CC BY
67
Гончарова Елена Владимировна, Институт динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова СО РАН, г. Иркутск, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: goncha@icc.ru
Goncharova Elena Vladimirovna, Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS, Irkutsk, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Leading Researcher, e-mail: goncha@icc.ru
Старицын Максим Владимирович, Институт динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова СО РАН, г. Иркутск, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, e-mail: starmax@icc.ru
Staritsyn Maxim Vladimirovich, Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS, Irkutsk, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Researcher, e-mail: starmax@icc.ru
УДК 517.97
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ В ЛЕБЕГОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
© А.А. Горшков
Ключевые слова: оптимальное управление; параболическое уравнение; двойственная регуляризация; устойчивость; поточечное фазовое ограничение; лебегово пространство; принцип Лагранжа; принцип максимума Понтрягина.
Рассматриваются устойчивые к ошибкам исходных данных секвенциальные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в выпуклой задаче оптимального управления со строго равномерно выпуклым целевым функционалом, распределенным управлением и поточечными фазовыми ограничениями для параболического уравнения. Распределенные управления считаются принадлежащими лебегову пространству суммируемых с р -той степенью функций при р € (2 + то) . Образы задающих поточечные фазовые ограничения операторов вкладываются в лебегово пространство суммируемых с в -той степенью функций при в € (1, 2).
Введение. Задачам оптимизации и, в частности, условной оптимизации, характерны различные проявления неустойчивости [1]. В случае достаточно сложных реальных задач, когда их исходные данные могут задаваться с погрешностью, а процесс решения задач неразрывно связан с применением приближенных методов, проблемы неустойчивости являются центральными, требующими их обязательного учета. Указанная неустойчивость оптимизационных задач, в свою очередь, порождает и «неустойчивость» классических условий оптимальности, в частности, таких, как принцип Лагранжа, принцип максимума Понтрягина. Это проявляется в выделении классическими условиями оптимальности сколь угодно далеких «возмущенных» оптимальных элементов от их «невозмущенных» аналогов при сколь угодно малых возмущениях исходных данных задач [2]. Указанные проблемы неустойчивости характерны и для рассматриваемой ниже задачи оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями для линейного параболического уравнения, а также для соответствующих классических условий оптимальности для нее — принципу Лагранжа и принципу максимума Понтрягина.
В работах [2-4], с целью преодоления неустойчивости классического принципа Лагранжа в задачах выпуклого программирования, было предложено рассматривать т. н. регуляри-зованные или, другими словами, устойчивые секвенциальные принцип Лагранжа, теорему Куна-Таккера, обоснование которых опирается на метод двойственной регуляризации [5, 6]. В свою очередь, в работах [7-9] этот метод был применен для получения регуляризован-ных принципа Лагранжа в недифференциальной форме и принципа максимума Понтря-гина для выпуклой задачи оптимального управления линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства. В данной работе схема доказательства регуляризованных условий оптимальности [7-9] применяется для получения регуляризованных принципа Лагранжа в недифференциальной форме и принципа максимума Понтрягина в выпуклой задаче оптимального управления линейным параболическим дифференциальным уравнением с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства. Принципиальным отличием от [7-9] рассматриваемой здесь ситуации является то, что распределенные управления считаются принадлежащими пространству суммируемых с р -той степенью функций при р € (2, в свою очередь, образы задающих поточечные фазовые ограничения операторов вкладываются в пространство суммируемых с в -той степенью функций при в € (1, 2) . В то же время в [7-9] и в том и в другом случаях использовались гильбертовы пространства суммируемых с квадратом функций. Пространство суммируемых с квадратом функций используется в обоих случаях также и в работе [10] настоящего выпуска Вестника Тамбовского университета. Смысл применения рефлексивных лебеговых пространств вместо более привычных гильбертовых, состоит в том, что это существенно расширяет класс задач оптимального управления и сводящихся к ним задач (например, обратных задач), в которых могут быть получены регуляризованные условия оптимальности. Прежде всего, это происходит за счет присоединения к нему новых оптимизационных задач, связанных с уравнениями в частных производных, что, в частности, связано с: 1) улучшением свойств регулярности решений уравнений в частных производных, свойств дифференцируемости функций Лагранжа этих оптимизационных задач за счет увеличения степени суммируемости коэффициентов начально-краевых задач; 2) улучшением аналогичных свойств решений сопряженных уравнений принципа максимума в задачах оптимального управления при погружении образов операторов, задающих ограничения, в функциональные классы суммируемых с в -ой степенью функций при в € (1, 2) .
При обосновании получаемых в работе и выражаемых в терминах минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги [11] устойчивых секвенциальных принципа Лагранжа, принципа максимума Понтрягина, помимо указанной выше общей схемы работ [7-9], самым существенным образом используется и разработанная ранее схема получения устойчивого секвенциального принципа Лагранжа в задаче выпуклого программирования, допустимые элементы в которой, а также образы задающих ограничения операторов вкладываются в рефлексивные банаховы пространства [12-14].
Постановка задачи оптимального управления. Пусть и С К1 — выпуклый компакт, О — ограниченная область в Кп , п ^ 2 , дт = О х (0, Т), = О х (1,Т), 1 € (0, Т) , 5 = дО, Бт = {(х,г) : х_ € Б, * € (0,Т)} , V = {и € Ь^т) : и'(х,г) € и п.в. на дт} С С Ьр (дт) = В , р > 2 , М — замыкание множества М .
Рассмотрим задачу оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства
(Г6) ¡6(и) ^ шш, и € V С В, д6(и)(х,г) = Ь6(х,г), д6(и)(х,г) < 0 при п.в. (х,г) € X,
!6 (и) ЕЕ<А0д (■, .)/[и](; ■),г6 [и](; ■)) ^) +
/Ь2 (Ят) + МРят, 7 > 1,
где /а : V ^ М1 — непрерывный строго равномерно выпуклый функционал, д!(-и)(ж,£) = = ^>1(ж,£)гг[«](ж,£), д2(и)(ж,£) = ^(ж,^ гА[и](ж, £)), € Ь^(Х), ^>2 — непрерывная по
совокупности переменных функция, выпуклая по г при всех (ж,£) € X С QLíт, 1 € (0,Т), множество X совпадает с замыканием своей внутренности, функции А0 1 : ^т ^ М1 и А0,з : Бт ^ М1 являются измеримыми по Лебегу, А0, 2 € С (О), г& [и] — решение класса 2 У21,0(Ог) П С(фу) третьей начально-краевой задачи для параболического уравнения дивергентного вида [15]
д а
гь - (М)гх,-) + а (ж,£)г + и(ж,£)=0, (1)
г(ж, 0) = ^0(ж), ж € О, д^г + ^(х, ¿)г = -ш0(ж,^, (ж,£) € Бт,
где ^эл?^ = а^(ж^г^.(ж,£)ео8 аг(ж,£), аг(ж,£) — угол, образованный внешней нормалью N к Б с осью жг, аА € ), аА ^ С0 , С0 — положительная постоянная, аА € Ь^(Бт),
^ С0 , -и0 € С (О) , -Ш0 € ) — заданные функции. Верхний индекс 6 в исходных
данных задачи (РА) означает, что они соответствуют либо ситуации их точного задания (6 = 0) , либо являются возмущенными (6 > 0) , т. е. задаются с ошибкой, 6 € (0, 60], 60 > 0 — некоторое фиксированное число. Будем считать, что выполняются следующие оценки
Н<1 - AS,IIU,Qt, |<2 - А°40), ||<3 - A°3|U,ST < 5, (2)
Ik - a°IU,QT, |v0 - v0g\ ||w0 - , Ik5 - ^0|ksT, M - , ||h5 - h°|U,x < 5,
|^2(x,t,z) - ^0(x,i,z)| < Lm5(1 + |z|) V(x,t) € X, z € SM,
где LM — постоянная не зависящая от (x,t) € X, SM = {z € R1 : |z| ^ M} .
Далее, предположим, что решение задачи (P0) существует, обозначим его через u0 . Считаем операторы gl, g2 действующими в пространство Ls(X), s € (1, 2) . Двойственность между Ls(X) и Lq(X) определим с помощью функционала (1,v) , l € Ls(X) , v € € Lq(X) . Введем функцию Лагранжа задачи (P5) , а также двойственную задачу
L5(u,A,^) = f5 (u) + (A, gl(u) - h5) + <^,g2(u)>, u € D, (A,^) € Lq(X) x Lq(X), 1 + 1 = 1,
q s
V5(A,^) = minL5(u, A, ^ sup, (A,^) € Lq(X) x L+(X),
где L-(X) = {z € Lq(X) : z(x,t) ^ 0 при п.в. (x,t) € X}, L+(X) = -L-(X) . Обозначим: D5'£ = {u € D : ||g1 (u)|sx < £, min ||g2 (u) - z||sx < e}, £ > 0 , D0'0 = D0 .Центральным
zeL-(X)
в работе является понятие минимизирующего приближенного решения (МПР) в смысле Дж. Варги [11] в задаче (P0) , под которым понимается последовательность элементов ul € € D, i = 1, 2,... , такая, что f0(ui) ^ в + 5г, ul € D0'£ для некоторых последовательностей сходящихся к нулю неотрицательных чисел 5г, £г, i = 1, 2,... , в = в+0 = lim ве, ве =
inf° f0(u).
Следствием введеных выше условий на исходные данные задачи (P5) и теорем существования обобщенного (слабого) решения третьей краевой задачи для линейного параболического уравнения дивергентного вида, которые могут быть найдены в [15], является разрешимость начально-краевой задачи (1) в классе V21,0(Qt).
2 Здесь и ниже мы используем обозначения функциональных пространств и норм их элементов принятые
в монографии [15].
Утверждение! Для любого и € Ь2((т) при любом Т > 0 и любом 5 € [0, 50] исходная ( прямая) задача (1) однозначно разрешима в У2'0((т) и справедлива оценка
I ^[п] | Ят + М||2>|8т < Ст {\\и\\2Ят + 1Ы|2,П + |М|2,Ят) ,
в которой постоянная Ст не зависит от управления и € Ь2((т) и 5 € [0, 5о] .
Одновременно отметим, что для полной определенности постановки задачи (Г6) сформулированного выше утверждения недостаточно, так как оно, вообще говоря, не гарантирует необходимого включения г6 [и] € С((т) . Однако из наложенных выше условий и теорем существования слабого решения третьей краевой задачи для линейного параболического уравнения дивергентного вида следует одновременно и нужная разрешимость начально-краевой задачи (1) в классе У2'0((т) П С((т) [16]. Можно утверждать, что справедливо аналогичное утверждению 1
Утверждение2. Для любого управления и € Ьр((т) при любом Т > 0 и любом 5 € [0, 5о] однозначно разрешима в У2' ((т) П С((т) прямая задача (1) и справедлива при
p > n/2 + 1, r > n + 1 оценка
\zs[ujlQl < Ct(I\u\\p,QT + Kg) + |MksT),
в которой постоянная Ct не зависит от 5 € [0, ¿o] и управления u € Lp(Qt) . На основе оценок (2) и утверждений 1, 2 можно заключить, что
\fs(u) - f 0(u)\ < Ci5, Vu € Lp(Qt), (3)
\\g{(u) - g0(u)\\sX < C25( 1 + MpQt), \\g¡(u) - g¡(u)\\sX < Ca5( 1 + p,Qt) Vu € Lp(QT),
в которых постоянные Ci, C2, Ca > 0 не зависят от 5 € [0,5o] и u €D .
Двойственная регуляризация для задачи оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями. Благодаря оценкам (3) мы можем применить метод двойственной регуляризации [5, 6] для построения минимизирующего приближенного решения в задаче (P0) . В соответствии с [12-14] рассмотрим двойственный регуляризи-рующий функционал
RS'a(X,p) = Vs(Х,р) - а \I(\,v)IIk ^ sup, (Х,р) € Lq(X) x L+q(X), a> 0, k> 2,
и предположим, что выполняется условие согласования 5/а(5) ^ 0, а(5) ^ 0, 5 ^ 0 . Заметим, что множество точек максимума функции Rs'а(Х,р) , вообще говоря, может состоять и не из одной точки. Далее будем работать с некоторой произвольно выбранной точкой максимума (Xs'a(s), 'a(s)) € Argmax {RS'a(X, р) : (X, р) € Lq(X) x L+q(X)} . Процесс двойственной регуляризации приводит к конструированию минимизирующего приближенного решения в задаче (P0) из элементов us[Xs'a(s\ 'a(s)] = argmin {Ls(u,X,p), u €D} .
Имеет место сходимость метода двойственной регуляризации [7-9] в равномерно выпуклом простанстве [12-14].
Теорема1. Вне зависимости от того, разрешима или нет, двойственная к (P0) задача, при 5 ^ 0 имеют место предельные соотношения
g0(us[Xs'a(s), ps'a(s)]) - h0 ^ 0, g0(us[Xs'a(s), 'a(s)]) < ф(5), ||ф(5)|| ^ 0,
(XtMt),^)), (g6 (us [xsMs), - hs ,gS (us [Xs'a(s) ,ps'a(s)]^ ^ 0,
a(5)\(xs'a(s),ps'a(s))\ ^ 0, f0(us[Xs'°<s),ps'a(s)]) ^ min f0(u),
||u5[A5'a(5),/a(5)] - u0|| ^ 0,
неравенство g0 (u5 [A5'a(5), ^5,a(5)]) ^ ф(5) понимается в смысле упорядоченности по конусу неположительных функций в Ls(X), то есть g0(u5[A5'a(5),^5'а(5)]) - ф(5) € L-s . Одновременно справедливо равенство
lim V0 (A5'a(5) ,/'а(5)) = sup V0(A,^).
5^+0 (A'M)eLq (X)xL+q (X)
Регуляризованный принцип Лагранжа в задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями. Теорема 1 открывает возможность сформулировать в терминах классической конструкции функции Лагранжа и доказать следующий устойчивый секвенциальный принцип Лагранжа в задаче (P0) .
Теорема 2. Для того, чтобы в задаче (P0) существовало МПР, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность двойственных переменных (Ak) € € Lq(X) x L+q(X), k = 1, 2,... такая, что 5k ||(Ak, )|| ^ 0, k ^ то и выполняются соотношения
u5' [Ak, /] € D5''£k, ek ^ 0, k ^ то, (4)
^(Afc,/),(gf(u5'[Ak]) - h5',g2k(u5'[Ak^ 0, k ^то. (5)
Последовательность u5' [Ak, ], k = 1,2,... является искомым МПР и элементы u5 [Ak, ] сильно сходятся при k ^ то к u0 .В качестве последовательности (Ak, ^fc), k = = 1, 2, . . . может быть взята последовательность, генерируемая методом двойственной регуляризации теоремы 1. Как следствие соотношений (4), (5) выполняется и предельное соотношение
V0(Ak,/) ^ sup V0(A,^), k ^то.
(A'M)eLq (X )xL+q (X )
Одновременно, каждая слабая предельная точка последовательности (Ak, ), k = 1, 2,... является решением двойственной задачи V0(A,^) ^ sup, (A,^) € Lq(X) x L+q(X) .
Регуляризованный принцип максимума Понтрягина в задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями. Пусть помимо введенных выше условий на исходные данные существует непрерывный по z градиент Vz^2(x,t,z) . Вложение образов операторов g1, g2 в лебегово пространство Ls(X), s € (1, 2) , позволяет считать множители Лагранжа A,^ элементами лебегова пространства Lq(X) с достаточно большим показателем суммируемости q . Величина показателя q может быть взята такой, что это обеспечивает в совокупности с предложением 2 и теоремой 10.1 в [15], о гельдеро-вости решений линейного параболического уравнения, возможность применения обычного игольчатого варьирования в простейшей задаче оптимального управления L5 (u, Ak ) ^ ^ min, u € D для записи необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для управления u5' [Ak ] . По этой причине следствием теоремы 2 является
Теорема 3. Для существования МПР в задаче (P0), необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность двойственных переменных (Ak,^fc) € Lq(X) x xL+q(X), k = 1, 2,... такая, что 5k H(Afc^ 0 при 5k ^ 0 и выполнялись соотношения (4) и (5) для элементов, удовлетворяющих соотношению максимума
tf(x,i,u5[Ak](x,t),n5' [u5[Ak]](x,t)) = maxtf(x,i,u,n5k [u5[Afc,/]](x,t)) п.в. на Qt , 1108
где H(u,n) = — (щ + 1|и||^дт) 7 а П&к [Xk, Jk]] ~ 'решение сопряженной задачи
д
Vt — dj {ai,j Мъ) + адк {x,t)n =
= 2A0ki(x, t)z&k [и&к [Xk, jk]] (x, t) + \к(x, t)<pf (x, t) + jk(x, t)Vz<pik(x, t, zs" [u&k [Xk, jk]] (x, t)^j, n(x,T) =2A0kt2(x,T)zsk [u&k[Xk,jk]](x,T), x € Q, dN + (x, t)n = 2A0ks(s, t)z&k [u&k [\k, jk]] (s, t), (s, t) € St.
Последовательность u&k [\k, jk ],k = 1,2,... является искомым МПР и элементы U [\k, jk ] сильно сходятся при k ^ ж к и0 .В качестве последовательности (Xk, jk), k = = 1, 2,... может быть взята последовательность, генерируемая методом двойственной регуляризации теоремы 1. Как следствие соотношений (4), (5) выполняется и соотношение
V0(\k,jk) ^ sup V0(X,j), k ^ж.
(\,v)€Lq (X )xL+q (X)
Одновременно, каждая слабая предельная точка последовательности (Xk, jk), k = 1, 2,... является решением двойственной задачи V0(X,j) ^ sup, (X, j) € Lq(X) х L+q(X) .
ЛИТЕРАТУРА
1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации: в 2-х кн. М.: МЦНМО, 2011.
2. Сумин М.И. Устойчивое секвенциальное выпуклое программирование в гильбертовом пространстве и его приложение к решению неустойчивых задач // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2014. Т. 54. № 1. С. 25-49.
3. Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом пространстве // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2011. Т. 51. № 9. С. 1594-1615.
4. Sumin M.I. On the Stable Sequential Kuhn-Tucker Theorem and its Applications // Applied Mathematics. 2012. V. 3. No. 10A (Special issue «Optimization»). P. 1334-1350.
5. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2007. Т. 47. № 4. С. 602-625.
6. Сумин М.И. Некорректные задачи и методы их решения. Материалы к лекциям для студентов старших курсов: учебное пособие. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2009.
7. Сумин М.И. Параметрическая двойственная регуляризация для задачи оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2009. Т. 49. № 12. С. 2083-2102.
8. Сумин М.И. Устойчивый секвенциальный принцип максимума Понтрягина в задаче оптимального управлении с фазовыми ограничениями // Труды 12 Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014, 16-19 июня 2014 г.). 2014. М.: Изд-во ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, С. 796-808.
9. Сумин М.И. Параметрическая двойственная регуляризация и принцип максимума в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 4. С. 807-809.
10. Сумин М.И. Субдифференцируемость функций значений и регуляризация принципа максимума Понтрягина в оптимальном управлении распределенными системами // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. Вып. 5.
11. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
12. Горшков А.А. О двойственной регуляризации в задаче выпуклого программирования в равномерно выпуклом пространстве // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 3 (1). С. 172-180.
13. Горшков А.А. Об устойчивой секвенциальной теореме Куна-Таккера в выпуклом программировании в равномерно выпуклом пространстве и ее приложении // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2487-2489.
14. Горшков А.А., Сумин М.И. Устойчивый принцип Лагранжа в секвенциальной форме для задачи выпуклого программирования в равномерно выпуклом пространстве и его приложения // Известия вузов. Математика. 2015. № 1. С. 14-28.
15. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
16. Casas E., Raymond J.-P., Zidani H. Pontryagin's Principle for Local Solutions of Control Problems with Mixed Control-State Constraints // SIAM J. Control Optim. 2000. V. 39. № 4. P. 1182-1203.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом в рамках соглашения от 27 августа 2013 г. №02.В.49.21.0003 между Министерством образования и науки РФ и Нижегородским государственным университетом им. Н.И. Лобачевского.
Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.
Gorshkov A.A. REGULARIZED PONTRYAGIN MAXIMUM PRINCIPLE IN OPTIMAL CONTROL FOR A PARABOLIC EQUATION WITH PHASE CONSTRAINTS IN LEBESGUE SPACES
The stable with respect to the errors in the initial data sequential Lagrange principle and Pontryagin maximum principle in a optimal control problem are considered. The target functional for this problem isstrictly uniformly convex, the control is distributed, the phase constraints are pointwised for a parabolic equation. The control is set from Lebesgue space of summable functions with p e (2, degree. The restriction operators images are put to the Lebesgue space of summable functions with s e (1,2) degree.
Key words: optimal control; parabolic equation; dual regularization; stability; point-wise phase constraint; Lebesgue space; Lagrange's principle; Pontryagin's maximum principle.
Горшков Андрей Александрович, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, аспирант, e-mail: tiger-nn@mail.ru
Gorshkov Andrey Aleksandrovich, Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod, Nizhni Novgorod, the Russian Federation, Post-graduate Student, e-mail: tiger-nn@mail.ru
УДК 517.977
ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
© И.В. Гребенникова, А.Г. Кремлев
Ключевые слова: сингулярно возмущенная система с запаздыванием; оптимальное управление; фундаментальная матрица.
Рассматривается задача управления по минимаксному критерию для сингулярно возмущенной системы с запаздыванием при интегральных квадратичных ограничениях на ресурсы управления. Предлагается процедура построения управляющего воздействия, аппроксимирующего оптимальное решение с заданной степенью точности относительно малого положительного параметра.
Рассматривается управляемая сингулярно возмущенная система с запаздыванием Н > 0 (по состоянию):
= Ац(£)ж(£) + А12С0УС0 + С1(*)ж(* - Н) + ^)и(г), ^)
= ¿21 (*)ж(*) + А22(%С0 + С2(*)ж(* - Н) + В2(*, ^)и(£), ( )
где £ € Т = [¿0,^]; ж € , у € ; и € — управление. Начальное состояние системы (1) ж(£) = £0 — Н ^ £ < £0, ж(£0) = ж0, у(£0) = у0 точно неизвестно и заданы лишь
