Рекуррентное вычисление нижних границ РАО — Крамера в байесовских задачах с нелинейными измерениями при постоянном векторе состояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 519.245, 519.244

Д.Г. Арсеньев, Н.А. Берковский

РЕКУРРЕНТНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НИЖНИХ ГРАНИЦ РАО — КРАМЕРА В БАЙЕСОВСКИХ ЗАДАЧАХ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ИЗМЕРЕНИЯМИ ПРИ ПОСТОЯННОМ ВЕКТОРЕ СОСТОЯНИЯ

В задачах оценивания функций от вектора состояния стохастической системы по результатам наблюдений важную роль играет потенциальная точность [1]. В рамках байесовского подхода потенциальная точность характеризуется среднеквадратическим отклонением оцениваемой функции от значения оценки. Среднее вычисляется по совместному распределению вектора состояния, значение которого неизвестно наблюдателю, и вектора, содержащего результаты измерений. Потенциальная точность показывает, какая ошибка (в среднем) совершается при использовании той или иной методики оценивания. Как правило, при нелинейном характере измерений определение потенциальной точности сопряжено с большим объемом вычислений. Причина в том, что соответствующий расчет требует многократного вычисления самой оценки, которая в большинстве случаев не имеет аналитического выражения. С другой стороны, хорошо известно, что потенциальную точность можно оценить снизу при помощи неравенства Pao — Крамера [1 — 3]. В байесовских рамках границы Pao — Крамера устанавливают нижний предел для среднеквадратической ошибки весьма широкого класса оценок, в том числе и смещенных, поэтому они часто применяются при анализе точности процедур оценивания. Их значения зависят только от совместного распределения вектора состояния и вектора измерений, но не от применяемой процедуры оценивания, вследствие чего они легче поддаются расчету, чем ковариационная матрица, характеризующая

потенциальную точность. Тем не менее, при большом количестве измерений для определения нижних границ Pao — Крамера необходимо вычислять интегралы высокой кратности с точностью, гарантирующей корректное обращение информационной матрицы Фишера. Фактически единственным инструментом для расчета таких интегралов является метод Монте-Карло, но его прямое применение для нижних границ обычно неэффективно, так как высокая кратность порождает большую дисперсию. Метод же существенной выборки, уменьшающий дисперсию, надо применять к нескольким различным интегралам, следовательно, для каждого элемента матрицы Фишера потребуется отдельная плотность генерации случайных точек. Для ситуации, когда вектор системы меняется во времени, представляя собой марковский процесс, в научной литературе описаны разнообразные рекуррентные формулы. Эти формулы сводят проблему к вычислениям интегралов меньшей кратности и имеют весьма сложную структуру [2, 3]. Однако случай постоянного вектора состояния, по-видимому, обойден вниманием исследователей. В статье приводится вывод и результаты тестирования рекуррентной формулы для расчета нижних границ по Pao — Крамеру в предположении, что вектор состояния не меняется во времени. С использованием полученной формулы для ряда из шестидесяти измерений вычисляются нижние границы для ошибок оценок координат объекта в задаче о слежении по пеленгу. Результаты сравниваются с границами, рассчитанными по

основной нерекуррентной формуле, а также вычисленной методом существенной выборки [2] условной потенциальной точностью. Показано, что рекуррентный подход, практически не проигрывая в точности, существенно ускоряет вычисления. Заметим, что предлагаемая рекуррентная формула отнюдь не следует из известных в литературе рекурсивных соотношений для нестационарного вектора состояния.

Постановка задачи

Пусть эволюция физической системы во времени описывается случайным вектором у е Rn с плотностью распределения р (у), и требуется в любой из дискретных моментов времени ^ (/ = 1,2,...) определить значение вектор-функции фг (у): Rn ^ Rp. Истинное значение V неизвестно, однако в г'-й момент времени доступен ряд зашумленных измерений

Уи =[УХ,У2,..., У/], У, е К", к = й .

Кроме того, известно выражение для совместной плотности распределения р (у, ун) случайных векторов V и ун . Допустим, вычислитель пользуется оценкой фг- (у1./) для того, чтобы оценить значение функции фг- (у). Тогда потенциальная точность процедуры оценивания характеризуется матрицей

P = Ep(v,yW (y1:i) --4% (v))(% (yi:i )"ф/ (v)í l

разность матриц положительно определена, соответственно, диагональные элементы левой части не меньше, чем диагональные элементы правой. В формуле (2) матрица Jг■ — это информационная матрица Фишера [1, 2], определяемая по формуле

(3)

(1)

которую обычно называют ковариационной матрицей ошибок [1, 2]. Здесь и далее символ Epq обозначает математическое ожидание по

распределению с плотностью p (•). Основной интерес представляют диагональные элементы этой матрицы, так как квадратные корни из них — это среднеквадратические погрешности определения компонент искомого вектора Фг- (v). Теперь приведем байесовский вариант неравенства Pao — Крамера [2]:

P -pW{ Jv,{ff. (2)

Знак неравенства между матрицами в формуле (2) следует понимать в том смысле, что

Ji = EР(v,yi:,. )Х x{Vv ln(P(v,У1,))Vvr ln(P(v,У1,))} = = jvv ln(P(v,yb-))x xVvT ln (p (v, ytí )) p (v, yi:i) dsdyi:i.

Запись i 1 обозначает якобиан вектор-

\dv J P

функции фг (v). Произведение матриц в правой части (2) и определяет нижние границы по Pao — Крамеру. Неравенство (2) верно для широкого класса оценок фг- (yi7-), в том числе и смещенных. Более точные условия можно найти в монографии [2]. Следует отметить, что практически все более или менее рациональные процедуры оценивания подчиняются неравенству (2). Как видно из формулы (3), наибольшую сложность для расчета нижних границ представляет матрица Фишера, так как все ее элементы — это интегралы кратности n + im . При достаточно большом числе измерений их приближенное вычисление требует больших затрат компьютерных ресурсов. В следующем параграфе выводится рекуррентная формула для матрицы Фишера Ji, позволяющая свести задачу к приближенному вычислению интегралов кратности n + m.

Рекуррентная формула для матрицы Фишера

Теорема 1. Пусть измерения yi,y2,..., yi взаимно независимы. Тогда информационная матрица Фишера Ji в формуле (3) удовлетворяет рекурсии

J, = J

i-i"

+E.

P(v,y( ){vv ln (P (yilvЖ ln (P (yi | v))-

-2

(4)

:AP(y,-|v) / P(y,-|v)} (i = 2,3,...); Ji = e p( v,yi ){Vv ln ( P ( v, yi )K ln ( p ( v, yi))}.

Символ v Ap(yi | v) обозначает матрицу из вторых производных по компонентам вектора

I ^ I

состояния <-р (yi |уН . Подразумевается, что все входящие в соотношения (4) производные существуют и непрерывны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку ух, у2,..., у, взаимно независимы, то

I

Р ( V Уы ) = Р ( ▼ )П Р ( У к^ )=

к=1 (5)

= Р(VУы-1)Р(У, ). следовательно

( - Л 1п ( Р (¥' У 1:г )) = 1п Р )П Р (Ук ) =

V к=1 = 1п [Р (V, У1-_1) Р (У,- \ V)] = = 1п (Р (V У1:,-_1)) +1п (Р (У- \v)),

отсюда

V V 1п ( Р ( V, У1-- )) = = Vv 1п (Р (V, УЬ-_1 )) + Vv 1п (Р (У- IV)). Далее,

Vv 1п ( Р ( V, УЬ- ))-У> ( Р ( V, У1-- )) = = [У V 1п (Р (V, У,,-_1 )) + Vv 1п (Р (У- \ V))]х X ^У^ 1п(Р (v, У1-_1)) + VI 1п(Р(У,- \ V))] = = ^ 1п (Р (V, У1,-_1 Ж 1п (р (V, У1,_1))+ (6) + Vv 1п (Р (V, Уь-_1 Ж 1п (Р (У, \ V)) + + Vv 1п(Р(У, \ V))УтТ 1п(Р(V,У1,_1)) + + Vv 1п (Р (yI.\v))У^ 1п (Р (yI.\v)).

Подставляя выражение (6) в формулу (3), получаем иной вид матрицы Фишера:

Jг- = Е^ 1п ( Р ( V, У1, _1 ))УтТ 1п ( Р ( V, Уи _1))} + + Е{УV 1п(р(V,Уи_1 ))УТ 1п(Р(У, \ V))} + + E{Vv 1п(р(У, \v))У^ 1п(р(V,Уь._1))} + + Е{УV 1п(р(у, \ V))У^ 1п(р(У, \ V))},

откуда, пользуясь формулой для транспонирования произведения матриц, приходим к равенству

Jг- = Е{У V 1п ( р ( V, У,, _1 ))УТ 1п ( р ( V, У,, _1))} + + E{Vv 1п(р(V,У1:,_1 ))У^ 1п(р(У, \ V))} +

Т (7)

+ Е |уV 1п(Р(V,У1:,_1 ))У^ 1п(р(У, \ V))} + + E{Vv 1п(р(У, \ V))У^ 1п(р(У, \ V))}.

Преобразуем слагаемые последнего выражения из этого равенства(7) . Имея в виду, что

Vv 1п(р(V,У1:,_1 ))УтТ 1п(Р(У, \ V)) =

= ^(Р(v,Уь-1 ))£1п(Р(У>))Г , (8)

1 к,]=1

напишем следующую цепочку равенств:

Е(р (V-У»■ »абг< р <' »[■

^ Р (v, Уи-1 р (У, \v)

дУк дУ]

Р ( V У1:, )

= \-УГР (^ Уц-х (v) дУ\ =

ЗУ;

I=1

= !

д

Р ( V, У1:!-1)] ( У г \ V )\ Ук

д

2

Р (v, У1:;-1 Р (У' \ V) ёУк

1 дук дУ]

&-к П йУ1 =

(9)

I=1

д'

= ~1 Р(v,У1:!-1 Р(У, \v)^ПйУг =

дУк дУ] I=1

д2 ( , 1 \ = '¡^ТР<У \v$Р(v'У")П*У1 ^ = к]

д2

2

I=1

= ~^зУ~зТ: ^ Р (^ Р (v ^ ^ =

к]

-Е

52

дУк ду

Р (У, \v)

/ Р (У, \ V)>

Символ йУ_к в (9) обозначает элемент (и-1)-мерного объема

Е

dv-k =П dvs •

s=1 s

При интегрировании по частям в (9) учтено,

что lim p(v,yH-1 ) = 0. Таким образом, из ра-

vk

венств (8) и (9) получаем упрощенное выражение для суммы второго и третьего слагаемых из формулы (7):

E

{v v ln (p (v, У1, _1 ))vV ln (p (yjv))} +

+ e|vvln(p(y, |v))VVln(p(v,yi,_i))}= (10)

= "2Ep(v,y¡){ v Ap (У, I v ) / p (y,|v ^

где v Ap (y, | v) обозначает матрицу из вторых производных по компонентам вектора состоя-

Г 2 Т n

я2

ния

8vk dv

p ( У, I v )¡

j i k,j=1 Теперь упростим четвертое слагаемое из равенства (7):

E{Vv ln (p (y,|v ))Vvr ln (p (y,|v ))} =

= |Vv ln(p(y, I v))Vvr ln(p(y, I v))x

x[íp(v,УЪ--1 )Т№к |p(y, 1 v)dvdy¡ =

(11)

= K ln (p (y, I v))Vvr X X ln (p (y, I v)) p(v)p (y, I v) dvdyi =

= Е р( у,у/){уу1п (р (У/|у Ж1п (р (У/|у ))}■

Наконец, для первого слагаемого в равенстве (7) имеем представление

Е{У у 1п (р (у, уы_1 ))уу 1п (р (у, уы_1 ))} =

= \Уу 1п (р (у, У1./_1)) Уу 1п (р (у, У1./_1)) х

/-1

х р (у, У1:/-1) ^П ЛУк | Р ( У/ I у) ^ = (12)

к=1

= Е р(у,У1:/-1 )Х х{у у 1п ( р ( у, У1./_1 ))уу 1п ( р ( у, У1./_1))} = J¡■ _!■

В итоге из равенств (10) — (12) выводим требуемое рекуррентное соотношение. Теорема 1 доказана.

Преимущество перехода к расчету матрицы Фишера по формулам (4) вместо использования нерекуррентной формулы (3) состоит в том, что в (3) математическое ожидание берется по пространству размерности im + n , а в (4) размерность пространства равна m + n. Это обстоятельство позволяет значительно сократить объем вычислений.

Расчет нижних границ Рао — Крамера методом Монте-Карло

В правой части неравенства Pao — Крамера фигурируют три матрицы, которые в общем случае нужно вычислять приближенно. По сути, надо вычислить с достаточной точностью толь-

■- [дф, i T_i ко две из них: Ep^v^ <! }> и J,

Ситуация с

оценкой погрешности для матрицы E p^ v ^ <j

вполне стандартная: можно воспользоваться методом Монте-Карло [2], генерируя элементы

якобиана -^у- (у) с плотностью р (у), и по выборочной дисперсии определить погрешность.

_1

Что касается матрицы J/■ , то положение осложняется тем, что метод Монте-Карло применяется не к самой J/, а к обратной ей информационной матрице Фишера. Поэтому матрицу Фишера нужно аппроксимировать с такой погрешностью, чтобы обеспечивалось достаточно точное вычисление обратной матрицы.

В настоящем параграфе приводятся алгоритмы

_1

для расчета матрицы J/■ методом Монте-Карло и анализируется погрешность вычислений. Напомним хорошо известный факт [4] из теории приближенного решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Теорема 2. Пусть матрица и свободный член СЛАУ заданы с некоторой погрешностью и наряду с системой уравнений Аи = Г рассматривается система

(A + ДА)(u + Au ) = f + Af.

AAll

Пусть существуют А 1 и A—¡p < 1, где

A

A) — число обусловленности. Тогда

Ли

КА)

и 1 -ц( а )||да||||л

1-1

11д11 11Аа||

I

А

. (13)

Знак || || обозначает любые согласованные векторные н матричные нормы. Б е з д о к а з а т е л ь с т в а. Пусть AJi— и Д, — погрешности вычислений Jг — и Jг-. Из (13) несложно вывести, что

К Г / К1 )■

к

ККг )||Ж

ЖЖ (14)

к = 1,п,

где (Д,^ к и (ж ,-1 ^ к _ СТ0Л5цЫ матриц _1 _1

К и . Введем критерий точности при_1

ближенного вычисления матрицы как

-пк ,(¥-п<к)

КГ / (КГ')'

<8, к = 1, п. (15)

К, )||дК , ||(| К ||-ц( К, )(, I)"1 <8; Ж ||К )К |> 0.

(16)

к=1

АК. = 3N-1П

N

Р (V(k), У(к ^); ст( ,1 ^ — матрица из выборочных среднеквадратических отклонений элементов матрицы К,; N — число реализаций метода Монте-Карло.

Условием остановки калькуляции служат неравенства (16). При расчете информационной матрицы Фишера с использованием рекурсии (4) метод Монте-Карло применяется I раз, на каждой итерации. Формулы в этом случае будут иметь вид

N ^ 1п(р(У(к> |у1(к> ))уТ 1п(Р(У(к> |у1(к>))

Тогда, опираясь на неравенства (13) и (14), в качестве условия для остановки вычислений можно взять соотношения

к=1

N

2 V АР (У/к >\у(к >) / р (У/к )\у(к))

---------, ¡> 1;

N

К , = К /-1 + S „ 1> 1;

AS, = 3N 1> 1;

. N Vv 1п(р(у(к),У1(к)))< 1п(Р(у(к),У1(к>)) К1 =

(18)

к=1

AS1 = 3N ~1/2

N

В формулах (16) волнами над буквами обозначены приближенные значения соответствующих матриц. Теперь, если алгоритм для вычисления матрицы Фишера таков, что погрешность стремится к нулю, то рано или поздно будут выполнены неравенства (16), а вместе с ними и критериальные соотношения (15) для относительных погрешностей. Формулы для нереккурентного вычисления матрицы Фишера методом Монте-Карло имеют следующий вид:

_ N ^ 1п(р(V« У(кV, )).утТ 1п(р(у(k),у%))

Ж = ^—^-'\т—^-А (17)

где (v(k), У/к)), к = 1, N , — независимые векторы , распределенные с плотностью Р(v(k), У /к)); ст^,) — матрица из выборочных

среднеквадратических отклонений элементов матрицы Sг■; N — число реализаций метода Монте-Карло.

Однако условие остановки вычислений несколько изменится по сравнению с соотношением (16), а именно, это будет совокупность неравенств

К, )||д^. ||(|| К, ||-ц( К, Ц)"1 <8;

Ж ||-ц(К, |> 0; , = 1,2, ....

(19)

где (v(k), У(к1), к = 1, N , — независимые векторы, распределенные с плотностью

Разумеется, при рекуррентном подходе накапливается неучтенная погрешность, возникающая из-за того, что в формулах (18) приближенное значение Крассматривается как точное, но, как показывает приведенный ниже численный пример, это обстоятельство не играет большой роли.

Численный эксперимент

В качестве задачи для исследования эффективности рекурсивной формулы (4) была выбрана задача об определении координат объекта на основе зашумленных данных о пеленге, получаемых в дискретные моменты времени. Приведем постановку задачи (рис. 1).

Пусть наблюдаемый объект с координатами

x (t ) = ( х1 (t), X 2(t))

движется по плоскости в

соответствии с законом равномерного прямолинейного движения

X (7 ) = X 0 + vt,

где у = | V1, V2 ^ — вектор постоянной скорости;

х 0 = ^ х0, х2 ^ — начальное положение объекта.

Начальное положение предполагается известным, а для вектора скорости у = |V1,V2 ^ известна лишь плотность распределения вероятности р (у). Наблюдатель находится в начале координат. В моменты времени ^ = /к , где i = 1, 2,... , а к — шаг по времени, производятся измерения пеленга на объект. Эти измерения подвержены шумам, которые здесь мы считаем процессом гауссовского белого шума, поэтому модель измерений выглядит как

2 2 1 1 у = а^1е(х0 + V /к, х0 + V iк) + ,

где

(20)

Рис. 1. Постановка задачи о слежении по пеленгу; х •) = (х1 ), х2 )) — координаты движущегося объекта

arctg (х2/ х1х1 > 0; angle(х1, х2) = < arctg(х2/ х1 ) + х1 < 0, х2 > 0;

arctg (х2/ х1 х1 < 0, х2 < 0,

и w

случайные взаимно независимые величины, распределенные с гауссовской плотностью

N(щ ,0, г) = (2пг2 )"0'5 ехр (-м,2 /2г2).

Требуется в /-й момент времени оценить положение объекта х ), зная результаты измерений уи = [У1, У2, У1 ] .

Приведенная постановка является частным случаем более общей задачи о слежении, рассмотренной в [5]. Покажем, что в этой постановке задача является частным случаем общей схемы, о которой говорится в первом параграфе статьи. В самом деле, поведение системы во времени полностью определяется вектором

скорости у = ^V1, V2 ^, значение которого неизвестно, но известна плотность вероятности р (у). Оценить на основании ряда измерений У1:/ = [У\, У2, У[] в момент времени 7 = требуется вектор-функцию ф, (у) = х0 + у/к. Численный эксперимент проводился при следующих значениях входящих в задачу параметров:

x

0 =( 955; 100); r = 1°; h = 5с; p(v) = N(v, (-6; 8), 0,25E);

где N(v, m, S) — стандартное обозначение для многомерного гауссовского распределения с ожиданием m и ковариационной матрицей Z, E — единичная матрица.

При перечисленных значениях параметров совместная плотность p (v, y17-), входящая в нерекуррентную формулу (3), принимает вид

p(v,У1;/) = N(v, (-6; 8), 0,25E)х

хП N (yk, angle (х^ + v 2kh, х^ + v1kh), r).

k=i

Плотности же p (y¡ | v) и p (v, y¡), входящие в рекурсивные соотношения (4), будут равны

Р (У i I v) = N (y ,angle(x2 + v 2kh, x0 + vlkh),r);

p (v, y. ) = N (v, (-6;8),0,25E )x xN (y¿ ,angle(x2 + v2kh, x0 + vlkh), r

Условная потенциальная точность оценки (21) определяется ковариационной матрицей

Матрица Еру^ | из формулы (2), ввиду линейности функции фг- (V) = х0 + , имеет вид Е р^ v ^ | ^^ [ = i'hE.

Нижние границы Pao — Крамера вычислялись двумя методами: с использованием основного нерекуррентного равенства (3) и с применением рекурсии (4). Результаты моделирования отражены на рис. 2. Помимо линий нижних границ, показаны величины условной потенциальной точности, полученные для байесовской оптимальной оценки координат объекта при помощи весьма точного нерекуррентного метода существенной выборки [6]. Байесовская оптимальная оценка [2] определяется соотношением

Г ( У 1:i ) = E p( v|y1:,. )К ( v )} = E Р( v|yi:i )(Х 0 + vihl-

(21)

р opt _ e

„ v|y„,{(«" (У 1:i) -

-Ф, ( v ))(ФГ ( У!. (v )f }.

(22)

В соотношениях (21) и (22) p (v | yh-) — апостериорная плотность распределения вектора v, при условии, что известен ряд измерений У17- . Для линий потенциальной точности на рис. 2 этот ряд был получен моделированием. Оценка (21) оптимальна в том смысле, что ее среднеквадратическая ошибка по апостериорной плотности минимальна [1]. Из рис. 2 видно, что нижние границы Pao — Крамера, подсчитанные рекуррентным и нерекуррентным методами, практически совпадают, а линии потенциальной точности оптимальной байесовской оценки расположены выше нижних границ. Оценки Pao — Крамера обладают в приведенном примере хорошей точностью, поскольку разница между истинным значением потенциальной точности и нижней границей относительно мала. Несмотря на то, что границы Pao — Крамера, определенные формулой (2), оценивают снизу безусловную ковариационную матрицу (1),

Рис. 2. Результаты моделирования нижних границ Pao — Крамера двумя методами: нерекуррентным (1, 4) и рекуррентным (2, 5), а также кривые байесовской оптимальной оценки потенциальной точности (3, 6). Приведены данные для аргументов x1 (1, 2, 3) и x2 (4, 5, 6)

из анализа данных рис. 2 можно заключить, что с ее помощью хорошо оценивается и условная ковариационная матрица (22). Этого и следовало ожидать при невысоком уровне априорной неопределенности, имеющем место в случае плотности

р(у) = N(у, (-6;8),0,25Е).

В результате проведения расчетов получены следующие значения времени работы Т (в секундах) на ЭВМ по вычислению нижних границ двумя методами: рекуррентным (Р) и нерекуррентным (НР) при различном количестве измерений /:

/ Т, с

Р НР

60 ...... 26 1810

30 ...... 12 490.

Из представленных результатов следует со всей очевидностью, что рекуррентный метод расчета значительно эффективнее.

Итак, в работе получена рекуррентная формула для вычисления нижних границ Pao — Крамера в случае постоянного вектора состояния, и на примере задачи о слежении по пеленгу проанализирована эффективность ее использования. Показано, что рекуррентный подход позволяет значительно сократить время вычислений практически без потерь точности. Проведено сопоставление полученных нижних границ с потенциальной точностью для оптимальной байесовской оценки, которое подтвердило основные теоретические положения. Разработанный рекуррентный метод может быть рекомендован к использованию во всех ситуациях, удовлетворяющих условиям его применимости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Степанов, О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1. Введение в теорию оценивания [Текст]/ О.А. Степанов.- СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2009. — 496 с.

2. Doucet, A. Sequentiual Monte-Carlo methods in practice [Текст] / A. Doucet, N. Freitas, N. Gordon .— New York: Shpringer-Verlag, 2001.- 581 p.

3. Long, Z. Conditional posterior Cramer — Rao lower bounds for nonlinear sequential Bayesian estimation [Электронный ресурс]/ Z. Long, N. Ruixin, P.K. Varshney// [2011] URL: www.people.vcu.edu/.../ zuo&etal_tsp11.pdf

4. Даугавет, И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. [Текст]/ И.К. Даугавет.— СПб.: БХВ-Петербург, 2006.-288 с.

5. Арсеньев, Д.Г. Эффективный выбор плотности распределения случайной сетки при решении задачи о слежении по азимуту методом Монте-Карло [Текст] / Д.Г. Арсеньев, В.М. Иванов, H.A. Берковский// Научно -технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2011.— № 2 (138).- С. 109-116.

6. Арсеньев, Д.Г. Метод существенной выборки при нерекуррентной схеме обработки в задачах фильтрации с нелинейными измерениями [Текст] / Д. Г. Арсеньев, O.A. Степанов, H.A. Берковский// Матер. XXVIII конф. памяти H.H. Острякова. — СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн ЦНИИ "Электроприбор"», 2012. - С. 31-32.

УДК 519.63

М.А. Чурилова

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПОДХОДА К АДАПТИВНОМУ РЕШЕНИЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В инженерную практику прочно вошло использование пакетов прикладных программ, которые позволяют получать приближенные решения задач, связанных с моделировани-

ем поведения объектов различной природы. Практически любая современная инженерная разработка включает в себя расчеты для обоснования ее целесообразности, надежности и