CC BY
0
УДК 536.911 DOI 10.24147/1812-3996.2024.3.14-21
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ
ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ
A. B. Ейхлер
аспирант, e-mail: [email protected] П. В. Прудников
д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Аннотация. В работе были представлены особенности релаксационных процессов динамического фазового перехода в анизотропной модели Гейзенбер-га, рассчитанные методами Монте-Карло. Приведены результаты поведения системы в критической области. Представлены расчеты параметров порядка при различных величинах внешнего поля, а также зависимость времени разрушения метастабильного состояния от амплитуды поля. Нами были выявлены флуктуационные свойства намагниченности в области фазового перехода между сменами фаз системы.
Ключевые слова: динамический фазовый переход, модель Гейзенберга, методы Монте-Карло, тонкие магнитные пленки.
Введение
Динамическое поведение в неравновесных системах описывает широкий спектр физических явлений. Такие системы претерпевают изменения в своем состоянии с течением времени при воздействии внешних сил.
Мы рассматриваем динамический фазовый переход, который происходит при изменении скорости приложения внешней силы. Этот переход характеризуется чувствительностью к небольшим изменениям внешнего воздействия в критической области. Примерами такого поведения являются некоторые биологические [1,2] и химические системы [3,4], статистические процессы, используемые в социальной деятельности человека [5]. Динамический фазовый переход происходит во временной эволюции магнитных свойств перспективных материалов, таких как нанографен[6], а также в динамике квантовых систем [7].
Первое доказательство динамического фазового перехода было продемонстрировано в численном исследовании с использованием методов Монте-Карло для кинетической модели Изинга [8]. Многочисленные последующие численные работы по кинетической модели Изинга исследовали неравновесное поведение с использованием методов Монте-Карло [9-11]. Было обнаружено, что при смене динамических фаз система, находящаяся в состоянии длительной релаксации, испытывает нарушение симметрии [11]. Наряду с этим было показано, что ферромагнитная
структура претерпевает динамический фазовый переход с изменением зависящего от времени периода £ колебаний магнитного поля для всех температур Т ниже температуры Кюри Тс [11,12]. Экспериментально динамический фазовый переход подтверждается в работах [13-16]
Гамильтониан можно записать в виде
дсх 3
г,3
н = Е К1 - а(д ))(5Х5х+БуБУ )] -н ® Е Б (1)
где Б = (БХ, ¿У, ) — классический трехмерный спин в узле простой кубической решетки г; / — обменный интеграл взаимодействия между спинами ближайших соседей. Влияние анизотропии учитывается введением функциональной зависимости эффективной константы анизотропии А от толщины пленки N [17-20]. N - число спинов, которое определяется как N х I х L, где Ь - решетки размера. При А = 0 модель демонстрирует поведение классической модели Гейзенберга, тогда как при А = 1 поведение соответствует модели Изинга. Мы использовали значение А( N = 5) = 0.75.
Первый член в уравнении (1) представляет собой описание анизотропных свойств взаимодействия х и у компонент. Второй член в уравнении (1) представляет взаимодействие Зеемана между внешним приложенным полем, зависящим от времени и спинов системы. Динамика Метрополиса использовалась в исследовательских симуляциях, случайный выбор ориентации спина был реализован путем расчета энергии при вращении кластера на каждом шаге МСБ^. Начальное состояние спинов начиналось с ферромагнитного состояния т* = +1. Данные представлены для L = 64, эта решетка размера хорошо описывает колебания в критической области. Температура моделирования использовалась Т* = 0, 6ТС(Д) = 0, 786/. Критическая температура в модели Гайзенберга Тс = 1, 31 для N = 5. Зависящий от времени магнитный порядок характеризуется z-компонентой намагниченности пленки
1
т* (*) = ^ (2)
г=1
Безразмерный полупериод в играет роль температуры в нашей модели и соответствует температуре Т в равновесных системах. Таким образом, температура -это в, которая определяется как полупериод t1/2, деленный на время метастабиль-ного состояния системы ( т).
в = ^, (3)
При низком полупериоде в < вс внешнего колебательного поля, намагниченность не может следовать за быстро меняющимся полем рис. 1(а). При высоком полупериоде внешнего колебательного поля, намагниченность может следовать за быстро меняющимся полем рис. 2(Ь).
Параметр порядка Q - это динамический параметр, представляющий собой усредненную за полупериод намагниченность за полный цикл импульсного поля.
16
Ейхлер А. В., Прудников П. В. Релаксационные процессы..
1 № 1/2
Я = ^ ™,г (№ (4)
Флуктуационные характеристики параметра порядка для пленки были рассчитаны с использованием восприимчивости системы.
Х = )|)2) (5)
где <> обозначает среднее значение по последовательности полных циклов с отброшенными начальными переходными процессами. Основываясь на работе [11], модуль параметра порядка используется в определении х(Я), поскольку в динамически упорядоченной фазе плотность вероятности для Q имеет пики как в +Q, так и в —Q.
и мсв^
Рис. 1. Динамическое поведение ¿-компоненты намагниченности тг (Ь) пленки для упорядоченной фазы с © < ©с (а) и для неупорядоченной фазы © > ©с (Ь)
На рис. 2 представлены графики, иллюстрирующие разрушение метастабильно-го состояния. Результаты рис. 2(а) показывают разрушение метастабильного состояния для различных значений толщины пленки N. Зависимость от линейного раз-
г, мсБ/в
Рис. 2. Метастабильное времена для различных значений толщины пленки N = 3,4, 5, 6 монослоя (а), зависимости времени разрушения метастабильного состояния ¿1/2 от Н0 (Ъ).
мера Ь практически не заметна, разрушение метастабильного состояния происходит в одной и той же точке для моделируемых размеров Ь = 16 — 256. Мы так же рассмотрели зависимости метастабильного времени от величины внешнего поля Н0 рис. 2(Ъ). Значение <т> экспоненциально растет с увеличением Н0, что сильно смещает точку фазового перехода. Благодаря этому, мы можем более подробно рассматривать критическую области и влияние изменения ¿^2.
С увеличением полупериода поля ¿1/2 релаксационные процессы сопровождаются появлением метастабильной фазы. Поведение намагниченности становится нестабильным. Процесс релаксации для динамической модели необходимо рассматривать в течение длительного периода времени, чтобы наблюдать переходные процессы вблизи критической точки, как это представлено на рис. 2(а).
Усредненная за полупериод намагниченность Q(t) колеблется около нуля
18
Ейхлер A. B., Прудников П. В. Релаксационные процессы..
t, period
Рис. 3. Временные зависимости усредненной намагниченности Q(t) для различных фаз: динамически упорядоченная фаза для © = 0, 54 < ©с, динамическая неупорядоченная фаза для 0=1,4 > ©с и критическая область для © = 0,94 « ©с (Т = 0, 6Тс, Н0 = 0,2 J).
15 1 1 1 1 1 1 - (Ь) « 1 1 1 W -
10 -
®
гч * 1
5 - Т "
AAA*** м
0 . 1 . 1 . 1 1 . 1
0,4 0,6 0,!
Q
1,0 1,2
Рис. 4. Зависимость параметров порядка Q(0) и х(©) от Н0.
Qi(t) ~ 0 для ¿!/2 > ¿с. Это проиллюстрировано на рис. 4 красными точками при в = 1,14. Однако усредненное значение намагниченности становится Qi(t) > 0
при ¿1/2 ^ ¿с.
В критическом полупериоде ¿1/2 ~ ¿с время релаксации системы было выбрано достаточно большим. При в = 0, 94 (синие точки) наблюдается спонтанное нарушение симметрии. Такое поведение указывает на возникновение динамического фазового перехода. Это демонстрируется на рис. 4 (красные точки), где видно, что намагниченность колеблется в упорядоченном состоянии в течение длительного периода. Однако происходит перемагничивание кластера.
Мы провели исследование параметров порядка системы ф(в) и х(в) в зависимости от силы внешнего осциллирующего поля Н0. Величина внешнего воздействия вносит заметные изменения в поведение параметров порядка. На рис. 4(а) представлены значения ^(в). Для малых Н0 = 0.16 — 0.18 J динамический фазовый переход происходит более плавно, чем для значений Н0 = 0.2 — 0.3 /. Мы более явно может наблюдать, как намагниченность с уменьшением ¿1/2 перестает следовать за осцилляциями поля Н(¿). При высоких Н0 фазовый переход происходит с резким изменением Q(в) в критической области. Так же прослеживается смещение критической точки от в ~ 1 к в < 1. Поведение восприимчивости х(в) рис. 4(б) указывает на возникновение флуктуаций при фазовом переходе во всех случаях. Мы так же наблюдаем смещение пиков восприимчивости.
Заключение
В этой работе мы исследовали релаксационные свойства динамического фазового перехода в модели Гейзенберга. Мы определили существование динамического фазового перехода в нашей модели, выявлены основные характеристики поведения для параметра порядка Q(в) и восприимчивости х(в). Для ^(в) обнаружены флуктуации в критической области, которые указывают на приближение системы к точке фазового перехода. Рассматривалось влияние внешних параметров, таких как амплитуда поля Н0, на поведение термодинамических величин. Увеличение Н0 приводит к смещению области фазового перехода влево, так при Н0 = 0.3 температура фазового перехода в = 0.6, а при Н0 = 0.16 в = 0.98, это говорит о релаксационных особенностях при высоком значении параметра внешних сил. В свою очередь стабильность и более качественный переход системы лучше наблюдается при малых внешних силах. Смещение точки фазового перехода подтверждается смещением пиков восприимчивости.
Благодарности
Представленное исследование поддержано Российским научным фондом в рамках проекта № 23-22-00093.
Литература
1. Schoner G., Kelso J. Dynamic Pattern Generation in Behavioral and Neural Systems // Science. 1988. 239(4847). 1513-1520.
20
Eüxnep A. B., npyduuKoe n. B. РеAаксационнuе npo^ccbi..
2. Dabiri J. O. Landmarks and frontiers in biological fluid dynamics // Physical Review Fluids. 2019.4(11). 110501.
3. Pleuksachat S., Krabao P., Pongha S., et al. Dynamic phase transition behavior of a LiMno.öFeo.öPO4 olivine cathode material for lithium-ion batteries revealed through in-situ X-ray techniques // Journal of Energy Chemistry. 2022. 71. 452-459.
4. Woodward C. E., Campion M., Isbister D. J. Kinetics of a two-dimensional lattice gas mixture in a color field // The Journal of Chemical Physics. 2002. 116(7). 2983-2990.
5. Slavko B., Glavatskiy K., Prokopenko M. Dynamic resettlement as a mechanism of phase transitions in urban configurations // Physical Review E. 2019 99(4). 042143.
6. Benhouria Y., Bouziani I., Essaoudi I., Ainane A., Ahuja R. Quantum Monte Carlo study of dynamic magnetic properties of nano-graphene // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2018. 460. 223-228.
7. Jurcevic P., Shen H., Hauke P., Maier C., Brydges T., Hempel C., Lanyon B. P., Heyl M., Blatt R., Roos C. F. Direct Observation of Dynamical Quantum Phase Transitions in an Interacting Many-Body System // Physical Review Letters. 2017. 119(8). 080501.
8. Tome T., de Oliveira M. J. Dynamic phase transition in the kinetic Ising model under a time-dependent oscillating field // Physical Review A. 1990. 41(8). 4251-4254.
9. Park H., Pleimling M. Dynamic phase transition in the three-dimensional kinetic Ising model in an oscillating field // Physical Review E. 2013 87(3). 032145.
10. Buendia G. M., Rikvold P. A. Dynamic phase transition in the two-dimensional kinetic Ising model in an oscillating field: Universality with respect to the stochastic dynamics // Physical Review E. 2008. 78(5). 051108.
11. Korniss G., White C. J., Rikvold P. A., Novotny M. A. Dynamic phase transition, universality, and finite-size scaling in the two-dimensional kinetic Ising model in an oscillating field // Physical Review E. 2000. 63(1). 016120.
12. Sides S. W., Rikvold P. A., Novotny M. A. Kinetic Ising model in an oscillating field: Avrami theory for the hysteretic response and finite-size scaling for the dynamic phase transition // Physical Review E. 1999. 59(3). 2710-2729.
13. Marin Ramirez J. M., Oblak E., Riego P., Campillo G., Osorio J., Arnache O., Berger
A. Experimental exploration of dynamic phase transitions and associated metamagnetic fluctuations for materials with different Curie temperatures // Physical Review E. 2020. 102(2). 022804.
14. Berger A., Idigoras O., Vavassori P. Transient Behavior of the Dynamically Ordered Phase in Uniaxial Cobalt Films // Physical Review Letters. 2013. 111(19). 190602.
15. Riego P., Vavassori P., Berger A. Metamagnetic Anomalies near Dynamic Phase Transitions //Physical Review Letters. 2017. 118(11). 117202.
16. Robb D. T., Xu Y. H., Hellwig O., McCord J., Berger A., Novotny M. A., Rikvold P. A. Evidence for a dynamic phase transition in [Co/Pt]3 magnetic multilayers // Physical Review
B. 2008. 78(13). 134422.
17. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Mamonova M. V., Piskunova N. I. Influence of anisotropy on magnetoresistance in magnetic multilayer structures // J. Magn. Magn. Mater. 2019. 482. 201-205.
18. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Mamonova M. V., Firstova M. M., Samoshilova A. A. Manifestation of aging in giant magnetoresistance of the Co/Cu/Co nanostructure // J. Phys. Commun.2019. 3. 015002.
19. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Menshikova M. A., Piskunova N. I. Dimensionality crossover
in critical behaviour of ultrathin ferromagnetic films //J. Magn. Magn. Mater.2015. 387.77-82. 20. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Menshikova M. A., Dimensional effects in ultrathin magnetic films // JETP Letters. 2014. 100. 446-45.
RELAXATION PROCESSES IN DYNAMIC PHASE TRANSITION
A. V. Eichler
Postgraduate Student, e-mail: [email protected] P. V. Prudnikov Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: [email protected]
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. In this article, the features of relaxation processes of dynamic phase transition in the anisotropic Heisenberg model calculated by Monte Carlo methods were presented. The results of the system behavior in the critical region are given. The order parameters were calculated for different values of the external field, as well as the dependence of the destruction time of the metastable state on the field amplitude. We revealed the fluctuation properties of magnetization in the region of the phase transition between the phase changes of the system.
Keywords: Dynamic phase transition, Heisenberg model, Monte Carlo methods, thin magnetic films.
Дата поступления в редакцию: 14.05.2023
