Реконструкция дефектов в упругих телах сочетанием генетического алгоритма и метода конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА MECHANICS

УДК 539.37 DOI 10.12737/19686

Реконструкция дефектов в упругих телах сочетанием генетического алгоритма и метода конечных элементов*

А. Н. Соловьев1, М. Ю. Шевцов2**

1,2Донской государственный технический университет, г.Ростов-на-Дону, Российская Федерация

Reconstruction of defects in elastic bodies by combination of genetic algorithm and finite element method*** A. N. Solovyev1, M. Y. Shevtsov2**

1,2Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation

Проведено моделирование системы неразрушающего контроля Modeling of the non-destructive testing system of defects in дефектов в твердых телах. Рассматриваются обратные solids is performed. Specifically, the inverse geometric problems

геометрические задачи теории упругости для плоской of the elasticity theory for a flat rectangular area on

прямоугольной области по реконструкции круговых полостей . , ■.■ , , , , ■ , ,

г j г rj rj reconstructing circular cavities and cracks breaking the body

и трещин, выходящих на поверхность тела. Дополнительной .

surface are considered. Additional information for solving these

информацией для решения этих задач является набор первых

четырех собственных резонансных частот. Решение обратных problems is a setting of the first four natural resonance

задач основано на минимизации функционала невязки между frequencies. The inverse problem solution is based on the

измеренной входной информацией и рассчитанной в ходе minimization of the residual functional between the measured

численного решения прямых задач с заданными параметрами input source information and the data calculated during the

дефектов. В качестве инструмента решения прямых задач numerical solution of direct problems with the given parameters

используется метод конечных элементов, реализованный в of defects. As a tool for solving direct problems, the finite

программе FlexPDE. Минимизация функционала , ^ ^ . . . . ,

element method implemented in F lexPDE program is used. The

осуществляется с помощью генетического алгоритма (ГА),

functional minimization is carried out by using a genetic реализованного в разработанной программе GAFEMNDT. В job

работе описан алгоритм этой программы и настройки ГА, a^rilhm (GA) mplemented in the developed GAFEMNDT

которые используются в численных экспериментах. program. The program algorithm and GA settings used in the

Приведены результаты этих экспериментов по определению numerical experiments are described. The experiments results on

параметров дефектов (координат центра, радиуса, координат determining parameters of defects (coordinates of centre, radius,

выхода трещины на поверхность и ее размер). Эти результаты coordinates of surface cracking and its size) are presented. The

показывают достаточность дополнительной информации для results demonstrate adequacy of the additional information to преодоления некорректности задачи, а также высокую

overcome the problem ill-posedness, as well as high efficiency of

эффективность предложенного алгоритма, как в точности

the proposed algorithm both in accuracy of detecting defects

определения параметров дефектов, так и в скорости их поиска.

parameters, and in their search speed.

Ключевые слова: генетический алгоритм, метод конечных Keywords: genetic algorithm, finite element method, non-элементов, неразрушающий контроль. destructive testing.

Введение. Неразрушающий метод контроля (НРК) — контроль свойств и характеристик объекта, при котором

ей

не должна быть нарушена пригодность объекта к использованию и эксплуатации. Способ НРК прочности заключается ^

К

в том, что исследуемая конструкция или материал не подвергается механическим разрушениям, контроль ^ осуществляется косвенно путем измерения и математического анализа физико-механических величин, отвечающих за

Modeling of the non-destructive testing system of defects in solids is performed. Specifically, the inverse geometric problems of the elasticity theory for a flat rectangular area on reconstructing circular cavities and cracks breaking the body surface are considered. Additional information for solving these problems is a setting of the first four natural resonance frequencies. The inverse problem solution is based on the minimization of the residual functional between the measured input source information and the data calculated during the numerical solution of direct problems with the given parameters of defects. As a tool for solving direct problems, the finite element method implemented in FlexPDE program is used. The functional minimization is carried out by using a genetic algorithm (GA) implemented in the developed GAFEMNDT program. The program algorithm and GA settings used in the numerical experiments are described. The experiments results on determining parameters of defects (coordinates of centre, radius, coordinates of surface cracking and its size) are presented. The results demonstrate adequacy of the additional information to overcome the problem ill-posedness, as well as high efficiency of the proposed algorithm both in accuracy of detecting defects parameters, and in their search speed.

Keywords: genetic algorithm, finite element method, nondestructive testing.

* Работа выполнена в рамках инициативной НИР.

**E-mail: [email protected], [email protected]

The research is done within the frame of the independent R&D.

прочностные свойства конструкции или материала.

Существующие методы неразрушающего контроля, такие как радиоволновой, оптический, капиллярный, тепловой, а также радиационный хорошо зарекомендовали себя и успешно используются в производстве и не только. Но с развитием техники и планомерным увеличением удельной производительности ЭВМ возникают новые возможности для проведения неразрушающего контроля. Одним из таких способов является использование эволюционных алгоритмов при распознавании измеряемой акустической информации об инспектируемом объекте. Среди этих методов наибольшее распространение в задачах дефектоскопии получили применение искусственных нейронных сетей (ИНС) и генетических алгоритмов (ГА) на этапе минимизации функционалов невязки между измеренной и рассчитанной информацией. Так применению ИНС при идентификации трещиноподобных дефектов в различных конструкциях посвящены работы [1-4] и др. Разработку и использование ГА в задачах идентификации механических свойств упругих тел и реконструкции дефектов можно найти в работах [5-8], в которых в качестве измеренной информации используются данные о вибрации тел или их резонансных частотах.

В настоящей работе показана работоспособность сочетания метода конечных элементов и генетического алгоритма для решения задач НРК, на примере определения параметров внутренней круговой полости и прямолинейной трещины выходящей на поверхность упругого прямоугольника. Идентификация дефектов основана на минимизации функционалов невязки между данными о наборе первых четырех его резонансных частот.

Постановка обратной задачи. Рассмотрим установившиеся колебания с круговой частотой ю упругого тела, занимающего конечную односвязную область V с границей £ . Граница области может быть описана объединением непересекающихся областей £ = £1 и £2 и £3, причем на £ заданы кинематические, а на £2 — силовые граничные условия. Множество £3 — это неизвестные границы дефекта (трещина, выходящая на поверхность, внутренняя полость), свободные от напряжений.

Амплитудные характеристики этих колебаний удовлетворяют системе дифференциальных уравнений линейной теории упругости [9]:

СТу,у = рю2мг, Сту. = с1]к1ик,1 I = \ 2, 3 , X 6 V, (1)

и граничным условиям прямой краевой задачи

и £ = и((1) , и £ = СТЦтз £ = Рг , и £ = 0 (2)

где иг1, ^ — компоненты векторов смещений и напряжений; сг]к1 — компоненты тензора упругих постоянных; р — плотность.

В обратной задаче внутренние границы области £3 являются неизвестными, информацией для их определения является набор собственных частот колебаний:

П = (ю!, Ю2,..., ю п }. (3)

На практике наиболее точно определяются набор первых частот, вместе с этим информативность этих данных существенно зависит от вида и размера дефекта, что может быть выражено зависимостью юг =юг(£3), г= 1,2,...,п.

2 Определение внутренней границы £3 сводится к нахождению абсолютного (нулевого) максимума функционала,

В задающего умноженную на -1 норму (в некотором пространстве Ь) разности между измеренными резонансными (3) и

СЛ

Й _ _

„о найденными из решения краевой задачи (1)-(2) собственными частотами юг=юг(£3), г = 1,2,...,п, где £3— заданная

'й

конфигурация дефекта, при этом Ж — область изменения искомых параметров, характеризующих

дефект £3, определяется их физическим смыслом. В настоящей работе в качестве такого функционала используется

^ выражение «взвешенной» нормы разности, при которой влияние на его значение изменения всех используемых частот £

Л в определенной степени одинаково:

F (S3) = -

i=1

1 _ (S3 )

( S3 )

1/2

S3 e W, (4)

при этом область W изменения параметров, характеризующих область S3, известна и определяется размерами исследуемого образца.

Описание программного обеспечения. Для решения обратных геометрических задач идентификации дефектов разработан и программно реализован комплекс Genetic Algorithm with Finite Element Method in NonDestructive Testing (GAFEMNDT). Данный программный продукт является связующим звеном между модулем ГА «AI::Genetic::Pro» разработанного Strzelecki Lukasz [10] и конечно-элементном пакетом, причем в настоящей работе был использован FlexPDE. Результатом работы GAFEMNDT является набор параметров, обеспечивающий экстремум функции многих переменных.

Система написана на скриптовом языке программирования PERL [11]. Выбор в пользу скриптового языка был продиктован необходимостью оперативно менять целевую функцию, что является не тривиальной задачей для классических языков, таких как Delphi, C++ и т. д. GAFEMNDT представляет собой модульный PERL-скрипт. Целевая платформа для запуска приложения: Linux.

Входными данными для GAFEMNDT является файл, содержащий в себе описание целевого функционала и предельные значения варьируемых переменных.

Выходными данными модуля GAFEMNDT является текстовый файл, содержащий в себе таблицу с результатами расчета. Решением является строка с максимальным значением целевой функции. Простота представления выходных данных позволяет производить визуальный и статистический анализ практически в любом программном продукте, ориентированном на обработку табличных данных, начиная от офисных пакетов Microsoft Office и LibreOffice и заканчивая узкопрофильными пакетами обработки данных, таких как ParaView и VisIt.

Примеры решения задач неразрушающего контроля.

Ниже приведены результаты численных экспериментов по идентификации круговой полости и прямолинейной трещины, выходящей на поверхность прямоугольника под прямым углом. Идентификации подлежат дискретные параметры, характеризующие координаты центра и радиус окружности, или абсцисса точки выхода трещины на поверхность и ее длина. В качестве значений, характеризующих точность идентификации искомых параметров, рассматривались относительные ошибки e, которые вычислялись по формуле:

A - в

6 = — (5)

где A — целевое значение искомого параметра; B — варьируемое расчетное значение этого параметра.

Первым шагом минимизации функционала (4) с помощью ГА является настройка его параметров. Проведенные численные эксперименты показали, что наиболее рациональными в смысле «точность — время» являются следующие параметры генетического алгоритма:

Таблица 1

Параметры генетического алгоритма

Параметр Значение

Размер популяции 128

Разрядность генома 16 бит

Число поколений <300

Вероятность кроссовера 0,95

Вероятность мутации 0,02

Число родителей 2

Выборка Рулетка

Стратегия кроссовера Точечная. 2 точки.

Использовать стратегию элитизма Да

ев И S X ев X

К

Идентификация полости в прямоугольном теле. Описанную методику проиллюстрируем на задачах идентификации внутренних полостей в прямоугольнике, совершающим собственные колебания в рамках задачи плоской деформации. Размеры прямоугольника: длина 0,02 м, ширина 0,01 м, материал — сталь, модуль

Юнга Е = 20 х1010 Н / м2, коэффициент Пуассона v = 0,29. Правая сторона прямоугольника жестко закреплена, граница внутренней полости свободна от напряжений; X и У — координаты центра; К — радиус окружности.

Решение обратной задачи идентификации кругового отверстия осуществляется на основе минимизации функционала (4). В качестве инструмента решения прямой задачи использовался метод конечных элементов (МКЭ), реализованный в пакете Р1ехРББ. Роль «измеренных» резонансных частот выполняет набор первых четырех собственных частот, рассчитанных при заданных параметрах дефекта.

В табл. 2 приведены результаты расчета с помощью GAFEMNDT для 10 примеров прямоугольников с отверстиями, которые были выбраны случайным образом.

Таблица 2

Поиск внутренней полости

й о тз

'й

и

и

>

Л £ -Й

№ п/п

Изображение

Параметр

Расчет

Цель

Ошибка, %

X

У

К

0,003739

0,002288

0,001382

0,003739

0,002288

0,001382

0,0012

0,0121

0,0032

X

У

К

0,016465

0,001982

0,000288

0,016509

0,002027

0,000287

0,2678

2,1820

0,1022

X

У

К

0,017356

0,000921

0,000623

0,017356

0,000921

0,000623

0,0005

0,0079

0,0007

X

У

К

0,010452

0,001003

0,001422

0,010452

0,001003

0,001422

0,0006

0,0032

0,0005

X

У

К

0,005504

0,000987

0,000377

0,005489

0,000999

0,000376

0,2733

1,2534

0,4529

X

У

К

0,000994

0,014685

-0,000559

0,000994

0,014685

-0,000559

0,0017

0,0016

0,0324

X

У

К

0,000675

0,010039

0,000754

0,000674

0,010043

0,000751

0,1095

0,0438

0,3671

X

У

К

0,000263

0,004963

0,002378

0,000263

0,004963

0,002378

0,0043

0,0011

0,0031

X

У

К

0,000146

0,016345

-0,001924

0,000146

0,016345

-0,001924

0,0050

0,0001

0,0046

10

X

У

К

0,001662

0,011621

-0,000262

0,001662

0,011621

-0,000262

0,0011

0,0008

0,0410

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Рис.1. а) Целевая функция; б) R — радиус окружности; в) и г) X и Y — координаты центра окружности

На рис. 1, а представлены графики изменения целевого функционала F (4) и параметров R , X и Y. На рис. 1, б, в иг проиллюстрированы зависимости от N числа эпох ГА для задачи 1 из таблицы 2. Анализ этих результатов показывает, что приемлемая точность идентификации достигается уже при 40 эпохах.

Прямоугольное тело с трещиной, выходящей на поверхность. Вторым примером применения описанной выше методики является идентификация выходящей под прямым углом на поверхность прямолинейной трещины в прямоугольнике длиной 0,05 м, шириной 0,01 м, из того же, что и в п. 3.1, материала. Половина правой стороны прямоугольника закреплена, X0 — координата, где трещина выходит на поверхность, Y1 — глубина трещины (рис. 2).

\

хо -*- \ (ХО; У1)

Рис. 2. Модель тела с трещиной

В качестве входных данных были использованы первые три собственные частоты колебаний контролируемого объекта. В табл. 3 представлены результаты идентификации 10 примеров трещин, выходящих на нижнюю сторону прямоугольника.

Таблица 3

Поиск трещины, выходящей на поверхность

№ п/п Параметр Расчет Цель Ошибка, %

1 X0 0,027813 0,027726 0,313126

Y1 0,004534 0,004511 0,510042

2 X0 0,021536 0,020737 3,851143

Y1 0,002861 0,002909 1,665110

3 X0 0,004740 0,004981 4,855177

Y1 0,002855 0,002702 5,334544

4 X0 0,004938 0,004938 0,002417

Y1 0,005032 0,005032 0,001143

5 X0 0,042694 0,042701 0,014959

Y1 0,001943 0,001942 0,062128

6 X0 0,012682 0,012615 0,531135

ев И К X ев X

К

У1 0,004883 0,004903 0,399785

7 X0 0,019912 0,019915 0,011219

У1 0,001901 0,001901 0,012122

8 X0 0,024881 0,024931 0,201769

У1 0,001259 0,001261 0,179161

9 X0 0,024716 0,024804 0,354866

У1 0,001853 0,001871 0,969296

10 X0 0,009450 0,009402 0,511221

У1 0,008899 0,008903 0,048833

Рис. 3. Целевая поверхность

й О ТЗ

М

'й

и

и

О, С -Й

Рис. 4. а) Целевая функция; б) X0 — координата, где трещина выходит на поверхность;

в) У1 — глубина трещины

На рис. 3 представлен пример целевой поверхности функционала (4) (значения X0, У1, Е нормированы и изменяются в пределах [0;1]). На рис. 4 проиллюстрировано поведение целевой функции и параметров в зависимости от числа эпох N для 1-ой задачи из таблицы 3. Быстрая сходимость алгоритма (20 эпох) обясняется структурой целевой поверхности.

Выводы. Результаты исследования состоят в следующем:

• Определены рациональные параметры настройки ГА, представленные в табл. 1.

• Для определения трех параметров полости (п. 3.1) с достаточной степенью точности требуется не менее четырех собственных частот колебаний. При этом удовлетворительная точность идентификации достигается при 40

поколениях ГА.

• В задаче идентификации трещины (п. 3.2) достаточной информацией оказался набор первых трех резонансных частот, при этом целевая поверхность имеет один экстремум, для нахождения которого достаточно 20 поколений ГА.

Библиографический список

1. Курбатова, П. С. Об использовании нейронных сетей в задачах определения дефектов в упругих телах / П. С. Курбатова, Н. И. Сапрунов, А. Н. Соловьев // Современные проблемы механики сплошной среды : материалы X междунар. конф. — 2006. — C. 175-180.

2. Соловьев, А. Н. Идентификация и исследование критического состояния поперечной трещины в полосе с накладкой на основе искусственных нейронных сетей / А. Н. Соловьев, Б. В. Соболь, А. А. Краснощеков // Дефектоскопия. — 2014. — Т. 50, №. 8. — С. 23-35.

3. Соловьев, А. Н. Реконструкция дефекта на поверхности труб с помощью сочетания метода конечных элементов и искусственных нейронных сетей / А. Н. Соловьев, З. Ч. Нгуен // Вестник ЮНЦ РАН. — 2014. — Т. 10, № 2. — C. 9-15.

4. Баранов, И. В. Об одном генетическом алгоритме и его применении в обратных задачах идентификации упругих сред / И. В. Баранов, А. О. Ватульян, А. Н. Соловьев // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, № 3. — С. 14-26.

5. Yongyong He. Using genetic algorithms and finite element methods to detect shaft crack for rotor-bearing system / Yongyong He, Dan Guo, Fulei Chu. // Mathematics and Computers in Simulation. — Vol. 57, 1-2. — P. 95-108.

6. Mohammad-Taghi Vakil-Baghmisheh. Crack detection in beam-like structures using genetic algorithms / Mohammad-Taghi Vakil-Baghmisheh, Mansour Peimani, Morteza Homayoun Sadeghi, Mir Mohammad Ettefagh // Applied Soft Computing. — Vol. 8, 2. — P. 1150-1160.

7. Fernando, S. Damage detection with genetic algorithms taking into account a crack contact model / Fernando S. Buezas, Marta B. Rosales, Carlos P. Filipich // Engineering Fracture Mechanics. — Vol. 78, 4. — P. 695-712.

8. Eleni N. Chatzi. Experimental application and enhancement of the XFEM-GA algorithm for the detection of flaws in structures. / Eleni N. Chatzi, Badri Hiriyur, Haim Waisman, Andrew W. Smyth // Computers & Structures. — Vol. 89, 7-8. — P. 556-570.

9. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. — Москва : Мир, 1975. — 872 с.

10. Efficient genetic algorithms for professional purpose [Электронный ресурс] / СPAN. — Режим доступа : http : // search.cpan.org /~strzelec / AI-Genetic-Pro-0.4 / lib / AI / Genetic / Pro.pm / (дата обращения : 06.02.2016).

11. Learning Perl [Электронный ресурс] / The Perl Programming Language. — Режим доступа : http : // www.perl.org / (дата обращения : 06.02.2016).

References

1. Kurbatova, P. S., Saprunov, N.I., Solovyev, A.N. Ob ispol'zovanii neyronnykh setey v zadachakh opredeleniya defektov v uprugikh telakh. [On the use of neural networks in problems of determining defects in elastic bodies.] Sovremennye problemy mekhaniki sploshnoy sredy: materialy X mezhdunar. konf. [Current problems of continuum mechanics: Proc. X Int. Conf.] 2006, pp. 175-180 (in Russian).

2. Solovyev, A. N., Sobol, B.V, Krasnoshchekov, A.A. Identifikatsiya i issledovaniye kriticheskogo sostoyaniya poperechnoy treshchiny v polose s nakladkoy na osnove iskusstvennykh neyronnykh setey. [The Identification and Study of the Critical State of a Transverse Crack in a Zone with a Lap Based on Artificial Neural Networks.] Russian Journal of Nondestructive Testing, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 23-35 (in Russian).

3. Solovyev, A. N. Rekonstruktsiya defekta na poverkhnosti trub s pomoshch'yu sochetaniya metoda konechnykh elementov i iskusstvennykh neyronnykh setey. [Reconstructing defect on the surface of pipes using the finite element method

and artificial neural network.] Vestnik SSC RAS, 2014, vol. 10, no. 2, pp. 9-15 (in Russian). ^

4. Baranov, I. V, Vatulyan, A.O., Solovyev, A.N. Ob odnom geneticheskom algoritme i yego primenenii v obratnykh щ

ей

zadachakh identifikatsii uprugikh sred. [Genetic algorithm for solving the inverse identification problem for elastic media.] g Computational Technologies, 2006, vol 11, no. 3, pp. 14-26 (in Russian). S

5. Yongyong He, Dan Guo, Fulei Chu. Using genetic algorithms and finite element methods to detect shaft crack for rotor-bearing system. Mathematics and Computers in Simulation, vol. 57, no. 1-2, pp. 95-108.

6. Mohammad-Taghi Vakil-Baghmisheh, Mansour Peimani, Morteza Homayoun Sadeghi, Mir Mohammad Ettefagh. Crack detection in beam-like structures using genetic algorithms. Applied Soft Computing, vol. 8, no. 2, pp. 1150-1160.

7. Fernando, S. Buezas, Marta B. Rosales, Carlos P. Filipich. Damage detection with genetic algorithms taking into account a crack contact model. Engineering Fracture Mechanics, vol. 78, no. 4, pp. 695-712.

8. Chatzi, Eleni N., Hiriyur, Badri, Waisman, Haim,. Smyth ,Andrew W. Experimental application and enhancement of the XFEM-GA algorithm for the detection of flaws in structures. Computers & Structures, vol. 89, no. 7-8, pp. 556-570.

9. Novatskiy, V Teoriya uprugosti. [Theory of elasticity.] Moscow: Mir, 1975, 872 p. (in Russian)

10. Efficient genetic algorithms for professional purpose. СPAN. Available at: http : // search.cpan.org /~strzelec / AI-Genetic-Pro-0.4 / lib / AI / Genetic / Pro.pm / (accessed: 06.02.2016).

11. Learning Perl. The Perl Programming Language. Available at: http :// www.perl.org / (accessed: 06.02.2016).

Поступила в редакцию 12.02.2016 Сдана в редакцию 19.02.2016 Запланирована в номер 23.03.2016

й о тз

"¡3

и >

Л £ -Й