CC BY
4
11. Деундяк В. М., Косолапов Ю. В. О некоторых свойствах произведения Шура — Адамара
для линейных кодов и их приложениях // Прикладная дискретная математика. 2020.
№ 50. С. 72-86.
УДК 519.17 DOI 10.17223/2226308X/14/36
РЕГУЛЯРНОЕ ВЕРШИННОЕ 1-РАСШИРЕНИЕ ДВУХМЕРНЫХ РЕШЁТОК1
А. А. Лобов, М. Б. Абросимов
Предлагается схема построения вершинного 1-расширения для двухмерной решётки n х m при n ^ 2 и m ^ 2, которое является регулярным графом степени 4. Показано, что с помощью данной схемы для некоторых решёток можно построить минимальное вершинное 1-расширение. Приведён пример графа, для которого построенное по схеме расширение не является минимальным.
Ключевые слова: граф, решётка, отказоустойчивость, вершинное расширение.
Безопасность вычислительных систем имеет большое значение. Отказ элементов может привести к её полной неработоспособности. Для обеспечения отказоустойчивости таких систем может применяться графовая модель. Каждому вычислительному узлу системы сопоставляется вершина графа, а связь между двумя узлами представляется ребром между соответствующими вершинами. Далее граф дополняется вершинами и рёбрами до вершинного k-расширения, которое является представлением устойчивой к отказу k узлов вычислительной системы. Будем рассматривать случай с k =1.
Граф G* является вершинным 1-расширением (В-1-Р) графа G, если G вкладывается в каждый граф, полученный из G* удалением одной вершины. Если количество вершин в G* на 1 больше, чем в G, и среди всех В-1-Р графа G с таким числом вершин количество рёбер в G* минимально, то G* называется минимальным вершинным 1-расширением (МВ-1-Р) графа G [1].
Задача построения расширений графа связана с построением отказоустойчивой вычислительной системы [2, 3]. В этих работах для некоторых классов графов, таких, как цепи и циклы, предложены способы построения МВ-1-Р, однако в целом задача нахождения МВ-1-Р заданного графа является вычислительно сложной [4].
Дадим определение рассматриваемым в работе графам.
Определение 1. Двухмерной решёткой, или просто решёткой пхт, называется граф, множество вершин которого состоит из пар (i, j), i,j Е {0,... , n—1}, и множество рёбер состоит из всех возможных пар вершин (u\,vi) и (u2, v2), для которых |u—u21 = 1 и v1 = v2 или |v1 — v2| = 1 и u1 = u2.
Пример такого графа представлен на рис. 1.
Двухмерная решётка является интересной топологией с практической точки зрения.
Теорема 1. При п,т ^ 2 для каждой решётки n х m существует регулярный граф степени 4, который является её вершинным 1-расширением. Количество дополнительных рёбер в данном расширении равно n + m + 2.
1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках выполнения госзадания (проект № FSRR-2020-0006).
162
Прикладная дискретная математика. Приложение
Рис. 1. Решётка 3 х 4
Для построения данного расширения необходимо выполнить следующие шаги:
1) Добавить рёбра между вершинами с метками (0,г) и (п — 1,г — 1), где г Е е {1,... ,т — 1}.
2) Добавить рёбра между вершинами с метками (г,т — 1) и (г — 1, 0), где г е е {1,..., п — 1}.
3) Добавить вершину и соединить её с (0,т — 1), (п — 1,т — 1), (п — 1, 0), (0, 0).
Расширение, построенное по этой схеме, является вершинно-симметричным регулярным графом степени 4. Напомним, что регулярным называется граф, степени вершин которого равны, а вершинно-симметричным — граф, для каждой пары вершин и, V которого существует автоморфизм такой, что <^(и) = V.
Расширения, получаемые по предложенной схеме, могут быть построены с помощью алгоритма А2 [5]. На примере решёток 3 х 3 и 4 х 5 это показано в [6]. Поэтому для реконфигурации таких 1-расширений графов можно использовать описанный в [5] способ. Под реконфигурацией понимается поиск вложения исходной решётки в полученный после удаления из расширения одной вершины граф.
Построенное по схеме расширение решётки 3 х 4 представлено на рис. 2, а. Граф, полученный удалением любой вершины, изоморфен графу рис. 2, б. На рисунке выделена изоморфная исходной решётке часть.
аб
Рис. 2. Расширение решётки 3 х 4 (а) и её реконфигурация после отказа (б)
Для решётки 3 х 4 построенное по предложенной схеме расширение является минимальным, что подтверждено вычислительным экспериментом [7]. Однако в общем
случае это неверно. Например, для решётки 3 х 3 минимальное расширение имеет пять дополнительных рёбер, а у расширения, построенного по схеме, их восемь. Данные расширения изображены на рис. 3.
а б
Рис. 3. МВ-1-Р (а) и построенное по предложенной схеме расширение решётки 3 х 3 (б)
Следует отметить, что для рассматриваемых в [7] решёток 2 х m построенное по предложенной схеме расширение также не является минимальным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012.
2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. No. 9. P. 875-884.
3. Harary F. and Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19-23.
4. Абросимов М.Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.
5. Каравай М. Ф. Минимизированное вложение произвольных гамильтоновых графов в отказоустойчивый граф и реконфигурация при отказах. I // Автоматика и телемеханика. 2004. №12. С. 159-178.
6. Каравай М. Ф. Минимизированное вложение произвольных гамильтоновых графов в отказоустойчивый граф и реконфигурация при отказах. II. Решетки и k-отказоустойчивость // Автоматика и телемеханика. 2005. №2. С. 175-189.
7. Камил И. А. К. Вычислительный эксперимент по построению отказоустойчивых реализаций графов с числом вершин до 9 // Intern. J. Open Inform. Technol. 2020. V. 8. No. 9. P. 43-47.
УДК 519.1 Б01 10.17223/2226308Х/14/37
ОБ АТТРАКТОРАХ В ОДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ ДВОИЧНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С ДВУДОЛЬНЫМ ГРАФОМ
ЗАВИСИМОСТЕЙ
Р. И. Пантелеев, А. В. Жаркова
Рассматривается дискретная двоичная динамическая система (Бп,/), п > 1, состояниями которой являются все возможные двоичные векторы длины п, с эволюционной функцией вида / = (хп, 0,..., 0, Х1) и двудольным графом зависимостей.
