CC BY
45
05.13.18
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ
Рахимов Рустам Хакимович, д-р техн. наук, зав. лабораторией № 1 Института материаловедения научно-производственного объединения «Физика-Солнце» Академии наук Республики Узбекистан. E-mail: rustam-shsul@ yandex.com
Умаралиев Нурмамат, канд. техн. наук, кафедра «Телекоммуникационный инжиниринг» Ферганского филиала Ташкентского университета информационных технологий им. Мухаммада Ал-Хоразмий. E-mail: nurmuhammad@bk.ru
Джалилов Ммаматиса Латибджанович, канд. техн. наук, зав. кафедрой «Компьютерные системы» Ферганского филиала Ташкентского университета информационных технологий им. Мухаммада Ал-Хоразмий. E-mail: mamatiso2015@yandex.ru
Максудов Асад Урманович, ст. научн. сотр. ФТИ НПО «Физика-Солнце» АН РУз. Е-mail: asaduz50@rambler.ru
Аннотация. В статье рассматриваются некоторые современные методы прогноза землетрясений. Предлагается регрессионные модели прогноза, основанные на измерениях изменения интенсивности потоков заряженных частиц низких энергий рождаемые в земной коре.
Ключевые слова: вариация, детектор, заряженные частицы, магнитуда, эпицентр, время, землетрясения.
Как известно [1-3] изменение интенсивности потоков заряженных частиц является предвестником и информативным признаком предстоящих землетрясений. Т.е., измеряя параметры предвестников - интенсивности потоков заряженных частиц, можно прогнозировать параметры предстоящего землетрясения: время, координаты эпицентра и магнитуды землетрясения. Для прогнозирования землетрясений необходимо исследование взаимосвязи предвестников и землетрясений, то есть найти ответ на вопрос: Как связаны параметры землетрясений с величинами параметров предвестников? В результате этих исследований нужно построить математическую модель прогнозирования.
Предлагаемая [1] установка (рис. 1) позволяет в автоматическом режиме непрерывно измерять параметры предвестника (изменение интенсивности заряженных частиц
на месте расположения установки) и на их основе создавать базу данных в хронологическом порядке. Далее по специальному алгоритму можно выделять из них сигналы предвестника. При возникновении землетрясения будет известно время, магнитуда и координаты эпицентра. Их регистрируют и объявляют действующие по всему миру сейсмостанции. Эти величины необходимо добавить в базу данных предвестников. После формирования базы данных предвестников, с необходимым количеством экспериментальных точек, станет возможным провести статистические исследования взаимосвязи параметров предвестника и происходивших землетрясений. Для прогноза предстоящего землетрясения необходимо построение прогнозирующих моделей для каждого параметра - время, долгота и широта координат эпицентра и магнитуда толчков на основе созданной базы данных.
а б
Рис. 1. Устройство для регистрации предвестников землетрясений:
а - вид сверху; б - вид спереди, в разрезе вертикально по центральной плоскостью параллельной к передней стенке; а = 45°; 1 - сцинтилляционные детекторы; 2 - ФЭУ-84; 3 - детекторы направления; 4 - ФЭУ-125; 5 - углеродные поглотители; 6 - нейтронные счетчики
Рахимов Р.Х., Умаралиев Н., Джалилов М.Л., Максудов А.У.
С помощью электронного регистратора предложенного в [1] можно измерять в девяти каналах величину потока заряженных частиц, 8 из них являются указателем направления эпицентра предстоящего землетрясения или источника потока заряженных частиц и могут служить определению координат эпицентра предстоящего землетрясения.
Таким образом, имеется к = 9 независимых переменных факторов, х1, х2, ... , хк совокупность значений которых соответствует переменной ф (называемой еще функцией отклика или целевой функцией), значения которой являются результатом измерений параметров происходившего землетрясения (долгота и широта координаты эпицентра, магниту-да толчков) при заданных значениях факторов.
Из созданной таким образом базы данных формируем отдельные таблицы (табл. 1) для каждого параметра землетрясения (долгота и широта координаты эпицентра, и магни-туда толчков).
Таблица 1
№ эксперимента xi X2 Xk фехР*
1 x11 X21 Xk1 ф-Р
2 X12 X22 Xk2 ФГР
N X1N X2N XkN ФГР
*exp - сокр. англ. experiment - эксперимент.
Последний столбец представляет собой результат измерений параметров происходившего землетрясения для каждого сочетания значений независимых переменных в соответствующей строке таблицы. xj - значение фактора с номером i в j-м землетрясении. Иными словами, в результате экспериментального исследования функциональной зависимости ф = f(x., bl) получается таблично заданная функция, то есть функция, значения которой известны только в некоторых дискретных точках (узлах).
С помощью регрессионного анализа для произвольной математической модели вида
' = f(xv x2, ... , xk; b0, b,, ... , b,)
(1)
(* count - англ. расчет).
можно подобрать значения постоянных числовых параметров (коэффициентов регрессии) b0, b1, ... , bl, такие, что экспериментально измеренные (см. табл. 1) и рассчитанные по уравнению значения функции для каждой строки табл. 1 отличались в наименьшей степени.
Для простоты будем строить линейную математическую модель вида:
ф = b0 + b,x + b2x + b3x + b4x + b5x + b6x + b7x + b8x + b9x. (2)
Здесь b0, b , b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9 - числовые параметры математической модели, которые необходимо определить; х - независимая переменная (значение потока заряженных частиц, измеренных в девяти каналах); ф - зависимая переменная (один из параметров землетрясений измеренный сейсмическими станциями).
Воспользуемся одним из часто используемых алгоритмов регрессионного анализа, методом наименьших квадратов (МНК). В рамках этого подхода параметры математической модели b0, b1, ... , bl вычисляются исходя из требования
минимальности суммы квадратов отклонений (невязок) определенного экспериментально и рассчитанного по математической модели значения функции:
Q = £(xp - ФГ"1 ) = min. = 0
(3)
Здесь суммирование производится по всем N экспериментальным точкам; фехр - измеренные в /-м опыте значения зависимой переменной; фс°ип* - рассчитанное по математической модели при подстановке условий проведения /-го опыта значение функции
=f(xi., X2i, ..., xki; ^ bv ..., b,).
(4)
Регрессионный анализ с помощью МНК возможен при выполнении следующих необходимых условий: количество экспериментальных точек N больше или равно количеству коэффициентов Ь.
Если подставить выражение для математической модели в общем виде, то получим:
Q = £[ФГР - f ((, *2,
min. (5)
Таким образом, О есть функция (I + 1) переменных Ь0, Ь1,..., Ь1 и условием ее экстремума является одновременное равенство нулю частных производных О по параметрам математической модели, т.е. значения параметров можно определить из системы уравнений вида:
dQ db0 dQ db
dQ db,
0;
= 0;
= 0.
(6)
Все возможные математические модели можно разбить на две группы: линейные по отношению к определяемым параметрам Ь и нелинейные. Общий вид математических моделей, приводимых к линейному, следующий:
Ф = b0 f0 + b f +...+bf, = £ bjfj,
(7)
j=о
где I - количество определяемых параметров; Ь - сами коэффициенты; f. - произвольные функции независимых переменных, не включающие определяемые коэффициенты (отметим, что при этом зависимость от факторов х/ может и не быть линейной).
Рассмотрим более подробно математические модели, линейные по отношению к параметрам. Запишем рассчитанное значение функции для -го измерения:
ФГ" = Ьо /01 + ь Л, +... + Ь/ц = Е Ь^, (8)
1 = о
где ' - значение у'-й функции при значениях независимых переменных в /-м эксперименте. После подстановки в выражение для суммы квадратов невязок получим:
q=£ ф-,,
k = ol j = 0
(9)
и
2
Остаточная сумма квадратов является функцией от параметров математической модели. Для нахождения минимума этой функции необходимо потребовать одновременное равенство нулю частных производных функции О по параметрам Ь0, Ь , ... , Ь1. Производная О по и-му числовому параметру Ь имеет вид:
dQ
dbu dbu к = 0
ФеХР -Е bf
i = 0
(10)
:Е
фг -Е bjfi
i=0
-fi ) = 0.
После сокращения на (-2) и перегруппировки получаем:
N N l
Е ФГ fui-ЕЕ biUi= о; (И)
= 1 j = 0
ЕЕ= ЕФГри, и=о, 1.....1. <12>
I = 11 = 0 к = 0
Таким образом, полученные (1 + 1) уравнения образуют систему линейных уравнений для нахождения (1 + 1) параметров математической модели. Как нетрудно заметить, в матричной форме она записывается в виде:
N N ^Еfoi ^Еffi ■■ i = o i = o N Е ff i=i / \ bo i N Е фг foi i =1
NN Efofii Et ■■ i = o i = o N Е ff i=i bi N Е фг fii i =1
NN Е foif и Е fiifii i=1 i = 1 N ■■■ ЕЛ2 i = 1 b N Е фг f» i=i
В случае моделей, линейных по отношению к параметрам, система уравнений будет являться линейной (см. далее), которая легко может быть решена соответствующими методами, в том числе и точными - методами Гаусса, Гаусса-Жордана и т. д.
Имея минимум k экспериментальных точек, можно построить линейную модель с k коэффициентами, прогнозирующую тот или иной параметр землетрясения.
После каждого измерения параметров предвестника и параметров происходившего землетрясения получим новую k + 1-ю дополнительную экспериментальную точку и снова построим прогнозирующую модель. Полученную новую модель можно назвать адаптивной, поскольку, для построения ее использовались новые экспериментальные данные.
Предлагается рекурсивный алгоритм построения регрессионной модели прогноза, который позволяет получить адаптированные модели. Если использовать экспериментальные значения прогнозируемых величин в качестве весовых коэффициентов, то за несколько шагов, возможно, достигать практическую приемлемую адекватность построенных моделей.
Таким образом, строим математическую модель для каждого параметра землетрясения: время, долгота и широта координат эпицентра, а также магнитуда в виде (8) на основе измеренных установкой [2] данных. Имея их можно прогнозировать предстоящие землетрясения с практически приемлемой точностью.
Литература
1. Максудов А.У., Шаякубов Д.Б. и др. Установка для регистрации предвестников землетрясений // Приборы и техника эксперимента, 2015. № 1. С. 131-132.
2. Махсудов А.У., Лутпуллаев С.Л., Нуритдинов Х., Шаякубов Д.Б. Патент на полезную модель «Устройство для регистрации предвестников землетрясений» № FAP 01088, 04.02.15 г. Зарег. в Гос. реестре полезных моделей Республики Узбекистан, в г. Ташкенте 24.03.16 г.
3. Максудов А.У. Мониторинг сейсмических предвестников для прогноза землетрясений // Computational nanotechnology, 2016. № 1. С. 52, 61.
4. Махсудов А.У., Умаралиев Н., Джалилов М.Л., Жураев Н.М. Информационно-измерительная система для автоматизации регистрации параметров предвестников землетрясения // Информационно-коммуникационные технологии и прикладные задачи цифрового моделирования. Сб. мат. Республ. научно-техн. конф. Самаркандский филиал ТУИТ им. Мухаммада Ал-Хоразмий. 2017 г. 8-9 сентября.
2
0
Rakhimov R.Kh., Umaraliev N., Jalilov M.L., Maksudov A.U.
REGRESSIONS MODELS FOR FORECASTING OF EARTHQUAKES
Rakhimov Rustam Kh., doctor of technical Sciences, head of laboratory № 1 of Institute of materials science, «Physics-sun» of Uzbekistan Academy of sciences
Umaraliev Nurmamat, Ph.D., Associate Professor, Chair «Telecommunication Engineering» of Fergana branch of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad Al-Khorazmiy
Jalilov Mmatmatisa L., Ph.D., Head of the department «Computer Systems» of Fergana branch of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad Al-Khorazmiy
Maksudov Asad U., senior research fellow of the Physico-Technical Institute «Physics-Sun» of Academy of Sciences of Uzbekistan
Abstract. Some modern methods of forecasting earthquakes are considered in the article. Regression forecast models based on measurements of changes in the intensity of low-energy charged particle fluxes produced in the earth's crust are proposed.
Index terms: variation, detector, charged particles, magnitude, epicenter, earthquake, time.
As is known [1-3], the change in the intensity of the fluxes of charged particles is a harbinger and an informative sign of the upcoming earthquakes. I.e., by measuring the parameters of precursors - the intensity of the flows of charged particles, it is possible to predict the parameters of the forthcoming earthquake: time, coordinates of the epicenter and magnitude of the earthquake. For the prediction of earthquakes, it is necessary to study the interrelationship of precursors and earthquakes, that is, to find the answer to the question: How are the parameters of earthquakes related to the values of precursor parameters? As a result of these studies, we need to build a mathematical model of forecasting.
The proposed [1] installation (Fig. 1) allows in automatic mode to continuously measure the parameters of the precursor (changing the intensity of charged particles at the location of the installation) and on their basis to create a database in chronological order. Further, according to a special algorithm, it is possible to isolate from them the signals of a precursor. In the event of an earthquake, time, magnitude and coordinates of the epicenter will be known. They are registered and announced seismic stations operating all over the world. These values must be added to the database of precursors. After the formation of a database of precursors, with the necessary number of experimental points, it will
3 1
be possible to conduct statistical studies on the relationship between the precursor parameters and the earthquakes that have occurred. For the forecast of the forthcoming earthquake, it is necessary to construct predictive models for each parameter-the time, longitude and latitude of the coordinates of the epicenter and the magnitude of the tremors based on the created database.
With the help of the electronic recorder proposed in [1] it is possible to measure the magnitude of the flow of charged particles in nine channels, 8 of them are the indicator of the direction of the epicenter of the forthcoming earthquake or the source of the flow of charged particles and can serve to determine the coordinates of the epicenter of the forthcoming earthquake.
Thus, there are k = 9 independent variables, x1, x2, ... , xk, the set of values of which corresponds to the variable $ (also called the response function or objective function), whose values are the result of measurements of the parameters of the earthquake (longitude and latitude of the epicenter coordinate, magnitude of the tremors) for given values of factors.
From the database created in this way, we form separate tables (Table 1) for each earthquake parameter (longitude and latitude of the epicenter coordinate, and magnitude of the tremors).
a b
Fig. 1. The device for registration of harbingers of earthquakes: a - the top view; b - the front view; a = 45°; 1 - Scintillation detectors; 2 - PMT-84; 3 - direction detectors; 4 - PMT-125; 5 - carbon absorbers; 6 - neutron counters
Table 1
№ experiment xi X2 Xk $exP*
1 X11 X21 Xk1 <Ke*p
2 X12 X22 Xk2
N X1N X2N XkN
-- fix.
1' X2' - ' Xk; b0' bl'
- , b, )
(1)
Here b0, b1( b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9
numerical parameters of mathematical model which are necessary for defining; x -independent (value of a stream of charged particles measured in 9 channels); $ - a dependent variable (one of parameters of earthquakes measured seismic stations).
We use one of the most commonly used regression analysis algorithms, the method of least squares (MLS). Within the framework of this approach, the parameters of the mathematical model b0, b, ... , bF are calculated on the basis of the requirement that the sum of the squared deviations (residuals) of the experimentally determined and calculated value of the function be minimal:
= E(XP - 4°Unt) i = 0
(3)
=f(xi, X2j, - , xki; bo, bi, - ,b,).
(4)
The regression analysis by means of MLS is possible at performance of following necessary conditions: the quantity experimental points N are more or to equally quantity of factors b.
If to substitute expression for mathematical model in a general view we gain:
Thus, Q there is a function (l + 1) variables b0, b , ... , bv and a condition of its extreme is simultaneous equality to null of partial derivative Q on parameters of mathematical model, i.e. values of parameters can be defined from system of the equations of an aspect:
The last column is the result of measurements of the parameters of the earthquake for each combination of values of independent variables in the corresponding row of the table. x.. is the value of the factor with the number i in the j-th earthquake.
In other words, as a result of the experimental investigation of the functional dependence $ = f(x, b l), a table - defined function is obtained, that is, a function whose values are known only at certain discrete points (nodes).
With the help regression analysis for arbitrary mathematical model of an aspect
dQ db0 dQ db
dQ db
0;
= 0;
= 0.
(6)
All possible mathematical models can be broken on two groups: linear in relation to defined parameters b. and nonlinear. A general view of the mathematical models led to the first aspect the following:
4 = b0 fo + b f +...+bif, = E bjfj,
j=o
(7)
can select the values of constant numerical parameters (regression coefficients) b0, b , ... , bl, such that the experimentally measured (see Table 1) and calculated from the equation function value for each row in Table 1 differ in the least degree.
For simplicity, we will construct a linear mathematical model of the form:
$ = b0 + b1x + b2x + b3x + b4x + b5x + b6x + b7x + b8x + b9x. (2)
where I - quantity of defined parameters; b - factors; f -the arbitrary functions of independent variables which are not switching on defined factors (we note that thus dependence on factors xi can and not to be linear).
Let us consider in more detail mathematical models that are linear with respect to parameters. Let's write down the calculated value of the function for the i-th measurement:
ti °unt = bo fa, + b flt +... + bf = E bjfj,, (8)
i=o
where f.. - value j-th functions at values of independent variables in i-th experiment. After substitution in expression for the sum of squares of discrepancies we gain:
Q= E
<r -E bjfji
j = 0
(9)
The residual sum of squares is function from parameters of mathematical model. For a finding of a minimum of this function it is necessary to demand simultaneous equality to null of a partial derivative of function Q on parameters b0, b1, ... , bl. Derivative Q on u to numerical parameter b looks like:
Here summation is made on all N to experimental points; ^fexp -measured in Z-th experience of value by a dependent variable; ^count - counted on mathematical model at substitution of conditions of conducting of Z-th experience value of function
—=—E 4exp -E bifii
i = 0
(10)
E
<r -E bjfß
i=o
-fi ) = o.
After abbreviation on (-2) and rearrangements it is gained:
N l
E <T fu,-EE bjU,= 0; k = 0 i = 1 j = 0
(11)
N
-E [■ i = 0
f (
b0, b1,
= min. (5)
EEbff = E<Tfui, u=o, i.....,. (12)
i=1 =0 k=0
2
Q
2
Gained thus (l + 1) the equation form system of the linear equations for a finding (l + 1) parameters of mathematical model. As it is easy to notice, in the matrix form it registers in an aspect:
N N ^Ef0i ^Efiifoi •• i = 0 i = 0 N E / i =1 f \ b0 1 N E <r /0i i =1
NN E/o ifii EA2 •• i = 0 i = 0 N E // i=1 bi N E <r /ii i =1
NN E /0i/n E /n/ii i=i i=i N ••• E/2 i = 1 N E <r / i=i
In case of models, linear in relation to parameters the system of the equations will be system of the linear equations (see more low) which can be easily solved matching methods including exact - methods of Gauss, Gauss-Zhordan etc.
Having a minimum k experimental point, it is possible builds linear model with k in factor predicting this or that parameter of earthquake.
After each measurement of parameters of a harbinger and parameters of occurring earthquake we gain new k + 1 an additional experimental point and anew we build predicting model. The gained new model it is possible to name adaptive as, for its construction new experimental data were used.
Rakhimov R.Kh., Umaraliev N., Jalilov M.L., Maksudov A.U.
The recursive algorithm of construction regression is offered to a forecasting model which allows receptions of the adapted models. If to use experimental values of predicted magnitudes in the capacity of weight numbers, at several steps was possibly achievement practical comprehensible adequacy of the built models.
Having mathematical models for each parameter on the basis of [1] data measured by installation it is possible to predict forthcoming earthquakes with practical comprehensible accuracy.
Reference
1. Makhsudov A.U., Shayakubov D.B. and others. An installation for recording earthquake precursors // Devices and technics of the experiment, 2015. No. 1. P. 131, 132.
2. Makhsuudov A.U., Lutpullaev S.L, Nuritdinov H., Shayakubov D.B. The patent for the utility model «Device for recording earthquake precursors». No. FAP 01088, 04.02.15. Registered in the State. The register of utility models of the Republic of Uzbekistan, in Tashkent on 24.03.16.
3. Makhsudov A.U. Monitoring of seismic precursors for the forecast of earthquakes // Computational nanotechnology, 2016. No. 1. P. 52, 61.
4. Makhsudov A.U, Umaraliev N., Jalilov M.L, Zhuraev N.M. Information-measuring system for automation of registration of parameters of earthquake precursors // «Information-communication technologies and applied problems of digital modeling». Collection of materials of the Republican scientific and technical conference. Samarkand branch of TUIT them. Muhammad al-Khorazmiy. 2017 year 8-9 September.
