CC BY
25
Серия «Математика»
2011. Т. 4, № 2. С. 45-59
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 519.854.2
Релаксации Лагранжа для нелинейной задачи о р-медиане
И. Л. Васильев
Институт динамики систем и теории управления СО РАН
А. В. Ушаков
Институт динамики систем и теории управления СО РАН
Аннотация. В статье рассматривается модификация хорошо известной задачи о р-медиане, в которой количество медиан является переменной величиной. Рассматривается постановка данной задачи, а также реализуется эвристический метод нахождения нижних оценок ее оптимального значения.
Ключевые слова: задача о р-медиане; релаксация Лагранжа; нижние оценки; субградиентный алгоритм.
Пусть задано множество возможных пунктов размещения предприятий и = {1 ,...,т}, множество клиентов V = {1 ,...,п}, величины &а-€, задающие транспортные затраты (расстояния) на обслуживание -и-го клиента из пункта и. Задача о р-медиане заключается в выборе р пунктов размещения предприятий из множества и, так, чтобы суммарные затраты на обслуживание всех клиентов были минимальны, т.е.
Часто на практике полагают, что множество возможных пунктов размещения предприятий и множество клиентов совпадают, т.е. предприятия размещаются среди клиентов. Тогда задача может быть представлена на графе С(У,Л) с множеством вершин V (где V = и) и множеством дуг А = {пу : и Є V,v Є V,u = у}. Каждой дуге иу Є А приписывается вес ¿иъ, задающий расстояние между вершинами и Є V и V Є V. Задача
1. Введение
о р-медиане в этом случае состоит в отыскании р вершин, называемых медианами, таких, что сумма весов входящих дуг к немедианным вершинам от ближайшей медианы была минимальна. Обозначим через 5-(у) = {и € V| иу € А} множество вершин, соединенных с V выходящей из них дугой, а через 5+(и) = {у € V| иу € А} множество вершин соединенных с и выходящей из и дугой. Введем бинарные переменные уи(и € V) и хии(иу € А), соответствующие вершинам и дугам графа С(У,А). Переменная уи равна 1, если вершина и является медианой, 0
в противном случае. Переменная хиь равна 1, если вершина и — это медиана, и у присоединена к и выходящей из и дугой, 0 в противном случае. Используя введенные переменные и обозначения, задача о р-медиане может быть сформулирована как задача целочисленного программирования:
Целевая функция (1.1) минимизирует сумму весов дуг иу € А. Ограничения (1.2) гарантируют, что каждая вершина у является либо медианой, либо имеет одну входящую дугу из медианной вершины. Неравенства (1.3) исключают существование выходящих дуг из немедианных вершин. Количество медиан определяется уравнением (1.4). Решение задачи состоит из р «звезд», в центре которых находятся медианы (см. рис. 1).
Задача о р-медиане является известной КР-трудной задачей, впервые сформулированной в [6]. Обширный литературный обзор известных подходов к решению этой задачи можно найти в [8], а также в [1, 9].
Рис. 1. Решение задачи о р-медиане
(1.1)
и € V,V € 5+(и),
(1.2)
(1.3)
(1.4)
иеУ
уи € {0, 1}
хим € { 0, 1 }
и € V, иу € А.
(1.5)
(1.6)
Отдельно отметим последние работы, касающиеся решения задачи о p-медиане большой размерности: эвристики VNS (Variable Neighborhood Search) [5], GRASP [9], метод ветвей, отсечений и оценок [1].
Одной из областей применения задачи о p-медиане является моделирование задач кластерного анализа. Суть задачи кластерного анализа заключается в разделении заданного множества объектов на подмножества, называемые кластерами, таким образом, чтобы в каждый кластер попали максимально схожие между собой объекты, а объекты разных кластеров значительно отличались. В случае задачи о p-медиане множество объектов будем представлять как множество вершин графа, а степень схожести объектов между собой как расстояние между соответствующими вершинами. Задача о p-медиане определяет решение задачи кластерного анализа известное как minimum sum-of-star clustering [4]. Обращаясь еще раз к рисунку 1, отметим, что в терминах задачи кластерного анализа каждая «звезда» представляет собой кластер.
Рассмотренная постановка является классической для задачи о p-медиане. Представим теперь, что необходимо минимизировать не только суммарные затраты на обслуживание всех клиентов, но и количество открытых для этого предприятий, или — в терминах задачи кластерного анализа — необходимо минимизировать количество кластеров на которые разделяется заданное множество. В этом случае рассмотрим следующую модификацию задачи, в которой, в отличие от классической постановки, количество медиан это переменная величина и в целевой функции присутствует дополнительное слагаемое, задающее штраф на количество медиан.
min V dwu Xuv + Ф(p) (1.7)
(x’y’p) uveA
E Xuv + yv = 1 V e V, (1.8)
u£S— (v)
Xuv < Уи U e V, v e 5+(u), (1.9)
E yu = p, (1.10)
ueV
yu e {0,1} u e V, (1.11)
xuv e {0,1} uv e A, (1.12)
p e P = {p e Z : 1 < p < n}. (1.13)
Множество Р выбирается из логических соображений о том, что медиан должно быть не меньше одной и не больше, чем общее количество вершин, иначе множество решений будет пустым. Если ф(-) линейная функция, то мы получаем известную задачу размещения, поэтому нас интересует случай нелинейной функции ф(-). Ограничения в данной по-
становке имеют тот же смысл что и в классической задаче о р-медиане. Эта постановка задачи была рассмотрена в [7], где к тому же были предложены некоторые подходы к решению задачи, а также приведены результаты численных экспериментов на модельных примерах малой размерности.
В данной работе исследуется задача поиска нижних оценок для оптимального значения нелинейной задачи о р-медиане с использованием релаксации Лагранжа. Строятся релаксации Лагранжа двух видов, доказывается ряд предложений, касающихся улучшения эффективности подсчета значения двойственной функции Лагранжа. Для нахождения наилучших нижних оценок осуществляется макимизация двойственной функции Лагранжа при помощи субградиентного метода. Проводится реализация полученного алгоритма и его тестирование на примерах различной размерности.
Статья организована следующим образом. В разделах 2,3 описывается техника построения релаксаций Лагранжа для нелиненой задачи о р-медиане. Раздел 4 посвящен описанию субгадиентного алгоритма и особенностям его реализации для исследуемой задачи. В заключении раздела представлены результаты вычислительных экспериментов.
2. Первая релаксация Лагранжа
Методы на основе релаксации Лагранжа широко применяются к решению задачи о р-медиане (см., например, [2]). В данном разделе исследуется релаксация Лагранжа для нелинейной задачи.
Построим два вида релаксации, получающиеся за счет ослабления ограничений (1.8) и (1.8),(1.10). Вначале рассмотрим первый тип, в котором ослабляются оба ограничения. Для этого добавим (1.8) и (1.10) в целевую функцию (1.7) с множителями Лагранжа (Л,п), где Л = (А1,..., Лт)т € Мп соответствуют ограничениям (1.8), а п € М — ограничению (1.10):
^1(Л, п) — ШШ | ^ ' (%иухиги + 'У , Ли (1 уь ^ ' хиги \ +
(х’У’р) иьеА ьеУ и€б- (V)
+ п(р - Е Уи) + Ф(р) : х^ < Уи, Уи € V, у € 5+(и)}. (2Л)
иеУ
Для краткости записи здесь и далее будем считать переменные хиъ ,уи бинарными, а переменную р — положительной целой величиной из множества Р и будем полагать, что функция ф(-) определена и принимает конечные значения на этом множестве. В дальнейшем также будем пользоваться определением срезки, обозначенной а- = тш{0,а}.
Теорема 1.
А(А,п)=Е[ Е (duv - Av) - Хи - п ПР + Ф(р)} +
ueV veS+(u)
+ E Av
(2.2)
veV
Доказательство. Перепишем (2.1) следующим образом:
Li(X, п) = minjminjE E (duv — Xv)xuv • Xuv < Vu\—
(у,Р) X ueVveS+(u)
-J2 XuVu + n(p -J2 Vu) + Ф(р)} + E Xv ■
ueV ueV veV
(2.3)
Зафиксируем переменную y и предположим, что переменная xuv является непрерывной величиной, принимающей значения на отрезке [0,1]. Рассмотрим внутреннюю задачу минимизации по x отдельно:
min {Е Е (duv Xv)xuv • 0 < xuv < V^j‘ ■
ueV veS+(u)
Как нетрудно видеть, в данной задаче необходимо найти минимум линейной при каждом фиксированном Vv функции при параллелепипед-ных ограничениях. Решение данной задачи выглядит следующим образом:
i W \V^ duv Xv < 0
xuv(X) = <
duv — Xv > 0■
Переменные xuv(X) принимают только целочисленные значения, поэтому они являются решением и в задаче (2.1) с условием целочисленности на x. Теперь подставим полученное решение xuv(X) в (2.3). Так как нас интересуют только значения duv — Xv < 0, уместно воспользоваться определением срезки. В связи с этим получаем следующее:
Li(X, п) =
= inin{E Е (duv — Xv)-Vu ^Е XuVu + п(р — Е Vu) + Ф(р)} +
(y,p) ueVveS+ (u) ueV ueV
+ Au = minj ^ (duv — Av) — Au — п УиI +
veV ueV veS+(u)
+ minjпр + ф(р)} + E Au.
ue V
Рассмотрим отдельно задачу минимизации по у, предполагая, что переменные уи являются непрерывными величинами на отрезке [0,1]:
ш1п{ Е [ Е - К)- - Аи - п Уи : 0 < Уи < 1}
и£У 'о£ё+(и)
В данной задаче необходимо минимизировать линейную функцию при параллелепипедных ограничениях. Решение задачи может быть записано как
(д) _ Г1, (й^ - ^) — Аи - П < 0
\0, (duv - ^) — Ди - П > 0-
Аналогично, подставим значения уи(А) в нашу формулу для вычисления значения функции Лагранжа С\(А,п), используя определение срезки, получим необходимое (2.2) □
Из полученной формулы можно сделать вывод, что сложность вычисления значения функции Лагранжа С\(А, п) составляет 0(п2), если сложность вычисления функции ф(-) является константой.
3. Вторая релаксация Лагранжа
Теперь построим релаксацию исходной задачи (1.7) - (1.13) ослабляя только ограничения (1.8):
£2 (А) _ шт { V Хиь + У2 Д'Л 1 - Уv - У2 Хил) + ф(р) :
(х.ь.п) < V . /
(x,y,p) \V&A v€V
Xuv < Уи, Vu,v е V; Е Vv = р]
vGV
u£S (v)
(3.1)
Теорема 2.
p
L2(А) = mpin{E pUk (A) + ф(р)}+ E Av > (3.2)
k=1 v€V
где pu(A) -- Xy (duv Av) Auj и pui (A) < pU2 (A) < • • • < pun (A)-
v£S+(u)
Доказательство. Перепишем (3.1) следующим образом:
£2 (A) - mini mini У2 У2 (duv - Av )xuv : Xuv < Vu\ -
(У,Р') X u€Vv&S+(u)
. (3.3)
- J2 AuVu + ф(р) : J2 Vu - p} + J2 Av ■
u&V u&V v€V
Далее проведем рассуждения аналогичные рассуждениям в теореме 1, т.е. выпишем следующую задачу на минимум:
^ ~ (duv ^)хим : 0 < Хим < уи] ■
и&У v&S+(u)
Получим ее решение
/ \ \ \yu, йим ^ < 0
Хим(А) _ <
- ^ > 0.
Подставим в (3.3), получим:
£2 (А) _ шт{Е[ Е (^ - А^)--Аи уи + ф(р) : ^ Уи _ р} + Е Аv ■
(у,р) и&у v&s+(u) и&у vëУ
Используя определение ри(А), запишем
£2(А) _ тт{тт{ ^ Ри(А)уи : ^ уи _ р} + Ф(р)} + Е Аv■
Р у иёУ иёУ v&У
Зафиксируем переменную р и рассмотрим отдельно задачу минимизации по у
тЦЕ Ри(А)уи : Е уи _ р}.
у и&у и&у
В данной задаче необходимо найти минимум линейной функции при одном линейном ограничении. Учитывая тот факт, что вершины щ, ■ ■ ■ ,ип упорядочены, нетрудно видеть, что решением такой задачи будет вектор у(А), в котором отличными от 0 будут ровно р координат, соот-ветсвующих наименьшим значениям величин ри(А), т.е. мы получаем необходимое (3.2). □
Заметим, что величины ри(А), введенные в формулировке теоремы, часто называют в литературе оценками Лагранжа соответствующими переменным уи.
Сложность вычисления значения функции Лагранжа £2(А), как и в первом случае, составляет 0(п2), поскольку выражение под минимумом по р вычисляется рекурсивно. Действительно, обозначим через
л Р
Ф(р,А) = Е рик(А). Тогда
к=1
£2(А) _ тт{^(р, А) + ф(р)} + Е Аv
реР ^У
и минимизируемая функция вычисляется по формулам: Ф(1, А) + ф(1) _ Ри1 (А) + ф(1)
ф(р, А) + ф(р) = ф(р - 1, А) + pUp(А) + ф(р) Ур = 2, п.
Таким образом, величину L2(A) можно легко вычислить перебором по р от 1 до п. В зависимости от вида функции ф(-) процедура перебора может быть упрощена. В случае, если функция ф(-) строго возрастающая на Р, то минимум достигается при р = 1, если ри1 > 0. В противном же случае необходимо выполнить перебор только на отрицательных оценках Лагранжа, что доказывается в следующем предложении.
Предложение 1. Пусть ф( ) строго возрастающая функция на P, тогда,
1. если ри1 (А) > 0, то
L2(A) = риі (А) + ф(1) + Av,
veV
2. если Ро(А) = {к Є P : рик (А) < 0} = 0, то
С2(А) = min{ф(р, А) + ф(р)} + Е Av.
P€Po vtV
Доказательство. 1. Если риі(А) > 0, то ф(р,А) < ф(р + 1,А),р Є Р. Учитывая, что функция ф(р) возрастающая на Р получаем необходимое.
2. Если Ро = Р, то предложение очевидно. Рассмотрим случай Ро = Р. Следовательно Эр Є Р :
рик (А) < 0 Ук = 1,... ,р;
рик (А) > 0 Ук = р + 1,..., п.
Покажем, что
■ф(р, А) + ф(р) < ф(р, А) + ф(р), Ур Є Р\Ро.
Запишем
p p p
Ф(р,А) = ^2 рик (А)+ Е рик(А) = ^(р,А)+ Е рик(А) > Ф(р,А). k=1 k=p+1 k=p+1
Учитывая, что фунуция ф(-) возрастающая, получим необходимое. □
В случае, если функция ф(-) не только строго возрастающая, но и выпуклая, существует единственный локальный минимум функции ф(р, А) + ф(р) при р Є Р, являющийся также глобальным, что доказывается в следующем предложении.
Предложение 2. Пусть ф( ) выпуклая, строго возрастающая функция на Р, тогда,
1. если
•0(1, А) + ф(1) < 0(2, А) + ф(2), (3.4)
то
(А) = 0(1, А) + ф(1) + Аь;
ь£У
2. если Эр £ {2,.. .,п — 1} :
0(р — 1, А) + ф(р — 1) > 0(р, А) + ф(р), (3.5)
0(р, А) + ф(р) < 0(р + 1, А) + ф(р + 1), (3.6)
тогда
Сч(А) = 0(р, А) + ф(р) + Е А'о. (3.7)
'€&У
Доказательство. 1. Рассмотрим приращения функций
Дф(р) = ф(р + 1) — ф(р),
Ар0(р, А) = 0(р + 1, А) — 0(р, А).
Тогда из формулы (3.4) следует, что
0(2, А) — 0(1, А) + ф(2) — ф(1) > 0,
то есть
Др0(1, А) + Дф(1) > 0.
По определению функции 0(-) и в силу выпуклости ф(-) получаем
Др0(2, А) > Др0(1, А),
Дф(2) > Дф(1).
Сложив эти неравенства, получим
Др0(2, А) + Дф(2) > Др0(1, А) + Дф(1) > 0.
Распишем левую часть неравенств
0(3, А) — 0(2, А) + ф(3) — ф(2) > 0,
0(3, А) + ф(3) > 0(2, А) + ф(2).
Проведя аналогичные рассуждения, получим
0(1, А) + ф(1) < 0(2, А) + ф(2) < ... < 0(п, А) + ф(п).
2. Аналогично первой части доказательства можно показать, что
0(р + 1, А) + ф(р + 1) < 0(Р + 2, А) + ф(р + 2) < ... < 0(п, А) + ф(п). (3.8)
Далее рассмотрим неравенства (3.5)
ф(р, А) — ф(р — 1, А) + ф(р) — ф(р — 1) < 0,
то есть
Дрф(р — 1, А) + Дф(р — 1) < 0.
По определению функций ф(-) и ф(-)
Дрф(р — 2, А) < Дрф(р — 1, А),
Дф(р — 2) < Дф(р — 1).
Тогда
Дф(р — 2, А) + Дф(р — 2) < Дф(р — 1, А) + Дф(р — 1) < 0.
Отсюда следует, что
ф(р — 1, А) — ф(р — 2, А) + ф(р — 1) — ф(р — 2) < 0,
ф(р — 1, А) + ф(р — 1) < ф(р — 2, А) + ф(р — 2).
Проведя аналогичные рассуждения, можно получить
ф(р, А) + ф(р) < ф(р — 1, А) + ф(р — 1) < ... < ф(1, А) + ф(1). (3.9)
Из (3.8),(3.9) можно сделать вывод, что точка р € P является точкой
минимума функции ф(р, А) + ф(р) при р € P, откуда следует справедливость (3.7). □
4. Численный эксперимент
Как известно, решение релаксированной задачи дает оценку для оптимального решения в исходной задаче. Дальнейшие рассуждения, для краткости изложения, будем проводить для функции Лагранжа, получающейся за счет ослабления только одного ограничени (1.8). Для нахождения наилучшей нижней оценки для оптимального значения в
нелинейной задаче о р -медиане необходимо найти max {Со (А)}. В нашем
AeRn
случае функция Лагранжа негладкая, поэтому для максимизации Со(А) воспользуемся субградиентным алгоритмом, который находит максимум посредством итерационной формулы:
Ак+ = Ак + ак д(Ак),
где д(Ак) — субградиент, подсчитанный на k-ой итерации по следующей формуле:
gv(Ак) = 1 — xuv(Ак) — yv (А) Vv € V,
u£S — (v)
в которой xuv (Ак), yv(Ак) — решения подзадач, полученные в ходе доказательства теорем 1, 2. Шаг ак подсчитывается по следующему эвристическому правилу, которое не гарантирует сходимости метода, но хорошо зарекомендовало себя на практике (см. [1, 2, 3])
вк(1.05 ■ BUB — С2(Ак)) ак = 1|д(Ак' )И2 '
где BUB - верхняя оценка, || ■ Ц2 - евклидова норма, Со(Ак) — значение функции Лагранжа на наборе множителей Ак, вк - параметр, в начале полагаемый равным 2 и уменьшаемый в два раза, если на протяжении 30-ти итераций не присходит улучшения нижней оценки [3].
В качестве критерия останова использовались следующие условия: малость разницы между верхней и нижней оценками, получаемыми на каждой итерации, т.е. малость величины BUB — Со(Ак), малость квадрата нормы субградиента ||д(Ак)||2, а также малость параметра вк.
Не вдаваясь в детали реализации субградиентного алгоритма, отметим только, что она схожа с реализацией для классической задачи о р-медиане (см. [1, 2]).
При проведении вычислительного эксперимента использовались два набора тестовых примеров размерности от 10000 до 20000 вершин, взятых из статьи [3]. Численный эксперимент проводился на компьютере с процессором Intel Core 2 Duo CPU 2.20GHz и 3Gb оперативной памяти.
Отметим, что данные наборы примеров сгенерированы для решения задачи о р-медиане с фиксированным числом медиан ро, это же касается верхних и нижних оценок полученных в статье [3]. Поэтому при тестировании разработанного алгоритма использовалась верхняя оценка, вычисленная по формуле BUB = UB + ф(ро), где UB — верхняя оценка подсчитанная в статье [3] для рассматриваемых наборов примеров с условием фиксированого числа медиан. Очевидно, что в некоторых случаях такая оценка может быть достаточно грубой. Заметим, что, как было показано в [3], второй набор примеров является более сложным для решения в случае фиксированного количества медиан ро.
Для тестирования алгоритма нами использовались два вида функции ф(-): ф(р) = р2 и ф(р) = 5р2.
Результаты работы метода представлены в таблицах 1 и 2 для ф(р) = р2 и ф(р) = 5р2 соответственно. В таблицах использовались следующие обозначения:
n — количество вершин;
Ро — число медиан для которых найдены верхние оценки в [3];
it — количество итераций алгоритма для каждой из релаксаций;
Err(%) — относительная погрешность (в процентах), которую часто называют разрывом двойственности, вычисленная по формуле Err = (BUB — L*)/BUB ■ 100%, где L* нижняя оценка, полученная в результате работы субгадиентного алгоритма;
Time — время работы алгоритма в секундах.
Таблица 1.
Результаты при ф(р) = р2
it Err(%) | Time
n Ро Li L2 Li L2 L1 Li
Набор 1
10000 100 757 697 0.026 0.015 75 77
15000 100 809 731 0.031 0.018 161 157
20000 100 1090 877 0.010 0.009 325 293
9600 64 791 723 0.009 0.007 82 71
12800 64 719 654 0.014 0.007 139 126
16000 64 819 732 0.007 0.010 208 203
19200 64 785 816 0.008 0.006 255 297
10000 25 877 816 5.504 5.449 90 96
12500 25 1124 857 8.276 8.232 156 137
15000 25 1133 948 10.885 10.617 216 199
17500 25 1264 1175 13.016 12.561 295 294
20000 25 1358 1119 15.181 14.537 396 422
Набор 2
10000 100 915 810 12.161 12.085 85 89
15000 100 1004 735 7.733 7.715 182 177
20000 100 1067 959 3.741 3.653 322 340
9600 64 1007 809 4.652 4.562 86 88
12800 64 1656 879 1.536 1.348 210 156
16000 64 1699 973 0.468 0.255 308 250
19200 64 1582 996 1.066 0.119 414 325
10000 25 1227 986 6.649 5.092 125 128
12500 25 1478 952 7.784 6.819 209 179
15000 25 1383 985 9.636 8.080 279 249
17500 25 1413 956 14.833 12.439 338 275
20000 25 1463 1076 14.512 11.981 467 395
Как можно видеть из таблиц, время счета с использованием первой релаксации в большинстве случаев превосходит таковое с использова-
нием второй. Так как сложность вычисления £1(А) и £2(А) составляет 0(п2), то причиной этому служит большее количество итераций, совершаемое субградиентным алгоритмом при максимизации функции А(А). Что касается качества получаемых оценок, то относительная погрешность в случаях, когда задача решалась с использованием второй релаксации, меньше во всех примерах.
Таблица 2.
Результаты при ф(р) = 5р2
it Err(%) Time
n Р0 L to * Lt L2 LI Lt
Набор 1
10000 100 1286 982 35.880 34.086 122 107
15000 100 1513 1455 19.663 19.007 278 281
20000 100 1974 1201 9.573 9.137 561 415
9600 64 1523 1025 4.961 4.733 144 108
12800 64 2970 1083 0.407 0.300 437 186
16000 64 1538 1083 0.585 0.055 329 271
19200 64 1515 1212 0.252 0.020 446 408
10000 25 1006 801 0.186 0.004 118 117
12500 25 942 848 0.090 0.012 168 181
15000 25 1148 920 0.014 0.007 262 250
17500 25 1370 867 0.046 0.006 387 283
20000 25 2079 1131 2.210 0.007 622 480
Набор 2
10000 100 1003 819 49.438 48.657 103 107
15000 100 1902 953 36.715 34.972 322 207
20000 100 1629 1135 33.259 31.203 488 420
9600 64 1345 800 34.886 31.999 127 105
12800 64 2672 983 22.727 21.346 400 198
16000 64 2122 1151 22.383 19.681 469 341
19200 64 1253 1155 21.365 16.653 425 453
10000 25 1338 1176 6.220 1.735 175 175
12500 25 6553 1164 4.870 1.157 975 245
15000 25 1337 1349 10.169 1.665 338 381
17500 25 1353 1266 8.016 0.494 437 425
20000 25 1572 1855 7.818 0.237 641 787
Как можно видеть из таблицы 1, относительная погрешность при Ф(р) = Р2 не превосходит двух сотых процента для примеров из первого набора с р0 = 100 и р0 = 64 в случае использования второй релаксации, и не превосходит четырех десятых процента в случае ис-
пользования в алгоритме первой релаксации, что говорит о хорошем качестве полученных оценок.
Для примеров из второго набора при ф(р) = р2 можно говорить о получении хорошей нижней оценки для задач с 64 медианами, а именно для примеров с 16000 и 19200 вершин. Относительная погрешность в них не превосходит трех десятых процента с использованием второй релаксации и двух процентов с использованием первой. По таблице 2 можно сделать вывод, что при увеличении штрафа ситуация меняется. Можно говорить о хороших нижних оценках для всех примеров с 25 медианами. Относительная погрешность в случае применения первой релаксацией не превосходит двух сотых процента, а в случае применения второй — 1.75%. При этом можно заметить, что, используя первую релаксацию, удалось улучшить оценки не только для примеров с 25 медианами, но и с 64 (см. табл. 2). Но их точность значительно уступает результатам, полученым с помощью релаксации £2(А).
На основании проведенного эксперимента можно сделать вывод, что при выборе различных функций штрафа ф(-) можно получить приемлемые нижние оценки с малым разрывом двойственности для всех примеров из первого набора. Что касается примеров второго набора, то здесь присутствуют задачи разрыв двойственности для которых очень велик даже при варировании штрафа. Можно предположить, что выбранная функция штрафа не соответствует структуре примеров, поэтому возникает вопрос о поиске верхних оценок в данных задачах, что может быть направлением дальнейших исследований.
Список литературы
1. Avella P. Computational study of large-scale p-median problems / P. Avella, A. Sassano, I. Vasil’ev // Mathematical Programming. - 2007. - Vol. 109, N 1. - P. 89-114.
2. Beasley J. E. Lagrangean heuristics for location problems / J. E. Beasley // EJOR. - 1993. - Vol. 65, N 3. - P. 383-399.
3. Data clustering using large p-median models and primal-dual variable neighborhood search / P. Hansen, J. Brunberg, D. Urosevic, and N. Mladenovic // Technical Report. - Les Cahiers du GERAD, 2007. - ISSN: 07112440,
4. Hansen P. Cluster analysis and mathematical programming / P. Hansen, B. Jaumard. // Mathematical Programming. - 1997. - Vol. 79, N 1-3. - P. 191-215.
5. Hansen P. Variable neighbourhood decomposition search / P. Hansen, N. Mladenovic, D. Perez-Brito // Journal of Heuristics. - 2001. - Vol. 7, N 4. -P. 335-350.
6. Kariv O. An algorithmic approach to network location problems. II: the p-medians / O. Kariv, L. Hakimi. // Operations Research. - 1979. - Vol. 37, N 3. - P. 539-560.
7. Mirchandani P. Discrete facility location with nonlinear diseconomies in fixed costs / P. Mirchandani, R. Jagannathan. // Annals of Operations Research. - 1989. -Vol. 18, N 1. - P. 213-224.
8. The p-median problem: A survey of metaheuristic approaches / N. Mladenovic, J. Brimberg, P. Hansen, J. Moreno-Perez // EJOR. - 2007. - Vol. 179, N 3. - P. 927-939.
9. Resende M. G. C. A grasp with path-relinking for the p-median problem M.G.C. Resende, R.F. Werneck // Technical Report TD-5E53XL, AT&T Labs Research, 2002.
I. L. Vasilyev, A. V. Ushakov
Lagrangian relaxations for the nonlinear p-median problem
Abstract. In this paper we study a modification of well-known p-median problem, in which the number of facilities is a non-fixed value. We consider the problem statement and propose a heuristic method to get lower bounds of the optimal values.
Keywords: the p-median problem, Lagrangian relaxation, lower bounds; subgradient algorithm.
Васильев Игорь Леонидович, кандидат физико-математических наук, доцент, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134 тел.: +7-9148752836 (vil@icc. ru)
Ушаков Антон Владимирович, аспирант, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134 тел.: +7-9834198591 (anton.v.ushakov@gmail.com)
Vasilyev Igor, Institute of System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, 134, Lermontov St., Irkutsk, 664033 Ph.D., docent, Phone: +7-9148752836 (vil@icc.ru)
Ushakov Anton, Institute of System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, 134, Lermontov St., Irkutsk, 664033 post-graduate student, Phone: +7-9834198591 (anton.v.ushakov@gmail.com)
