CC BY
35
А.В.Мокшин, Р.М.Юльметьев, Р.М.Хуснутдинов
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ МАСШТАБЫ И МЕРА НЕМАРКОВОСТИ
Изучение свойств, зависящих от времени, в системах взаимодействующих частиц, подобных тем, что встречаются в физике конденсированного состояния, основано на концепциях неравновесной статистической механики. Здесь ключевую роль играют так называемые временные корреляционные функции (ВКФ). Как известно, каждая ВКФ описывает некоторый определенный релаксационный процесс. Характеристикой этого процесса является время релаксации . Изначально временем релаксации называлась величина, которая показывает, за какой промежуток времени ВКФ уменьшится в раз. Так, например, если ВКФ релаксирует согласно обычному экспоненциальному закону, то ее время релаксации будет равным:
-ч— (1)
о
Несмотря на то, что в реальных физических системах экспоненциальный характер релаксации процессов является лишь единичным, частным случаем, здесь для определения , как правило, также используется выражение
(1). Дело в том, что определенное таким образом время релаксации, во-первых, непосредственно можно получить из экспериментов по рассеянию. Так, например, время релаксации ВКФ флуктуаций локальной плотности можно найти, зная значения динамического структурного фактора на нулевой частоте •-'( -У = -■) :
., ' ■ - - - ■' (2)
т
А, во-вторых, определенное таким образом время релаксации ВКФ различных потоков пропорционально соответствующим коэффициентам переноса , которые опред( релаксационных процессов:
носа , которые определяют дальневременные свойства изучаемых
(3)
Тем не менее, существуют и другие определения времени релаксации. Например, Эгельстаф и Глэйзер [1] предложили следующее выражение:
(4)
г = —
Некоторые интересные соображения по поводу определения релаксационных масштабов можно найти в работе [2].
Здесь можно выделить следующую специфику. Несмотря на то, что функции памяти являются обычными ВКФ, описывающими соответствующие релаксационные процессы, каждая функция памяти старшего порядка характеризует эффекты памяти для функции младшего порядка
. Тогда, зная релаксационные масштабы этих ВКФ, можно количественно оценить эффекты памяти для процесса, описываемого функцией !' ), через величину
Параметр немарковости ^ был впервые предложен в работе [3]. Если
индекс относится к уровню иерархии Цванцига-Мори (порядок функции памяти), то - есть время релаксации функции , а выражение (5)
определяет "спектр параметра немарковости" для всей иерархии.
Из выражения (5) видно, что параметр является безразмерной
величиной, так как он определяется из сопоставления временных масштабов некоторой ВКФ и ее памяти. Следовательно, параметр может принимать только неотрицательные значения, ,, €[Сг-нЗЭ' .
В зависимости от величины параметра , каждый конкретный рассматриваемый релаксационный процесс будет соответствовать одному из трех случаев. А именно, процесс является марковским, если — со . В этом
случае время релаксации исходной ВКФ гораздо больше временного масштаба памяти,>> . Случай, когда временные масштабы и „,:-
соизмеримы, соответствует немарковскому процессу с ,,~1. И, наконец,
можно выделить также некоторую условную промежуточную область, соответствующую квазимарковским процессам с сп I .
Параметр немарковости (5) связан непосредственно с ВКФМ3 (г) , эффекты памяти которой он характеризует. В такой формулировке он может быть определен для любого релаксационногопроцесса,для которого известнаВКФ. В зависимости от этой ВКФ параметр может также приобретать некоторые дополнительные интересные свойства. Так, например, при выборе в качестве исходной ВКФ автокорреляционной функции скорости частиц в жидкости параметр еа
также является мерой неупорядоченностисреды, обнаруживая тем самым пересечение таких понятий, как "марковость"и "хаотичность".
Определение параметра немарковости связано с временным затуханием некоторой исходной временной корреляционной функции // (с: и ее функции памяти , а именно, с начальными значениями соответствующих
Лаплас-образов. Другими словами, параметр частотные спектры соответствующих ВКФ, так как времена релаксации
“ Ь' 'Г 'пГ /./.ч Г) , . , V . , , .
я Ы Мк(*) = \<Ш9(£)е *,
(6)
что бывает полезным при анализе экспериментальных спектров рассеяния.
Спектр параметра немарковости ■ при ш > 0 можно также выразить
через главные частотные релаксационные параметры £ а^ д ); а .
(коэффициенты Мори, статические корреляционные функции) в общем виде следующим образом:
*■ =
Q2Q4...Q^+1
(7)
О Оз4..,^+1 , _ .
*1 i Ч>*= 2,4,....
Попытки ввести параметр, позволяющий оценивать эффекты памяти в различныхрелаксационныхпроцессах, наблюдаются у многих авторов [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]. Введенные в этих работах параметры были получены на основе самых разнообразныхфизических соображений и вычисляются с помощью разных формул. Пожалуй, наиболее близкая к (5) (при n = 0) мера памяти была предложена Эгельстаффом в работе [1]. Можно также отметить фрактальный показатель v е (U,l) , предложенный в работе [12] для количественнойоценки
эффектов памяти. Величина 1 была получена дробным интегрированием при интерполяциирешений интегро-дифференциальных/равнений вида:
dMJt) ,, /Ч1, , ч « = 0,1,2,...
—г— = “3Li J dтМх+1 (т)Мх(£ - г), dt J0
в марковском и немарковском пределах. Однако тот факт, что показатель 1 извлекается из подгоночных процедур и не имеет определенного выражения для вычисления, значительно сужает область его применения в физических задачах. Другим критерием, характеризующим структурную память, является так называемое число Дебораха (Deborah number) Д, (см., например, [13]).
Данное число характеризует вязкоупругие свойства материалов. Так, например, если упругие (твердые) тела помнят свое изначальное состояние (форму) перед некоторой деформацией, то жидкости сразу же после воздействия забывают. Вязкоупругие материалы занимают промежуточное положение между этими предельными ситуациями: внешняя работа, направленная на деформацию материала, переходит в энергию упругости, и происходит диссипация в тепло. Энергия упругости полностью переходит в кинетическую
энергию за некоторое время , за которое материал забывает свое начальное состояние. Для абсолютно упругих тел - - ^ , а для вязких жидкостей - 1: . Вязкоупругие материалы, которые обладают одновременно и упругими, и вязкостными свойствами, имеют времена 1 ' ■ ^ . Для оценки па-
мяти характеристическое время : сравнивают с временным масштабом потока, I, : й
, Г’ (8)
' £ ’
где и ^ являются характеристическими скоростью и длиной, соответственно. Аналогия величины с параметром немарковости для ВКФ тензора
натяжений, интеграл от которой пропорционален коэффициенту сдвиговой вязкости, представляется вполне очевидной.
Учитывая выражения (6) и определение ВКФ
(*4 гф (оу^со) р1 = 1, при 1, получаем
Мх(1) =
(ІЛҐ) (\Arnf)
є - О о _ “і
Ііеііт / А* ;-»0 \ ^ 1
*¿•22 — ^
Ііеііт (А[ з-»0 \ 1 1 л
7
(9)
Таким образом, параметр немарковости пропорционален первому частотному параметру . и определяется только через статические характеристики.
На основе выражения (5) параметр немарковости может быть обобщен для частотно-зависящего случая
' (10)
_1 Ц(Р) |2
Здесь л’ = 1Л1. и і является спектром мощности п-го
£•*(<20 =
релаксационного уровня
то
Ке\сіІеіагМх(0
(11)
Выберем в качестве исходной функции А/Пи) ВКФ флуктуаций плотности . Представим Лаплас-образы этой функции и ее функции
памяти в виде:
Mx(k, d) = Mj (к, œ) +iMx {k,a>)
где и //1 , и - действительные и мнимые части соответствующих ВКФ. Тогда спектры мощности (11) можно записать как
f^{k,a)) = F (к,си),
(13a)
(13b)
Следовательно, параметр немарковости . , , , _ . . , ; :г л] ^
определяется только функцией | ; и первым частотным релаксацион-
ным параметром О“ (К) . Тогда параметр ^может быть найден
непосредственно из экспериментальных данных:
£■„(*)= О? (*)
лЯ(к,0= 0)
т .
(14)
Обобщение, введенное с уравнениями (10) и (11), может ассоциироваться с некоторыми подобного рода методами обобщенной гидродинамики (так, например, введение частотно-зависящих коэффициентов переноса [14]). Оно фактически позволяет количественно оценивать эффекты памяти по всей области частот и отслеживать характер изменения марковости (немарково-сти) для исследуемого релаксационного процесса с характерным временным масштабом / ^ 2;т/ & . Из уравнений (5), (10) и (11) видно, что параметр
является лишь предельным случаем частотно-зависимого параметра с, ( й> ) :
(15)
ex=hmeaW,
где индекс указывает на рассматриваемым релаксационным уровень.
Настоящая работа поддержана грантами: МО РФ № Е 02-3.1-538, РГНФ № 03-06-00218а, РФФИ № 02-02-16146, № 03-02-96250.
Литература
[1] Egelstaff Р.А. Properties of collective modes in fluids: Methoclology / Р.А. Egelstaff, W. Claser / / Phys. Rev. A. 1985. Vol.31, №6. Р.3802-3811.
[2] Costa I.V.L. The Fluctuation-Dissipation Theorem fails for fast superdiffusion / I.V.L. Costa, R. Morgado, M.V.B.T. Lima, F.A. Oliveira / / Europhys. Lett. 2003. Vol.63, №2. Р.173-179.
[3] Shurygin V.Yu. Physical criterion of the degree of non-Markovity of relaxation processes in liquids / V.Yu. Shurygin, R.M. Yulmetyev 8nd V.V. Vorobjev / / Phys. Lett. 1990. тА148, №3-4. Р.199-203.
[4] Brinati J.R., Mizrahi S.S., Plataveria G.A. / / Phys. Rev. 1994, Vol.50. Р.3304.
[5] Brinati J.R., Mizrahi S.S., Prataveria G.A. / / Phys. Rev. 1997. Vol.52. Р.2804.
[6] Fulinski A. Non-Markovian Character of Ionic Current Fluctuations in Membrane Channels / A. Fulinski, Z. Crzywna, I. Mellor, Z. Siwy, P.N. Usherwood / / Phys. Rev. E. 1998. Vol.58 P.919.
[7] Hanggi P. Colored Noise in Dynamical Systems: Advances in Chemical Physics / P. Hanggi, P. Jung; Edited by I. Prigogin and S. A. Rice. New York: Wiley, 1995. P. 239-326.
[8] Oerding K., Cornell S.J., Bray A.J. / / Phys. Rev. E. 1997. Vol.56. P.R25.
[9] Oerding K. Global persistence in directed percolation / K. Oerding, F. Van Wi-jland / / J. Phys. A. 1998. Vol.31, №34. P.7011-7021.
[10] Teichler H. / / Phys. Rev. E. 1996. Vol.76.-P.62.
[11] Hanggi P. Memory Index of First-Passage Time: A Simple Measure of Non-Markovian Character / P. Hanggi, P. Talkner / / Phys. Rev. Lett. 1983.Vol.51 P.2242-2245.
[12] Stanislavsky A.A. Memory effects and macroscopic manifestation of randomness / A.A. Stanislavsky / / Phys. Rev. E. 2000. Vol.61, №5. P.4752-4759.
[13] Reiner M. The Deborah number / M. Reiner / / Physics today. 1964. P.42.
[14] Balucani U. Dynamics of the liquid state / U. Balucani, M. Zoppi.-Oxford: Clarendon Press, 1994. P. 352.
