CC BY
2
ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ
УДК 658.345 + 06
DOI: 10.24412/2071-6168-2024-1-451-452
РЕГРЕССИВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ПОТЕРЬ ОТ ЧАСТОТЫ ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНО-ПРОТЯЖНОГО СТАНКА
М.В. Алексеев
Диссипативные свойства распределенных конструкций со сложной геометрией определяют потерю колебательной энергии, характеризующуюся коэффициентом потерь ]. В данной статье приведены экспериментальные данные и результаты их математической обработки коэффициентов потерь колебательной энергии вышеуказанных деталей в виде регрессионных зависимостей в функции частоты колебаний.
Ключевые слова: коэффициентов потерь колебательной энергии, виброакустическая подсистема, диссипативные свойства распределенных конструкций
Диссипативные свойства распределенных конструкций со сложной геометрией определяют потерю колебательной энергии, характеризующуюся коэффициентом потерь 7. В общем случае этот коэффициент, важный для виброакустических расчетов, зависит от размерных параметров и частоты колебаний /. Поскольку общей теории, связывающей коэффициент потерь с деталями физико-механических особенностей конструкции до настоящего времени не построено, единственной возможность определять зависимость г](/) является технический эксперимент [1-3]. Особенность экспериментального анализа ]) состоит в измерении искомого показателя, в так называемых, ок-тавных полосах. При этом корректное замыкание математических моделей виброакустики требует знания непрерывной зависимости г]/). Естественным способом получения последней является гладкая аппроксимация табулированных экспериментальных данных 7 = ](/), где / = 1, 2, ..., 9 - номер октавы.
Способ и качество аппроксимации г]0) зависит от характера и объема первичных данных. Наиболее распространенным в данном случае оказывается использование различного рода регрессий. Подлежащие аппроксимации первичные зависимости т]$) получены для каретки, протяжки, детали и стола вертикально-протяжного станка. Частота колебаний / составляла {31.5, 63, 125, 250, 500, 1000, 2000, 4000, 8000 Гц}.
Первичная экспериментальная зависимость г](/) приведена в табл. 1. Соответственно требуется сконструировать аппроксимирующую формулу для функции одной переменной т](/, а), где а - вектор подгоночных параметров. Показателем качества здесь выступает, с одной стороны, точность аппроксимации, т.е. отличие «в среднем» модельных и фактических значений, а с другой, ее компактность или длина вектора а
[4].
Обычно оптимальной считают аппроксимацию, отвечающую рациональному компромиссу приведенных противоречивых требований. Аппроксимация признается качественной, если число подгоночных коэффициентов заметно меньше числа табули-
рованных значений. Также точность аппроксимации приемлема, если модельные значения отличаются от экспериментальных на величину, не превышающую погрешности определения последних.
Таблица 1
Экспериментальная зависимость коэффициента потерь колебательной энергии от частоты для вертикально-протяжного станка, а именно: для каретки щ,
протяжки rj2, детали г)з и стола Г}4.
f Гц 31,5 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000
71 0,02 0,012 0,015 0,01 0,006 0,007 0,009 0,01 0,008
72 0,0004 0,00037 0,00035 0,00031 0,0002 0,00019 0,0002 0,0002 0,00017
73 0,0007 0,00068 0,00057 0,00038 0,00025 0,00022 0,0003 0,0003 0,00027
74 0,05 0,043 0,03 0,02 0,014 0,016 0,02 0,02 0,018
В начале рассмотрим экспериментальную зависимость гц(/), полученную для каретки вертикально-протяжного станка. В технических приложениях традиционно используют аппроксимацию многочленами. Для удобства введем новую переменную - / ^ log2 (/715.75), физическим смыслом которой служит номер нормируемой октавы. Поскольку экспериментальный спектр щ(/) имеет два выраженных минимума и два максимума (рис. 1), минимальная степень аппроксимирующего многочлена составляет 5 [5,6]. Соответственно степень сжатия данных при такой аппроксимации составляет 976.
Каретка
о
J
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
-в-
-е-
2 4 6 S
Ho.v.ep нормируемой октавь
10
Рис. 1. Зависимость коэффициента потерь колебательной энергии для каретки вертикально-протяжного станка от частоты, измеренной экспериментально
в нормируемых октавных полосах
Конечный вид аппроксимирующей формулы в этом случае имеет вид: 7 = -2,46-10-5-х5 + 5,93-10-4-х3 - 5,25-10-3-х3 + 2,12-10-2-х2 - 4,1-10-2-х + 4,4-10-2 (1) а коэффициенты разложения могут быть получены встроенными средствами Excel. В формуле (1) х = log2 f /15.75 Гц) - введенная выше новая переменная, нумерующая нормированные октавы. Степень близости рассчитываемых посредством (1) значений и фактических характеризуется тремя параметрами - коэффициентом корреляции средней относительной погрешностью 5 и максимальной относительной погрешностью 5max [7,8].
Качество (1) тем выше, чем коэффициент корреляции ближе к единице, а среднее и максимальное относительные погрешности - к нулю. Применительно к формуле (1), график которой приведен на рис. 2, величины £ и 5 и 5max равны 0,899, 11,3 % и 21,9 % соответственно.
Повышение точности полиномиальной модели посредством увеличения старшей степени до 4 выражается результатом:
7 = 5,93-10-3-х4 - 3,59-10-2-х3 + 1,1-10-1-х2 -1,64-10-1-х +1,03-10-1, (2)
отображенном на рис. 3 и характеризующимся лучшим приближением (Е, = 0,9863, 5 =
4,1 %и5тах=11,5%).
0
1
о. "
0,025 0,02 0,015
Щ о- 0,01
£ £ г- т
£ 0,005
о
-е--е-
Каретка
4 6 Е
Номер нормируемой октавь
10
Рис. 2. Результат аппроксимации измерений ]1 из табл. 1 многочленом 5 степени
Очевидно, что для каретки вертикально-протяжного станка следует использовать полином 6 степени.
0,025
Каретка
0,02
0,015
0,01
0,005
-е--&
4 6
Номер нормируемой октавь
10
Рис. 3 Результат аппроксимации измерений ] из табл. 1 многочленом 6 степени
Представим экспериментальную зависимость ]2(/?) для протяжки вертикально-протяжного станка в графическом виде (рис. 4).
Протяжка
0,00045 0,0004 0,00035 0,0003 0,00025
х
£ 0,0002 С1
г 0,00015 0,0001 0,00005 0
4 6
Номер нормируемой октавы
10
Рис. 4. Зависимость коэффициента потерь колебательной энергии для протяжки вертикально-протяжного станка от частоты, измеренной экспериментально
в нормируемых октавных полосах
453
Аналогично расчетам для каретки применим аппроксимацию полиномиальной функцией. Однако, анализируя экспериментальные данные на рис.4, можно понять, что начинать следует с многочлена 4 степени, т.к. функция имеет 3 выраженных экстремума. Результаты аппроксимации полиномами 4, 5 и 6 степени в виде коэффициентов многочлена, их корреляцией и относительными погрешностями представлены в табл. 2.
Таблица 2
Подгоночные коэффициенты и показатели адекватности полиномиальных _моделей для каретки вертикально-протяжного станка_
Полином / Коэффициент 4 степень 5 степень 6 степень
А -5,7-10-7 -2,33-10-7 1,12-10-7
В 1,23-10"5 5,26-10"6 -3,58-10"6
С -8,53-10-5 -4,12-10-5 4,43-10-5
D 1,79-10"4 1,34-10"4 -2,66-10"4
Е 2,86-10-4 -2,07-10-4 7,89-10-4
F - 5,07-10-4 -1,1-10"3
G - - 9,4-10"4
£ 0,9619 0,9788 0,9897
5, % 5,1 4 3,9
5тах, % 11,5 11,6 9,6
Увидим, что наилучшим порядком аппроксимирующей функции является 6 степень полинома с коэффициентом корреляции £ = 0,9897, средней относительной погрешностью 5 = 3,9 % и максимальной относительной погрешностью 5тах = 9,6 %. Уравнение, описывающее экспериментальные данные для коэффициента потерь колебательной энергии для стола горизонтально-протяжного станка, показано на рис. 5 и имеет вид:
77 = 1,12-10-7-х6 - 3,58-10-6-х5 +4,43-10"5-х4 - 2,66-10"4-х3 +7,89-10"4-х2-
-1,1-10-3-х + 9,4-10-4 (3)
Протяжка
0,00045 >1 ? 0,0004 .с 5 0,00035 н иэ 0,0003 Б 0 0,00025 = X 6 | 0,0002 Б I 0,00015 г- т £ 0,0001 1 0,00005 * о
2 4 Б 3 10
Номер норми руеглой о ктав ы
Рис. 5. Результат аппроксимации измерений 172 из табл. 1 многочленом 6 степени
Далее получим графическую интерпретацию экспериментальной зависимости 773(^1) для детали вертикально-протяжного станка (рис. 6).
Как и в случае с протяжкой, применим аппроксимацию многочленом, только начнем с 3 степени. Полученные коэффициенты полинома 3, 4, 5, 6 степени, их коэффициенты корреляции и относительные погрешности отразим в табл. 3.
При увеличении степени полинома с 4 до 5 происходит незначительное улучшение коэффициента корреляции, а также несущественное падение средней и максимальной относительных погрешностей. Это обстоятельство побуждает сделать выбор на лучшем показателе адекватности при минимальном значении количества параметров.
454
Очевидно, что в данном случае оптимальным будет полином четвертой степени, имеющий вид:
7 = -1,96-10"6-х4 + 4,04-10"5-х3 - 2,68-10"4-х2 + 5,5-10"4-х +3,76-10"4 (4)
Деталь
0,0008
i-i
I 0,0007 • .
-С
а 0,0005
Iи
щ 0,0005
° I 0,0004
■D X *
« & 0,0003 Ф Ф
а г
¡Í ^ о.ооог •
х
ё 0,0001 4 о
"m 0 2 4 6 6 10
а
~ Нoveр нормируемой октавь
Рис. 6. Зависимость коэффициента потерь колебательной энергии для детали вертикально-протяжного станка от частоты, измеренной экспериментально
в нормируемых октавных полосах
Таблица 3
Подгоночные коэффициенты и показатели адекватности полиномиальных моде-
Полином / Коэффици- 3 степень 4 степень 5 степень 6 степень
ент
A 1,33-10"6 -1,96-10-6 -1,21 -10-8 1,81-10-7
B -6,94-10-6 4,04-10-5 -1,66-10-6 -5,44-10-6
C -1,05-10-4 -2,68-10-4 3,76-10-5 6,18-10-5
D 8,53-10-4 5,5-10-4 -2,56-10-4 -3,27-10"4
E - 3,76-10-4 5,3-10-4 8,09-10-4
F - - 3,87-10-4 -9,29-10-4
G - - - 1,09-10-3
0,9154 0,9925 0,9925 0,9991
5, % 14,8 3,8 3,7 1,5
5max, % 28,2 10,8 10,8 4,7
Результат аппроксимации представлен на рис. 7.
>х
0
1
-е--е-
0,0008 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0
Деталь
2 4 6 Б
Hov.ep нормируемой октавь
10
Рис. 7 Результат аппроксимации измерений ]3 из табл. 1 многочленом 4 степени
Наконец представим экспериментальную зависимость для стола верти-
кально-протяжного станка в графическом виде (рис. 8).
455
Стол
0,05
>х
о
| 0,05 •
3
£ •
из 0,04 и
■7
= = 0,03 *
л? 2
• I
& т 0,02 Ф Ф Ф
!- т Л
I- Ф
£ 0,01
-I 0 I-1
И" 0 2 4 6 8 10
о
~ Номер нормируемой октавь
Рис. 8. Зависимость коэффициента потерь колебательной энергии для стола вертикально-протяжного станка от частоты, измеренной экспериментально
в нормируемых октавных полосах
Опираясь на опыт предыдущего расчета для детали вертикально-протяжного станка, найдем коэффициенты полиномиальных функций 3, 4 и 5 степени, их корреляции и относительные погрешности. Результаты отразим в табл. 4
Таблица 4
Подгоночные коэффициенты и показатели адекватности полиномиальных _моделей для стола вертикально-протяжного станка_
Полином / Коэффициент 3 степень 4 степень 5 степень
А -1,04-10-4 -1,01-10"4 1,63-10-5
В 2,7-10-3 1,92-10-3 -5,07-10"4
С -2,17-10"2 -1,08-10"2 5,64-10-3
Б 7,18-10-2 1,22-10"2 -2,6-10"2
Е - 4,72-10-2 3,91-10-2
F - - 3,17-10-2
£ 0,948 0,9939 0,998
5, % 10,6 3,9 2,1
5тах, % 22,5 8,1 6,3
По итогу снова остановимся на выборе лучшего показателя адекватности при минимальном значении количества параметров. В нашем случае для качественной аппроксимации оптимально будет использовать полином 4 степени, имеющий вид:
7 =- 1,01-10"4-х4 + 1,92-10-3-Х3 - 1,08-10-2-Х2 + 1,22-10"2-Х +4,72-10"2. (5)
Результат аппроксимации представлен на рис. 9.
Стол
0,06 0,05 0,04 = 0,03
I 0,02
ип
0,01 о
10
¡Я 0 2 4 6 8
о
~~ Номер нормируемой октавь
Рис. 9 Результат аппроксимации измерений ]4 из табл. 1 многочленом 4 степени
Подытоживая все проведенные исследования, можем сказать, что коэффициент потерь колебательной энергии для элементов вертикально-протяжного станка, в частности, для каретки, протяжки, детали и стола может быть качественно описан с помощью стандартного метода аппроксимации многочленами [9-11]. Экспериментальные данные для каретки и протяжки описываются полиномами 6 степени, а для детали и стола - полиномами 4 степени. Все найденные функции подтверждены показателями адекватности полиномиальных моделей: коэффициентом корреляции средней относительной погрешностью 5 и максимальной относительной погрешностью 5max.
Список литературы
1. М. Жорник. Технический эксперимент: теория и практика. - LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. - 224 с.
2. Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. -Минск: Изд-во БГУ, 1982. - 302 с.
3. Ермаков С.М. Математическая теория планирования эксперимента. - М: Наука, 1983. - 392 с.
4. Самарский, А.А. Математическое моделирование: идеи, методы, примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. - 2-е изд., испр. - Москва : Физматлит, 2005. - 320 с.
5. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. - М.: Наука, 1971. — 424 с.
6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. - М.: Мир, 1985.
7. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel. - Питер, 2003. - 240 с.
8. Кудрявцева И.В., Рыков С.А., Рыков С.В., Скобов Е.Д. Методы оптимизации в примерах в пакете MathCAD 15. Ч. 1: Учебное пособие. - Санкт-Петербург: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2014. - 166 с.
9. Определение коэффициентов потерь колебательной энергии в стержневых конструкциях / Феденко А.А., Беспалова Г.В. // В сборнике: Транспорт-2013. Труды международной научно-практической конференции. ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения». 2013. С. 328-329.
10. Финоченко Т.А. Исследование виброакустических характеристик малошумного механизма поддержки прутка / Б.Ч. Месхи, Т.А. Финоченко // Вестник РГУПС. 2009. №4. С. 27-30.
11. Определение коэффициентов потерь колебательной энергии в стержневых конструкциях / Феденко А.А., Беспалова Г.В. // В сборнике: Транспорт-2013. Труды международной научно-практической конференции. ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения». 2013. С. 328-329.
Алексеев Марк Вячеславович, преподаватель, [email protected], Россия, Санкт-Петербург, Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова
REGRESSIVE DEPENDENCES OF THE LOSS RATIO ON FREQUENCIES FOR
VERTICAL BROACHING MACHINE
M.V. Alekseev
The dissipative properties of distributed structures with complex geometry determine the loss of oscillatory energy, characterized by the loss coefficient □. This article presents experimental data and the results of their mathematical processing of the vibrational energy loss coefficients of the above parts in the form of regression dependencies as a function of vibration frequency.
Key words: vibrational energy loss coefficients, vibroacoustic subsystem, dissipative properties of distributed structures.
Alekseev Mark Vyacheslavovich, teacher, [email protected], Russia, St. Petersburg, Baltic State Technical University "VOENMEH" named after. D.F. Ustinova
УДК 51: 621.891
DOI: 10.24412/2071-6168-2024-1-458-459
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ НА РАБОТУ КЛИНОВИДНОЙ УПРУГОДЕФОРМИРУЕМОЙ ОПОРЫ СКОЛЬЖЕНИЯ, РАБОТАЮЩЕЙ В УСЛОВИЯХ РАССЛОЕНИЯ СМАЗКИ ВБЛИЗИ ЕЕ ТВЕРДОЙ ОПОРНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
К.С. Ахвердиев, Е.А. Болгова, Е.О. Лагунова Е.О., Е.А. Копотун
В данной работе выполнен расчет и представлена модель упруго-деформируемой опоры скольжения, состоящей из системы "ползун-направляющая", основываясь на нелинейных уравнениях движения вязкой несжимаемой жидкости для случая "тонкого слоя", уравнениях неразрывности и уравнении Ламе для случая "тонкого слоя". Также было изучено влияние нелинейных факторов и параметра упруго-деформируемости на основные рабочие характеристики подшипника, применяемого в условиях расслоения смазки вблизи его твердой опорной поверхности. Приведена также математическая модель, описывающая зависимость вязкостных отношений слоев от плотности этих слоев.
Ключевые слова: клиновидная опора скольжения, деформация опорной поверхности, стратифицированное течение, нелинейные факторы, гидродинамический режим, автомодельное решение.
Клиновидные опоры скольжения широко используются в машинах и механизмах. они представляют собой комплексную систему, состоящую из покрытия, клиновидного блока и опорной конструкции. В современной технике существует необходимость в повышении качества трибосистем, которые играют ключевую роль в обеспечении надежности и долговечности различных механизмов и систем. Одной из основных проблем, связанных с трибологией, является изучение гидродинамических процессов, происходящих в смазочном слое с учетом стратификации смазочного слоя, влияния нелинейных факторов на работу упругодеформированных клиновидных опор скольжения.
Одним из путей обеспечения гидродинамического режима, а также предотвращения отказов в условиях голодного смазывания, перекосов и других аварийных ситуаций является применение в качестве смазки металлическое покрытие.
К сожалению, в современной технической литературе отсутствуют прямые теоретические и экспериментальные данные о процессе трения, и изнашивания металлических покрытий упругодеформированных клиновидных опор скольжения в среде жидких смазочных материалов с учетом стратификации смазочного слоя и расплава покрытий.
Из основных результатов работ Г1 —3] следует, что упорные подшипники обычной конструкции или с пористыми элементами на опорных поверхностях, имеющие двухслойную стратификацию смазочного слоя, обеспечивает оптимальное сочетание несущей способности и силы трения при соотношении вязкости стратифицированных слоев равной единице.
Из основных результатов работы Г4] следует, что модель стратифицированной смазки упругодеформированного подшипника при наличии пористого слоя на поверхности шипа незначительно снижает несущую способность.
