Решение краевой задачи со смещением для обобщенного волнового уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 Л.Р. Гайсина

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Для обобщенного волнового уравнения поставлена и исследована новая краевая задача с нелокальным условием, содержащим обобщенный оператор дробного интегродифференцирования, носителем которого является характеристическая часть границы области. Доказана однозначная разрешимость рассматриваемой задачи.

Рассмотрим уравнение

LU = Uxx -Uyy -- 12U = 0, (1)

где Я = constф 0, 0<2p < 1, в характеристическом треугольнике W с вершинами в точках А(0,0), В(1,0), С(0.5,-0.5).

Постановка задачи DS - 1. Найти функцию U(x,y), удовлетворяющую условиям: LU ° 0 в области W;

U(x, y) е C(W) n C 2(W); (2)

U (x,0) = t (x), 0 < x < 1, (3)

А^-чи[0о(х)] = Л2(г0++1-р,р+А-1,-ах-V)(х) +у(х), 0 < х < 2, (4)

где V (х) = 1-2р ^ (- у )2 риу (х, у), 0 < х < 1,

7 Г )(х) - обобщенный оператор дробного интегродифференцирования М.Сайго [4]; в0( х)-аффикс, то есть точка пересечения характеристики, выходящей из точки (х,0), с характеристикой АС; Л1,Л2- постоянные коэффициенты; у(х),т(х) - заданные функции, причем г(х),у(х) е С[0,1] п С2(0,1) и т(х) е Нл[0,1], 1 - 2р < 1 < 1; у(х) е Н^[0,1], 1 + * - р < 12 < 1,

о < * < р, д > 1.

Постановка задачи - 2. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (1), условию (2) и, кроме того, условиям

( л ^р

' 4 " (5)

lim

y®0

1 Y Р

(- У )2 PUy (x, y) = v(x), 0 < x < 1;

1 - 2 p 0

Лз10+,А,-«2и[в0(х)] = Л4(10+++р,р+Ахр-1т)(х) + р(х), 0 < х < 2, (6)

где т (х) = и (х,0), 0 < х < 1; Л3, Л4 - постоянные коэффициенты; р (х)^ (х) - заданные функции, причем р (х) е ф,1]п С2(0,1) и v(x) е Н1з(0,1), р(х) е Нл[0Д], а2 + р < 14 < 1, 0 < а2 < р,

¡2 > 1 - р .

Для уравнения (1) М.Б. Капилевичем в работе [1] получено решение задачи Коши с данны-

lim

y®0

( 1 V Р

U (x,0) = t (x), 0 < x < 1;

(- y)2PUy(x,y) = n(x), 0 < x < 1,

1 - 2 P.

которое в характеристических координатах x + y = X , x - y = h имеет вид

U(X ,h) = K(h - X)1-2P ft(z)(z - X) p-1(h - z)P-1 J p-1 [Яд/(z - X)(h - z )]dz -

X

- g2 J n (z)(z - X)-P (h - z)-PJ -P [(z - X)(h - z)], (7)

ми

где ^ (7) = Г(п +1)| 2 | ^ (7); (7) = £

( 2_2 Л

у'4, £1(1+п) к

- функция Бесселя-Клиффорда [2];

; '2г 2=г2(2 - 4 Р)2

Г (Р) Г (1 - р)

Н.И. Бакиевичем [3] доказано, что если функции т (X) и V (X) дважды непрерывно дифференцируемы при 0 < X < 1, т(X) непрерывна при 0 < X < 1, а V (X) обращается в бесконечность порядка меньше, чем 1-2р, при X - 0 и X -1, то формула (7) дает регулярное решение задачи Коши для уравнения (1).

Подставляя в решение задачи Коши значения X - 0,Ц - х, получим

и[Я0 (х)] - 71 х1"2Р |т(2)2 Р-1 (х - 2) Р-13р-1 [2(х - 2 )}/2 -

0

- 72 |п(2)2"р (х - 2)-р3-р [2(х - 2)] (8)

0

Введя новые обозначения т1(2) - т(2)2р-1, п1(2)-V(2)2-р и воспользовавшись тождеством [3]

(х - о-п 3-V [я^г(х - г)]- ^(х - 5)-" 30 [г(5 - г (V < 1),

перепишем (8) в виде

|!2 -

и[00 (х)] - 71 х1-2р |т 1 (2) ^|(х - 5)р-130 [*(5 - 2)] 0 |_ 2

- 72 Jv 1 (2) 11 (х - 5)-р30 [2(5 - 2)/]

Рассмотрим интегралы, входящие в состав (9):

'1 - 1т 1 (2) 1 (х - 5) р-130 [Ял/2(5 - 2)] <Ь, '2 - 1vl(2) ^ 1 (х - 5)-р30 [2(5 - 2)]

(9)

!2.

Применим последовательно к интегралам '1 и '2 : формулу дифференцирования интеграла по параметру, перемену порядка интегрирования, интегрирование по частям и опять дифференцирование интеграла по параметру. В результате получим:

!х

1т1 (2)1 (х - 5)р-130 2(5 - 2)] С15С12 - ! 1 (х - 5) р-11 1т1 (2)30 [2(5 - 2)]

Л

!5 -

!х

1т 1(2)30 [2(5 - 2 )]

1

(х - 5)р

! 5

V & 0

5 __Л

1 т1 (2)30 _Я^/2(5 - 2)] ё2 !

й5 > -

х ( Л 5 Г 1 Л х

1 (х - 5) р-1 — 1т1(2)30 [[ 2(5 - 2 )] !5 -1т2(5)(х - 5)р-!

V !5 0

где

Аналогично ■ -

2

т2(5) - ! 1т1 (2)30[2(5 - 2)].

!5 0

АЛ р , ! х ( 5

^(2^ (х - 5) " р3 0 [[ 2( 5 - 2 )]/2 - -1 (х - 5)-р | ^(2)3, _Я^/ 2 (5 - 2

d_

dx

( X -;

xi-p s * -, ö x (x p œ d s ö

^— fn\(гУо[z(s - z)] + f. s) — fvi(z)Jo UVz(s - z)ûdz a 1 - p 0 0 1 - p è ^ 0

ds ^ =

X d s Г 1 ö X

[ (x - s)-p — fn1(z)Jo [ z(s - z )]]z ds = fn2(s)(x - s)-pds,

è ds o

где

n2 (s) = d fn 1 (z)Jo [z(s - z)] .

ds 0o

Перепишем выражение (9) с учетом преобразованных интегралов i и i2 :

x x

у [0 ( x)] = 71x1-2 p ft 2 (s)( x - s) p-1ds - 72 [n 2 (s)( x - s)-pds,

(11)

или

(12)

(13)

U [во (x)] = 71 x1-2 pr( p)(i p+t 2 )(x) - Г2Г(1 - p)(l0+pn 2 )( x), где (lo+j )(x) - дробный интеграл в смысле Римана-Лиувилля [2]. Используя краевое условие (4), получим

A (i«/-« 71 x1-2 p Г( p)(i p+t 2 ))( x) - A1 (i«/1'-« 72 G(1 - p)(io-+pn 2 ))( x) = = A2 (io++1-p■ p+A -1-a x - pn )( x) + y ( x). Воспользовавшись известными свойствами операторов дробного интегродифференцирова-ния [4]

(l0V,c/)(x) = (i /x), a > o; (i t-,cf\x) = x^ (i0;-0-c,-0-b )(x), a > o,

перепишем (13) следующим образом:

Arr(p) (i?;A'-a (ipr1,ot2 )) (x) - А172Г(1 - p) (i«++1-fa+p-1,-04 ) (x) = a2 (io++1-p,p+b1 -1,-a x- ) (x)+y (x)

или

А7Г p) (io+

+fA+p-1,-«1t

2 ) ( x) - А^Щ - p) (i«++1-+f-1'-0in 2 ) ( x) =

= A2 (i«++1-f-f+a -1'-a x-pn ) (x) + y (x). Применяя к обеим частям (14) обратный оператор

(14)

[(i

«1+1-рД + p-1,-«

o+

n 2 )( x)]-1 =(i

_ h p-^-u-A-p.1-p

n

)(x)

получим

Л172^(1 - p)v2 (х) + Л2х-V(х) = Л171Г(р)^-1'0'1-Т)(х) - (1р+-1-^,1-Ь1-рД-ру)(х). (15) Вернемся к выражению (11), которое можно записать в виде

х д_ дх

0

Используя известные свойства функций Бесселя [2]

а'

n2 (x) = n 1 (x) + fn1 (t) Jo [t(x -t )].

o dx

ойства функций Бесселя [2] (z ±n Jn (z))=± z ±n Jn .1( z), Jn ( z) =r(n + 1)Ç | j Jn ( z):

получим следующую формулу:

_d

dx

Следовательно,

Jo

[ä^^x- )]=J1 [ivtcx-1)]

Ät X2t

2 д/1 (x -1 ) 4

J

1 [lVt(x-7 )].

12 г _ 1

n 2 ( x) = n 1 (x) + — fn 1 (t J [1 (x -1 )] .

4 oo

Ввиду справедливости (17) и равенства n1 (x) = n (x)x-p, из (15) имеем

x

n1 ( x) + B1 fn 1 (t )K ( x, t)dt = / (x),

(16)

(17)

(18)

o

o

где K(х,г) -3[я^Нх-)], f(x) -B2(12+р-1,0,1-рт2)(х)-Bз^р-1-"1,1-51-рЛ-ру)(х),

В я2 ^172Г(1 - р) _ ЛкЦ р) _ 1

В1 ---Г-, В 2 --г-, В3 --—-.

4 ^2 + А72Г(1 - р) А2 + Л{72Г(1 - р) А2 + А172Г(1 - р)

Равенство (18) - это уравнение Вольтерра второго рода. Таким образом, мы свели «в смысле однозначной разрешимости», решение нашей задачи к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

Из общей теории уравнений Вольтерра [5] следует, что данное уравнение допускает единственное непрерывное решение, если его ядро К (х,г) и правая часть f (х) являются непрерывными в целом функциями, причем особенности должны иметь порядок меньше единицы.

Исследуем вопрос о разрешимости уравнения (18). Учитывая, что функция Бесселя [2] представляет собой ряд, который сходится на всей плоскости комплексного переменного, и, следовательно, представляет целую функцию, имеем ядро К(х,г), непрерывное в квадрате 0 < х,г < 1.

Выясним поведение правой части f (х) уравнения (18). Используем лемму, доказанную в работе [6]:

Лемма 1 [6]. Пусть 0 <-" < Я < 1 и / < шт[0,^ +1]. Если р(х) е Ня[0,1], то

I"/((х) е Н тт[Я+",-5][0,1].

На основании леммы при т2(х) е Н^[0,1], 1 - 2р < Я1 < 1; у(х) е Н12 [0,1], 1 + "1 - р < Я1 < 1 имеем (10+р-1Д1-рт2) (х) е Нтп[Я+2р-1'0][0,1], (1 Р+-1-«1,1-51-р,1-ру)(х) е Нт1п[Я+р-«1-1,р+А-1][0Д], причем /1 > 1.

Таким образом, правая часть

■ Г Я +2 р-1,0 1

тт т1 г ' о т

f (х) е Н ^+р-1'р+51 -1] [0,1]. Следовательно, уравнение Вольтерра (18) имеет единственное непрерывное решение и задача ББ -1 однозначна разрешима.

Аналогично решим задачу ББ - 2 . Подставляя (12) в краевое условие (6), получим

Лз(С5--"271 х1-2рГ(р)(1 (р+т2))(х) -Л3(с^-"272Г(1 - р)(1с1+рV2))(х) - (19)

- Л4 ("+ +р-р+5-"2 х р-1т ))х) + р (х).

Воспользовавшись известными свойствами операторов дробного интегродифференцирова-ния [4]

(с-у )(х) -(I f )х), а > 0, (10;i'cf )(х) - х-а-ь-с )х), а > 0,

перепишем (19) следующим образом:

Л371Г(р)("+р/+р-1,-а2т2)(х) -Л372Г(1 - р)("+1-р/+р-1,-"V2)х) -- Л4 (1"+ +р -рхр-1т ))х) + р (х). Применив к обеим частям (20) обратный оператор

[(1"++рЛ+р-1,-"2т2)(х)]-1 - (1-"2-р,1-/2-р,рт2)(х),

получим

Л37Цр)т2(х) - Л4хр-1т(х) - Л372Г(1 - р)(10-+2Р,0,РV2)(х) + (1 -+"2-р,1-/2-Р,Рр) Вернемся к выражению (10),которое можно записать в виде

х д

(20)

т2 (х) - т1 (х) + Гт 1 (г30 [г(х - г)]

0 дх

или, используя формулу (16), -

Я2 х г _ 1

т2 (х) - т 1 (х) + — 1 т1 (г)г31 [[г(х - г)]. (22)

4 00

Ввиду справедливости (22) и равенства т1 (х) - т(х)хр-1, из (21) имеем

х

т 1 (х) + с11т1 (г)!(х,г)!г - g (х), (23)

где L(x,t) _ tJ^X^jtix-t)], f(x) _ C2(ll2pApv2)(x)-C3(l-+p-a2,1-ß2-p,p j)(x),

C _ A3YiT(p) C _ A3f2Г(1 - p) C _ 1

4 Аз^1Г(p) - ЛА Л^Цp) - ЛА Л^Цp) - A4

Соотношение (23) - это уравнение Вольтерра второго рода. Из общей теории уравнений Вольтерра [5] следует, что данное уравнение допускает единственное непрерывное решение, если его ядро L( x, t) и правая часть g (x) являются непрерывными в целом функциями, причем особенности должны иметь порядок меньше единицы.

Таким образом, мы свели решение задачи DS - 2, в смысле однозначной разрешимости, к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

Исследуем вопрос о его разрешимости. Учитывая, что функция Бесселя [2] представляет собой ряд, который сходится на всей плоскости комплексного переменного, и, следовательно, представляет целую функцию, имеем ядро L(x,t) непрерывное в квадрате 0 < x,t < 1.

Выясним поведение правой части g (x) уравнения (23). Для этого используем лемму, также доказанную в работе [6].

Лемма 2 [6]. Пусть а > 0,ц > ß -1,X > 0 и j(x) е HX[0,1]. Тогда xßI0+ßhj(x) e HX[0,1]. На основании лемм 1 и 2, при выполнении условий n2(x) е H Xj[0,1], X3 > 0; j(x) e HX [0,1], а2 + p < X4 < 1 имеем (l0-+2pApv2)(x) e HX [0,1], (i-+p-a-1-ß-ppj)(x) e Hmm[X4-pap+ß2-1][0,1], причем ß2 > 1 - p. Таким образом, правая часть

g (x) e H mlnIX3,X4 - P-a2, p+ß2-1][0 1]

Следовательно, уравнение Вольтерра (23) имеет единственное непрерывное решение и задача DS - 2 однозначна разрешима.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. КапилевичМ.Б. Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сб. 1952. Т.30(72). №1. С. 28-31.

2. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск.1987.

a 2 2

3. БакиевичН.И. Сингулярные задачи Трикоми для уравнения h U^^ + U^ -Ц h U _ 0 // Волжский матем. сб. 1963. Вып.1.С.42-52.

4. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu.Univ. 1978. Vol. 11. N 2. P.135-143.

5. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и инте-гродифференциальных уравнений. М.: Наука. 1982.

6. Гринько А.П., Килбас А.А. Обобщенные дробные интегралы в пространствах Гельдера с весом // Доклады АН БССР. 1990.Т.34 №6 С.493-496.

Поступила 6.06.2003 г.