CC BY
1
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 5.
УДК 517.955.8 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-31-48
Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши для уравнения Шредингера с
потенциалом Q(x) = х2 1
А. Г. Елисеев, Т. А. Ратникова, Д. А. Шапошникова
Елисеев Александр Георгиевич — доктор физико-математических наук, доцент, Национальный исследовательский университет «МЭИ» (г. Москва). e-mail: yeliseevag@mpei.ru
Ратникова Татьяна Анатольевна — кандидат физико-математических наук, доцент, Национальный исследовательский университет «МЭИ» (г. Москва). e-mail: ratnikovata@mpei.ru
Шапошникова Дарья Алексеевна — кандидат физико-математических наук, доцент, Национальный исследовательский университет «МЭИ» (г. Москва). e-mail: shaposhnikovda@mpei.ru
Аннотация
В предложенной работе выполнено построение регуляризованной асимптотики решения сингулярно возмущенной неоднородной задачи Коши для уравнения Шредингера. Выбранный в работе потенциал q(x) = х2 приводит к особенности в спектре предельного оператора в виде сильной точки поворота. Основная проблема, с которой сталкивается исследователь при применении метода регуляризации, связана с поиском и описанием регуляризируюгцих функций, которые содержат в себе неравномерную сингулярную зависимость решения искомой задачи, выделяя которые, можно оставшуюся часть решения искать в виде степенных рядов по малому параметру. Развитие метода регуляризации привело к пониманию того, что этот поиск тесно связан со спектральными характеристиками предельного оператора. В частности, установлено, каким образом следует описывать сингулярную зависимость асимптотического решения от малого параметра при выполнении условий стабильности спектра. При нарушении условий стабильности все обстоит значительно сложнее. Более того, до сих пор нет законченной математической теории для сингулярно возмущенных задач с нестабильным спектром, хотя с общематематических позиций их стали изучать порядка 50 лет назад. Особый интерес среди таких задач вызывают те, в которых спектральные особенности выражены в виде точечной нестабильности. В работах, посвященных сингулярно возмущенным задачам, некоторая часть особенностей такого вида названа точками поворота. Опираясь на идеи асимптотического интегрирования задач с нестабильным спектром С.А. Ломова и А.Г. Елисеева, указано каким образом и из каких соображений следует вводить регуляризирующие функции и дополнительные регуляризирующие операторы, подробно описан формализм метода регуляризации для поставленной задачи, проведено обоснование этого алгоритма и построено асимптотической решение любого порядка по малому параметру.
Ключевые слова: сингулярно возмущенная задача, асимптотическое решение, метод регуляризации, точка поворота.
Библиография: 21 названий.
1 Результаты А. Г. Елисеева были получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки
России (проект Р8ШР-2023-0012).
Для цитирования:
А. Г. Елисеев, Т. А. Ратникова, Д. А. Шапошникова. Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши для уравнения Шредингера с потенциалом Q(x) = х2 // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 5, с. 31-48.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 5.
UDC 517.955.8 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-31-48
Regularized asymptotics of the solution of a singularly perturbed Cauchy problem for an equation of Schrodinger with potential
Q(x) = x2
A. G. Eliseev, T. A. Ratnikova, D. A. Shaposhnikova
Eliseev Alexander Georgievich — doctor of physical and mathematical science, associate professor, National Research University "MPEI" (Moscow). e-mail: yeliseevag@mpei.ru
Ratnikova Tatyana Anatolyevna — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, National Research University "MPEI" (Moscow). e-mail: ratnikovata@mpei.ru
Shaposhnikova Daria Alekseevna — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, National Research University "MPEI" (Moscow).
Abstract
In the proposed work, we construct a regularized asymptotics for the solution of a singularly perturbed inhomogeneous Cauchy problem for the Schrodinger equation. The potential q(x) = x2 chosen in the paper leads to a singularity in the spectrum of the limit operator in the form of a strong turning point. The main problem that the researcher faces when applying the regularization method is related to the search and description of regularizing functions that contain a non-uniform singular dependence of the solution of the desired problem, highlighting which, you can search for the rest of the solution in the form of power series in a small parameter. The development of the regularization method led to the understanding that this search is closely related to the spectral characteristics of the limit operator. In particular, it is established how the singular dependence of the asymptotic solution on a small parameter should be described under the condition that the spectrum is stable. When stability-conditions are violated, things are much more complicated. Moreover, there is still no complete mathematical theory for singularly perturbed problems with an unstable spectrum, although they began to be studied from a general mathematical standpoint about 50 years ago. Of particular interest among such problems are those in which the spectral features are expressed in the form of point instability. In papers devoted to singularly perturbed problems, some of the singularities of this type are called turning points. Based on the ideas of asymptotic integration of problems with an unstable spectrum by S.A. Lomov and A.G. Eliseev, it is indicated how and from what considerations regularizing functions and additional regularizing operators should be introduced, the formalism of the regularization method for the problem posed is described in detail, and justification of this algorithm and an asymptotic solution of any order with respect to a small parameter is constructed.
Keywords: singularly perturbed problem, asymptotic solution, regularization method, turning point.
Bibliography: 21 titles.
For citation:
A. G. Eliseev, Т. A. Ratnikova, D. A. Shaposhnikova, 2023, "Regularized asvmptotics of the solution of a singularly perturbed Cauchv problem for an equation of Schrodinger with potential Q(x) = x2" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 31-48.
1. Введение
В настоящее время различным методам асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач посвящено огромное количество работ, их столь много, что полного обзора в статье ограниченного объема привести не представляется возможным. Отсылаем читателя к монографиям [1, 2], где приведены подробные библиографии по существующим подходам в теории сингулярных возмущений и сделан обзор о современном состоянии метода регуляризации С.А. Ломова, основные принципы которого по признанию самого автора в монографии [1] были заложены в конце пятидесятых, начале шестидесятых годов прошлого века в цикле работ [3]-[7]. Основная проблема, с которой сталкивается исследователь при применении последнего метода, связана с поиском и описанием регуляризирующих функций, которые содержат в себе неравномерную сингулярную зависимость решения искомой задачи, выделяя которые, можно оставшуюся часть решения искать в виде степенных рядов по малому параметру. Развитие метода регуляризации привело к пониманию того, что этот поиск тесно связан со спектральными характеристиками предельного оператора. В частности установлено, каким образом следует описывать сингулярную зависимость асимптотического решения от малого параметра при выполнении условий стабильности спектра [1]. При нарушении условий стабильности все обстоит значительно сложнее. Более того, до сих пор нет законченной математической теории для сингулярно возмущенных задач с нестабильным спектром, хотя с общематематических позиций их стали изучать порядка пятидесяти лет назад. Особый интерес среди таких задач вызывают те, в которых спектральные особенности выражены в виде точечной нестабильности (см., например, [9]-[17]). В работах, посвященных сингулярно возмущенным задачам, некоторая часть особенностей такого вида названа точками поворота и проведена их классификация:
1) простая точка поворота — собственные значения предельного оператора изолированы друг от друга и одно собственное значение в отдельных точках обращается в нуль;
2) слабая точка поворота — хотя бы пара собственных значений пересекаются в отдельных точках, но при этом предельный оператор сохраняет диагональную структуру вплоть до точек пересечения, а базис из собственных векторов сохраняет гладкость;
3) сильная точка поворота — хотя бы пара собственных значений пересекаются в отдельных точках, но при этом предельный оператор меняет диагональную структуру на жорданову в точках пересечения, а базис из собственных векторов теряет гладкость.
Приведем здесь ссылки на несколько последних исследований в рамках метода регуляризации сингулярно возмущенных задач с особенностями в спектре предельного оператора указанного вида: по простой точке поворота см. работы [9, 10, 11], по слабой точке поворота — [12, 13, 14], сильной точке поворота — [16, 17].
Типичными физическими примерами сингулярно возмущенных задач являются уравнение Навье-Стокса с малой вязкостью и уравнение Шредингера, если постоянную Планка h считать малой величиной2. Формальный предельный переход h ^ 0 в соотношениях квантовой теории осуществляет переход от квантовой к классической механике (см., например, [19, § 6]),
2 Строго говоря, постоянная Планка h является размерной величиной и имеет вполне конкретное значение, и утверждение о малости h следует понимать в том смысле, что всегда можно выделить безразмерную
h
h
поэтому в тех случаях, когда целесообразно искать приближенные (по малому Н) решения уравнения Шредингера, говорят о квазиклассическом приближении (см. [19, гл. 7]). Описанный квазиклассический переход в нестационарном уравнении Шредингера в координатном представлении на полуоси с гамильтонианом Н(р, х) = р2 + х2 порождает сингулярно возмущенную задачу, асимптотическому интегрированию которой посвящена настоящая работа. Следует сразу отметить, что рассматриваемая нами задача содержит неоднородное уравнение, что, как станет ясно в основном тексте статьи, существенно усложняет процесс построения регуляризованного асимптотического ряда.
Во многом наши исследования по асимптотическому интегрированию задачи Коши для нестационарного и неоднородного уравнения Шредингера с обозначенным выше гамильтонианом при Н ^ 0 представляют собой развитие идей работы [16, 17], где рассмотрена задача Коши для параболического уравнения с сильной точкой поворота.
2. Постановка задачи
Рассмотрим задачу Коши для нестационарного уравнения Шредингера (е = Н) с неоднородностью к(х,1):
. ди 2 92и 2 , / , ^ т
ге— + е — хи = п(хЛ), —те <х< +те, 0 <1 ^ 1,
т ох2 (1)
и(х, 0) = /(х), —те < х < +те,
где выполнены условия:
1) f (х) е Сте(—те, +те);
2) к(х,г) е Сте(—те, +те) х [0,Г|;
+те +те
3) У х2Ц(х)1йх < те, ! х21Н(х,1)1йх < те сходятся равномерно по £ (достаточные условия
—те —те
для существования классического решения задачи);
+те +те
4)Ук,т,п е И-. ! хтЦ(к)(х)1 йх < те, ^ хт1к(к'п) (х, ¿) | йх < те сходятся равномерно по £
—те —те
(достаточные условия для построения асимптотического ряда).
Классическим решением задачи (1) называется функция и(х, Ь, е), непрерывная в QT =
. ч г , , ди ди д2и
= (—те, +те)х|0,^ I х (0, е0|, имеющая непрерывные — — —— в От, удовлетворяющая во
дЪ дх дх2
всех точках фу уравнению (1) и непрерывно примыкающая к начальным условиям / (х). Справедлива следующая теорема
Теорема 1. Классическое решение задачи (1) при выполненных условиях 1) 3) существует и единственно.
Доказательство. См. Приложение 1. □
Для наглядного представления о виде спектральной особенности в поставленной задаче следует перейти к матричной форме записи:
=—*(10)(:)+0 •
здесь введена замена е • ди/дх = V. Тогда матрица предельного оператора имеет вид:
•^)=(Д 0)
Теперь легко заметить, что матрица А(х) диагонализируема и имеет гладкий базис из собственных векторов при х = 0, а в точке пересечения собственных значений (т.е при х = 0) соответствующий ей предельный оператор меняет диагональную структуру на жорданову и
х
сификации, такая спектральная особенность представляет собой сильную точку поворота.
В общем случае регуляризирующие функции необходимо строить, опираясь на каноническую форму предельного оператора, к которой можно привести с помощью гладких преобразований (см., например, работу [18]), и соответствующий базис, но в предложенной задаче оператор уже имеет каноническую форму и в соответствующих построениях нет необходимости. Более того, необходимо произвести регуляризацию правой части Н(х, ¿) (это связано с тем, что предельный оператор с матрицей А(х) в точке х = 0 необратим).
3. Формализм метода регуляризации
3.1. Регуляризирующая функция и дополнительные регуляризирующие операторы
Регуляризирующую функцию задачи (1) будем искать в стандартной форме решений линейных однородных уравнений такие сингулярности были выделены ещё Ж. Ли-увиллем в [20]. Итак, осуществляя подстановку и(х, t) = v(x, t)e-%v(x,t')/£ в соответствующее
(Ж - (W-) 2 - х2 V + i4% - % - 2^) + ,2ри = 0. (2)
\ot \ох J \ot дхг ох ох дхг
Анализ последнего выражения позволяет утверждать, что для поиска и(х, t) в виде регулярного ряда по е нужно в качестве р(х, t) взять решение следующей задачи:
| - (óg)2 = х2, р(х, 0) = 0. ,3,
Выбор начального условия для р(х, t) обусловлен тем, чтобы в дальнейшем начальное условие для и(х, t) содержало сингулярную зависимость от е. Кроме того, при таком выборе начальное условие на у(х, t) наследует начальное условие задачи (1).
Задача (3) представляет собой задачу для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, решать которую будем методом характеристик (см. [21, гл. 5, § 4, с. 268-272]). Обозначив р = díp/dt и q = д^р/дх, получим следующую характеристическую систему для уравнения задачи (3):
dt dx dp dq dp ^
T = -2q = = 2х = p- 2q2 = T, (4)
Н.У.: t = 0, х = s, p = 0, q = 0, p = s2.
ного условия задачи (3).
Интегрируя систему (4), получаем искомую поверхность в параметрическом виде:
2 sin 4т
t = т, х = scos2 т, р = s2-.
4
Тогда окончательно для функции р(х, t) в явном виде имеем:
х2
р(х, t) = х— tg 21. (5)
Дополнительный регуляризирующий сингулярный оператор, связанный с точечной необратимостью предельного оператора А(х), строится с помощью фундаментального решения задачи (1) на всей прямой, которое можно получить методом интегрального преобразования Фурье для однородного уравнения с дельта-функцией в начальном условии (см. п. 5). Их задача: вложить правую часть уравнения в образ предельного оператора. Выпишем здесь только окончательный результат:
1 — г
К(х,£, t) = — _ exp 2V ке sin2t
f х2 + £2 х£ \
i ctg2t-^---—
V 2e esin2tj
К(х, ¿) обладает свойством К(х, 0) = 5(х — £).
Дополнительные сингулярные интегральные операторы для регуляризации правой части итерационных задач получим, если проинтегрировать К(х,£, Ь) по переменной £ и для удоб-
4 +те 4
/[ [ 1 (4—г)
( • ) <1т К (х,£,г — т)<% = — г (-)^^===е ^ Лт, J .) \/соё2и — т)
о —те о
4 +те Ь
/[ [ 1 _гх2Ьё2(±—:1
( ' ) Лт £ К (х,£,1 — т)й£ = — % х ( • )-з е 2е ¿т.
о -—те О — т)
Фактически сингулярные операторы ао(х, Ь, е)(-), а\(х, Ь, е)(-) — суть решения уравнения Шредингера с правыми частями ге, гех. Действия операторов на функцию запишется как:
Г {'(Т) гх2Ье2П-т) Р. 2е
*о(№) = — , 1\) ч е--1 (1т = —г¡(1) *
Jcos2(t — т) y/cos2t
0 v
^ ix2
f(T) jx2ts2(t-T) е 2
(6)
<l(f(t)) = —гх J —^ —3е dr = —гxf (t) - _3
*
л/аоЩГ—т) Vcosi2i
д д2
Введем оператор Те = ie— + z2^^, — х2. Тогда действие оператора Те запишется как
д д х2
ix2 tg 21 Р 2s
ТеЫ№)) = ef(t) + f(t) * Те = ef(t),
V cos 2t
ix2 tg 21
ТеЫ/т = ех}(t) + хf (t) * Те e 3 = ех/(t).
cos 2
3.2. Построение регуляризованного асимптотического ряда
Введенные в предыдущем разделе регуляризирующая функция е~г(р/е и дополнительные регуляризирующие операторы <о(х,Ь, е),<1(х,Ь, е) позволяют рассчитывать, что оставшуюся
будем в виде:
тете те
и(х,1, £) = е-М^)/е ^ екщ (х, t)+ ^ Ыук (t)) + <i(Zk (t))]+ ^ ekwk (х, t). (7) к=0 к=-1 к=0
Здесь начало суммирования с к = —1 во втором ряде обусловлено необходимостью регуляризации правой части Н(х, t) для разрешимости задачи (1) на нулевом шаге по е.
Учитывая соотношения (2) и свойства построенных операторов (6), подставим (7) в задачу (1). При этом получим:
' / те те те те \
е~^/£1 г ^ £к+1Vк + ^ ек+2ь% - г2х tg 2г ^ £к+1 ^ - г tg 2í ^ ^ +
V к=0 к=0 к=0 к=0 )
те те те те
+ ^ £к [Ук-1 + ххк-1 ] + г ^ ек+1й)к + ^ ек+2^1 - х2 ^ екwk = к(х, г), (8)
к=0 к=0 те те
^ Л*,(х, 0) + ^ ^Wk(х, 0) = ¡(х).
к=0
к=0
к к=0
к=0
здесь Уи = Уи (х, = Wk (х, 1), а у к = у к (Ъ), гк = гк ^), точкой обозначена частная произ-
водная по времени, штрихом — частная производная по координате. Выделив в (8) группы слагаемых при регуляризирующей функции и без нее, приходим к серии итерационных задач:
дук дук д 2 Ук-1 -— - 2хtg2t —--tg2tvk = г 2 ,
д1 дх дх2
2 +
У к (^ * Т
г к № *ТЛх
е 2£ ^саъШ
0,
(9)
0,
х2Wk = -к(х, 1)5к + 1д)к 1 ■ д Wk 2
д
+
д х2
+ ук- 1(Ь)+ххк- 1(Ь), к = 0, те.
Здесь 5* — символ Кронекера: = 1 5*0 = 0 при к = 0. Отметим, что при отрицательном индексе к = -1 функции ь=1 (х, Ь) и w-l(х, Ь) необходимо считать равными нулю (этих слагаемых просто нет в ряде (7)). Функции у-1(¿), г-1(Ь) произвольны на шаге к = -1. Они
к = 0
к = 0
щ(х, Ь) - 2х tg 21у'0(х, £) - tg 2Ьу0 = 0,
уа(г) *т£
,е 2£
\Zcos2i
го(Ь) * Т£(х-
-) =0,
(10)
\Zcos2i
х2w0(х, 1) = -к(х, 1) + у~1{Ъ) + хх-1(1) Уо(х, 0) + wo(х, 0) = ¡(х),
Для разрешимости второго уравнения из системы (10) достаточно положить
дк
у-1(г) = -к(0,1), г-1$) = -дх(0,1)-
Тогда для Wo(х, Ь) получим гладкое решение:
w0(х, 1) = -
к(х, I) - к(0,1) - § (0, I )
х2
= гк0(х, £ ),
0( х, )
Vо(х, г) - 2х tg(2t)V0(х, г) - tg2tvo = 0,
к(х, I) - 0к(0,1) - Ц (0,1) + V о(х, 0) =-2-^--+ ¡(х).
(11)
(12)
х2
2
гх2 ^21
0
Последняя задача легко решается обычными методами интегрирования линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:
Мх-*> = ^¿и (^)- к° (^,
(14)
Отметим, что функции го(Ь) и уо(Ь) на нулевом шаге не определяются, выражения для них будут получены на следующем итерационном шаге. Этот факт не позволяет нам пока выписать главный член асимптотики.
к = 1
V 1(х, £) - 2х tg2t(х, £) - tg2tь1 (х, £) = гь'0(х, Ь),
/в 2 £ .
VI (г) *т£( ,—_ ) =0,
г^) * Т£(х
е 2£ \Zcos2t
(15)
х ^1(х, 1) = 1чЬ0(х, 1) + у0(1) + х г0(1), у1(х, 0) + w1(х, 0) = 0,
Подставляя Wо(х, Ь) из (12) в уравнение для Wl(х, ¿) этой системы, убеждаемся, что для его разрешимости нужно положить
У0(<) = ^ Ц(»■
(16)
Тогда аналогично предыдущему итерационному шагу для Wl(х, ¿) также получим гладкое решение
и,1{хЛ) = 0 +10 № *) + Ш » = ,Мх, а,
х2
а для Ь1(х, í) из (15) — задачу Коши для квазилинейного неоднородного уравнения в частных производных первого порядка:
д 1 д 1
д- - 2х tg2t ■ дх - tg2t Ь1 = г У(0(х, I),
(17)
Уравнение легко решается обычными методами интегрирования линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:
1 ^)+* ():
1( х, ) =
Здесь ф(х) — произвольная функция, определяется из начального условия (15). Тогда решение запишется в виде:
Ь1(х, ¿) =
1
\Zaos2t
12У 0
х
сов2Ь
-Ы
х
сов2Ь
0
Ещё раз обратим внимание на то, что полностью определить все слагаемые на итераци-к = 1 = 2 результате будем иметь:
дк
У1(1) = -!ц(0,1), Х1(1) = -1 —1(0, г),
Ы(х ^ = + д^о
/ 61 I «Л/ ^ V I - О ^ I
д
д х2
0
а функция к\(х, Ь) уже определена.
Продолжая по аналогии описанный процесс для к = 2, 3,... в (9), можно найти все члены ряда (11). В конце данного раздела, опираясь на (15), (16), (17), выпишем главный член асимптотики:
ид1 (х, г) = 1
40, т)
е 2£ ¿т + х
ан(о, т)
Эх
(—г)
е 2£ ¿т
+
+
х
\Zcos2Ь ^ vcos:
> )— ь>(0
. \cos2t/ \
V cos 2Ь'
е 2£ —
\ дк0(о,г) 2, 2(, ) \ д2ы -- гх2 2(1-т)
1 ' - е ат — гх
— т)
Шх(0, т) 1
е 2£ йт+
л/ёюъЩ—т) 3
—н(х, í ) + н(0, г)+х Ш (0, ^
+
X2
4. Оценка остаточного члена
Пусть члены ряда (11) определены в результате решения итерационных задач (9) для 0 ^ к ^ п + 1. Запишем соотношение для остатка:
и
(х,г, е) = е~ук(х,г)£к + 2^ £к [ао(Ук&)) + <п(*к(*))] +
к=-1
к=о
п
(18)
+ (X, ^£к + £П+1КП(Х,1, е).
к=о
Подставим (18) в задачу (1). Учитывая решения итерационных задач и сокращая на еп+1, для остаточного члена получим задачу:
. 9Кп 2&2 г> 4- \
ге-^- + £ — хЕп = —Н(х, г, £),
(19)
Пп(х, 0, £) = 0.
• Х^) Г) ..
где Н(х, I, £) = £ип(х, 1)е~г ^ + х ып+\(х, 1) + £гип(х, 1). Так как итерационные задачи решены до итерационного шага £п+\ то х2"тп+\(х, 1) удовлетворяет условиям 1)ё1у4) в постановке задачи (1) (см. Приложение 3). Используя фундаментальное решение, для Кп(х,1, е) получим выражение:
Кп(х,г, e) = JdтJ На,т, е)К(х,£,г — т)<% =
о —те
1
ь тете
— / I Н(£,т, ^^ — т)
ъ£ } фт2(Ь — т) } V
о
х2+е
х£
2£ esш2(t — т)
Теперь, учитывая условия 1)ё1у4) в постановке задачи (1) и тот факт, что итерационные задачи решены вплоть до шага к = п + 1, легко построить оценку по модулю для остатка:
4 те
1 I' I' тм с
тп1 = —= йт (1у Н (у ,Т, £) < —== = — для (х, г) е (Я х [0,Т]).
еу/Ъ ,] ,] £у/Ж £
о —те
Осталось представить остаточный член в виде:
= ип+\ + еКп+ъ
Тогда окончательно получим
С
\Rn\ < \un+i\ +еC.
Тем самым доказана следующая
Теорема 2 (Об оценке остатка (асимтотическая сходимость)). Пусть дана задача Коши (1) и выполнены, условия 1)ё1у4). Тогда, верна оценка,
(11 n
е-г>РЫ)/е ^ щ (Х, t)£k + ^ Ыук (t))+ai(Zkm +
к=0 к=-1
П \
+ (x, t)ек)
L— П /
< Cen+1,
С (R(+)x[0,T ])
где C ^ 0 — константа, не зависящая от, е, a Vk(х, t), Zk(t),Шк(x, t) получены из решения итерационных задач, при 0 ^ к ^ п + 1.
5. Построение фундаментального решения
Поставим задачу для поиска фундаментального решения задачи (1):
Qu O2U
iе— + е2—^ — х2и = 0, и(х, 0) = 5(х — £).
Ot ОХ2
Предварительно сделаем замену функции решения: и(х, t) = е ^ г v(x, t). В результате получим задачу:
dv d2v ¡2
i—--2xv = — e ——¡г, v(x, 0) = e^ 5(x — £).
О О х2
Для решения этой задачи применим метод интегрального преобразования Фурье. Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье и что функция v(x, t) со своими частными производными достаточно быстро стремится к нулю при x ^ Также предположим, что интеграл для образа Фурье искомого решения F(X, t) можно дифференцировать по переменным í и X под знаком интеграла. В пространстве образов получим следующую задачу Коши:
OF OF ¡2
ÍOFF + °д\ =(£X2 — 2)F, F(\ 0) = efe-гЛ?. (20)
Задача (20) — задача для линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, интегрирование которой проводится обычными методами. Опуская достаточно громоздкие выкладки, выпишем здесь только её решение:
/ \2 ¿2 , F(X, t) =exp( — е4(еш — 1) — ¿X£ег2 + 2-£ + i2t).
Теперь, используя формулу обратного преобразования Фурье, для оригинала будем иметь:
оо 2 °° 2
v(x, t) = 1 j F(X, t)е1ЛхйХ = ^ + i2tj j — eX-(еШ — 1) — iX(ei2t£ — x)^dX.
Для вычисления получившегося интеграла выделим полный квадрат в показателе экспоненты и после несложных преобразований и умножения на е— хё —гполучим фундаментальное решение:
К(х,£, I) =
1
sin 21
ехр
г ctg 2г
х2+е
2е
£ sin 21
6. Заключение
Как уже было отмечено во введении, основной проблемой практического применения метода регуляризации С.А. Ломова является построение регуляризирующих функций. В случае спектральных особенностей у предельного оператора выделение сингулярной зависимости решения от малого параметра достаточно трудная задача. В предложенной работе для задачи Коши для неоднородного уравнения Шредингера со спектральной особенностью в виде сильной точки поворота д(х) = х2 регуляризация, как выяснилось, состоит из двух частей:
1) описание пограничного слоя обусловленного точкой Ь = 0]
2) выделение сингуляркостей, связанных с точечной необратимостью предельного оператора.
В основном тексте статьи описанные проблемы успешно разрешены путем введения ре-гуляризирующей функции и двух дополнительных сингулярных операторов. Тем самым, основные трудности метода регуляризации для поставленной задачи успешно преодолены, что подтверждается результатами наших исследований.
7. Приложения
Приложение 1. Покажем, что функция
и(х, 1) =
1
те
J ехр г
х2 + х^
—те
Ь +те
+2—=е1 — г)1еХР К^ — Т)
о —те
2е е8т2Ь
х2+е
1
+
sin 21
1
ехр
.((£ — х ^2г)2 tg2t
ЖЖ+
2е esin2(t — т)
ЖЖ+
, т)(% =
(1т
2е
а — х^2(1 — т))2 С2 tg2(t — т)
2лДё 7
о—
ехр
— т)
2
ьа, т)<%
(21)
где /(х), Н(х, Ь) — непрерывные ограниченные функции, удовлетворяющие условиям
+те +те
/ х21 /(х)1с1х < те, / х21Н(х, Щйх < те, удовлетворяет задаче
ди 2$ ^ 2 т/ \ { \ с{ \ ге— + е — х и = п(х, 1), и(х, 0) = т(х). от охг
(22)
Заметим, что интеграл (21) сходится равномерно на (—те, +те) х [0,Т]. Действительно
оценка дает:
1и(х, £)| ^
+
1
вШ 21
—о
о
J I ехр г^
о
J Iехр г^
'(С -Xсов2Ь)2 С2
£ вШ а
2
_ йт_ Г ех Г/(е -х сов2(1 - т))2 е tg2(t - т)
же.) ^впЩ-т)] ехр[\ евтЦЬ - т) 2е
И (Ж+
№, т)№ =
1
у/Ъкё
Г7(£ -X сов 2^2\
У |ехр , Ч £ вш )
-о
+
йт
\/2тге .) \/$1п2т
о
I ехр
/(£ -х сов 2т)2 \ \ евт4т )
I ЖМ+
,1 - тм =
ев'тАт г, й£ = -2£вт2Ь йг ^ =
о о
= /X J I ¡(х С082г + г-2евт2Щйг + J йт J Щх сов2Ь + г/2е8\п2Ь - т^йг <М.
_ ^ £—х сов 21 _
о -о
В дальнейшем, не ограничивая общности, будем рассматривать только часть решения (21), которая удовлетворяет однородному уравнению (22).
Шаг 1. Формальное дифференцирование и подстановка формальных производных в уравнение.
Найдём формально (т.е. не задумываясь над правомочностью этих действий) производ-и( х, )
удовлетворяет однородному уравнению в задаче (22).
Вычислим входящие в уравнение частные производные:
ди,
1
дЪ
1
вт2£
1
=
д2 и
дх2 2л/пе вт2Ь
1
2л/пе вт2£
о
ехр . . . -
— о о
!ехр ( ... )
о
( - )(*
ф( ...)(г
х2 + £2 - 2х£ сов 21;
ехр
2. ) т
siп2 21 )
х2 сов2 2г - 2х£ сов 2г +
-х2 +
( ) =
г е ctg 2Ь +
г £ctg2t +
вт2 2г
(хсов2г -siп2 2г
№<% =
Здесь многоточием обозначен показатель экспоненты фундаментального решения. Подставляя вычисленные щ, и,хх в уравнение, получим:
1
вт 21
ехр
2 (хсов2г - £)2 . п (хсов2Ь - О2 2 -ге-х2 + --. 0 +г£сов2Ь---. 0 +х2
вш2 2г
siп2 2г
ЖЖ = о.
Шаг 2. Обоснование правомочности формальных действий.
и( х, )
новать возможность дифференцирования по х и £ под знаком интеграла при Ь > 0, -те < х < + го. Докажем этот факт при £ > Ьо, ^ > 0, откуда в силу произвольности Ьо этот факт будет иметь место при Ь > 0.
1
1
Теорема 3 (Существование классического решения). Пусть выполнены условия:
те
1) ¡(х) е С (—те, +те), удовлетворяющая условию / x2| ¡(х)1<1х < те;
те
2
2) Н(х, t) е С (—те, +те) х [0,Т], удовлетворяющая условиям J х 1Н(х, Щйх < те равно
—те
Тогда классическое решение задачи (1) существует.
Доказательство. Оценим производные, полученные на шаге 1 на прямоугольнике [—Ь,Ь] х [го, Т\:
те
е| ^ | < _1_ [(+Х2 + М±И£ ^
^ л/ЬтЫШо 7 VI ^п2го1 sin2 21о )
I ЖМ <
—те
1
< 5 ((1 + 2Ь2)Мо + 2ЬМ1 + М2),
г21^I < 5 {(1 + ь2)мО + 2ЬМ1 +М2).
те
Учитывая, что /(х) удовлетворяет условию 1) теоремы, интегралы М- = J /(^
—те
] = 0,1, 2, существуют. Поэтому интегралы равномерно сходятся на прямоугольнике
[—Ь, Ь] х (0, Т]. Отсюда следует, что функция и(х, 1) е С^'^(—те, +те) х (0, Т] и удовлетворяет
однородному уравнению (22). Докажем, что (21 Удовлетворяет начальному условию.
Функция и(х, Ь) не определена при Ь = 0. Однако её можно доопределить в начальный момент времени по непрерывности, т.е. считать равной в момент Ь = 0 её пределу при £ ^ 0 + 0. Так как интеграл (21) сходится равномерно на (—те, +те) х [0,Т], то возможен переход к пределу под знаком интеграла:
, 1 — г Г Г/(£ — х ^2Ь)2 С2 tg2t\
и(х, 0) = Нш —, ехр г \ —-— + -——
у у г^о+о 2у/пШп21 ] [V £sin4t 2е )
—те
/£ — х cos2t „ I-:-, \
\ /
те
=liш ег(+) ¡(х^21 + z—2esin2t)dz =
л/2г ] ^ о+о ' у '
ЖК =
—те
те
=т—ё1 =—г)-(—± т=ПхУ
—те
Таким образом, и(х, Ь) действительно задаёт решение задачи. □
+те
Замечание 1. Если /(х), Ъ,(х, t) удовлетворяют условиям Ут е N 3 ! |ж|т/(ж)|йх,
—те
+те
I ть^ тх, сходящимися равномерно по г, то и^ г) имеет непрерывные производные
—те
любого порядка, по х и £ при Ь > 0.
Действительно, если и(х, t) дифференцировать по х и t произвольное число раз, то будет выделяться множитель (^ — хcos 2i) в положительной степени, а множитель sin2t — в отрицательной степени. Таким образом, дело сводится к равномерной сходимости интеграла вида
те
-к
J = (sin2t)—k exp
J exp i^
(£ — хcos2t)2 + tg2t
esin4i 2e
Оценим интеграл по модулю. Тогда
(d — х cos2t)mf (№.
те
. т| . . к л Г АС — хcos2t)2 £2 tg2t \J\ < | sin2to\-k \ exp il ^-. ; B
£ sin At 2£
\\e —х cos2t\m\ЖМ =
— oo
/m „
Ц — х cos2t\m\№\d£ < \ sin2to\^Cm\х|m—3 / №\d£
3=0
— oo J —oo
— те m
\ sin2to\J2CL\х|m—Mj < \ sin2to\(L + l)mMm.
3=0
Учитывая, что ¡(х) удовлетворяет условию 1) задачи (22) интегралы М^ = J I^ IIй£
—о
существуют. Поэтому интеграл ■] равномерно сходит ся при 0 < ^ Отсюда следует, что
и( х, ) х
t > 0. Кроме того, поскольку все интегралы, участвующие в наших формальных операциях,
х
(х, t) € [-Ь, Ь] х [^,Т], ^ > 0, то их можно в этом прямоугольнике дифференцировать по х и
Теорема 4 (теорема единственности решения). Задача для однородного уравнения с однородным начальным, условием
ди 2д2и 2 , . .„„.
г£— + £2^ — х и = 0, и(х, 0) = 0, 23
д д х2
обладает, только тривиальным решением,.
и( х, )
ди . д2и i 2
о, Ъ£2 ~х и, д д х2
ди . д2и i 2_ ттт 1 ^т; о + ~х и, dt дх2 £
(24)
здесь чертой обозначено комплексное сопряжение. Теперь рассмотрим следующий интеграл:
о
1(Ъ)= ! йх •их, ^2 . (25)
—о
Продифференцировав интеграл /(£) по £ и учитывая стремление к нулю при х ^ функции и( х, )
• /* (ди ди \
) = ёх 1-й + и— ) = подставим соотношения (24)
—те
те те
= У йх ^геиххй — -х2 |«|2^ + J dx ^—геийхх + -х2 Щ2 ) =
—те —те
те "г \ / те "г
— йх ^^ I — г е I ийх — йх ^^
—оо / \ —оо
г е ихи
(0) = ( ) (0) = 0
Таким образом, интеграл (25) равен нулю для всех Ь е [0,Т]. А это возможно только, если и(х, г) = 0 □
д 2 д2 2 е—г 2.
Приложение 2. Доказательство, что оператор Те = ге—+ —х2 аннулирует — ,
оЪ дх2 - ^елъ 2г
подтверждается непосредственной проверкой:
-х2ЬЪ21
д (е 1 2ё
г
/е гХ 2Ё2"\ е %х 2Ё2г ( х2 . N / = , \ —о--± г£tg2t):
V \/сюъ21 ) у/сюПг 2г )
, -г^ ч ( ч
,- = =\—х2 tg2 2г — Í£tg2t .
V л/сюЛ! ) V )
Отсюда следует, что
Те
/ е г 2е \ е г 2Ё / х2
V 2г )= —сюв2Ь 2г
+ г е tg 2Ъ — х2 tg2 2Ъ — г £ tg(2t) —х2 1=0.
Аналогично доказывается, что Те[ х
;Х2Ьц21
е г 2ё
--3
V cos 2Г
0.
Приложение 3. Уравнение для определения частного решения —о имеет вид:
Отсюда
дН
х2—о(х, 1) = Н(х, 1) — Н(0,1) — х—(0,1).
, Н(х, I) — Н(0,1) — XИх (0,1)
—о(х, 1) =-2-—-= По(х, Ц,
х2
где Но(х, í) — гладкая функция. Проведем цепочку оценок ' д2 Н '
1. ^о(х, ¿)| =
О, 5 ^ К, Ч
вию 4) в постановке задачи д—о
2.
дх
, где 0 < £(х) < х. Следовательно, Но(х, 1) удовлетворяет усло-
), так как Н(х, Ь) удовлетворяет этому условию.
где 0 < £(х) < х. Следовательно, о удовлетворяет
дх "
1 д3Н
6 Шз ь $
условию 4) в постановке задачи (1), так как Н(х, Ь) удовлетворяет этому условию.
■дтк-1 д2тк-2
Так как —к =
дг
+ д£- 2 + у к—1(^ + х хк—1(г).
X2
, к ^ 1, то и все —к(х, Ь), получаемые
путем решения итерационных задач , также удовлетворяют условию 4). Оценка х2—о дает
|x2Wо| =
дН
к(х, £ ) — Н(0, г) —х—(0, г)
1д2Н,, ,
2 а? К, ъ
2
что приводит к утверждению, что и х2—о
удовлетворяют условию 4). Аналогично для всех х2—^-
2
Схожим образом можно показать, что все решения итерационных задач для Vk(х, t) удовлетворяют условию 4) в постановке задачи (1).
оо
Приведенные здесь соображения позволяют сделать вывод: интеграл J \Н(x,t, e)\dx сходится. Здесь Н(x,t, е) — правая часть в уравнении (19) для остаточного члена.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений // М.: Наука, 1981. 398 с.
2. Ломов С. А., Ломов И. С. Основы математической теории пограничного слоя // М.: Изд-во Московского университета, 2011. 453 с.
3. Ломов С. А. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих малый параметр // Труды МЭИ. 1962. Вып. 42. С. 99-144.
4. Ломов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с малым параметром // Доклады АН СССР. 1963. Том 148, № 3. С. 516-519.
5. Ломов С. А. О модельном уравнении Лайтхилла // Сборник научных трудов МО СССР. 1964. № 54. С. 74-83.
6. Ломов С. А. Регуляризация сингулярных возмущений // Доклады научно-технической конференции МЭИ, секция математическая. 1965. С. 129-133.
7. Ломов С. А., Сафонов В.Ф. Регуляризации и асимптотические решения для сингулярно возмущенных задач с точечными особенностями спектра предельного оператора // Украинский математический журнал. 1984. Т. 36, № 2. С. 172-180.
8. Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Регуляризованная асимптотика решений интегродиф-ференциальных уравнений с частными производными с быстро изменяющимися ядрами // Уфимский математический журнал. 2018. Т. 10, № 2. С. 3-12.
9. Елисеев А. Г., Ломов С. А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора // Математический сборник. 1986. Т. 131, № 173. С. 544557.
10. Елисеев А. Г., Ратникова Т. А. Сингулярно возмущенная задача Коши при наличии рациональной «простой» точки поворота // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2019. № 3. С. 63-73.
11. Елисеев А. Г. Регуляризованное решение сингулярно возмущенной задачи Коши при наличии иррациональной «простой» точки поворота // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020. № 2. С. 15-32.
12. Yeliseev A. On the Regularized Asvmptotics of a Solution to the Cauchv Problem in the Presence of a Weak Turning Point of the Limit Operator // Axioms. 2020. № 9, 86. http://doi.org/10.3390/axioms9030086.
13. Кириченко П. В. Сингулярно возмущенная задача Коши для параболического уравнения при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператора // Математические заметки СВФУ. 2020. № 3. С. 3-15.
14. Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной задача Коши при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператора // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020. № 1. С. 55-67.
15. Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Сингулярно возмущенная задача Коши при наличии «слабой» точки поворота первого порядка у предельного оператора с кратным спектром // Дифференциальные уравнения. 2022. Т. 58, № 6. С. 733-746.
16. Елисеев А. Г. Пример решения сингулярно возмущенной задачи Коши для параболического уравнения при наличии «сильной» точки поворота // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2022. № 3. С. 46-58.
17. Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для уравнения типа Шредингера при наличии «сильной» точки поворота у предельного оператора // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24, вып. 1. С. 50-68. DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-50-68.
18. Арнольд В. И. О матрицах, зависящих от параметров // У \ ! 11. 1971. Т. 26, № 2(158). С. 101-114.
19. Ландау Л. Д., Лифшиц E. М. Курс теоретической физики. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 800 с.
20. Liouville J. Second Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujétis â satisfaire â une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramétre variable // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1837. Pp. 16-35.
21. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление // М.: Наука, 1965. 424 с.
REFERENCES
1. Lomov S.A. 1981, "Introduction to the general theory of singular perturbations", Moscow, Nauka, 398 p.
2. Lomov S.A., Lomov I.S. 2011, "Fundamentals of the mathematical theory of the boundary layer", Moscow, Moscow University Press, 453 p.
3. Lomov S.A. 1962, "Asymptotic behavior of solutions of second-order ordinary differential equations containing a small parameter", Proceedings of MPEI, iss. 42, pp. 99-144.
4. Lomov S. A. 1963, "Power boundary layer in problems with a small parameter", Doklady AN SSSR, vol. 148, no. 3, pp. 516-519. *
5. Lomov S.A. 1964, "On the Lighthill Model Equation", Collection of Scientific Works of the USSR Ministry of Defense, no. 54, pp. 74-83.
6. Lomov S.A. 1965, "Regularization of singular perturbations", Reports of the scientific and technical conference of MPEI, m,at,hem,atical section, pp. 129-133.
7. Lomov S.A., Safonov V. F. 1984, "Regularizations and asymptotic solutions for singularly perturbed problems with point singularities of the spectrum of the limit operator", Ukrainian Mathematical Journal, vol. 36, no. 2, pp. 172-180.
8. Bobojanov A. A., Safonov V. F. 2018, "Regularized asvmptotics of solutions of integrodifferent equations with private derivatives with rapidly changing nuclei", Ufa Mathematical Journal, vol. 10, no. 2, pp. 3-12.
9. Eliseev A.G., Lomov S.A. 1986, "Theory of singular perturbations in the case of spectral singularities of the limit operator", Mathematical collection, vol. 131, no. 173, pp. 544-557.
10. Eliseev A. G., Ratnikova T. A. 2019, "Singularly perturbed Cauchv problem in the presence of a rational «simple» turning point", Differential equations and control processes, no. 3, pp. 63-73.
11. Eliseev A.G. 2020, "Regularized solution of a singularly perturbed Cauchv problem in the presence of an irrational «simple» turning point", Differential Equations and Control Processes, no. 2, pp. 15-32.
12. Yeliseev A. 2020. "On the Regularized Asvmptotics of a Solution to the Cauchv Problem in the Presence of a Weak Turning Point of the Limit Operator", Axioms, no. 9, 86. http://doi.org/10.3390/axioms9030086.
13. Kirichenko P. V. 2020, "Singularly perturbed Cauchv problem for a parabolic equation in the presence of a «weak» turning point of the limit operator", Mathematical notes of NEFU, no. 3, pp. 3-15.
14. Eliseev A.G., Kirichenko P. V. 2020, "Regularized asvmptotics of the solution of a singularly perturbed Cauchv problem in the presence of a «weak» turning point of the limit operator", Differential Equations and Control Processes, no. 1, pp. 55-67.
15. Eliseev A.G., Kirichenko P. V. 2022, "Singularly perturbed Cauchv problem in the presence of a «weak» first-order turning point of a limit operator with multiple spectrum", Differential Equations, vol. 58, no. 6, pp. 733-746.
16. Eliseev A.G. 2022, "An example of solving a singularly perturbed Cauchv problem for a parabolic equation in the presence of a «strong» turning point", Differential Equations and Control Processes, no. 3, pp. 46-58.
17. Eliseev A. G., Kirichenko P. V. 2023. "Regularized asymptotic solutions of a sylucularlv indignant mixed problem on a semi -shaft for an equation of the Schrodinger type in the presence of a «strong» turning point at the maximum operator" // Chebyshevskii sbornik, vol. 24, iss. 1, pp. 50-68. DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-50-68.
18. Arnold V.I. 1971, "On matrices depending on parameters", UMN, vol. 26, no. 2(158), pp. 101114.
19. Landau L.D., Lifshitz E.M. 2004, "Course of theoretical physics. Vol. 3. Quantum mechanics (nonrelativistic theory)", Moscow, FIZMATLIT, 800 p.
20. Liouville J. 1837, "Second Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujétis â satisfaire â une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramétre variable", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, pp. 16-35.
21. Elsgolts L. E. 1965, "Differential equations and calculus of variations", Moscow, Nauka, 424 p.
Получено: 28.06.2023 Принято в печать: 21.12.2023
