 77, (5), 5 < 0 - оптимальная траектория, соответствующая этому управлению.

После того, как решены обе базовые задачи, мы будем иметь вектор (Я10,у10). При этом

компоненты вектора Я0 найдены с точностью до положительного множителя, поэтому можем выбрать их так, чтобы было справедливым равенство ||Я0||2 + ||у0||2 = 1.

Замечание 2. Воспользуемся тем, что в задаче (12) функция Гамильтона при подстановке в нее оптимального управления будет обращаться в нуль. В частности при 5 = 0 вектор у0 будет удовлетворять условию

||А' у0 +А0(Т )|| = ||А0(Т )||. (19)

Замечание 3. Получение в явном виде оптимального управления и,(5), 5 < 0, вида (18) не требуется, так как при отыскании асимптотически субоптимального управления исходной задачи (1) от второй базовой задачи требуются только данные о начальном значении вектора сопряженных переменных у0.

Возмущенная задача, ее решение и асимптотические свойства

При малых значениях параметра е > 0 вектор-функция

А0 Я, 7, Т, е) = А0(0 + D[Пщ| |, t е [0; Т],

построенная после решения двух базовых задач, может обращаться в нуль лишь в конечном множестве точек. Рассмотрим управление

и(^е) =

¿0 А^Д^, Т ,е) || А0(^Я,7,Т,е) 11;

t е [0;Т],

(20)

г е [0;Т] — траектория

и пусть у(^е) =

системы (2), им порожденная.

Так как предположение 30 выполнено, то вектор-функция ПА(5), 5 < 0, стремится к нулю при 5 ^ -да с экспоненциальной скоростью. Поэтому если у параметра е значения малы, то управление вида (20) будет существенно отличаться от решения (11) задачи (4) лишь в пограничном слое, т.е. в некоторой левосторонней окрестности точки Т .

Теорема. Если предположения 30 - 70 выполнены, то управление (20) является асимптотически субоптимальным в матрично сингулярно возмущенной задаче (2).

Заметим, что если выполнены дополнительные условия, то, как показано в [6],

у(Т,е) = О,(е), Ае)-¿0 = 02(е).

(21)

К дополнительным условиям, в частности можно отнести следующие: А0^) ф 0, ^0;Т], и ПА(5) ф 0, 5 < 0.

Доказательство.

1) Докажем, что 1?(е) ^ ¿0 при е ^ 0. Обозначим через

щЦ,Я,у,Т,е), Я е Rm-", у е R",

Т > 0, 0 < е < е0, t е [0;Т], решение сопряженной

системы

= -Е'(еЩ, щ(Т,е)F(0,е)у0 = -1, (22)

С

ь

и пусть

А '(г, 2, у, Т, е) = у'(г, 2, у, Т, е)В(е). (23) При этом Т(г,е), г £ [0;Т] - функция матричного вида, которая является решением системы дифференциальных уравнений

dF

— = -F • £(е), F(T) = /я. dt

(24)

Применим принцип максимума Понтряги-на [7]. Будем иметь

А'(t, e)u0(t, е) = max A '(t, е)u, t e [0;T],

М<!°(е)

где функция переключений A(t, е), t e [0;T] - это множитель при управляющей функции в формуле для гамильтониана, построенного по нетривиальному решению y(t) системы (22)

Решение системы (24) запишем в блочной форме

(F.(t, T, е) F2(t, T, е)^ F(t, T, е) = 1 1 2 I, (25)

да T, е) F4(t, T, е)J'

где матрицы

F (t, T, е), F2 (t, T, е), F3 (t, T, е), F4(t, T, е) соответственно имеют следующие размерности: (m - и) x (m - и), (m - и) x и, и x (m - и), и x и .

Воспользуемся методом пограничных функций. Тогда каждую из этих матриц-функций мы можем представить в виде асимптотического ряда

F(t, T, е) = £е*^(t, T) + n,F(s)),

t - T

s =-, t e [0;T], / = 1,2, 3,4.

(26)

Замечание 4. Разложения (26) являются равномерными по г £[0;Т] асимптотическими разложениями, а для пограничных членов П(я), я < 0, которые являются матричными функциями, справедливы оценки

||ПкТ(я)||< РкеП', я<0, к = 0,1,2,..., 1 = 1,2,3,4, (27) где рк > 0, у к > 0.

Для дальнейших рассуждений в ходе доказательства этой теоремы нам потребуются несколько первых слагаемых в разложении (26). Приведем некоторые из них:

Т = FV, Т), F2о - 0, Fзо - 0, ПF1 - 0, П0F2 - 0, ПFз - 0, П0F4 - 5(s), (28) Т21 - 0, ПТ - 0, Т41 - 0,1 = .

Напомним, что F0(г, Т)и 5— это решения начальных задач (8) и (17) соответственно.

Пусть у(Т,е) = (2(е),еМе)), 2(е) £ , у(е) £ М".

Замечание 5. Для решения у (г) системы (22) справедливо представление

у(г,е) = (2(е),е"у(е))F(г,е), г £ [0;Т].

Динамическая система в задаче (2) является стационарной. Тогда для этой системы при подстановке в функцию Гамильтона оптимального управления получим постоянную величину.

Пусть (2(е), еру(е)) = .(2(е) еМе)) . Осно-' ||(2(е), е"у(е))\

вываясь на результатах [11]:

(2(е), еру(е))' Т (0,е) у0 +

Т

+£°(е)Ц |(2(е), е"у(е)У Т (г,е)В(е)|| dt =

0

= min ((2,еру)Т(0,е)у0 +

|(2,еру)| <1 Т

+10(е)Ц |(2,еру) ' Т (г,е) В(е)|| dt) = 0. (29)

0

Пусть ек — произвольная бесконечно малая последовательность положительных чисел. Как известно, из ограниченной последовательности векторов 2(ек) всегда можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Для того, чтобы избежать громоздкости обозначений, будем полагать, что сходится сама последовательность 2(ек), и обозначим ее предел через 2*.

Заметим, что ||2,|| = 1.

Из соотношений (26)-(28) и (10) будет следовать

(2(ек), еру(ек))'Т(0, ек)у0 = 2»Т,(0)!°,

Т

ИшЦ|(2(ек), еру(ек)) 'Т(г, ек)Б(ек)||dt =

к^да Л II II

0

Т

= Л \К Ф0(0|| dt. (30)

0

В первой базовой задаче (4) для любого ненулевого вектора 2 £ , имеет место неравенство [11]

Т

Л |2' Ф0(0||dt > 0,

0

так как динамическая система является управляемой.

Но тогда из (29) и (30) видно, что существует предел Ь0(ек) при к ^да, который обозначим Ь„. Наряду с равенством

Т

2„Т0 (0)|° +1,11 |2,'Ф0 (г )|| dt = 0, (31) 0

из (29) и (30) следует, что для любого ненулевого вектора 2 £

ь

1F0№0 + L J||A'®0(t)||dt > 0. (32) f(T,e) = L0 f ПФ^)

л

Так как ф 0, а F°(0) - невырожденная матрица, то из (32) следует, что Ь, > 0, а значит, в силу (31), будет выполняться ^°(0)|° < 0.

Пусть l, = ——

X,

тогда l, F °(0)£° =-1.

№ °(0)|°

Из равенства (31) и неравенства (32) следует

Т Т 1

Ц \Ц Ф0(0|| Л = тш Ц |1' Фо(t )|| С = —,

11 lF 0(0)^0 =-Н 11 " Ь,

0 • ,ь 0

но тогда согласно [10] Ь, есть оптимальная интенсивность в первой базовой задаче, а значит Ь, = Ь0. Таким образом, из любой бесконечно малой последовательности положительных чисел можно выделить такую подпоследовательность ек, что Ь0(ек) ^ Ь0при к ^да. Отсюда следует Ь0(е) ^ Ь0 при е ^ 0, что и требовалось доказать.

2) Теперь докажем, что у(Т,е) ^ 0 при е ^ 0 . В силу (20) и формулы Коши имеем

y(T ,e) = F (0,e) y0 + L0 |

F (t,e)D(e)A0(t,e) llA°(t,e)||

dt, (33)

где F(t,e), t[0;T] - решение начальной задачи (24).

Из формул (10), (16), (26)-(28), (33) следует

£(T ,e) = F °(0)|° + L0 |

Фo(t)A0(t,e)

II A0 (t, e )| I

dt + 01(e), (34)

0

f(T,e) = L0 |

ПФ^^0^ + eps,e) 0 I II p J ds + °2(e). (35)

" A0(T + eps,e)

В силу формулы Коши и того, что управления (11), (18) являются допустимыми в базовых задачах, будем иметь

&(Т) = ът0 + ¿0 /МЭМе^ = 0, (36)

A 0(t,e)

f0(T ,e) = |

ПФ(s)ПA(s)

llnA(s)||

ds = 0.

(37)

Из равенств (34) - (37) получим

£(T ,e) = L0 |Ф0«

0

A0(t,e) A(t,e)

A0(t,e) A(t,e)

dt + 01(e), (38)

A0(T + eps,e) nA(s)

||A0(T + eps,e)|| ||nA(s)||

ds +

+ O2(e). (39)

Обозначим через t1,..., tl — все нули коуправле-ния A0(t), t e [0;T], а через s1,...,sq — все нули nA(s), s < 0. Используя аналитичность этих функций и предположения 30 и 60, легко убедиться в справедливости следующего вспомогательного утверждения.

Лемма. При достаточно малых значениях параметра e > 0 все нули вектор-функции A0(t, X,f, T,e) принадлежат множеству

l+q

U 8(e), где

i=1

8 (e) = { t e [0;T ]: |t -1\ < e}, i = 1J, 8, + j (e) = { t e [0; T ]: t = T + eps, |s - | < j"к}, j = \q, cj, j = 1, q — некоторые положительные постоянные, к j, j = 1, q — кратность нуля sj [5].

Пусть к = max kt. Учитывая экспоненци-

j=1,q j

альный характер малости П^(s) при s ^ -да, с помощью утверждения получаем следующие оценки величин (38), (39) при достаточно малых e > 0

|||(T,e)|| < Ce, |f (T,e)|| < Ca(e),

где C — некоторая положительная постоянная, a(e)= = e |lne|, если к =1, а в противном случае a(e) = e"к .

Если же у коуправления ПA(s), s < 0, нет нулей, то y(T,e) = O(e). Следовательно, в любом случае y(T,e) ^ 0 при e ^ 0 .

Теорема доказана.

Таким образом, после решения двух вспомогательных базовых задач для любого n e N можно получить в явном виде выражение для асимптотически субоптимального управления, которое с определенной точностью аппроксимирует оптимальное управление исходной возмущенной задачи.

Литература

1. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления // Матем. анализ (Итоги науки и техн.). М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 20. С. 3-77.

2. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3-51.

3. Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. Мн.: Экопер-спектива, 2000. 183 с.

4. Калинин А.И., Семенов К.В. Асимптотический метод оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с многомерными управлениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 3. С. 432-443.

5. Калинин А.И. Построение субоптимального решения сингулярно возмущенной задачи об управлении с минимальной интенсивностью // Автомат. и телемех. 2013. Вып. 1. С. 47-58.

6. Калинин А.И. Асимптотический метод решения задачи об управлении минимальной силой для линейной сингулярно возмущенной системы // Журнал вычисли-

тельной математики и математической физики. 2011. Т. 51. № 12. С. 2115-2125.

7. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1983. 393 с.

8. Курина Г.А. О расщеплении линейных систем. Воронеж, 1990. Деп. в ВИНИТИ, № 2249, В90.

9. Kokotovic P.V., Haddad A.H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast models // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. Vol. 20. № 1. P. 111113.

10. Красовский, Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 486 с.

11. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: Изд-во Белорус. университета, 1973. 246 с.

Поступила 09.06.2017; принята к публикации 22.01.2018 Информация об авторах

Корыпаева Юлия Владимировна - канд. физ.-мат. наук, доцент, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (394064, Россия, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54 «А»), e-mail: malena1975@mail.ru

Пешков Вадим Вячеславович - канд. техн. наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: vmfmm@mail.ru

SOLVING THE MATRIX OF SINGULAR PERTURBED LINEAR PROBLEMS OF OPTIMUM CONTROL WITH THE MINIMUM STRENGTH AND DIMENSIONAL CONTROLS

Yu.V. Korypaeva1, V.V. Peshkov2

'Military Educational and Scientific Center of the N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force

Academy, Voronezh, Russia 2Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

Abstract: this paper suggests asymptotic approach to solution of optimal control problems with lowest possible power. Dynamic system belongs to the class of matrix of linear singularly perturbed systems. Executive functions are considered to be multidimensional, and the Euclidean norm of their values is limited. For a matrix of singularly perturbed systems for the analysis of this problem is still not implemented. Earlier, the task in the same setting, but for a singularly perturbed linear dynamical system was solved by A. Kalinin. This paper presents the study of the conditions under which the initial equation of state can be reduced to a system in which fast and slow variables are singled out are listed. Further, the algorithm for finding the asymptotic solution of the problem under consideration is constructed and justified. It is based on splitting the initial perturbed optimal control problem into two problems - first, the problem of smaller dimension and second - not containing perturbations, which is the corresponding singular problem. After solving these problems structure of optimal control is fully specified and can be obtained in an explicit form the expression for the asymptotically suboptimal control for the desired order of accuracy

Key words: singular perturbations, asymptotic methods, optimal control, multidimensional control actions

References

1. Vasilieva A. B., Dmitriev M. G. "Singular perturbations in optimal control problems", Mathematical analysis (Outcomes of Maths and Technics), Matematicheskyi analiz (Itogi nauki i tekhniki), Moscow, 1982, vol. 20, pp. 3-77.

2. Dmitriev M. G., Kurina G. A. "Singular perturbations in control problems", Automation and Remote Control (Avtomatika i telemekhanika), 2006, vol. 1, pp. 3-51.

3. Kalinin A. I. "Asymptotic methods of optimization of perturbed dynamical systems" ("Asimptoticheskiye metody optimizatsii vozmushchennykh dinamicheskikh sistem"), Minsk, Ecoperspektiva, 2000, 183 p.

4. Kalinin A. I., Semenov K. V. "Asymptotic optimization method for linear singularly perturbed systems with multidimensional offices", Computational Mathematics and Mathematical Physics Journal (Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematich-eskoy fiziki), 2004, vol. 44, no. 3, 417 p.

5. Kalinin A. I. "The construction of suboptimal solutions of singularly perturbed problem of control with minimal intensity", Automation and Remote Control (Avtomatika i telemekhanika), 2013, vol. 1, pp. 47-58.

6. Kalinin A. I. "Asymptotic method of solving the problem about the management of the minimum force for the linear singularly perturbed system", Computational Mathematics and Mathematical Physics Journal (Zhurnal vychislitel'noy matematiki i ma-tematicheskoy fiziki), 2011, vol. 51, no. 12 , pp.1989-1999.

7. Pontryagin L. S., Boltyansky V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. "The mathematical theory of optimal processes" ("Matematicheskaya teoriya optimal'nykh protsessov) , Moscow, Nauka, 1983, 393 p.

8. Kurina G. A. "On the cleavage of linear systems" ("O rasshcheplenii lineynykh sistem"), Voronezh, Department in VINITI, 1990, vol, 90, no. 2249.

9. Kokotovic P. V., Haddad A. H. "Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast models", IEEE Trans. Automat. Control, 1975, vol. 20, no. 1, pp. 111-113.

10. Krasovsky N. N. "The theory of motion control" ("Teoriya upravleniya dvizheniyem"), Moscow, Nauka, 1968, 486 p.

11. Gabasov R. F., Kirillova F. M. "Optimization of linear systems" ("Optimizatsiya lineynykh sistem"), Minsk, Izdatel'stvo Belorusskogo University, 1973, 246 p.

Submitted 09.06.2017; revised 22.01.2018 Information about authors

Yuliya V. Korypaeva, Dr.Sc. (Technical), Associate professor, Military Educational and Scientific Center of the N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy (54 "A" Starykh Bolshevikov Str., , Voronezh, 394064, Russia) e-mail: malena1975@mail.ru

Vadim V. Peshkov, Cand.Sc. (Technical), Associate professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovsky prospect, Voronezh, 394026, Russia), e-mail: vmfmm@mail.ru