Ренормгрупповой анализ нелинейного стохастического уравнения Шредингера Текст научной статьи по специальности «Физика»

2006 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 4■ Вып. 2

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.9

Ю. М. Писъмак, А. Рыбин , М. Тчоффо , Ю. Тимонен

РЕНОРМГРУППОВОЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА "*)

Методы квантовой теории поля. разработанные при построении моделей теории взаимодействий элементарных частиц, в настоящее время эффективно используются в статистической физике и теории стохастических процессов. В частности, квантово-полевой метод реном-группы широко применяется в современной теории критических явлений. Он оказывается наиболее адекватным физике критического состояния и позволяет проводить нетеоретико-возмущенческие расчеты его универсальных характеристик в рамках простых перенормируемых квантово-полевых моделей.

В данной работе исследуется стохастическая версия нелинейного уравнения Шредингера, которое для случая трехмерного пространства запишем следующим образом:

Q

г—ф + тф — 1>&ф + дф\ф\2 — h. (1)

ut

Здесь Д = i Ф> ~ комплексное поле, h(x,i) - случайная внешняя сила. Комплексные

параметры и и д описывают диссипацию и нелинейные процессы в системе. Для обозначения комплексного сопряжения параметров будем использовать звездочку, а для полей - черту.

Для критического режима динамики, который возникает при m = 0 (точка бифуркации, см. [1] и цитируемую там литературу), проведем расчет асимптотики корреляционной функции {ф{ху t)^/)(x', t)) на больших расстояниях и вычислим также аномальную размерность функции отклика. Используемый нами подход можно применять для любого стохастического уравнения вида

&ф = У(ф)+Р, (2)

где У(ф) - локальный функционал динамической переменной ф и ее пространственных производных, a F(x, t) - гауссова случайная сила. Без существенных ограничений общности задачи можно считать ее среднее значение равным нулю: (F(x,t)) = 0. Тогда статистические свойства силы F(x,t) полностью определяются заданием ее корреляционной функции Q(x,t,x',<') = (F(x, t)F(x'. t')) и соотношением

(eFJ) = e*JQJ.

Нетрудно показать [2-4], что функции отклика и корреляционные функции стохастической динамической системы (2) могут быть найдены как функции Грина квантово-полевой модели с действием

5(0, ф') = *±ф'<эф' - Ф'[-д^ + У{ф)}.

*) Университет г. Ювяскюля, Финляндия. Университет г. Джанга, Камерун.

Работа Ю.М. Письмака выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант Л'« 03-01-00837).

© Ю. М.Письмак, А. Рыбин, М. Тчоффо, Ю. Тимонен, 2006

Для нее порождающий функционал функций Грина записывается в виде

G(J, J') = j DóDó' exp[i5(¿, ф') + J<p + J'ó'}.

Здесь источник J' рассматривается как регулярная составляющая внешней случайной силы. Вариационные производные по J' дают функции отклика, а корреляционные функции поли ф можно получить из G(J, 0).

Для того чтобы найти кваптово-полевое действие, соответствующее стохастическому уравнению (1), запишем для поля р

д - - . - , --г — ф - v Аф + g"ip\ib\ = h. (3)

crt

Уравнения (1), (3) инвариантны относительно сдвига фазы полей и сил (калибровочных преобразований): ф —> ега:ф, h —> егаН ф —> е~гаф h —> Будем считать, что это спра-

ведливо и для корреляций сил h, h. Тогда, предположив силы гауссовыми, получим для трансляционной инвариантной по времени и пространству системы

(h{x,t)) = (h(x,t)) = {h(x,t)h(x',t')) = {h(x, t)h(x , O) = 0, (h(x. t)h(x, í')> = Щх - x. t-t').

Для комплексных значений параметров g и и система может достичь стационарного состояния. Их мнимые части моделируют диссипацию энергии, которую вносят в систему внешние силы.

В рамках теоретико-полевой формулировки стохастическая задача (1), (3) сводится к вычислению порождающего функционала функций Грина

G(A, А: В, В) = j exp [¿S(<?. ф\ ф, ф) + Аф + фА + Вф + фВ].

Здесь действие 5 имеет вид

£>(<?,<?; Ф,Ф) = ф{дь - 1/Д + д\ф\2)ф + ф{дг - i/Д + д*\ф\2)ф + гфБф.

Связные функции Грина получаются дифференцировнием их порождающего функционала W = ln G:

+ГП2 +n¡+n 2

-W(A,A:B,B)

ÓAm¡SArn'2SBn^SBn^

А=А=В^В=О

Эффективное действие, или первое преобразование Лежандра Г(а,а\ в, ¡3), определяется соотношением

Г(й, а; 0, ¡3) = УУ - аА - Аа — (ЗВ — В(3, (4)

в котором А, А, В. В предполагаются выраженными через а, а, ¡3, (3 с помощью равенств

а = а = 3 = 8 = Д=-И'.

8 А ' дА ' 5В 6В

Функционал (4) является порождающим для одночастично неприводимых функций Грина. Рассмотрим класс трансляционно-инвариантных случайных сил с коррелятором вида

V(t,x) = C6(t)x

-2(2 — е)

где С и е - вещественные константы. Это довольно общая модель шума. В ней белый шум 2>(г I) ~ д(х)б^) получается заданием параметров С и е в соответствии с соотношением

*(*) = Нш (Ч-4 + 2е)Т(Л/2)

е —юг/2 + 2

Обе части равенства понимаются как ядра интегральных операторов.

В силу глобальной калибровочной инвариантности действия 5 это справедливо и для функционалов ТУ и Г. вследствие чего при гп\ +711 ф тъ + пг

1,тП2;тг1,П2 = Гтп 1 ,т2;тг 1 ,П2 ГГ

Определим масштабное преобразование следующим образом:

М(\,ц)и&х) = Х<(х<и(Х1,цх) = иХиЦ,х), М(Х, = = 9лм-

Здесь - динамическая переменная, д - параметр, а А и /х - масштабные параметры.

Константы являются временной и пространственной канонической масштабной раз-

мерностью.

Без ограничения общности можно предположить, что С масштабно инвариантна. Тогда масштабной инвариантностью действия 5 задаются размерности полей источников и параметров, как показано в таблице.

Размерности полей, источников и параметров

Ф,Ф а 9,9* * I/, I/ А, А В, Б

сСр 1/2 -1/2 2 1 1/2 3/2

йх¥ Л-т т -2т _2 т й-т

<1-т + 1 т - 1 4 - 2т 0 г + 1 (1- т + 3

Полные размерности <1р — + <1хр в последнем столбце таблицы являются, по определению, размерностями по отношению к специальному масштабному преобразованию вида М(ц) = М(/л2,ц), для которого (и это важно для дальнейшего) параметр V не меняется (является безразмерным).

Из инвариантности действия следует масштабная инвариантность и Г:

]¥(А, Л; В, В) = IV(А*», БЛД Г(а, а; 0, В) = Г(аЛм, аЛм; /3Лм, (5)

В силу (5), для связных и 1-неприводимых функций Грина выполняются соотношения

,Х//Л},д,и) = /т1т2Л1"2 (6)

Ггп17гп2;п1,тг2({</^2,а;/^},р,1/) = ЦАт 1 т2" 1 "2 Гт, ,т2 ;п, ,гг2 ( , 3;}, 9{1~ ^ , 1>) ■ (7)

Выражая размерности функций Грина через размерности полей, находим

^тл,т2п]п2 = (гт + т2)(<^ 4- е - 1) 4- (1 - е)(п! + па), (тп 1 4- Ш2)(3 - е) 4- (й + 1 4- б)(п 1 4- гг2).

Соотношения (б) и (7) показывают, что для интересного с точки зрения физических приложений случая 6, < 4 и коррелятора случайной силы близкого к белому шуму, инфракрасная асимптотика функции Грина (¡л 0) определяется большими значениями константы связи, так как в этой ситуации б > 0.

Рассмотрим логарифмическую теорию, в которой константа д связи безразмерна (е = 0). В этом случае индекс расходимости 7т] ,т2;тм ,па диаграммы 1-неприводимой функции Грина Гт] ,гп2;п1 ,тг2 в импульсном представлении имеет вид

7т|,т2;п|,п2 - Дтщ ,т2;гч ,п2 ~ + ГПг + П1 + П2 ~ 1)(сг + 2) =

= (<1 - 1)(1 - ГП1 - гпг) - (т + Пг) 4- 3.

В общем случае при 7т, ,т2;п1 ,тг2 > 0 диаграмма расходится, если € Ф 0, а при ,п2 = 2А,

А: = 0,1, 2,..., она расходится и при б = 0.

Детальное исследование показывает, что в случае d > 0 рассматриваемая теория не является мультипликативно перенормируемой при d — 1 и d — 2,4. В случае d — 3 она оказывается перенормируемой вследствие того, что при подходящем выборе констант перенормировки классические части Fi ,о;о,i, Го,i;i,о, Гi ,о;i,2, Го,i;2,i могут дать все контрчлены, необходимые для компенсации сингулярностей по е в функциях Г1 ,o;o,i, Гол;1,о, Г^сьм, Го,1;2,1, а все остальные функции Грина при d = 3 не сингулярны по е.

Перенормировка теории сводится к перенормировке полей ф, ф и констант д и и. Порождающий функционал перенормированных функций Грина имеет вид

Gr(Ar,Är:,Br,Br) = G(Ar,Är:ZlBr,Z*Br) = = j ОфОфОфОфехр {гЗг(ф:фЫ\ф) + Агф + фАг + Вгф + 4>Br}.

Для удобства представим комплексную константу v в виде v — и{\ 4- iw), где и > 0 и w > О - вещественные параметры. Были проведены расчеты констант перенормировки в первом нетривиальном приближении. Константа Zg вычислялась в однопетлевом приближении, а константы Zu и Z^ ~ в двухпетлевом. Результаты расчетов позволяют вычислить ¿¡-функции ßg и ßw и аномальные размерности и 7^.

Для критических индексов с, определяющих асимтотики функций Грина

lim Wmi,m2;nbn2({i/i2+c. x{j,},g,v) ~ /idmi'm2;",,n2H''miim2;ni,n2({i, х}),

где

, , [mi + m2 + 3(ni + n2)]ç „

dmi, г.,;Я1,пг = 4ья:2;я11г.а + 1-^- + fliÇ +

получили следующие значения-.

ç = 1,429е2 + С(е3), $ = (-1,104 - 0,402г)е2 + 0(е3).

Для функции плотности p(x,t) = ф(х,1)ф(х,Ь), ренормгрупповой подход позволяет рассчитать инфракрасные асимптотики коррелятора Q(x — x',t — t') = (p(x,t)p(x!,t')) a также функцию отклика плотности по отношению к изменению регулярной составляющей внешней силы, т. е. Т>р = {р(х, t)®{x', 1')ф{х', t')). Для этого нужно вычислить константу перенормировки Zp поля p(x,t). Определим перенормированную плотность pr(x,t) как pr(x,t) = Zpp(x,t)M2(. Представив Zp в виде Zp = 1 + получим в однопетлевом приближении

lmgr Im gr

С = и-о.,,2 . 7р = 2бС =

s 2n2Wr

В фиксированной точке 7Р = 4е/5, и для е = 1/2 аномальная размерность 7р = 2/5. Это означает, что критическая размерность Др функции отклика Т)р в однопетлевом приближении есть Др = 2d + 7Р ~ б, 4. Таким образом,

Интегрируя функцию отклика T>p(x,t) по х и i, находим

const

PpOr) = J dtVp(x,t) ~ , Х>р<<) = J dxVp(x,t) ~

и в однопетлевом приб.,тижении имеем

х 2+<

^ . . const „ , . const

~ 7м". ад) ~ ттх-

Функция Vp(x) описывает пространственные изменения плотности в том случае, когда система подвергается воздействию постоянной силы, приложенной в начале координат: х = 0; функция отклика T>p{t) - изменение плотности во времени в системе, на которую в момент времени t = 0 оказала воздействие пространственно однородная внешняя сила. Заметим, что для существования интегралов Т>р(х) и Vp(t) мнимая часть параметра и должна быть положительной. В физических терминах это означает диссипацию энергии. В фиксированной точке Imi/'/Rei/' ~ 0,09. На этом основании можно сделать вывод о том, что диссипация относительно мала. Отличие между функциями отклика линейной теории и теории с учетом взаимодействия - примерно 10%. Так можно оценить отношение интенсивностей нелинейной и линейной диссипаций энергии в системе. Влияние внешней силы па поле x¡j(x,t) описывается функцией отклика

V^,(x-x',t-t') = {ip(x,t)<&(x' ,t')).

Проводя такой же анализ, как для функции Т>р(х — x',t — t'), можно показать, что для случая постоянной силы, приложенной в начале координат, х = 0, вещественная часть поля ii)(x,t) зависит от пространственных координат следующим образом:

—|д cos (Im£ In |ж|).

По результатам проведенного нами исследования возможностей использования метода квантово-полевой ренормгруппы для стохастического нелинейного уравнения Шредингера было установлено, что его можно непосредственно применять лишь для размерности пространства d—3. Динамика системы в области малых частот и> и импульсов к, определяется скейлинговыми соотношениями и описывается аномальным законом дисперсии и ~ к2+(', где Q ~ 0,36. Диссипация энергии количественно характеризуется двумя соотношениями: нелинейная диссипация - отношением \mg¡/\g¡\ ~ 0,09, а линейная - отношением \mvj/\v¡\ = Wf/\J 1 + wj ~ 0,088. Следовательно, метод ренормгруппы может быть весьма эффективным для анализа особенностей режима критической динамики нелинейного уравнения Шредингера в пространстве трех измерений.

Summary

Pis'так Yu. М., Rybin A., Tchoffo М., Timonen Ju. Renormalisation group analysis of nonlinear stochastic Schrodinger equation.

The dynamics of the non-linear Schrodinger equation driven by a random fcrcc in the space dimensions d = 3 is investigated by the Renormalisation Group method in the criticad region. The critical indices describing the long distance behaviour of the correlation functions and the anomalous dimension of the response function axe found. The random force drives the dissipative system to the region of parameters close to the parameters of non-dissipative system.

Литература

1. Crawford J. D. // Rev. Mod. Phys. 1991. Vol. 63. R 991-1037. 2. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford, 1989. 3. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasiliev A. N. The field theoretic renormalization group in fully developed turbulence. Amsterdam, 1999. 4. Васильев A. H. Квантово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб., 1998.

Статья поступила в редакцию 15 ноября 2005 г.