Научная статья на тему 'Регуляризация нелокальной краевой задачи для уравнения бенжамина-бона-махони'

Регуляризация нелокальной краевой задачи для уравнения бенжамина-бона-махони Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
56
17
Поделиться
Ключевые слова
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА / ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ / УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА / РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ / REGIONAL TASK / DIFFERENTIAL EQUATION / VOLTAIRE''S EQUATIONS / REGULARIZATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Каракеев Т.Т., Рустамова Д.К.

Рассматриваются вопросы регуляризации нелокальной краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка. Задача сводится к системе двух интегральных уравнений Вольтерра второго и третьего рода, на основе которых построен регуляризирующий оператор. Доказана сходимость регуляризованного решения к точному решению нелокальной краевой задачи.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Каракеев Т.Т., Рустамова Д.К.,

REGULARIZATION OF NON LOCAL PROBLEM FOR BENJAMIN-BONA-MAHONEY''S EQUATION

Is considered questions of regularization of non local problem for the nonlinear differential equations in private derivatives of the third order. The problem is reduced to system of two integrated equations of Voltaire of the second and of the third kind on the basis of which the regularizing operator is constructed. Convergence of the regularized solution to the exact solution of non local problem is proved.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Регуляризация нелокальной краевой задачи для уравнения бенжамина-бона-махони»

УДК 517.954

Т.Т. Каракеев

д-р физ.-мат. наук, доцент, кафеда информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет имени Жусупа Баласагына

Д.К. Рустамова

ст. преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники, Кыргызский национальный университет имени Жусупа Баласагына

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЕНЖАМИНА-БОНА-МАХОНИ

Аннотация. Рассматриваются вопросы регуляризации нелокальной краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка. Задача сводится к системе двух интегральных уравнений Вольтерра второго и третьего рода, на основе которых построен регуляризирующий оператор. Доказана сходимость регуляризованного решения к точному решению нелокальной краевой задачи.

Ключевые слова: краевая задача, дифференциальное уравнение, уравнения Вольтерра, регуляризация.

T.T. Karakeev, Kyrgyz National University named after Jusup Balasagun

D.K. Rustamova, Kyrgyz National University named after Jusup Balasagun

REGULARIZATION OF NON LOCAL PROBLEM FOR BENJAMIN-BONA-MAHONEY'S EQUATION

Abstract. Is considered questions of regularization of non local problem for the nonlinear differential equations in private derivatives of the third order. The problem is reduced to system of two integrated equations of Voltaire of the second and of the third kind on the basis of which the regularizing operator is constructed. Convergence of the regularized solution to the exact solution of non local problem is proved.

Keywords: regional task, differential equation, Voltaire's equations, regularization.

В работе исследуются условия регуляризации уравнения Бенджамина-Бона-Махони (ББМ) [5] с нелокальными краевыми условиями по пространственной переменной. Вопросы ре-гуляризируемости уравнения ББМ с нелокальными краевыми условиями по времени изучены в [2] в постановке, когда объединенный оператор при неизвестных функциях в нелокальных условиях необратим.

Рассмотрим дифференциальное уравнение ББМ:

wxxt (x,t) + a1wt (x,t) + a2wx (x,t) + a3 w (x,t) wx (x,t) = f (x,t), (1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

с нелокальными краевыми условиями:

w (0,t ) = 0,

wx (0,t ) = y, (2)

A (x )w (x,0) = C (x) w (x,t0) + q (x), где a=const, i=1,2,3, y - неизвестный параметр, известные функции A(x), C(x), q(x). f(x,t) подчиняются условию:

а) f(x,t)e C(D), D=[0,b]x[0,t0], A(x),C(x),q(x)eC2[0,b], С(0)=0, q(i)(0)=0, i=0,1, G(x) = A'(x)-C'(x) > d1 > 0, d1 = const, p(x) = A(x)-C(x), p(0) = 0, p(x) - неубывающая функция.

Произведем подстановку:

x

w (x,t) = J u(s,t )ds. (3)

0

Тогда из (1)-(2) получим задачу:

uxt(x,t) + a2u(x,t) = f(x,t)-a1 jut(s,t)ds-a3u(x,t)l ju(s,t)ds , (4)

0 V 0 )

u(0,t) = y,

x x

A (x) j u(s,0)ds = C( x )j u(s,t0)ds + q( x). (5)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0 0

Продифференцируем второе условие (5).

xx

A' (x) j j(s)ds + A (x )j( x ) = C (x) j u(s, t0 )ds + C( x )u (x, t0) + q' (x). (6)

00

Используя функцию Римана [1, с. 262]

R(x,t,s,t) = Y (-1)p (a2(s - x)(t-1))P (7)

h [r(p+1)]2 v;

дифференциального уравнения

uxt (x,t) + a2u( x,t) = 0, интегро-дифференциальное уравнение (4) с условиями Гурса:

u(0,t) = y, u(x,0) = j( x),

приведем к уравнению:

x t

u(x, t) = j( x) + (1 - R (x,t,0,0))y-j Rs (x,t,s, 0) j(s)ds - j RT( x,t,0,t) ydt +

00

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(8)

X t +1

hj J R (X, t, s, r) [f (st)- a1 J ut (X, r) dX- a3u (s, r) J u (Xt) dXjdrds. (9)

0 0 0 0

Проинтегрируем (9) от 0 до х:

XX X XX

J u(s, t)ds = J j(s)ds + xy- J R (s, t ,0,0) yds - J J Rs (X, t, s, 0) js )dXds -

0 0 0 0 s

X t X X t

+ ГТЧ" " )l' ("> " ) "1 | " rl

-11Яг (в,t,0,г) уСтСв +1Св1|Я (в,г) -а1{ иг г) ^^ - (10)

0 0 0 в 0 0 в

-а3и (в,т) | и (г),г) Сц]Ст.

0

Умножим обе стороны уравнения (9) на С(х) и положим t=to. Тогда учитывая (6), (8) получим:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

х х

[А(х) - С(х)Мх) + С(х)|(х,^,в,0),р(в)Св = я'(х) - А(х)|<р{в)Св -

X t0

-C' (X) J u (s,t0 )ds - С (X )(1 - R (X,t0,0,0))y-C ( x ) J Rt( x,t00,r)ydr + (11)

0 0 X t0 s s

+C (x) JJ R( x,t0,s,r)[f (s,t)- a1 J ur(h,t) dh- a3u (s,t) J u (h,t) dhjdrds.

0

Полагая t=t0 в (10), подставим полученное выражение в (11).

x x

[ A (x)- C( x)] j( x) + C( x) j Rs (x,t0,s,0)js)ds = q' (x)- A' (x) j j( s )ds-

0

XX

+C (x) J j(s )ds + С' (x) xy-С (x) J R (s,t00,0)yds - С ( x ) JJ Rf(g,t0,s,0)p(s) dXds -

0 0 s

X

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X

s

s

0

0

00

0

0

X

X

0

-С'(х) Л Ят(зЛ,0,т)уС«Сз + С'(х) Л! Я (£Л,з,т) [V (з,т)- а11 иг(т,т) Ст-

0 0 0 5 0 0

з >0

-а3и(5,т)!и(т,т)Ст]СтС%Сз + С(х)(1 - Я(х,>0,0,0))у- С(х)|Ят(х,>0,0,т)уСт +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

00 х »0 з з

+С (х) || Я (т,»0з,т)[^ (з, т) - а1! ит(т,т) Ст- а3и (з,т) | и (т,т) Ст]СтСз. (12)

х >0 з

0 0 0 Продифференцируем (9) по >. Тогда

х

и> (х,>) = -Я, (х,>,0,0)у- !Я> (х,>,з,0)р(з)Сз-1Ят (х,>,0,т)уСт+1V(з,>) -

0 0 0 з з х > з

-а ! и> (Х,>) СХ-ази (з,>)! и (Х,>) СХ]Сз + !! Я> (х,>,з,т)[^ (з,т)-а1{ и (£,т) С£- (13)

0 0 0 0 0 з

-а3и (з,т) | и (Х,т) СХ]СтСз.

0

Производя подстановку:

и (х,>) = р( х) +1 г (х,т) Ст,

0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

с учетом равенства у = и(0,0) = <р(0), уравнения (12) и (13) перепишем в виде:

г (х,> )°(Р[р, г])( х,>).

< х

р(х)р(х) + !в(з)р(з)Сз °(В[р,г])(х) + т(х)р(0),

0

где

х >0

в(х) = А'(х)- С'(х), (рг])(х,>)°-|Я5) (х,»,з,0)р(з)Сз -1Ят (х,»,0,т)р(0)Ст-

00

х >0 з т

-Я, (х,»,0,т)р(0) + !! Я (х,»,з,т)[^ (з,т) - а11 г (Х,т) С£-а3[р( х) +1 г (х,у) Су] х

0 0 0 0

з т

х| [р(Х) +1 г (Х,у) Су]СХСз,

(В[р,г])(х,з) ° |К(х,з)р(з)Сз + д'(х) + С'(х)хр(0)-С'(х)|Я(з,>0,0,0)р(0)Сз-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0 0

х >0 х х >0 з

-С( х)!! Ят(Х,>0,0,т)р(0) СтСз + С'( х) Я (Х,>0,з,т) [V (з,т)-а { г (т,т) Ст-

0 0 0 з 0 0

т з т

-а3[р(Х) +1 г (з,а) [р(т) +| г (т,а)]С«С£Сз + С (х )(1 - Я (х, ^,0,0)^(0)-

0 0 0 >0 х >0 з

-С (х) | Ят( х,>0,з,т)р(0) Ст + С (х) Ц [V (з,т) - а1| г (т,т) Ст] - а3[р( з) +

0 0 0 0

т х т

+1 г (з, <т)Со-] | [р(т) +1 г (т,&) СаСт]]СтСз,

0 0 0

х

К(х,з) = С(х) Яз(х,>0,з,0) - С'(х)!ЯХ(Х,>0,з,0)СХ + А'(х)- С'(х) - А'(з) + С'(з),

з

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(14)

х х 0

з

0

х

х

x x '0

m (x ) = xC'( x)- C'(x) J R (s,t,0,0) ds - C'(x) J J Rt (s,t0,0,r)drds + С (x )(1 - R (x,t0,0,0 ))-

0 0 0

to

-C (x) J RT( x,t0,0,t) dt.

0

Пусть e - малый параметр из интервала (0,1). Рассмотрим систему:

jze( x,t )°(Fj, Ze])( x,t),

x

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

[e + p(x)] j (x) + JG(s) j (s)ds ° (B[ je,ze])(x) + [e + m(x)] j(0).

(15)

Перепишем второе уравнение системы (15), используя резольвенту ядра (-О(в)/(е + р(х))), в следующем виде:

к( х^ )°(Р[^, zM x,t),

1 x I x

j( x )=-e+P(xyJ exp l-J

G (X)

dX

e + p (X) ) e + p (s)

G (s)

[(Bj, Ze])(s )-

-(Bj ze])( x )]ds + —L^ exp f-J-

G(s)

ds

{[ (B[je,Ze])( x ) +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

e + p(x) ^ 0 e + p(s)

+[e + m (x )]j(0)}. Пусть

je (x), je (x) eQ, = {j(x) e C1 [0,b]/ j(x)| < r = const}, Ze(x,t), Ze(x,t)eQ2 ={z(x,t)e C(D)/|z(x,t)| < r2 = const}. Тогда имеют место неравенства:

|(F[ je , Ze ]) ( x,t Hlj Ze ]) ( x,t )| < N1 || j ( x) - j ( x )| C[0,,] + N2 | |Ze ( ^ )-Ze ( X,

|(B[je, Ze])(s )-(B[je, Ze])( x )-(B[je, Ze])(s )-(B[je, Ze])( x )| < ( x - s)(N + N4 )x

je( x )-je( x )| LM+| |Ze( x,t)-Ze ( x,t )| C (^

C (D)'

|(B[je, Ze])( x )-(B[je, Z^])( x )| < x (N? + Ng j x ) - je (

+ | |Ze( x,t)-Ze( x,t )| C (D)},

x 11 C[0,b] +

где N1 = max

J|Rst (x,t,s,0)|ds + J|Rt (x,t,0,t)|dt

0 0

xb(Г1 + ^) + 2\a3\b2 (Г1 + ^),

x t

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Rt (x,t,s,t)| dtds

+ 2 |a3|max < J J\Rt (x,t,s,t) dtds > x

N2 = max

2D

0 0

|b|a^ + 2 |аз| b (r^ + t02) + — + x

x RI b +101 + ^ t0 (1 +10 )k N3 =( 4||C'( x

2

2

C[0,b]

+ 1 C( x )| U N5,

N5 = |a31 max ] J J |R (m x, r)| drdm j|b (1 + ^) (Г1 + t0r2) + b},

N, =|| |C (x)

(x )| LM+IC'( x )| U) ^ N6 = t0b|a^ + 2I a3| K1 +10 )(Г1 + t0r2) b}

(16)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0

0

s

x

D

00

2

N7 = 2|X)||с[о,ь] N + Lkb, N = |С(x)||c[o,b] Ne + Lkb. На основе данных неравенств из (16) имеем:

( X )~Фе( X )| =

1 x ( x g(x) Л G(s)

e+px) Jexp I"{eGpX) dX)eGpS)(x - s )(N- N ds+

_ G (S)

e + p(xJ e + p(s)

exp I -J

ds

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(N7 + N8)

■( x )-jj( x )\C[0,b] +1M x'f )-Ze( x,t )| С (d)

< [^ (N3 + N4) + Г\М7 + М8)][|\фе (х) - фе (х)||с[М +1\ге (х,() - ^ (х,()||с(о)],

||фе (Х) - фе ( Х)|С[о,ь] + I( ) - ^ ( )|С(0) < Я (||фе ( Х) - фе ( Х)||ф,ь] + |() - ¿е ( )|С(0) ), Я = N1 + N2 + б-1 (N3 + N4) + е-1 (N7 + N8).

Если я<1, то легко показать [4, с. 392] существование единственного решения системы (16) в паре (01,02).

Теорема 1. Пусть имеет место условие а), система (14) имеет решение и ф(х)е С1[0,Ь].

Тогда, если я<1, то решение системы (15) равномерно сходится при е ® 0 к решению системы (14), причем имеет место оценка:

¡¿е(х^)- ¿(х^)||с(0) + фе(х) -ф(х)||с[о,Ь] < ^е , 0<N9=const.

Доказательство. С помощью подстановки

вЕ (х, t) = ¿е (х, t) - ¿( х, t), ^ (х) = фе (х) - ф( х)

из (20) получим:

¡ве( Х,t )°(Р[фе, ¿е ]) ( Х,t )-(Р[ф, ¿])( Х^ )

^ Х 1"* (еРХ) ^ е^Щ [(ВФе, Ze])(S ^ ^ Х )-

-(B[j, z])(s ) + (B[j, z])( x )]ds +

-(B[j, z])( x)} + e(Hj) (x),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 x ( x

Где (Hj)( x )°----7x) J eXP "J

exp

£ + p (x) I 0 £ + p (s)

-J

G (s)

ds

G (v)

e+p(x)0 I Xe+p(v)

+ j( x )-j(0)exp I -J-GVL V e + p(x) I 0 e + p(v)

dv

G (X)

j( x)-j(X) e + p (X)

{[ (B[j,zJ)( x )-

dX +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Так же, как и выше, выводится оценка:

Ike(x )l C[0,b]+К(^ )l C(D)£ q (lJ(x )l C[0,b]+К(^ )| C(D))+1К j (x )l CM ■

В работе [3] показано, что при выполнении условия а) и j(x)е C1[0,b] для оператора (Hej)( x) справедлива оценка:

|e(He")(x)||C[0b] £ N10e, 0 < N10 = const.

ТоГда

llc[0,b]

откуда следует утверждение теоремы 1.

J( x )| |c[0b]+Ke( x,t )| |c(0)£ (1-Я )-1 ||(He j) ( x )

llc[0,b] '

1

Из теоремы 1 вытекает, что система уравнений (15) является регуляризирующей для системы (14). Следовательно, регуляризованное решение задачи (1),(2) можно определить по правилу:

x

we( x,t ) = J ue(s,t )ds,

0

t

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где ue(x,t) = x) + Jze(x,r)dt. Причем, при выполнении условия теоремы 1 имеет место оценка:

0

\\we(x,t)-w(x,t)||C(D) < (1 -q)-1b(1 + to)|\e(Heç)(x)||c[0b]. Список литературы:

1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - Москва: Наука, 1976. - 527 с.

2. Каракеев Т.Т. Краевая задача с нелокальным условием по времени для дифференциальных уравнений третьего порядка // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 2006. - Вып. 35. - С. 158-163.

3. Каракеев Т.Т., Рустамова Д.К. Регуляризация нелокальной по времени краевой задачи для нелинейных уравнений в частных производных // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. -Бишкек, 2012. - Вып. 5. - С. 34-44.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ. - Москва: Наука, 1980. - 496 с.

5. Oliver P.J. Euler operators and conservation laws of the BBM equation // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1979. - Vol. 85, № 1. - P. 143-160.