Регулятор скользящего режима для управления частотой тока валогенератора Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.372.2

Л. М. Карпуков, А. Ю. Фарафонов, Р. Ю. Корольков, В. О. Рыбин

Замкнутая форма для поверхностного импеданса микрополосковой структуры

Предложен метод составления в замкнутой форме функций Грина векторного и скалярного электрических потенциалов многослойной диэлектрической среды. Получены аналитические соотношения для расчета поверхностного импеданса микрополосковой структуры. Рассмотрена процедура алгебраизации интегрального уравнения и представлены результаты расчета элементов микрополосковых схем по предложенным соотношениям.

Введение

Рост требований к качеству проектных работ в процессе разработки микрополосковых изделий электронной техники определяет необходимость использования при проектировании электродинамических методов моделирования. В практике электродинамических расчетов микрополосковых структур широкое применение получил метод интегральных уравнений в пространственной области [1-3]. Эффективность этого метода в значительной степени зависит от способа составления коэффициентов матриц, формируемых при алгебраизации интегральных уравнений по методу моментов [1-3].

Коэффициенты матриц вычисляются по функциям Грина микрополосковой структуры. Процедура нахождения функций Грина микрополосковых структур включает в себя два этапа. На первом этапе определяется спектральное представление функции Грина, на втором - осуществляется переход от спектрального представления к пространственным функциям. Численное интегрирование при нахождении оригиналов от спектральных функций на основе обратного преобразования Фурье малоэффективно из-за значительных вычислительных затрат. В [3-5] предложены методы, позволяющие составлять по спектральным функциям Грина их пространственные представления в замкнутой аналитической форме, удобной для расчетов. Методы основаны на аппроксимации спектральных функций Грина микрополосковых структур суммой экспоненциальных функций, оригиналы для которых известны по условиям идентичности Зоммерфельда [4, 5]. Существенным недостатком этих методов является неопределенность выбора интервала и контура аппроксимации в комплексной области, а также вида и количества аппроксимирующих функций. В настоящей работе предлагается иной подход к нахождению аналитических формул для пространственных функций Грина, суть которого состоит в разложении спектральных функций микрополосковой структуры в ряды с последующим преобразованием их членов к виду, обеспечивающему получение оригинала в аналитической форме.

Постановка задачи

Исследуемая микрополосковая структура, представленная на рис. 1, состоит из диэлектрической подложки с относительной диэлектрической проницаемо-

стью ег и толщиной И. Нижняя поверхность подложки металлизирована, на верхней поверхности наносятся металлические токонесущие плоские проводники. Размеры подложки вдоль осей х, у неограничены.

Z '

X Л 0 У

Рис. 1. Микрополосковая структура

Распределение тока на проводниках микрополосковой структуры удовлетворяет интегральному уравнению

{Гр )= | Ъ{Гр , Гд ) 3 8 ( ) ) = О,

Е \Г I =

-^тУ р'

(1)

где

4Гр , Гд )

тензор поверхностного импеданса, свя-

зывающий тангенциальные составляющие Ет вектора напряженности электрического поля на поверхности металлических проводников с распределенным на них поверхностным током ^. В системе координат, указанной на рис. 1, компоненты тензора поверхностного импеданса определяются следующим образом:

2 тт = - №Ро0тт +

1 О

дт

2 = о

ху дх

1 двд

2ух =~--;—, т = х,у.

Ух

ду

(2)

Здесь од = дОтт/дт + дОэт/дг - функция Грина

скалярного электрического потенциала, Охп компоненты тензора Грина векторного электрического потен-

5

м

© Л. М. Карпуков, А. Ю. Фарафонов, Р. Ю. Корольков, В. О. Рыбин 2007 р.

циала. Зависимость от времени принята в виде е}ш 1.

Функции Грина для пространственной области в общем случае вычисляются в результате интегрирования их спектральных представлений в комплексной области. Для микрополосковой структуры связь между пространственными и спектральными представлениями функций Грина устанавливается соотношениями [3—6]:

= 4П-

(e

-Ао и

Zo1 + R

TE e-jkz о(k

Zo)) H 02) [k Pp,

2jkz

-dkp, (3)

q 1 д

Gq =--

4п дт •

g~ jkz0Zo \ + _

■lk T

-R

TM jkzo [z+ Zo,

Теоретические результаты

Искомые аналитические зависимости для функций Грина микрополосковой структуры могут быть получены в случае аппроксимации подынтегральных выражений в формулах (3), (4) суммой функций, оригиналы которых известны. Рассмотрим структуры, удовлетворяющие условию

к0^ег -1 < п/2 , (9)

которое обеспечивает отсутствие полюсов у функции

ЯТЕ и наличие одного полюса у функции Я™.

Отсутствие полюсов у функции позволяет с высокой точностью аппроксимировать ее числитель и знаменатель первыми членами экспоненциального ряда и представить следующим соотношением [6]:

х Я,

(2)

ы

2 jkz

~dkp

(4)

где н(2) - функция Ханкеля второго рода нулевого порядка. Входящие в формулы коэффициенты отражения ТЕ - и ТМ - волн от слоя диэлектрика вычисляются по соотношениям:

R te = Rs - e

-]'kz 0 h

-kz oh

1 - R5e-k oh

(10)

Г5 = 1 - 5 h ctg [8 h) , 5 = k0Л/e r -1 .

где Г 8

Разложим данное соотношение в геометрическую прогрессию, учтем тождество

I /(кр) н^ ((рр)кри+1 акр = 2| У (к р) Jn (к рР )кри+1 йкр (Ц)

te =- r TE + e~2kz'h

R = 1 + г TV2k*h

r TM - e-2kz1h

R TM = -

1 - r TM e-2kz1h

(5)

(6)

Для коэффициентов отражения от границы раздела сред справедливо:

TE kz1 kz0

r =-

kz1 + kz0

TM kz1 Srkz0

r = ■

kz1 + Srkz0

(7)

(8)

где

kz2o = ko2 - kp2

kz21 = k - kp2

к1 к 0 ;

к0 = д/ц0е0 - волновое число свободного пространства.

Численное интегрирование в соотношениях (3), (4) для нахождения пространственных зависимостей осложняется наличием полюсов и ветвлений у функций

Я ™ и я ТЕ, требует значительных вычислительных затрат и поэтому неэффективно при решении интегрального уравнения. В связи с этим возникает задача преобразования и аппроксимации подынтегральных выражений с представлением их в форме, допускающей составление результатов интегрирования в явном аналитическом виде.

и применим к членам ряда соотношение идентичности Зоммерфельда [4, 5]:

да e-kzo k- zo

jk

•Jo [kp P)kp dkp

- jkor

zo

(12)

где г = т1(г-г0)2 + р2 - расстояние от точки источника до точки наблюдения поля, р = д/(х-х0)2 + (у-у0)2 ,

Jn - функция Бесселя п-го порядка, индексом 0 отмечены координаты точечного источника поля.

В результате указанных преобразований функция

(3) при ъ = 20 = 0 будет представлена следующим соотношением:

1

GTT = ^

- jkop -+

p n=o

^Rf1 Fo [n)-RsnFo [n +1)

(13)

где J o

Fo [k )=■

jkj p2+[kh)2 Vp2 +(kh)2

В функции (4) выделим составляющую, содержащую яте , и, выполнив дифференцирование по параметру р , преобразуем ее к виду:

GfE=-¡f I i RTE J. k p)

1

~dkp

jkzo p,

P

30

k

да

e

p

o

да

e

r

e

o

16

ISSN 16o7—6761

«Електротехнiка та електроенергетика» №1, 2oo7

где ^ - функция Бесселя первого порядка.

Аппроксимируем яТЕ соотношением (10) и воспользуемся формулой

- }кг 0 г0

¿к*

• 4крРакр = -¡- (Аг - е-1к0(г-г°)), (15) р

Оригиналы от функции Я™ в формуле (17) составим по аналогии с (13), (16):

оГ = - ^ У Я,

4п дт

п=0

>п+1

— Fo (п) + к(2 ^ (п)

которая следует из (12) в результате умножения этого тождества на р и интегрирования по этому параметру. После преобразований получим выражение, аналогичное (12), куда включим оригинал от функции

е- 1к?о\*о| из формулы (4):

" д е_Ар

одТЕ = .др

0т 4п дт

дР Р

- к2 УЯ8п+1 ^1(п)-Я8п^1(п +1)

(16)

- ЯП

д

— Fo (п +1)+ к(2 ^ (п + 1)

(21)

Формулу (20), определив координаты полюса

к, =7к2 + ((е2)2/(И е, )2 (22)

и введя аппроксимацию параметра кг0Н экспоненциальной функцией, запишем в виде

77 (к\=^_\е-Р2+(ки) - е-]ко(кк)

где ^к = к0р Iе е

Составляющую формулы (4), содержащую я ТМ запишем в виде:

Я ТМ = 4 Ре

1

- ]к*0И

Ук^-к!к*0 - 2ве г ,(23)

где Я, = 1 - р

т 4п 5т-

^^ Я ТМ 7 о ((рр)кр + к2 ЯТМ 7

1 (рр)

0-1(г+ )

к

dkр

г0

(17)

Для нахождения оригинала от функции ЯТМ воспользуемся соотношениями [4-5, 7]:

а\~гГ~1~2 70((рР)кр dkр = -^Я02)Ы

о кР - к5 2

(24)

Функция Я при выполнении условия (9) содержит один полюс. Для его выделения разложим на простые дроби и аппроксимируем полученное соотношение следующей зависимостью [7]:

ТМ ТМ ТМ

Я = Яку +Я.™ >

где составляющая

(18)

I ТГ-Т1Л Ы ^р = ~Т

0 кр - к5 к5

П е 1V2 Я«2^ р) + 2 к5 р J

,(25)

Используя соотношения (23-25), составим по вы-

ражению (17) оригинал от функции Я

ТМ

Я - е-}2к*0И

пТМ £ е

Яку ="

1 - ЯЕе

-210И

(19)

одТМ = ±Ф Ж тот 4п 5т I И

|-Р я о22)(к, р-

характеризует асимптотическое поведение функции Я и моделирует квазистатическую компоненту поля в структуре. Составляющая

к2п , ч/ \ к2

к0п 1 -е

2к„

2 я^ы-^

КР.

Я

ТМ

2 ре,

кг0 И - Ре г

(20)

определяет полюс и моделирует поверхностную волну в структуре. В этих соотношениях:

1 - е со8( 8И) - А 8И зт(8И) + 8И со8(8й)

Яе = --в =-г-у =-

е 1 + ег ,к 2у ,г 28И ,

А = д/cos(8И)2 + 4е2у8И зт(8й) '

си

2ве г У Я,

— ^ (п +1)+ к0 ^(п +1)

(26)

Полученные зависимости (13) и (16), (21), (26) совместно с соотношениями (2) обеспечивают составление формул для поверхностного импеданса микропо-лосковой структуры в искомой явной форме.

е

0

п=0

0

X

+

п=0

Численные результаты

Распределение поверхностных токов на проводниках микрополосковых схем определяется в результате решения интегрального уравнения (1). Для алгебраи-зации интегрального уравнения по методу моментов ток на поверхности проводников представим суммой токов отдельных полосок:

Js (r) = ZIn Vn (r

(27)

В качестве базисных функций yn используем треугольные функции. Искомые аплитуды тока In на полосках находятся из решения матричного уравнения

ZI = U , (28)

где Z - матрица собственных и взаимных импедан-сов полосок, I - вектор амплитуд токов полосок, U -вектор напряжений от сторонних источников поля на полосках.

Элементы матрицы определяются по функциям Грина поверхностного импеданса микрополосковой структуры следующим образом:

7 =

mn

Я V

m,f) z( , rn ) Vn (r) dsndsm

(29)

где sm, sn - площади т-й и п-й полосок.

Четырехкратное интегрирование в формуле (29) выполняется численно. При вычислении диагональных

элементов Znn матрицы импедансов возникает необходимость в аналитическом взятии интеграла от составляющей функции Грина, содержащей сингулярность. Этот расчет реализуется по формуле [8]

j dxdy j

dx0 dy0

a/(x - xo)2 +( - Уо)2

=2

d„ wnArsh

w n

+ w 2 dn Arsh| W^ l + :

dn + w!

( + w 2 )2

(30)

где dn, wn - длина и ширина n-й полоски.

На рис. 2 представлены результаты расчета значений элементов Zmn матрицы импедансов с использованием предложенных формул вычисления функции Zxx поверхностного импеданса микрополосковой структуры. Расчет проводился на частоте f = 8 гГц для подложки с толщиной h = 1,3 мм и относительной проницаемостью er = 10,65 . Графики на рисунке постро-

ены для реальной (кривая 1) и мнимой (кривая 2) частей при изменении вдоль оси х расстояния г между центрами т-й и п-й полосок с размерами

№ п = № т = 0,24 мм, dn = ат = 0,24 мм. Представленные на рисунке результаты совпали с данными работы [4], полученными путем численного интегрирования интегралов в (3), (4) в комплексной области.

Рис. 2. Зависимость реальной (1) и мнимой (2) частей элемента Zmn матрицы импедансов от нормированного к длине волны расстояния

На рис. 3 приведены результаты расчета частотных зависимостей модуля и фазы коэффициента отражения R от открытого конца микрополосковой линии

с параметрами h = 0,635 мм, er = 9,9, w = 0,6 мм. Результаты расчета получены из решения интегрального уравнения (1) при составлении импедансной матрицы в (28) по предложенным формулам вычисления функций Грина. Точками на рисунках отмечены экспериментальные данные из [9].

|R| ■

0,9

0,8

Ф,град 0

15

а)

F, Ггц

F, Ггц

б)

Рис. 3. Частотные зависимости модуля (а) и фазы (б) коэффициента отражения от открытого конца микрополосковой линии

n

s™ s

m

+

d

n

s

s

3

3

18

ISSN 1607-6761

«Електротехшка та електроенергетика» №1, 2007

Выводы

1. Разработана методика составления явных формул для функций Грина векторного и скалярного электрического потенциалов микрополосковой структуры по их спектральным представлениям. На ее основе получены простые формулы, требующие меньше вычислительных затрат на формирование импедансных матриц и обеспечивают высокую точность вычислений, подтверждающуюся результатами представленных расчетов.

2. Результаты работы могут быть использованы в системах автоматизированного проектирования мик-рополосковых схем и антенн. В дальнейшем предполагается развитие и применение разработанной методики для решения задач по составлению явных зависимостей для спектральных функций коэффициентов отражения ТЕ и ТМ-волн, имеющих несколько полюсов, характеризующих поверхностные волны в микро-полосковой структуре.

Перечень ссылок

1. Katehi P., Alexopoulos N. G. Frequency-dependent characteristics of microstrip discontinuities in millimeter-wave integrated circuits // IEEE Trans. MTT. - 1985. -V. 33, № 10. - P. 1029-1035.

2. Tsai M. J, De Flaviis F., Fordham O., Alexopoulus N. G. Modeling planar arbitrarily shaped microstrip elements in multilayered media // IEEE Trans. MTT. -1997. - V. 45, № 3. - P. 330-336.

3. Kinayman N., Aksum M. I. Efficient use of closed-form Green's functions for the analysis of planar geometries with vertical connections // IEEE Trans. MTT. - 1997. - V. 45, № 5. - P. 593-602.

4. Tsang L., Huang C., Chan C. H. Surface electric fields and impedance vathix elements jf stratified media // IEEE Trans. MTT. -2000. - V. 48, № 10. - P. 1533-1543.

5. Yuehe Ge, Karu P. E. New closed-form Green's functions for microstrip structures - theory and results // IEEE Trans. MTT. - 2002. - V. 50, № 6. - P. 1556-1560.

6. Карпуков Л. М. Модель для расчета тензора Грина микрополосковой структуры в пространственной области // Радюелектрошка. 1нформатика. Управляя. - 2001. - № 2. - С. 28-33.

7. Карпуков Л. М., Пиза Д. М. Метод составления функций Грина для моделировния микрополоско-вых конструкций // Радюелектрошка. 1нформати-ка. Управлшня. - 2002. - № 2. - С. 20-25.

8. Иоссель Ю. Я., Кочанов Э. С., Струнский М. Г. Расчет электрической емкости. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 288 с.

9. Benedek P., Silvester P. Equivalent Capacitances for Microstrip Gaps and Steps. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. - 1972. - Vol. 20, № 11. - P. 729-733.

Поступила в редакцию 08.02.07 г.

Запропонований метод складання в замкнутЮ формi функцй Грна векторного i скалярного елект-ричних потенuiалiв багатошарового дiелектричного середовища. Отриманi аналiтичнi спiввiдно-шення для розрахунку поверхневого iмпедансу мкросмужково¡' структури. Розглянута процедура алгебра/зац/ '¡нтегрального рiвняння i представлен результати розрахунку елементiв мкросмуж-кових схем по запропонованих спiввiдношеннях.

The compilation method of Green functions of vector and scalar electric potentials of the multilayered dielectric medium in the closed shape is offered. Analytical ratios for a superficial impedance calculation of micro-strip structure are received. The algebraization procedure of the integrated equation is considered and results of the micro-strip circuitry elements calculation on the offered ratios are presented.

УДК 639.2.06

В. М. Дворак, Д. I. Осовский

Регулятор скользящего режима для управления частотой

тока валогенератора

В условиях параллельной работы валогенератора с генераторами судовой электростанции путем использования регулятора скользящего режима, функционирующего совместно с фаззи-регулято-ром, решена задача уменьшения колебаний частоты вращения и угла нагрузки валогенератора.

В судовых электростанциях источником электроэнергии являются дизель-генераторы. В качестве привода гребного винта регулируемого шага (ВРШ) выступает главный двигатель (ГД), приводящий во вращение также валогенератор (ВГ). Для регулирования скорости судна механизмом изменения шага поворачивают лопасти винта. Для регулирования частоты враще-

© В. М. Дворак, Д. I. Осовский 2007 р.

ния главного двигателя (и соответственно частоты тока валогенератора) применяют регуляторы частоты вращения (РЧВ) дизеля.

На переходный процесс изменения частоты тока ВГ влияют динамические характеристики дизеля, генератора, винта. В свою очередь, на характеристики дизеля оказывают влияют условия окружающей среды, из-