CC BY
42
УДК 519.213, 517.936
РЕШЕНИЕ КВАНТИЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПФАФФА ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОЛНОЙ
ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
© 2012 Л.Э. Мелкумова, С.Я. Шатских1
Статья посвящена изучению квантильных дифференциальных уравнений Пфаффа, которые строятся на основе двумерных условных квантилей многомерных вероятностных распределений. Как было установлено в работе [3], для распределений вероятностей, обладающих свойством воспроизводимости условных квантилей, рассматриваемые уравнения Пфаффа вполне интегрируемы, а их решениями являются условные квантили максимальной размерности. В настоящей статье для квантильных уравнений Пфаффа, не обладающих полной интегрируемостью, мы рассматриваем вероятностные свойства интегральных многообразий максимальной размерности. Дано описание таких многообразий с помощью условных квантилей промежуточных размерностей.
Ключевые слова: многомерные вероятностные распределения, воспроизводимость условных квантилей, квантильные уравнения Пфаффа, классы Дарбу дифференциальных 1-форм, первые интегралы, решения максимальной размерности, смеси вероятностных распределений.
1. Условные квантили многомерных вероятностных распределений
В последние десятилетия условные квантили и условные медианы привлекают все большее внимание специалистов по теории вероятностей и математической статистике. В частности, это связано с появлением новых статистических моделей, в которых ошибки наблюдений имеют негауссовские распределения с "тяжелыми хвостами". Для таких моделей предположение о существовании моментов функций распределения уже не является справедливым. Поэтому в статистической теории регрессии развивается "безмоментный" подход, в рамках которого условные квантили, как функции "объясняющих факторов", используются вместо условных математических ожиданий [1; 9-12].
В работах [2; 3] для многомерных распределений вероятностей, обладающих свойством воспроизводимости условных квантилей, была установлена полная интегрируемость квантильных уравнений Пфаффа. Было доказано, что ре-
1Мелкумова Лана Эдуардовна (lame@uni-smr.ac.ru), Шатских Сергей Яковлевич
(shatskih@ssu.samara.ru), кафедра теории вероятностей и математической статистики
Самарского государственного университета. 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
шениями этих уравнений являются условные квантили максимальной размерности. В данной работе для квантильных уравнений Пфаффа, не обладающих полной интегрируемостью, мы изучаем вероятностные свойства решений максимальной размерности и даем описание таких решений с помощью условных квантилей промежуточных размерностей. В качестве примера рассмотрено квантильное уравнение Пфаффа для смеси двух пятимерных распределений Коши. Для этого уравнения найдены класс Дарбу, первые интегралы и решения максимальной размерности.
2. Воспроизводимость условных квантилей
Напомним сначала понятие условной квантили для многомерного распределения вероятностей. Пусть имеется система случайных величин Х\,...,Хп. Будем рассматривать для этой системы условные функции распределения вида2
Рг\1..Л...п(хг\х1, ...,Хп) : = Р{Хг < хг\Х1 = хЬ ...,Хг = Xг, ...,Хп = Хп}.
Всюду в этой работе мы предполагаем эти функции строго монотонно возрастающими и непрерывными по "первому" аргументу хг. Аналогичное предположение будет действовать для всех рассматриваемых нами условных распределений.
Условная квантиль с(р1 г п(х1, ..., хг, ..., хп) уровня р € (0,1) случайной величины Хг по случайным величинам Х1, ...Хг,..., Хп определяется из следующего равенства:
1..Л...п(сг\1 I п(х1, ...,х1, ...,хп )|х1, ..., Хг, ..., хп) = р
для любого (х1, ..., хг, ..., хп) € Мп-1.
Таким образом, условная квантиль уровня р представляет собой функцию от п — 1 переменных (х1,...,жг,...,хп). Будем называть ее г-ой (п — 1)-мерной кванти-лью уровня р для данного распределения.
Условную квантиль также можно связать не со значением уровня р € (0,1), а с некоторой точкой х0 = (х1, ..^х^) € Кп, значение условной функции распределения в которой задает уровень. В этом случае условная квантиль определяется с помощью равенства:
Ег\1..Я...п(%\1..Х..п(х1,..., хг, ■■■,xn)\xl, ...,хг, ...,хп) = ^г\1..Л...п(хг \х1, ■■■,x0, ...,хп).
Очевидно, что график условной квантили д(Х ^ п проходит через точку х0, то есть0
с(х 0) (х0 х° хо ) = хо
"г \ 1 ^ ъ -^гт-'-т^п/ г •
Отметим, что условные квантили можно рассматривать как кривые или поверхности постоянного уровня, проходящие через отмеченную точку х0 = (х0, ..., хп) €
€ Мп.
Перейдем к понятию воспроизводимости условных квантилей. Пусть система случайных величин Х1,...,Хп имеет (к + 1)-мерные условные функции распределения (к < п)
Р{Хг < хг\Х1 = х1,Х2 = х2, ...,Хк = хи} = Рг\1...к(хн\х1 ,х2, ...,хк), г = к + 1,п и п-мерную условную функцию распределения
Р{Хп < хп\Х1 = х1,Х2 = х2, ...,Хп-1 = хп-1} = ^п\1...п-1(хп-1\х1 ,х2, ...,хп-1).
2 Знак С над элементом означает пропуск этого элемента.
Выберем точку х0 = (х1,..., хЩ) € К" и введем семейство ^-мерных условных
^ ^ ТП>п
/0 0 0ч "
квантилей, д\ 1 к К :
( 0 0 0)
Рц1...к(ч,111][к'Хк'Хч (XI, ...,хк)\хл, ...,хи) = (х0\х°, ...,х°к),
графики которых проходят через точки (х1,...,хк,х0):
0 = (х°,...,хк,х°)( 0 0)
Хг = д1\1...к (Х1 ,...,хк ).
Рассмотрим (п — 1)-мерную условную квантиль п-1(х1, ..,хп-\)
1...П-1(Я.п\1. п—1(х11 ...] ХП—1) \ х1■ ХП—1) = \ 1...П-1 (хп \ х1■ ...^ Хп—1)■
проходящую через точку X = (х\,...,хП)•
Определение 1. Будем говорить, что случайный вектор (Х^ ..., Хп) обладает
свойством воспроизводимости условной квантили д^^1 п-1(х1, ..., хп—1) при сужении на ^-мерные условные квантили
если равенство
{дЙ:: к :ХкХ )(хи..,хк ^ ^
г,(Х0) („ „ ЛХ 1: • • • :Хк:Хк + 1 Ь ч (Х
дп\1...п-1(х1■ ..., Хк ■дк+1\1...к (х1, ...,хк )1 ..., дп-1\1...к (х1, ...,хк))
/ 0 0 0 ч
Х :...:Хк ,Хп) , ч
= дп\1...к (х1,...,хк)
имеет место для любой отмеченной точки х0 = (х...,х") € К".
Геометрически свойство воспроизводимости означает, что поверхность, параметризованная "малыми" ^-мерными условными квантилями, проходящими через точку х 0,
(X0 )( ) Г (Х0:...:Х1 )( . (Х0:...:Х0к:Х0п)( )
^ '(х1,...,хк ) = {х1,...,хк ■Чк+1\1..,к (х1 ■ ...■ хк ')■ ...■Яп\1...к (х1,...,хк)}1
лежит на графике «большой» (п — 1)-мерной условной квантили: Г( ) (х1, ..., Хп—1 ) {х1■ ..., Хп—1 ■ дп 1...п-1(х11 ..., хп-1 ) }■
т. е.
7(х 0)(х1■ ...,хк) С Г(х 0)(х1■ ..., Хп— 1).
В работе [3] приводится несколько примеров многомерных вероятностных распределений, обладающих свойством вопроизводимости условных квантилей. В частности, к ним относятся многомерное гауссовское распределение, распределение Стюдента, распределение Дирихле, распределение Парето, многомерное логистическое распределение и др.
3. Квантильное уравнение Пфаффа
для многомерного распределения вероятностей
Пусть для случайного вектора X = (X1, ...,Хп) определены одномерные условные квантили 0 0
XI = :Х3 )■ где ] = 1,п — 1, г = 1,п,
для всех точек х0 из некоторой области S С Мп. Будем считать, что эти квантили являются дифференцируемыми по х^. Тогда в этой области мы можем рассматривать следующий определитель:
)(X1,X2, ...,xn) =
dxi 1
■(x1,x2) q1\2
(x2)
dx2
q(xr2)(xi ) 1
dxn-1
■ (x1,xn-l)
^n —
1 \ 1
■(x2Xn-l) ■n-1\2
(x1) (x2 )
dxn
■ (x1,xn)
■n\1
'(x2 ,xn)
■n\2
(x1) (x2 )
q{\n-1 )(xn-1) ¿nU )(xn-1) ■■■
) (xn-1 )
Здесь значения производных условных квантилей ^Х*3\4), проходящих через точку (хг,х^), вычисляются при 4 = х^ :
.(xi,x-i ) ■i\j j
где
(xj) = —
д
—i—) д—F \ j (xilxj), (i = j), fi \ j (xi\xj ) д xj
fi \ j ( xi\xj ) = g—i Fi \ j ( xi\xj ) — условная плотность.
Приравняв этот определитель к 0, получим дифференциальное уравнение Пфаффа
u(x1,x2, ■■■, xn) = A11 dx1 + A12 dx2 + ■■■ + Â1n dxn = 0, (1)
где Au — алгебраическое дополнение элемента dxi.
Это уравнение будем называть квантильным уравнением Пфаффа. Заметим, что коэффициенты A^ квантильного уравнения Пфаффа строятся лишь на основе двумерных распределений. Однако, как будет показано ниже, решениями квантильного уравнения во многих случаях являются условные квантили более высоких размерностей. Для этого распределение должно обладать свойством воспроизводимости условных квантилей того или иного вида.
1
4. Полная интегрируемость уравнения Пфаффа
Рассмотрим следующий вариант свойства воспроизводимости условных квантилей. Пусть для случайного вектора
X = (Х\,..., Xп)
определены "большая" условная квантиль
(х0) ( )
11...п-1(Х1, ..., х"-1 )
и "малые" одномерные условные квантили
qi| 3 (х^), где ] = 1,п — 1 и г = \,и.
Будем считать, что "большая" условная квантиль обладает свойством воспроизводимости при сужении на одномерные условные квантили:
(х0) ( (*1 А)(х ) (х1 ,ХП-1)(х )) = Ах\,хП) (х1у
qп 1...П-1 (х1,Ъ\1 (х1),...,%-111 (х1)) = qп 1 (х1);
(x0) ((x°,x°°)( ) (x° ,<-1)( )) = n(x2,xl) ( , (2)
■n\1...n-1 (q1\2 (x2), x2, ■■■, qn-1\2 (x2)) = qn\2 (x2); (2)
(X °) ( (x 1 ,x n-l ) ( ) (x n-2 ,x n-1 ) ( ) ) __(x n-1,x n) ( )
■ni 1...n-1 (q1|n-1 (xn-1), ■■■, qn-2\n-1 (xn-1),xn-1) = qn\n-1 (xn-1)■
В работах [2], [3] установлены следующие условия полной интегрируемости квантильных уравнений Пфаффа.
Теорема 1. Если случайный вектор X — (Х1, • ••,Хп) отвечает следующим условиям:
1° обладает свойством воспроизводимости условных квантилей (2);
2° функция распределения этого вектора имеет плотность, которая вместе со всеми маргинальными плотностями всюду положительна и дифференцируема;
3° Аы — 0,
то квантильное уравнение Пфаффа (1) вполне интегрируемо. Решением этого уравнения, проходящим через отмеченную точку х0, является "большая" условная квантиль
— (х0) ( )
хп дп\1...п—1\Х1, хп-1)-
Замечание 1. По теореме Фробениуса [4-6] дифференциальное уравнение Пфаффа
ш — Ацвхх + А^йхъ + ••• + А\пйхп — 0 тогда и только тогда вполне интегрируемо, когда
ш Л йш = 0,
где й, Л — внешний дифференциал и внешнее произведение дифференциальных форм.
В работе [3] приведены примеры многомерных вероятностных распределений, для которых выполняется свойство воспроизводимости при сужении многомерных условных квантилей на одномерные. Для этих распределений выведены и решены в явном виде квантильные уравнения Пфаффа.
Предполагая выполненным предположение 2° теоремы 1, приведем одно утверждение об одномерных решениях уравнения Пфаффа (1) (см.: [3]). Будем рассматривать кривые, параметризованные одномерными условными квантилями, проходящими через отмеченную точку х0 — (х0, • ••, хп):
7,(х0— {^, *—тп-г.
Теорема 2. Для любой точки х0 — (х1 , ••^хп) € Мп кривые
( 0 ) [ (х0,х0)( ) (х°,х0п-1)( ) (х0,х°п)( )Л
71(х,х1) — {х1,д2\1 (xl),x2,•••,qn_1\1 (х1),чп\1 (х1 )i,
( 0 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) /0 Ч _ Г (х 1'хп —1){ Ч (х2,хп —1){ Ч (хп-1'хп) / ЧТ
7п-1(х ,хп—1)— ^1\п-1 (хп—1),^\п—1 (xn—1), •••,xn—1,qn\n_l (хп—1)}
являются одномерными решениями дифференциального уравнения Пфаффа (1).
Заметим, что в данном случае мы не требуем выполнения никакого варианта свойства воспроизводимости условных квантилей.
5. Классификация многомерных вероятностных распределений по классам Дарбу соответствующих дифференциальных форм
Итак, от многомерного распределения вероятностей мы приходим к квантиль-ному дифференциальному уравнению Пфаффа (1) или, что эквивалентно, к дифференциальной 1-форме. Рассмотрим характеристику таких дифференциальных
форм, называемую классом Дарбу, которая, в силу известной теоремы Дарбу [5; 6], определяет максимальную размерность решения (интегрального многообразия) соответствующего уравнения Пфаффа. Для дифференциальной 1-формы
п
ш — ак(х1, • • • ,хп)йхк, к=1
рассматривая внешние степени внешних дифференциалов, введем последовательность дифференциальных форм
11 :— ш,
12 :— ¿ш, 1з :— ш Л ¿ш,
14 :— й1з — 12 Л 12 :— (¿ш)2,
I2k := (du)k, I2k+i := и А (dw)k,
Начиная с некоторого номера все элементы Im будут содержать внешние произведения одинаковых координатных форм и, следовательно, будут обращаются в нуль. Таким образом, последовательность {Im} содержит только конечное число ненулевых элементов.
Определение 2. Если дифференциальная 1-форма и обладает свойством
и А (du)r = 0, но и А (du)r+1 = 0, (3)
то говорят, что класс Дарбу этой дифференциальной формы равен 2r + 1.
Как уже отмечалось, критерием полной интегрируемости уравнения Пфаффа является выполнение равенства du А и = 0. В этом случае r = 0 и класс Дарбу дифференциальной формы и равен 1.
Теорема Дарбу. Если класс Дарбу дифференциальной 1-формы3 и равен 2r +1, то с помощью гладкой замены переменных (локально) уравнение Пфаффа
n
и = ^2 ak(xi,...,Xn)dxk = 0
k=1
можно привести к каноническому виду
dyi + V2dy3 + ... + V2r dy2r+i = 0.
В этом случае уравнение Пфаффа имеет решение (интегральное многообразие) максимальной размерности n — r — 1, которое задается первыми интегралами
yi(xi,..., Xn) = Ci = const, Уз(х1,..., Xn) = C3 = const, ..., y2r+l(xi, ..., Xn) = C2r + i = const. Как уже отмечалось, для вполне интегрируемых уравнений Пфаффа параметр r = 0, поэтому для таких уравнений максимальная размерность интегральных многообразий равна n — 1, что и утверждается в теореме Фробениуса.
Представляет интерес классификация многомерных распределений вероятностей по классам Дарбу соответствующих дифференциальных 1-форм и.
3Коэффициенты которой (xi,...,xn) не обращаются в нуль одновременно.
6. Решения квантильных уравнений Пфаффа промежуточной размерности
В работе [3] приводится пример квантильного уравнения Пфаффа, построенного для смеси двух 4-мерных гауссовских распределений, которое не является вполне интегрируемым. Для этого конкретного распределения решением максимальной размерности являлась поверхность, параметризованная условными квантилями размерности 2, что на единицу меньше максимальной.
Далее в статье мы покажем, чем обусловлена такая форма решения максимальной размерности квантильного уравнения Пфаффа и как это связано со свойством воспроизводимости условных квантилей вероятностного распределения. Но сначала установим и докажем одно свойство определителей, которое будет использоваться в дальнейшем.
Рассмотрим определитель п-го порядка (п — 1 ^ к) вида4
М =
Будем обозначать алгебраическое дополнение элемента ¿Хг первой строки М через А1д(йхг).
Лемма 1. Справедливо следующее разложение определителя М:
¿Х1 ¿Х2 ■ ■ ¿Хк ¿Хк+1 ■ ■ ¿Хп-1 ^¿^С п
1 Ч2\1 ■■ Як\1 Чк + 1\1 ■ ■ Яп-1\1 (1п\1
Ч1\к Ч2\к ■■ 1 Чк+1\к ■ ■ Чп-1\к Чп\к
Ч1\к+1 Ч2\к+1 ■ ■ Чк\к + 1 1 ■ ■ Чп-1\к + 1 Чп\к+1
Я1\п-1 Ч2\и-1 ■ ■ Чк\п-1 Як + 1\п-1 ■ ■1 Яп\п-1
М=
¿Х1 ¿Х2 ■ ■ ¿Хк ¿Хк+1
А1д(йхк+1) Я 1 Я2\1 ■■ ■ Чк\1 Чк + 1\1
(Ц\к ¿Х1 Ч2\к ■■ ¿Х2 ■ ■1 ■ ■ ¿Хк Як+1\к п
, А1д(й-хп) "Г" Я 1 Ч2\1 ■ ■■ Чк\1 Чп\1
Я1\к Щк ■ ■ 1 Чп\к
+
(4)
где определитель
5:
1
12\1
1к\1 1
Ч1\к Ч2\к ■■
Доказательство. В формуле (4) каждое из п — к алгебраических дополнений умножается на определитель, полученный добавлением к 5 первой строки и столбца, соответствующего элементу ¿Хг (г пробегает значения от к +1 до п).
5.
! 5».
¿Х2 ■ . ■ ¿Хк ¿/^Хг
Ч2\1 ■ ■■ Чк\1 Яг\1
Щк ■ ■1 Чг\к
1
4Приводимое ниже разложение справедливо для определителей общего вида.
Тогда равенство (4) можно записать в виде
Б Б
М = Л1д(схк+1) --Б1 + ... + А1д(в,хп) ■ Б■ (5)
Запишем разложение определителя Бi по последнему столбцу. Заметим, что алгебраическое дополнение первого элемента этого столбца ¿х^ равно Б. Алгебраическое дополнение (г + 1)-го сверху элемента для любого г от 1 до к будем обозначать А1дГ^ :
А1д[3') = А1д(щг) Б^ г = к + 1,...,п; г =1,...,к.
Тогда
Бi = dxi ■ Б + c¡i|l ■ + <Ц2 ■ А¡д^ + ... + ■ А1д[3г). (6)
Далее, для всех г алгебраические дополнения соответствующих элементов последнего столбца Б\ будут равны, так как они определяются только первыми к столбцами общими для всех Таким образом, можно избавиться от индекса г в записи А1дГ3г). Договоримся обозначать
А1д™ = Мд^
для г от к + 1 до п.
Тогда выражение (6) можно переписать в виде:
Бi = dxi ■ Б + 1 ■ А1д1в) + ■ А1д2,3) + ... + ■ А1д[3). Следовательно, для слагаемых в правой части равенства (5) будем иметь
л, , , ч Бi л, . , , , л, . , , ( А1д\Б) А1д(^) А1д{кБ) \ А1д(ахн)^б = A¡g(dxi)■dxi + А1д(йхн) I qi|l—б--+ <^2—Б--+ " . + --Б— .
Выражение (5) можно после некоторой перегруппировки привести к виду: ™ ™ ( А1д($) А1д(Б) \
М =2^ А1д(с1хн)с1хн + ^ А1д(с!хн) Нф—^ + ... + Щк^^ . (7)
i=k + 1 i=k+1 \ )
Вспомним теперь, что
п
М А1д^х,,) ■ ¿х,/.
i=l
Тогда равенство (7) сводится к следующему:
Л ™ ( А1д(А1д(з) \
22А1д(сЪ№ — А1д^)\ + ... + = 0. (8)
i=1 i=k + 1 V )
Заметим, что для любого г от 1 до к справедливо равенство:
ххг = ххг Б =
О
= — 1 ^^Б—+... + —Б—1—Б—+ —Б—+ —^ . (9)
Это сразу следует из того факта, что для г от 1 до к определитель
¿х1 ¿х2 ... ¿х^ ... dxk ¿,х.1 1 ^ ... ... <1^1
<1^ <2^ ... ... 1
полученный добавлением к определителю Б элементов первой строки и последнего столбца, равен 0, так как его г-й и (к + 1)-й столбцы совпадают. В силу (9) равенство (8) можно записать так:
i=l
— £ А1д(¿ха) ( ^ + ... + .цн^ ) —
(Я)
п(
— £ A¡g(dxi) [<^1
i=k+1 \ п(
= — £ A¡g(dxi) ^т
i=l V
+ ... + <Цк
+... + <Цк
—1я13)
М3)
(10)
0.
Но (10) есть запись разложения, по первой строке определителя порядка п, у которого все строки, начиная со второй, совпадают с соответствующими строками определителя М, а первая строка есть линейная комбинация строк М со второй по (к + 1)-ую с коэффициентами
А1д[3) Б ''
Б
А значит, этот определитель равен нулю, равенство (8) справедливо, следовательно, справедливо и разложение (4). □
Приведенное свойство определителей будет использоваться при доказательстве следующей теоремы.
Положим х0 := (х0, ..., х"). Договоримся для краткости обозначать
х0)
<ц 1 ...в^ ...,х°)
(х<°,...,х0,хо), ,
для любых натуральных чисел s = 1, п — 1 и г = s + 1, п.
Для случайного вектора X = (Х1, ..., Хп) зафиксируем к < п — 1 переменных его функции распределения. Не ограничивая общности рассуждений, можем считать, что это первые к переменных х1, ... хн.
Теорема 3. Если для распределения Р1.п1(х1, ..., хп) все к-мерные условные квантили о
ЯцИк:(xl,...,Хk), г = к +1,п
обладают свойством воспроизводимости при сужении на одномерные условные квантили:
(х0) , (хл (х0), л (х
(х0) ( (х0)( ) (х0)( ) (х0)( )) <Ц1...к Щ2 (х2),х2,Яз\2 (х2),...,Ян\2 (х2))
^Цк (хк ^Я^к (хк ),...,<к-Цк (хк ),хк )
и определитель
<1\1 (х1) (х0)( )
<г\2 (х2) ) (хк )
(11)
Б
1
■(х0), , .(х0), ,
<21 (х1) ... <кЦ (х1)
(х0) (х0)
.Цк (хк) <2\к (хк) ...
= 0,
(12)
5
5
то поверхность, задаваемая к-мерными условными квантилями
,(х °) ^ „X °)
Г
к )(.Х1' ■■■,Хк ) = { (Х1, ■■■,хк, якЦ к (Х1> ■■■> Хк), ■■■,(1п\1) к(Х1, ■ ■ ■ ' Хк)) }
(13)
является решением размерности к квантильного уравнения Пфаффа (1).
Доказательство. Если ограничиться рассмотрением (к + 1)-мерного маргинального распределения вероятностей
Р1...кг(Х1, ■■■, Хк, Хг), то к-мерная условная квантиль
(х °) -
Ч\1...к (Х1 ¡■■■,Хк), г = к + 1,п (14)
будет выступать в роли "большой" условной квантили, соответствующей условной функции распределения Ег\1 ...к(хг\х1, ■■■, Хк). Таким образом, распределение Р1... к г (х1, ■■■, Хк, Хг) обладает свойством воспроизводимости "большой" условной квантили при сужении на "малые". Учитывая условие (12) и теорему 1, приходим к выводу, что для этого распределения "большая" условная квантиль (14) является решением квантильного дифференциального уравнения Пфаффа
юг(х1, ■■■, Хк, Хг)
¿Х1 1
¿Х2
¿Хк
¿Хг
Ч2\1 (Х1) ■■■ %\1 (Х1) % (Х1)
Ч{1Х )(Хк) № >(Хк) ■■■
( °) к
. ( х °)
1г\к
(Хк )
юг (Х1, ■■■,Хк, .' к (Х1, ■■■, Хк)) = 0, г = к + 1, п
(15)
Рассмотрим теперь квантильное дифференциальное уравнение Пфаффа для исходного распределения вероятностей
¿Х1 1
¿Х2 ( °)( )
ч2\1 (Х1)
ю(Х1, ■ ■ ^Хп) =
■ ■ ■ ¿Хк
( °)
■■■ Чк\1 (Х1)
¿Хп-1 1{п-1\1(Х1)
( ) ( ) Ч1\п-1(Хп-1) Ч2\п-1 (Хп-1 )
Ч\п-1
(Хп-1 )
1
qn\n—1
(Х1)
(Хп-1)
Используя лемму 1, левую часть этого уравнения можно разложить в сумму А1д^Хк+1) Л , А1д^Хп) , ,
ю(Х1, ■■■,Хп) = ----Юк + 1(Х1, ■ ■ ■ ,Хк ,Хк+1) + ■ ■ ■ +-----Юп(Х1, ■■■,Хк ,Хп)■
5
5
Отсюда в силу (15)
0^
w(xl,■■■,xk, як+1}1 ...к (х1, ■ ■ ■, Хк), ■■■,4^ 1,к (Х1, ■ ■ ■, Хк)) = 0^
А значит, поверхность (13) представляет собой интегральное многообразие для исходного уравнения Пфаффа (1). □
Замечание 2. При выполнении условий теоремы квантильное уравнение Пфаффа (1) имеет решение размерности к. Следовательно, максимально возможная размерность интегрального многообразия уравнения больше или равна к, а значит, класс Дарбу 1-формы ш меньше или равен 2(п — к) — 1.
0
1
т. е.
|1
п
( °)
( °)
Замечание 3. Если класс Дарбу дифференциального квантильного уравнения Пфаффа (1) равен 2(п — к) — 1, то при выполнении условий теоремы поверхность (13) является интегральным многообразием уравнения (1) максимальной размерности, проходящим через точку ж0.
Замечание 4. Если к условиям воспроизводимости (11) добавить условие
(ж0) ( (ж0) ( ) (ж0) ( )ч (ж0) ( )
то интегральное многообразие (13) примет вид:
'( (ж0) ( ) (ж0) ( )
х1, ...,хк, ?к+1\1 ...к(х1 ,---,хк), ■■■,Чп-1\1 ...к(xl,•••,xk),
„(ж0)
х1 ,
хк ,Чк+1\1 ...,к (х1, • • • , хк ), . . . , ?Пж1)1 ...к (хъ • • ■,хк)У) }
„(ж0)
и, таким образом, будет являться частью поверхности, задаваемой "большой" условной квантилью
х1, х2, •.
( ж0)
ЧП \ 1... ?
,хп-1, ЧП\ 1 ...п — 1(хь • •
. , хп-1
)
7. Пример смеси 5-мерных распределений Коши, не обладающей воспроизводимостью условных квантилей
Для иллюстрации предыдущей теоремы рассмотрим смесь двух 5-мерных распределений Коши с плотностью распределения, задаваемой выражением:
12
/ (х1, х2,хз, х4, хб) = з с(1) (х1, х,2, хз, х4, хб) + з с(2) (х1, х,2,хз, х4, хб) .
где
с(1) (х1, х2, хз, х4, хб) с(2) (х1, х2, хз, х4, хб)
3
12^15
^3(1+ж?+3ж2+4ж| + 45 ж|-15Ж4Ж5 + 9 ж§) 40У3
П3(1 + Ж12+3Ж22+4Ж32+Б0Ж42+40Ж4Ж5 + 10Ж52)3 • Составляющим смеси соответствуют матрицы точности:
Т1 =
Плотность 4-мерного маргинального распределения смеси /(х1, х2, хз, х4, хб) представляет собой плотность распределения Коши
/1234 (х1,х2,хз,х4) = С(112)34 (х1,х2,хз,х4) = с^ (х1,х2,хз,х4) =
1 0 0 0 0 \ 1 0 0 0 0 \
0 3 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 4 0 0 , Т2 = 0 0 4 0 0
0 0 0 45 2 15 2 0 0 0 50 20
0 0 0 215 2 92 2 / 0 0 0 20 10 /
з%/ТБ
п2^/2(1 + х12 +3х22 +4хз2 + 10х42) 5/2 с диагональной матрицей точности
Т(12з4)
1 0 0 0 \
0 3 0 0
0 0 4 0
0 0 0 10 /
п 1 ... п 1
3
В работе [7] показано, что многомерные распределениия Стьюдента и Коши обладают свойством воспроизводимости условных квантилей при сужении на условные квантили меньшей размерности. Поэтому для всех маргинальных распределений плотности (хг, Х2, хз, Х4) будет выполняться свойство воспроизводимости условных квантилей.
Вычислим коэффициенты квантильного дифференциального уравнения Пфаффа для распределения с плотностью / (х1,х2,хз,х4,х5). Составим для этого определитель ш.
Выпишем матрицы точности, соответствующие двумерным плотностям составляющих смеси:
Г(12) _ т(12) _
(23)
: Т2
(23)
(15)
: Т2
(15)
, , /45 Т(45) I ~ Т1 _ ( 15
1 0 0 3 3 0 0 4 10 0 2
„2
Т(13) _ Т(13) _ Т2 _
Т(24) _ Т(24) _ Т2 _
Т(25) _ Т(25) _
Т(45) _ Т2 _ / 50 20 20 10
1
0 3 0 3
02
04 0 т(14) _ Т(14) _ Т2 _
100 т((34) = _ Т(34) _ - Т2 _
0 0 • Т(35) _ Т(35) _ Т2 _
10 0 10 40 0 10 40 02
Вычисляя двумерные и одномерные маргинальные плотности исходного распределения, нетрудно получить равенства
л/3 Х2 1
Р2\1 (х2\х1) = —?= 2 о 2 + 2, РЩ1(хз\х1) 2\/1 + х2 + 3x2 2
V5 х4 , 1 г ( I )
+ 2, ь5\1(хъ\х1)
хз
1
у/1+ х2 +4x2 2
F4\l(x4\ Х1)
Х5
лДу/Т+Х^ТЩ 2
1
х1 1
^\2(х1\х2) = —т= 2 0 2 + 2 , Щ2(хз\х2 ) = 2у/1 + х2 + 3x2 2
V5 х4 , 1 Г ( I )
+ 2, F5\2(x5\Х2) =
F4\2 (х4 \ Х2 )
\Т2^1 + 3x2 + 10x4 2'
^\з(х1\^ =
F4\3 XI^^з) =
Xl
2^1 + x2 +4x22 2
+ о, з ^ ^ =
уДу/1 + ^2 +2x2 2
xз__
^1 + 3x1 + 1x1 2;
_X__
VI + 3x2 + 2x2 2; л/3 X2
1
2у/1 +3x2 +4x3 2
X4
^2^/1+ 4x2 + 10x4 2
+ 2, F5\з(x5\xз) =
X5
1
+ «;
Fl\4(xl \ X4)
Xl
1
21 + X2 + 10x1 2 Fз\4(xз\X4) =
+ -, F2\4(X2\X4)
^^тгщгщ 2
а/3 X2
1
+ 7;;
2у/1 + 3x2 + 10x4 2
:сз
F5\4(x5\X4) = 1 О^^ X4) + 3 С(2)Ы X4) = -5x4 + 3x5 , \/T0(2x4 + X5)
1
у/1 + 4x23 + 10x4 2;
2
+
1
+ ^ ■
3 \2у/2 + 45x1 - 30x^5 + 9x1 У/1 + 50x4 + 40x^5 + 10x1 I 2
2 2
1
Большая часть производных двумерных условных квантилей вычисляется легко:
Лх1,х2) __
• (х1,х3 )
•3|1
Ах2,х3) __
•2|3
■(х2,х4)
а4|2
•(х1,х5 )
а5| 1
3х1 х2 1+3х2 ' х1хз
1+х2'
4х2хз 1+4х2 ' 3х2 х4
1+зх2'
х1 х5
l+Xf,
•(х1,х2) •2| 1
•(х1,х4) _
•1|4
• * (х2 ,х3 ) _
•3|2
•(х3,х4) _
•3|4
•(х2,х5)
•5|2
_ х1 х2 " 1+х2' 10х1х4
1 + 10х2' 3х2 хз 1+3х2 ' 10хзх4 1+10х2' 3 х 2 х 5 1+3х2 '
•(х1,х3) _
•1|3
•(х1,х4)
• 4| 1
•(х2,х4) _
•2|4
• (х3,х4)
•4|3
• (х3,х5)
• 5| 3
4х1х3 1+4х2 '
_ х1 х4
" 1+х2' 10х2 х4
1+10х4 4х3х4 1+4х2 ' 4х3х5 1+4х2 •
Вычислим е?5?4'х5). Для этого отметим, что условная квантиль
0)
(16)
(Ж4) удо-
влетворяет системе:
{ Р 5|4 ( •(х44,х5) (х4)
х^ = р5|4 х4) •5(х44'х5) (х4) =
Дифференцируем первое равенство по Х4, подставляя Х4 = х0 , и, используя второе равенство системы, приходим к выражению
^ 5 (*4) =
2^10 (-1 + 5x4x5) (2 + 45x4 - ЗОЖ4Ж5 +9ж§) 3/2 +5 (1 + 6x4x5) (1 + 10 (5x2 + 4x4x5 + х§)) 3/2
(1 + 10x4) (-/ТО (2 + 45x2 - 30x4x5 + 9x2) 3/2 + 3 (1 + 10 (5x4 + 4x4x5 + x5)) 3/2)
(17)
Квантильное уравнение Пфаффа
(х1) (х2 )
(Х4)
с учетом равенств (16) и (17) принимает вид:
<Х1 <Х2 <Х3
1 •(х1,х2) •211 (х1) •3х!х3)
•(х1 •1|2 ,х2) (х2 ) 1 •3Ц ,х3)
а(х1 •1|3 ,х3) (х3) •(х2,х3) •2|3 (х3) 1
•(х1 • 1 | 41 ,х4) (Х4) •(х2,х4) •2|4 (Х4) •3Ц ,х4)
¿Х4
^ 'х4) (Х1) •4х22,х4) (Х2)
• (х3,х4)
•4|3
1
(Х3)
¿Х5
,х5) (Х1) •5х22'х5) (Х2)
•(х3,х5)
•5|3
•5х44,х5) (Х4)
(Х3)
<Х1 <Х2 <Х3 <Х4 <Х5
1 3х1х2 х1х2 х1х3 х1х4 х1х5
1 + (х1)2 1 4х2х3 1+(х1)2 3х2х3 1 + (х1)2 3х2х4 1+(х1)2 3х2х5
1+3(х2)2 4х1х3 1+3(х2)2 1 1+3(х2)2 4х3х4 1+3(х2)2 4х3х5
1+4(х3)2 1+4(х3)2 1+4(х3)2 1+4(х3)2
10х1х4
10х2х4
10х3х4
1+10(х4)2 1+10(х4)2 1 + 10(х4)2
1 •5х44,х5) (Х4)
(18)
Или
(1+ х\)
(1 + Зх2) (1+4х|) (1 + 10Х
(х4,х5)
= — (1 + 10х4) (Х5 — Х4^5х4 ^^ (х4))(х1 ¿Х1 + 3x2dx2 + 4х3^х3)+
+ ^10 (х2 + 3х2 + 4х2) х4х5 — (1 + х1 + 3х2 + 4х2) (1 + 10х|) (х4)) dx4+
+ (1 + х\ + 3х2 + 4х| + 10х4) <х5 = 0^
Для того чтобы определить максимальную размерность решения квантильного уравнения Пфаффа, вычислим класс Дарбу формы и. Вычисления показывают, что
<и = 0;
0
х
5
0
0
и =
и
Аи = — (1 + х2 + 3х2 + 4х| + 10х4) (Х1<Х1А<Х4А<Х5+3Х2<Х2А<Х4А<Х5+4Х3<Х3А<Х4А<Х5)Х
, 2 2ч 363\/10л/(2 + 45х42 — 30х4х5 + 9х52)(1 + 50х42 + 40х4х5 + 10х52)
х(5х4+10х4х5+х5)-—---^-'—;
4 3(1 + 50х42 +40х4х5+ 10х52)3/2 + л/10(2 + 45х42 — 30х4х5 + 9х52)3/2
А = 0^
Нетрудно показать, что
(2 + 45х42 — 30х4х5 + 9х52)(1 + 50х42 + 40х4х5 + 10х52) > 2, поэтому внешнее произведение <и А и может обращаться в нуль только в точках
5
множества
V := {(х1, Х2, Х3, Х4, Х5) : Х1 = Х2 = Х3 = 0}и{(х1, Х2, Х3, Х4, Х5) : 5х| + 10х4Х5 + х;2 = 0} • Так как для смеси двух 5-мерных распределений Коши
Р {(Х1, Х2 , Х3, Х4, Х5) € V} = J ! J ! J / (Х1, Х2, Х3, Х4, Х5) <Х1 <Х2 <Х3 <Х4 <Х5 = 0,
V
Р { <и А и = 0} = 1
(19)
Итак, класс Дарбу формы и почти наверное равен 3, максимальная размерность решения квантильного уравнения Пфаффа (18) также почти наверное равна 3.
Используя лемму 1 (к = 3, п = 5) и сокращенные обозначения для производных условных квантилей, запишем равенство
+
<Х1 <Х2 <Х3 <Х4 <Х5 1 • 211 •3|1 •4|1 •5|1 • 3| 2 • 4| 2 • 5| 2
•1|2 1
•1|3 • 2|3
•1|4 • 2|4
1 •2|1
• 1|2 1
• 1|3 ^3
•1|4 •2|4
• 4| 3 1
1
• 3| 4
• 3| 1 • 4| 1
• 3| 2 • 4| 2 1 • 4| 3
• 3| 4 1
1 •2|1 •3|1
•1|2 1 <?3| 2
•1|3 ?2|3 1
1 •2|1 •3|1
• 1|2 1 •3|2
• 1|3 •2|3 1
• 114 ^2|4 Щ4
•5| 1 •5| 2 •5| 3 •5
1
• 1|2 • 1|3
•2|1 1
•2|3
• 3| 1
• 3| 2 1
•5|3 • 5| 4
<Х1 <Х2 <Х3 <Х5
1 • 2| 1 • 3| 1 •5|1
•1|2 1 • 3| 2 •5|2
•1|3 • 2| 3 1 •5|3
<Х1 <Х2 <Х3 <Х4
1 • 2| 1 • 3| 1 •4| 1
•1|2 1 <?3| 2 ?4|2
• 1|3 • 2|3 1 •4|3
+
то
и
5Заметим, что лебегова мера (в М5) множества ^ равна нулю.
Отсюда по формулам (16) и (17) будем иметь
1 д2\1 д3\1 д4\1
д1\2 1 д3\2 д4\2
д1\3 д2\3 1 д4\3
д1\4 д2\4 д3\4
1
1 Ч2\1 Ч3\1 д1\2 1 д3\2 д1\3 д2\3
1
1 + х12 + 3х22 + 4х32 + 10х42 (1 + х12 + 3х22 + 4х32)(1 + 10х42)'
1 Ч2\1 Ч3\1 Чъ\1
д1\2 1 д3\2 д5\2
Ч1\3 Ч2\3 1 Ч5\3
Ч1\4 Ч2\4 Ч3\4 45 4
1 д2\1 д3\1 д1\2 1 д3\2 д1\3 д2\3
1
д^4'*^ (х4) (1 + х12 + 3х22 + 4х32)(1 + 10х42) - 10(х12 + 3х'22 + 4х32)х4х5
1х1 1х2 1х3 1х5
1 д2\1 д3\1 д5\1
д1\2 1 Ч3\2 д5\2
д1\3 Ч2\3 1 д5\3
1х1 1х2 1х3 1х4
1 д2\1 д3\1 4 4 \ 1
д1\2 1 д3\2 д4\2
д1\3 д2\3 1 д4\3
(1 + х12 + 3х22 + 4х32)(1 + 10х42) х5 <1 (х\ + 3х2 + 4х3)
(1 + х2х + 3х2 + 4х23)
2(1 + х2)) (1 + 3х2) (1 + 4х3) (1 + х2) (1 + 3х2) (1 + 4х3)
х4
<х
1 + 3х2
+ 4х3)
1+
'1 3х2
+ 4х3
2(1 + х1) (1 + 3х2 ) (1 + 4х3) (1 + х1) (1 + 3х2 ) (1 + 4х3)
<1х5,
<1х4
а квантильное уравнение (18) можно переписать в виде
х5(1 + х12 + 3х22 + 4х32 + 10х42) ' (1 + х1) (1 + 3х2) (1 + 4х2) (1 + 10х42)
<1 х + 3х2 + 4х23)
1х5
2(1+ х12 +3х22 + 4х32) х5
+
+
х4(д5х44'х5) (х4) (1 + х12 + 3х22 + 4х32)(1 + 10х42) - 10(х12 + 3х22 + 4х32)х4х5)
(1 + х21) (1 + 3х2) (1 + 4х2) (1 + 10х42)
< х21 + 3х22 + 4х23 2(1+ х12 +3х22 + 4х32)
1х4 х4
0.
Учитывая равенства 1
<1 х + 3х2 + 4х23) 2(1 + х12 + 3х22 +4х 32)
1 1 2 ^2 2 \ 1л / 2 \ \ 1 (х 1 + 3х2 + 4х
2(1 + х12 + 3х22 + 4х32) квантильное уравнение (18) можно записать в следующем виде:
1 / \ 1
11п /1 + х2 + 3х2 + 4х3\ - 11п /х2 ^ 11п /1 + х2 + 3х22 + 4х23\ - ^1п /х\
1х5
х5 '
1х4 х4
11п /1 + х2 + 3х2 + 4х3\ - 11п [х^\ ^ +
х
X
x4(^ы4'^0 (x4) (1 + + 3x2 + 4жз)(1 + 10x4) - 10(x? + 3x2 + 4x3)x4x5) +--'-
x5(1 + x? + 3x2 +4x2 + 10x2)
Введем функции
^ 1 ln (1 + x2 + 3x2 + 4x2) - 1 ln (x4)^ = 0.
Vi = 2 ln (1 + x? + 3x2 + 4x^ - - In (x5)
У2 = 11п (1 + х1 + 3х2 + 4х3) — 2 1п (х4) ,
х^м4 х5) (х4) (1 + х2 + 3х2 + 4х2)(1 + 10х4) — 10(х2 + 3х2 + 4х3)х4х5)
х =---
х5 (1 + х1 +3х2 + 4хд + 10х2)
Тогда квантильное уравнение Пфаффа можно представить в следующем виде:
<у1 — х<у2 =0^ (20)
Покажем, что это уравнение являет собой каноническое представление исходного квантильного уравнения (18). Для этого найдем ранг матрицы Якоби функций
У1, У2, х
/ ду1 ду1 ду1 ду1 ду1
J
Вычисления показывают6, что
Bxi дх2 дхз дх4 8x5
ду2 ду2 ду2 ду2 ду2
8xi дх2 дхз дх4 дх5
8z 8z 8z 8z 8z
\ дх1 дх2 дхз дх4 дх5 '
rank J =3,
за исключением точек множества D, т. е. аналогично равенству (19) будем иметь
P { rank J = 3} = 1.
Таким образом, на множестве R5 \D функции yi, y2, z независимы, а равенство (20) есть каноническое представление квантильного уравнения Пфаффа (18). Запишем первые интегралы квантильного уравнения (20) :
y1 = 1 ln (1 + x? + 3x2 + 4x2) - - ln (x2) = - ln C? = const,
V2 = 1 ln (1 + x? + 3x2 + 4x2) - - ln (xl) = - ln C = const.
Тогда S(x°) — интегральное многообразие максимальной размерности, проходящее через точку
° _( ° ° ° ° ° \
x — (x i, x2, x3, x4, x5),
задается равенствами
= ° 1 + x? +3x2 + 4x3 x4 = x4V 1 + (x?)2 + 3(x°)2 + 4(x°)2 5
= ° I 1 + x? +3x2 + 4x3 x5 = x5V 1 + (x?)2 + 3(x°)2 + 4(x°)2 .
6 Использовалась система MATHEMATICA-8.
X
X
Или
0. \ 0 I 1 + х2 + 3х2 +4х2 п I 1 + х2 + 3х2 +4х3
й(х ) = < Х1, Х2, Х3, х4^ 3 3
1 + (х^)2 + 3(х^)2 +4(х§)^ 5 у 1 + (х^)2 + 3(х^)2 +4(х3)2
Вычислим условные квантили •4112'3 (х1,Х2) и 112"3 (х1,Х2) :
(х°) ( ) = о 1+х1+3х2+4х2
•4| 123 (Х1,Х2,Х3) = х4\! 1 + (х°)2+3(х^)2+4(х^)2 , (х°) ( ) = о /~ 1+х2+3х2+4х2 ~
•5| 123 (Х1,Х2,Х3) = х5\/ 1 + (х◦ )2+3(х^)2+4(х^)2 •
Таким образом,
Й (х 0) = {( Х1, Х 2, Х3, •4^3 (х 1, Х2, Х3), а5i^23 (х 1, Х2, Х3^| •
Итак, поверхность, задаваемая 3-мерными условными квантилями, представляет собой решение максимальной возможной размерности три квантильного уравнения Пфаффа.
Наконец, заметим, что для этих 3-мерных условных квантилей выполняется свойство воспроизводимости при сужении на одмерные условные квантили. Нетрудно убедиться в том, что и 2-мерные условные квантили
(х°) ( ) = 0 1+х2+3х2 •3| 12 (Х 1, Х2) = х3\/ 1+(х°)2+3(х°)
„(х0) Х Хо) = х0 I 1+х12+3х^ ; •4| 12 ^Ь х2) — х4 у 1+(х0)2+3(х2)2 '
а(х0) (х Х о) = Х 0 I 1+х12+3^^~ •5| 12 ^Ь хV — х5 у 1+(х0)2+3(х2)2
также являются решениями квантильного уравнения Пфаффа
/ (х°) . Ч (х°Ь Ч (х°Ь
^ I Х1, Х2, д3| 12 (х 1, Х2) , •4|12 (х 1, х2) , 12 (х 1, Х2)1 =0
и что для этих условных квантилей также выполняется свойство воспроизводимости при сужении на одмерные условные квантили.
Проверим теперь, лежат ли найденные решения квантильного уравнения Пфаффа на "большой" условной квантили.
Вычислим Р5|1234 (х5| Х1, х2, Х3, Х4). Поскольку
с { | ч >(х1,х2,х3,х4,х5)
/5|1234 (х5 I x1, х 2, х3, х4) = >1234(х1 ххх) =
= # (1 + х12 + 3х22 + 4х32 + 10х42) 5/2-• (_4_+
1 + х12+3х22+4х32 + 45242-15х4х5 + ^Х5-2)3 + 80
л/45 ^(1+х12+3х22+4х32+50х42+40х4х5 + 10х52)3, произведя преобразования, получим
/х5
/511234 (у| Х1, Х2, Х3, Х4) <у =
- ^
8 81 (х1 ,х2,х3:х4,х5) 1 16 Я2 (х1 ,х2 ,х3,х4,х5) 1
<и + -— I -3 <и,
(и2 + 1)3 9п]_ж (и2 + 1)3
где
(Ж1 ,Х2, Х3Х4, Х5) = 6^1 + Ж12+3Ж22+4Жз2 + 10ж42 , «2 (Х1, Х2, Х3,Х4, Х5) = ^10^1 + з 1220+Ж3+2120Г4зз2 + 10з42 '
"Большая" условная квантиль <3'5З4 (х1, Х2, Х3, Х4) является решением уравнения 11234 (Х5 | Х1, Х2, Хз, Х4) = ^5|1234 (х5|х°, Х°, хЗ, х4)
относительно Х5.
Теперь заметим, что
«1 ^Х1, Х2, Х3, (Х1,Х2,Х3), ^ (Х1,Х2,Х3^ = в? (х?, х2, х3, х0, х°) ,
Х2, Х3, (Х1, Х2, Х3), 95(*23 (Х1, Х2, Х3^ = Й2 (х?, х2, х3, Х°, Х°) .
Следовательно,
(ж °Ь ч (ж °Ъ Л!
Х1, Х2, Х3, 94| 123 (Х1, Х2, Х3), 95| 123 (Х1, Х2, Х3) I > С С | ^ХЬ Х2, Х3, Х4, 9(|?234 (Х1, Х2, Х3, Х4^ | . Таким образом, имеет место воспроизводимость "большой" условной квантили
(Ж0) (X0) (ж0)
9б 11234 при сужении на пару 3-мерных условных квантилей 941123 и 951123. Кроме того, нетрудно убедиться в справедливости равенств
«1 ^ХЬХ2, 93|?2) (Х1,Х2), 9ц12) (Х1,Х2) ,9(Х12) (х?,Х2^ = в? (х?, х2, х°, х0, Х5) ,
«^Х1,Х2,9(Ж2 ) (х? , Х2) , ^4 |12 ) (Х1,Х2) ,Чц12) (х?,Х2^ = в? (х?, х2, Х°, Х°, х5) ,
(X 0)
которые влекут за собой воспроизводимость "большой" условной квантили | ^4
(X0) (X0) (X0)
при сужении на тройку 2-мерных условных квантилей 93112 , 94112 и 95112 .
Литература
[1] Комлев А.Н., Шатских С.Я. Условные распределения вероятностей как преобразования независимости случайных величин // Вестник СамГУ. 2007. № 6(56). С. 204-222.
[2] Шатских С.Я. Необходимое условие воспроизводимости условных квантилей многомерных вероятностных распределений // Изв. РАЕН. Сер. МММИУ. 2000. Т. 4. № 4. C. 67-72.
[3] Орлова И.С., Шатских С.Я. Дифференциальные уравнения Пфаффа для условных квантилей многомерных вероятностных распределений // Вестник СамГУ. 2010. № 2(76). С. 32-46.
[4] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: МИР, 1971. С. 302.
[5] Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 28. С. 297.
[6] Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973. C. 188.
[7] Шатских С.Я., Кнутова Е.М. Воспроизводимость условных квантилей многомерного распределения Стьюдента // Известия РАЕН. Сер. МММИУ. 1997. Т. 1. № 1. C. 36-58.
[8] Мелкумова Л.Э., Шатских С.Я. Решение уравнений Пфаффа для условных квантилей при отсутствии полной интегрируемости // ВШКСМ/ВСППМ'2011. Адлер, 2011. Вып. 5.
[9] Bhattacharya P.K. On an analog of regression analysis. // Annals of mathematical statistics. 1963. V. 34. № 4. P. 1459-1473.
[10] Bhattacharya P., Gangopadhyay A. Kernel and Nearest-Neighbor Estimation of a Conditional Quantile. // Annals of statistics. 1990. V. 18. № 3. P. 1400-1415.
[11] Chaudhuri P. Global nonparametric estimation of conditional quantile functions and their derivatives. // Journal of multivariate analysis. 1991. № 39. P. 246-269.
[12] Poiraud-Casanova S., Thomas-Agan Ch. Quantiles conditionnels // Journal de la Societe Francaise de Statistiques. 1998. V. 139. № 4. P. 31-41.
Поступила в редакцию 20/I/2012; в окончательном варианте — 20/I/2012.
SOLVING NOT COMPLETELY INTEGRABLE QUANTILE PFAFFIAN DIFFERENTIAL EQUATIONS
© 2012 L.E. Melkumova, S. Ya. Shatskikh7
The present work deals with quantile Pfaffian differential equations which are constructed using two-dimensional conditional quantiles of multidimensional probability distributions. As it was shown in [3] in case when the initial probability distributions have reproducible conditional quantiles this kind of Pfaffian equations is completely integrable and the integral manifold is the conditional quantile of maximum dimension. In this paper we discuss properties of integral manifolds of maximum possible dimension for quantile Pfaffian equations which are not completely integrable. Manifolds of this type are described in terms of conditional quantiles of intermediate dimensions.
Key words: multidimensional probability distributions, conditional quantile reproducibility, quantile Pfaffian equations, Darboux class of differential 1-forms, first integrals, manifolds of maximum dimensions, mixture distributions.
Paper received 20/I/2012. Paper accepted 20/I/2012.
7Melkumova Lana Eduardovna (lameauni-smr.ac.ru), Shatskikh Sergei Yakovlevich (shatskih@ssu.samara.ru), Dept. of Theory Probability and Mathematical Statistics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
