CC BY
47
интеллекта
может быть учтено непосредственно в моделях соответствующего типа с представлением недетерминированных параметров как случайных величин с известными вероятностными характеристиками, как нечетких величин с заданными функциями принадлежности или как интервальных величин с фиксированными интервалами изменения и нахождения решения задачи с помощью методов стохастического, нечеткого или интервального программирования.
Применение нечетких или интервальных моделей позволит сравнить точность результатов, полученных для различных моделей энергетической системы. Анализируя интервалы или функции принадлежности для полученных в результате расчетов величин, можно доказать преимущество одной из моделей в данной ситуации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алтунин А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях.-Спб.:ПетроЛинк.
2. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений.-М.: Мир, 1976,-165с.
3. Заде Л.А. Размытые множества и их применение в распознавании образов и кластер-анализе. В кн.: Классификация и кластер / Под ред. Дж.Вэн Райзина.-М.:Мир, 1980.-С.208-247.
С.М. Ковалев, С.С. Новоковский
РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ТЕЛЕТРАФИКА НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 2
Одной из важнейших проблем, возникающих при создании коммутационных сетей связи, является разработка их математических моделей, на основе которых осуществляется анализ сети и разрабатываются основные алгоритмы управления. Важнейшим элементом математической модели сети является телетрафик, отражающий динамику информационных потоков, функционирующих в сети. Для реальных задач телетрафик носит характер сложной взаимосвязанной последовательности случайных событий, имеющих как краткосрочные, так и долгосрочные зависимости, что делает моделирование таких потоков весьма сложной задачей [1].
В настоящей статье рассматривается подход к моделированию информационных потоков в телекоммуникационных системах на основе нового класса регрессионных моделей, представимых в виде нечетких динамических систем (НДС). НДС позволяют при имитации информационных потоков учитывать априорные экспертные знания о характере телетрафика, а также выявлять имеющиеся временные зависимости в данных на основе механизмов обучения. Выявленные зависимости используются для целей управления информационными потоками.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00277)
В упрощенном виде структуру телекоммуникационной системы можно представить в виде графа, вершины которого соответствуют абонентам сети, а дуги - каналам связи. Между узлами сети функционируют потоки сообщений с некоторой интенсивностью, характеризующей телетрафик сети. Ниже на рис. 1 приведены экспериментальные данные о телетрафике, полученные для конкретной телефонной сети.
Рис. 1. Графическое отображения трафика телефонной сети
Представим реализацию трафика коммутационной сети в виде временного ряда £ = 8(г{) = (з(г1),з(г2),...,з(гп)) , элементы которого принимают значения из числового множества X и характеризуют интенсивность трафика в 1-е моменты времени .
Математическую модель временного процесса £ можно представить в виде нелинейной авторегрессионной модели:
£(г) = Г(э(г - 1)Хг - 2),...^(г - к)) + Е(г), (1)
где ¥- неизвестная функция, Е(г) - ошибка предсказания, к - порядок модели.
Для реализации нелинейной функции ^ будем использовать НДС, имеющую к обратных связей. Структура НДС приведена ниже на рис. 2.
Рис. 2. Структура НДС с обратными связями
База правил НДС содержит т правил В. вида:
Rj:IFs(t-1) = аі ands(t - 2) = Д. and..ands(t - к) =уі ТИЕЫь^) = щ
интеллекта
где Р{,...,у{ шг - значения лингвистической переменной E, характеризующей
интенсивность телетрафика, определенные на единой числовой шкале X. Нечеткие термы а¿,в¿,...,у являются входными значениями НДС, а нечеткие термы ш! - выходными.
Для описания функционирования НДС введем в рассмотрение к-мерное пространство входных переменных V = X х х ...X , характеризующих к “прошлых” значений процесса £, и (к+1)-мерное пространство и = X х V, полученное путем добавления к пространству V (к+1)-го измерения X, описывающего выход НДС, характеризующий прогнозируемое значение процесса £ в момент времени г.
Каждое из правил Д, входящих в БЗ НДС, можно рассматривать как
нечеткую функцию Д , действующую из к-мерного пространства V в одномерное
пространство выходной переменной X, или иначе, как нечеткое отношение Д в
пространстве и. Функция принадлежности нечеткого отношения Д имеет вид
Ийг(Х'У'...& и) = (х) (У)&...&М- (Е) (и) (Х,у,...£,и е X) (2)
Если на вход нечеткой системы, содержащей одно правило Д , поступают
— * / * * * \
четкие данные V = (х ,у ,..^ ), то, подставив их в (2), приходим к выражению
Мт(х * >У * ’...’£ * ,и) = Маг(х * )& Мрг(У * )&...& И/ g * )&ИЛ(и) , в котором произведение первых к членов дает фиксированное числовое значение '1Кг( Х * ’У * ’...^ * ) = ^аг( Х * )& 1ЛРг(У * )&...&Vyl(g " ) , имеющее смысл степени истинности предпосылки нечеткого правила Ri при заданном значении
ж * у * * * I
входа V = (х ,У ,..^ ). В результате выражение (3) приобретает вид формулы
Мкг^ ^ ,и) = J Кг^ ^ )& Мшг(и) , (3)
являющейся, по сути дела, формулой нечеткого вывода на основании одного правила.
Для БЗ, содержащей множество правил {Д1 ,Д2,....,Дт} , нечеткий вывод по всей совокупности правил осуществляется с использованием нечеткого отношения Д, определенного в пространстве и путем объединения m нечетких отношений Д , соответствующих всем m правилам Д , входящим в БЗ НДС. Функция
принадлежности нечеткого отношения Д имеет вид:
М~(х,У,...&и) = V Ма(х)&ЫУ)&...&^^)&11ш(и) (х,У,...^ие^ (4)
ягеБЗ
Нечеткий вывод на основании нечеткого отношения R осуществляется
/ * * * \ / л \ ■ ,
путем подстановки входных данных v = (x ,y ,...g ) в (4). В результате приходим к выражению
jU~(v * ,u) = v J rn(v * )&jJu) , (5)
КїєБЗ
описывающему схему нечеткого вывода для совокупности правил
(R1,R2,....,Rmj.
Таким образом, нечеткая схема вывода, определяемая выражением (5), представляет собой логическую сумму ФП нечетких выходных переменных правил R j, умноженных на значения истинности их предпосылок.
Особенностью рассматриваемой нечеткой системы с обратными связями является то, что в процессе моделирования регрессионного уравнения на каждой i-й итерации на выходе НДС получается не единственное прогнозируемое значение
s(ti), а нечеткое множество таких значений S (ti). Следовательно, на
последующих итерациях моделирования входами НДС будут являться нечеткие данные, полученные в качестве выходных на предыдущих итерациях. Это приводит к необходимости реализации НДС в виде нечеткой системы, способной
обрабатывать не только четкие числовые значения x ii,x i2,...,x ik (синглетон),
а значения, представленные в виде нечетких подмножеств X ii,X i2,...,X ik . Такие системы получили название несинглетных (non-Singleton) нечеткологических систем [2]. Техника “несинглетного” моделирования для нечетких систем общего назначения рассмотрена в [2].
Недостатком “несинглетного” вывода по сравнению с традиционным выводом является больший объем вычислений, необходимых для реализации композиции многомерных нечетких отношений. Однако применительно к рассматриваемой авторегрессионной модели процедуру “несинглетного” нечеткого вывода оказывается возможным упростить.
Пусть входные данные представлены в виде вектора
X* = (A(xii),B(xi2),..,G(xJ), элементами которого являются нечеткие подмножества, заданные соответствующими функциями принадлежности на шкале X. Тогда, согласно композиционному правилу вывода нечеткое множество
выходных значений Xk+1 вычисляется путем композиции k-мерного нечеткого
отношения V = A X B X ... х G, ФП которого определяется выражением H~(x,y,...,Z) = ^~(x)&JUs(y)&...&JLl~(g) , и (к+1)-мерного
нечеткого отношения R , определяемого выражением (4), то есть Xk+1 = V o R . ФП выходного нечеткого множества имеет вид:
Jxk+i(u) = max jiA(x)&js(y)&...&j~(g)&j~(x,y,...,g,u). (6).
(x,y,...z))eV
Подставляя в (6) ФП нечеткого отношения R , приходим к формуле
интеллекта
VxKJu) = max [M2(x)&Ms(y)&-&MG(g)&
(x,y,...z))eV
. (7)
&( v (¡uJx)&vPl(y)&...&H7,(g)&vJu))]
ЮеБЗ
В силу дистрибутивности нечетких операций выражение (7) преобразуется в формулу
VxK+I(u) = v max [MA(x)&Ms(y)&...&^Q(g)&
K+I ШеЕЗ (x,y,..,z))V A B G
Vai (x)&^pi(y)&...&Hyi (g)& jJal (u))] которую, используя свойство коммутативности, можно представить в виде
VxJu)= v тах[ф)&&(х)&ф)&Цг(У)&-.&^)&^)&
Ri3B3 (xy,..z))V (8)
&Hi(u))].
Заметим, что операция нечеткой коньюнкции является монотонной операцией, то есть для любых значений a, a*, b, Ъ* таких, что a > а* и b > Ь* имеет место
(a&b) > (a &b ). Для монотонных операций максимум операции
достигается, когда каждый из ее операндов достигает максимума. Следовательно, выражение (8) можно представить в виде
VxKJu) = v mao(M^(x)&Mal(x))&max(M~(y)&Mpl(y))&...
RiеБЗ xeX y^x
(9)
max(v~(g)&v7l(g))&Von(u))].
geX
Выражение (9) является формулой нечеткого вывода для входных данных, представленных нечеткими множествами, то есть является схемой нечеткого “несинглетного” вывода для описанной выше авторегрессионной модели.
Поскольку, входящие в схему операторы взятия максимума заданы на одном и том же множестве x, их вычисление может быть реализовано в едином цикле по элементам х е X . Следовательно, алгоритмическая сложность описанной схемы ‘несинглетного” вывода имеет линейную зависимость от размерности множества
X.
Такая предельно низкая алгоритмическая сложность описанной схемы нечеткого вывода делает возможным ее практическое использование в задачах моделирования авторегрессионных уравнений на основе НДС. Кроме того, появляется возможность использования данной схемы в механизмах обучения НДС в режиме реального времени.
Таким образом, предложенный класс нечетких динамических моделей, основанный на обработке нечетких входных данных, благодаря возможности искусственного “размытия” входной информации является менее чувствительным к неточностям в данных, чем традиционные схемы вывода на синглетонах. Это делает возможным построения на их основе авторегрессионных моделей, осуществляющих прогнозы трафика на длительные периоды времени, что расширяет возможность практического использования рассмотренного класса моделей.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Крылов В.В., Самохвалова С.С. Теория телетрафика и ее приложения. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005.- 288с.
2. J. Mendel, G. Mouzouris. Non-Singleton fuzzy logic systems: Theory and application”, IEEE Trans. Fuzzy Syst., vol. 5. pp. 56-71, Feb. 1997
