CC BY
14
4. Fucik, C. Ranges of nonlinear operators [Text] : monography / С. Fucik. - Prague: UCP, 1977. - 133 p.
5. Furi, M. Contributions to the spectral theory for nonlinear operators in Banach spaces [Text] / M. Furi, M. Martelli, A. Vignoli // Ann. Math. Pura Appl. - 1978. - Vol. 118 - P. 229-294.
6. Mawhin, J. Landesman - Laser's type problems for nonlinear equations [Text] /J. Mawhin // Conf. Sem. Math. Univ. Bary. - Bary, 1977. - № 147. - 50 p.
7. Nirenberg, L. Variational and topological methods in nonlinear problems [Text] / L. Nirenberg // Bull. Amer. Math. Soc. - 1981. - Vol .4 - № 3. -P. 267-302.
8. Tarafdar, E. On the existence of solutions of the equation Lx = Nx and a coincidence degree theory [Text] / E. Tarafdar, S. K. Teo // J. Austral. Math. Soc. -1979. - Ser. A. - Vol. 28. - P. 139-173.
9. Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений [Текст] : монография /
М.М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М.: Наука, 1969. -529 с.
10. Гаевский, Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения [Текст] : монография / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. - М.: Мир, 1978. - 336 с.
11. Треногин, В.А. Функциональный анализ [Текст] : монография / В.А. Треногин. - М.: Наука, 1980. - 496 с.
12. Абдуллаев, А.Р. Элементы теории топологически нетеровых операторов [Текст] : монография / А.Р. Абдуллаев, А.Б. Бурмистрова. - Челябинск, 1994. - 93 с.
13. Бурмистрова, А.Б. Краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в случае резонанса [Текст] : дис. ...канд. физ.-мат. наук: 01.01.02: защ. 16.10.1991: утв. 23.04.1992 / Бурмистрова Алла Борисовна. -Свердловск, 1991. - 134 с. - Библиогр: с. 123-134.
УДК 535.233.43/535.321.54/536.52
В. И. Иордан, А.А. Соловьев
РЕДУКЦИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ МЕТОДОМ «ОБРАЩЕНИЯ» ИХ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО СПЕКТРА
В современном машиностроении и других отраслях промышленности важное место занимают газотермические технологии обработки материалов концентрированными потоками энергии [1], напыления защитных и восстановительных покрытий [2], синтеза материалов с заданными функциональными характеристиками [1]. Чаще других используются плазменное, газоплазменное и дето-национно-газовое напыление (ДГН) покрытий, которые производятся с помощью мелкодисперсного порошка частиц металлов или их оксидов, распыленных дозатором в процессе загрузки порошка, например, в струю плазмотрона или струю ДГН, истекающую из выходного «сопла» технологической установки напыления. Объемная плотность напыляемых частиц в транспортирующей струе обычно не велика, поэтому такие гетерогенные многофазные потоки называют «запыленными» струями [2]. Контроль скорости и температуры дисперсной фазы потока в технологии ДГН за-
труднен в связи с проявлениями характерных особенностей процессов взрыва и горения. При этом оптические методы требуют учета гетерогенности и излучательных характеристик материала частиц в потоке.
Кроме этого, не всегда учитываются дисперсность сред, высокая температура, быстротечность при разработке большинства приборов контроля температурно-скоростных параметров высокотемпературных быстропротекающих технологических процессов получения покрытий и синтезируемых материалов. Помимо этого, напыляемые частицы в различных сечениях струи (рассматриваются как конденсированная фаза потока в сочетании с существенными динамической и тепловой неравновесностями фаз многофазного потока) характеризуются распределениями по размерам, температурам и скоростям. Поэтому измерение и контроль только лишь одного «эффективного» (осредненного) значения температуры или скорости
потока частиц в непосредственной близости к напыляемому покрытию не может считаться достаточным, так как кроме частиц потока с «эффективными» значениями температуры и скорости, на функциональные характеристики покрытия оказывают влияние и все остальные частицы потока с отличающимися значениями температур и скоростей. Следует заметить, что на самом деле в потоке может и не оказаться частиц с «осред-ненными» значениями температуры и скорости, например, когда распределение температуры частиц состоит из неперекрывающихся, разнесенных между собой двух мод и «осредненное» значение температуры частиц приходится на промежуток между ними.
Автоматические измерительные системы с быстродействующими фотоприемниками, способные проводить оперативную диагностику состояний дисперсной и газовой фаз в потоке и на напыляемой поверхности, обладают возможностью обеспечивать оптимальную настройку технологического оборудования на базе банка накопленных данных и программ, предоставляя тем самым возможность решения технологической задачи получения покрытий и синтезируемых материалов с заданными функциональными характеристиками.
В настоящей статье рассматриваются обоснование и идея по сути «виртуального» метода измерения температуры как распределенного параметра по потоку частиц, распыленных в процессе загрузки порошка в струю плазмотрона или детонационно-газовую струю, посредством решения обратной задачи на основе регистрации суммарного (интегрального) теплового спектра излучения от всего ансамбля частиц двухфазного потока.
Модельные представления сигнала интегрального теплового спектра потока частиц и измерительное уравнение
Допущения о низкой концентрации частиц в «запыленной» струе [2], однородных по размеру и находящихся в изотермическом состоянии с неизменной температурой за время прохождения частицей зоны регистрации, позволяют для каждой частицы как «серого» тела использовать модель излучательной способности частицы:
г(1, Т) = е(Х, 7)ф(Х, Т), (1)
где е(А,, Т) - поглощательная способность (коэффициент излучения [3]), или относительная излуча-тельная способность частицы, равная отношению ее излучательной способности к спектральной плотности излучения «абсолютно черного тела» (функции Планка ф(А. ,Г));
ф(^;Т) = С1Г5/(^-1). (2)
Функцию спектрального разрешения спектрофотометра можно аппроксимировать, например, функцией Гаусса
Сk'-xf
а сигнал на выходе оптического канала будет определяться сверткой
оо
R{X,T) = \Q(k'-'k)r{X',T)d'k'. (3) о
При использовании спектрального прибора, способного расщеплять спектральные линии с высокой степенью монохроматичности (о ^ 0), выполняется условие R(k,T) —» г(к,Т), так как функцию Гаусса Q(k' — Я) в этом случае можно рассматривать в виде обобщенной «дельта- функции».
Выходной сигнал B(X) линейного многоэлементного фотоприемника, установленного в фокальной плоскости спектрального регистратора, пропорционален суммарному тепловому спектру частиц G(X), прошедших зону регистрации, и определяет «измерительное уравнение»
B(k) = y(k)G{X), (4)
в котором интегральный спектр частиц определяется следующим образом: 00
G(k)= \ R(k,T)X(T)dT = J Rß.,T)X(T)dT, (5)
—оо т
min
где X(T) - искомая функция плотности температурного распределения частиц порошка дисперс-нофазной струи.
Функция X(T), если исходить из физических соображений, вне определенного диапазона (^min'^max) должна быть равной нулю. Функция у(Х) есть по сути «аппаратная функция мультипликативных искажений» сигнала на выходе канала регистрации, учитывающая спектральную неод-
нородность коэффициента пропускания оптического тракта и неоднородность чувствительности фотоприемника, а также нелинейность развертки спектра диспергирующим элементом спектро-анализатора. Аддитивные искажения отражаются непосредственно в функции В(А). С помощью уравнения (4) функцию у(А) можно определить на этапе калибровки по известному спектру эталонного излучателя ^ (А) и по зарегистрированному для него фотоприемником сигналу В (А,).
Таким образом, выражения (4), (5), с учетом использования спектрального прибора с высокой разрешающей способностью (о ^ 0), позволяют записать «измерительное уравнение» в виде
т
В(к) = у(к) | г(к,Т)Х(Т)аТ =
т ■
Т
-'тах
= | А(к,Т)Х(Т)с1Т, (6)
т ■
где функция
А{КТ) = №)г(к,Т) = УО^МКТМКТ)
согласно выражению (1), а интегральный тепловой спектр частиц можно записать в виде
т
в{Х) = В{Х)1у{Х)= | е(к,Г)ц>(к,Т)Х(Т)с1Т. (7) т ■
' Ш1П
Уравнения (6) и (7) представляют собой интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода, обращение которых определяет искомую функцию плотности температурного распределения частиц. Задача обращения уравнений оказывается «некорректной» и требует применения методов «регуляризации» решения [4].
Сигнал В(А) многоэлементного фотоприемника представляет собой набор дискретных отсчетов. Тепловой спектр является «сплошным», поэтому каждая «приемная» площадка фотоприемника на самом деле интегрирует небольшой непрерывный участок теплового спектра и тем самым, хотя и в малой степени, но все-таки искажает «контур» спектра. Следовательно, конечный размер элемента фотоприемника и остаточная неопределенность при выборе «оптимального регуляризирующего» функционала в составе обратного оператора налагает ограничение на разрешающую способность метода «восстановления» функции плотности
распределения частиц по температуре. Поэтому для обеспечения более высокой степени устойчивости численной процедуры «обращения» интегрального уравнения Фредгольма еще на этапе постановки обратной задачи необходимо осуществить «редукцию (сокращение числа отсчетов)» непрерывной функции плотности температурного распределения частиц в ее представление гистограммой распределения, определяющейся конечным набором участков разбиения диапазона тем-терагур (7^ ,7^).
Редукция температурного распределения
частиц в виде гистограммы
В силу аппаратных ограничений при А ^ 0 и при А ^ да функция у(А) стремится к нулю, что способствует «регуляризации» при обращении интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода (6) с ядром А(к,Т) = у(к)г(к,Т). Напротив, переход к модельному спектру О(Х) может привести к неустойчивости процедуры обращения интегрального уравнения (7), так как с учетом стремления у(А) к нулю в асимптотике А ^ 0 и А ^ да отсчеты С(А), пересчитываемые по формуле = В (к) / у (Я), могут в асимптотике вместо стремления к нулю, наоборот, увеличиваться.
Номера -ЛГ; ячеек фотоприемника согласно дисперсионной (нелинейной) характеристике спектрального прибора «привязаны» к длинам волн Л^ -М(к(), где 1 = 1, 2, ..., п. Тогда можно записать следующую систему:
Гг
-'шах
| А{Щ,Т)Х{Т)с1Т = В{ЩУ,
Т •
•..................................................., (8)
т
шах
| А{Ып,Т)Х(Т)с1Т = В{Ып).
т ■
/шш
В соответствии со свойством аддитивности интеграла для каждого 1 = 1, 2, ..., п имеем строгое равенство
т
| А(Щ,Т)Х(Т)с1Т =
т ■
* Ш1П
Т-
= X / А{Щ,Т)Х{Т)с1Т = В(Щ), (9) 1=1тн
где Т- - узловые точки разбиения температурного диапазона [Т^л,?^^] с шагом АТу = Tj —Т^, чаще всего - с постоянным шагом, т. е. АТу = АТ.
Редукция функции плотности температурного распределения частиц в виде ее гистограммы «в строгом смысле» обосновывается известной в математическом анализе теоремой «о среднем», а именно с учетом принятых здесь обозначений далее формулируется теорема.
Теорема. Если функции , Т) иХ(Т) являются непрерывными по переменной Ти А(^,Т) >0 (в нашем случае и Х(Т) > 0), то существует такое
значение
Г^е^.Т}] что
Т1-1
ГУ-1
Без доказательства.
С учетом формулировки теоремы и ее уравнения (10) выражение (9) принимает вид
'шах
| А{ЫиТ)Х{Т)<1Т =
I А{Ы1,Т)с1Т = В{К1).
7=1
го распределения, так и для ее гистограммы (они определяют один и тот же спектр):
чпах
| АЩ,Т)Х(Т)(1Т =
J J
| АЩ,Т)Х(Т)с1Т = Х(^1)) | АЦЩ,Т)£Г. (10)
П Т)
= ХХ] \ А{Щ,Т)с1Т = В(Щ). (12)
В работе [5] система измерительных уравнений (записывалась в матричном виде) получена повторным применением теоремы «о среднем» к каждому уравнению вида (12), где г = 1, 2, ..., п. Таким образом и в данном случае согласно теореме «о среднем» должны существовать такие определенные значения 1 у , входящие в отрезки \_Tj_ I, Т^ ], чтобы для каждого интеграла с индексом 7 в выражении (12) выполнялось строгое равенство
Т1
Т1
| АЩ,Т)с1Т = АЩ,Т^}) | <1Т =
Ч-1
(11)
■ А(Ы{,ТР)АТ. (13)
С другой стороны, уравнение (11) будет выполнимо и его правая часть останется без изменений в том же виде, если вместо непрерывной функции плотности температурного распределения Х(Т) в левую часть уравнения подставить подчиненную определенному условию ступенчатую функцию (гистограмму). Согласно этому условию на каждом 7-м элементарном участке [7у_ 1,Ту], где 7 = 1, 2, ..., п, гистограмма должна иметь постоянное значение Xу, равное «среднему» значению
Х(Т^ ) функции плотности распределения в той -гО)"
точке 1у этого участка, которая удовлетворяет с учетом теоремы «о среднем» уравнениям (10) и (11). Иначе говоря, «средние» значения Х(Т^) функции плотности температурного распределения Х(Т) на каждом7-м участке однозначно определяют постоянные уровни Xу (высоты столбцов) ее гистограммы, т. е. этому далее будем использовать упрощенное выражение уравнения (11), общее как для варианта непрерывной функции плотности температурно-
Следовательно, с учетомупрощения в (13) обозначений набора температур = Т^; ¿ = уравнения (12) можно перезаписать в виде
т
1 ■'шах
- | А(Щ,Т)Х{Т)с1Т =
АТ
7=1
(14)
где В{Щ) = В (Л,)/ДГ.
Существует неопределенность при нахождении значений температур в наборе {Ту =Ту ; ] = 1,2,и}, которые обеспечивают строгое равенство в уравнениях вида (13) для компонент гистограммы Xj=X(f^y, последние «адекватны» реальной функции плотности температурного распределения частиц в дисперснофазной струе. Предпочтительным и более вероятным может быть выбор таких значений температуры, которые расположены в центрах участков разбиения 1,Ту], т. е. соответствующих условию
Это условие тем не менее внесет «искажения» в значения элементов матрицы системы
линейных алгебраических уравнений (записана на основе уравнения (14) с учетом условия (15) [5]):
A(NuT1)x1+A(Nl,T2)x2+...+A(NuT„)x„ = В(Щ);
(16)
А{Ып,Т{)Хх + А^п,Т1)Х1 +... + А(Мп,Тп)Хп=В(Мп).
Иначе говоря, при «обращении» системы уравнений (16) «искажения» элементов и «остаточные искажения» в отсчетах пре-
образуются в «искажения» искомых компонентов Xj гистограммы распределения температур частиц. Это замечание (уточнение) и составляет суть понятия «некорректной» задачи на обращение системы (16). В операторном (матричном) виде с учетом выражения
систему (16) можно записать как А- X = В.
В работе [5] решение обратной «некорректной» задачи выполнялось в соответствии с процедурой регуляризации по Тихонову:
\\Xj \ = \A{Nk,Tj) + aPkJ
где а - параметр регуляризации по Тихонову; матричный оператор Р соответствует разностной схеме Эйлера [4].
Задача (12)-(16) может быть сведена к «симметричной» форме путем домножения уравнения (6) на «ядро» интегрального оператора А (А, ?) и интегрированием по А (с учетом изменения порядка интегрирования):
Тпшх 00
] {\ А{Х,г)А{Х,т)аХ)Х{т)ат=
1Ш1л
= J C(t,T)X(T)dT =
= J А(К, t)B(k)dX = D(t), (18)
о
где t - параметр, имеющий также размерность температуры, а ядро интегрального оператора
оо
C{t,T)= \ A{X,t)A(k,T)dX о
симметрично к перестановке местами параметров t и T.
Таким образом, «новое» интегральное уравнение Фредгольма
т
Т С(1,Т)Х(Т^Т =£>(?)
т ■
определяет уравнение в матричном виде С-Х = Б с симметричной матрицей С, имеющей преимущество по свойству «обусловленности» перед несимметричной матрицей А. Поэтому решение матричного уравнения С-Х = Б численно более устойчиво и позволяет добиться большего температурного разрешения гистограммы распределения в процессе редукции.
В отличие от подхода, использованного в статье [5], где измерительное уравнение (6) было представлено в виде системы линейных уравнений (12), в настоящей работе на основе указанного уравнения реализован другой подход редукции функции плотности температурного распределения частиц в ее гистограмму. В данном случае для ядра интегрального оператора
А(Х, Т) = у0<) г(Х, Т) = е(Х, Т) <р(Я, Т)
используется разложение функции Планка (2) в ряд по «виновским» спектрам
ю(ВД = С{К-5е-с^ фиксированного набора температур Тх =ТП,
а именно:
ф(А.,Г) = С{к~
-1
= С{к~5е хт,
1-е W
/ / V
С; m ■ с2
= С{к~5е 'M = С{к~5 =
i=О ¡=1
(19)
= С{к~5Ъе ¡=1
Хт,
1=1 '
Необходимо отметить, что верхняя температурная граница Т^^ в технологиях напыления обычно не превышает 2500-3000 К и верхняя граница длин волн, регистрируемых кремниевыми фотоприемниками, ограничена в ближнем ИК-диапазоне значением 1 мкм, в силу чего в разложении (19) слагаемые для 1 > 2 малы по сравнению с первым слагаемым
соф,?!) = (й(Х,Г) = С{к~5е хт,
которое и является «приближением Вина» для функции Планка [3].
На практике металлы считают «серыми» телами в видимом и ближнем инфракрасном диапазонах, и относительную излучательную способность частиц е(Х, Т) оценивают константой в силу того, что график функции е(Х, Т) при фиксированных температурах Т = Ту относительно своего «среднего» постоянного уровня отклоняется не более, чем на единицы процентов, т. е. е(Х, Т) является «слабоменяющейся» функцией [3]. Поэтому в указанном спектральном диапазоне функцию е(Х, Т) для некоторых металлов заменяют на функцию е(Т) (ее называют коэффициентом «черноты» серого тела). Для металлов в этом спектральном диапазоне графики функции е(к,Ту) — £у(к) с ростом температуры > Ту_{) смещаются вверх не очень существенно [3]. Участки длин волн, на которых для различных значений Ту графики е(к,Ту) — еу(к) монотонно растут или убывают, практически соответствуют друг другу [3].
Следовательно, с учетом приведенных замечаний и обеспечения заданной точности в модельном представлении (6) спектра функцию е(Х, Т) можно аппроксимировать произведением
г(Х,Т) = е1(Х)Е2(Т)
по результатам калибровки (ее особенности изложены в следующем разделе настоящей статьи).
Тогда интегральный тепловой спектр излучения частиц потока будет определяться выражением вида т
■'шах
В(Х) = у(Х) | £(КТШ,Т)Х(Т)с1Т =
где
т ■
(20)
шах
| ф(Ктштут,
= С^-'Ш = qr5e1(^Ж^). (24)
В силу свойства аддитивности интеграл (23) можно представить суммой аналогичных интегралов по интервалам разбиения [Ту_\,Ту\ где ] = 1 2, п и Г0 = Гшin, Тп = Гшах:
7} . с2
= 2 | в 1Мг{Т)с!Т. (25)
,=1 У=1 -
4-1
Замена переменной интегрирования на 1 = \/Т, откуда Т = \и, с1Т = —Л/¿2, дает
я УТу
= X \ е'^^т, (26)
где
г=1 }=1 ^
(27)
Очевидно, что условия теоремы «о среднем» применимы к интегралам в выражении (26), поэтому существует набор значений ¿у (т. е. существует набор Ту = 1 / для которого верно уравнение
Щ Х21
«=1 7=1
1 /Т.
7-1
=-ыш £ 2,(0) | * л.
(28)
/=1 7=1
1/г
Обратная подстановка переменной ? = 1/Т в функцию (27) и учет равенства
где
г(т) = е2(т)х(ту
(21) (22)
ад^мс^-5! Г е хт ■ г(т)с1т = ¡=1
т ■
(23)
= | е~ ^г(Т)с!Т
1—1 т
Щ ,с21
I е 11 Ж = -
МТ:
¿С,
7-1
А.Г;
А.Г,
7-1
С учетом разложения (19) функции Планка по «виновским» спектрам уравнение (20) запишется следующим образом:
позволяют переписать уравнение (28):
-2 1=1
где Ру = Ту. На основании теоремы «о среднем» величина р. представляет собой «осредненное» значение квадрата температуры из 7-го участка разбиения [Ту_\,Ту\ Значение можно оценить,
1 "
7 ? Р/ 2 1
1 ]=\
Г ,с2 . с2 ^
-г . АХ, ХГ_! е ^ -е 7
/У
(29)
например, в соответствии с методом Монте-Карло, как среднее арифметическое значение последовательности квадратов «псевдослучайных» чисел, сгенерированных датчиком «рандом» в диапазоне [Г^Гу], где] = 1, 2, ..., п. Уравнение (29) можно записать в эквивалентном виде
вд=—ыш
с2 i=i
1 7=0
у je
XTj
(30)
где
Yo =-Zißi;
.....................................9
Jj = Zfij - ZJ+$J+1, j =1,2,..., n -1; (31)
.....................................3
Yh = Zftßn'
С учетом того, что е туры
ХТ,
ХТ, ,
hi^j'i,
а темпера-
(32)
и на основании равенства (24) можно записать уравнение (30) в виде
в(к) = — Шс^'Ъ
С2 1=1
1 " хтп т I Y/в "
(33)
7=0
/=1 г
в 1 мкм, то уравнение (33) для этих условий имеет приближенный вид:
Ч 7=0
С{к~
(34)
-Ш I Y/e
А.Г,-
7=0
Для реализации процедуры вычислений искомых коэффициентов у у более удобным представлением итогового «измерительного» уравнения (33) будет разложение по системе функций
где
ВД= I YjWjiKTjX
7=0
А. °° 1 Vj&.Tj)=—ШЪ =
С2 1=1 I
Qr4 - 1 t-2 ¿=1 г
(35)
(36)
Данное уравнение выражает пропорциональность интегрального теплового спектра потока частиц разложению по «виновским» спектрам ю(А,,7Тг), среди которых доминирует компонент
Л Л А
(й(к,Тп ¡) с максимальной температурой Тп \ = Т^х. С ростом 1 согласно формуле (32) значения температур Ту г- убывают, а следовательно, резко уменьшаются интенсивности «виновских» спектров Ю(А,,Г,Д и за счет убывания весовых коэффициентов 1/1 уменьшаются их вклады в интегральный спектр В(А).
Как уже отмечалось (см. замечание после формулы (19)), если выполнимы верхние ограничения температуры в 2500-3000 К и длины волны
а Tji =Tj/i в соответствии с выражением (32).
Зарегистрированные с помощью откалибро-ванного дискретного фотоприемника спектральные отсчеты {B(kk)\ к — \,2,..., .ЙГ} и матрица рассчитанных коэффициентов
= !> 2, •••> KJ = 0,1,2,..., и},
где Vj&k'Tj), используются в качест-
ве входных данных для процедуры метода «наименьших квадратов», позволяющей аппроксимировать искомые коэффициенты разложения у^-. Погрешность (искажения) этих коэффициентов определяются главным образом остаточными «искажениями» после коррекции и фильтрации зарегистрированных спектральных отсчетов {В(кк); к — \,2,...,К}, так как функция, определенная формулой (21) и входящая в систему функций Tj), может быть получена с достаточно высокой степенью точности на этапе калибровки измерительного комплекса.
Искажения коэффициентов у j в процессе решения системы (31) оказывают влияние на точность вычисления компонентов Zj. Некоторые (относительно малые по значению) из этих компонентов могут быть отрицательными по знаку, что не соответствует их физическому смыслу. Коэффициенты
= Ту; Ту е \Ту_ъТу ]; у = 1,2,и}-, входящие в систему (31) и полученные путем «осреднения», также могут оказывать влияние на точность искомых компонентов Z/•. Эти замечания раскрывают смысл понятия «некорректной» обратной задачи по определению гистограммы температурного распределения частиц. Регуляризация решения обратной задачи достигается применением алгоритма «многоцикловых встречных прогонок» с последовательным уменьшением «невязки» на крайних элементах и Xп. Этот алгоритм является «адаптацией» известного метода «встречных прогонок». Кроме того, вместо одного набора коэффициентов {ру. = Т]; Ту е [Ту^,Ту~\; ; = 1,2,и} можно путем «осреднения» получить несколько наборов, использующих различные «генерации» датчика «псевдослучайных» чисел из отрезков
{[^у-1 3 = • • •'п}, для которых вновь
применяется алгоритм «встречных прогонок». Таким образом, при этом имеется возможность выбора «наилучшего» решения обратной задачи.
«Физически корректный» набор вычисленных
коэффициентов ^у; у = 1, 2,..., и^- согласно выражению (22) позволяет вычислить «физически корректный» набор коэффициентов температурной гистограммы
= г,-/е2(Гу); ; = 1,2, ....и},
где Ту - центры температурных участков разбиения Ту]; у = 1,2,..., п^ вычисляются по формуле (15).
Программно-аппаратная реализация метода редукции температурного распределения частиц
Измерительное уравнение (20), использующее выходной сигнал Б(Х) линейного многоэлементного фотоприемника в составе автоматизированного измерительного комплекса, и метод решения «обратной» задачи определения компонентов температурной гистограммы распределения частиц определяют основу программно-аппаратной реализации метода и комплекса измерения температуры потока частиц. Особенность калибровки «аппаратной функции искажений» регистратора интегрального теплового спектра состоит в следующем.
Если учесть высокое разрешение (о ^ 0) спек-троанализатора, диапазон регистрации теплового спектра (видимое и ближнее ИК-излучение) и использовать модель «измерительного» уравнения (20) при условиях (21) и (22), то для однородно прогретого объема частиц порошка заданного состава при температуре Т функцию Х(Т) можно считать дельта-функцией. Тогда уравнение (21) принимает вид
Вча(к) = Вчп(кХ) = 7(71)6! (Х)е2(Г*)ср (Х,Т*) =
= ^(Х)е2(Г*)Ф (Х,Т*),
(37)
где Д^А,) - зарегистрированный суммарный тепловой спектр частиц порошка на этапе калибровки; Е2 (Т ) - коэффициент «черноты» (определяется по справочникам, см. например [6]); ф(Я,Г*) - функция Планка, рассчитываемая по формуле (2).
Следовательно, функция ^ (X), используемая при решении обратной задачи, на этапе калибровки определяется выражением
е2(Т*шкт*)
(38)
Структурная схема измерительного комплекса температуры потока частиц представлена на рис. 1.
Световой поток от плазменной струи сфокусирован на входной щели спектрального дисперсионного устройства, которое разлагает входное излучение в непрерывный спектр. В фокальной плоскости этого устройства установлен многоэлементный линейный фотоприемник, в качестве которого можно использовать прибор с зарядовой связью (ПЗС) или фотодиодную линейку. Управление временем накопления, тактовой частотой опроса фотоприемника и преобразование видеосигнала в цифровую форму для ввода в компьютер осуществляется измерительным модулем. Оцифрованные данные считываются модулем восстановления гистограммы температурного распределения через драйвер устройства, который упрощает взаимодействие с аппаратным обеспечением. Восстановление гистограммы температурного распределения происходит согласно методике, изложенной в данной статье. Перед редукцией спектра происходит вычитание фонового спектра плазменной струи, не загруженной порошком частиц (фоновый спектр регистрируется перед началом измерений и обновляется в процессе работы системы для учета нестационарности
Рис. 1. Структурная схема комплекса спектральной диагностики температуры частиц в потоке; Я,!,Я,,-,..., Ядг - длины волн входного излучения
характеристик устройства напыления). Калибровка ПЗС-линейки доступна в пределах 800-2000 °С и выполняется при помощи образцовой светоизмерительной температурной лампы накаливания типа ТРУ 1100-2350 (температура эталона пропорциональна проходящему через нее току; последний стабилизируется прецизионным стабилизатором тока). Методика оптимизации параметров редукции температурного распределения, нацеленная на достижение максимальной разрешающей способности (как по температуре, так и по концентрации частиц в заданном температурном диапазоне) при минимизации влияния вычислительных и аппаратных шумов, представлена на рис. 2; там же приведены результаты численных экспериментов. Совмещение результатов восстановления гистограмм тестовых распределений (ломаные кривые) с исходными графиками этих тестовых распределений (см. рис. 2) позволяет оценить качество восстановления гистограммы. В результате моделирования было обнаружено, что результаты восстановления гистограмм температурных распределений частиц критичны
к выбору сетки разбиения спектрального и температурного диапазонов. В работе [5] было получено условие на выбор границ этих диапазонов; спектральный максимум должен удовлетворять следующему виду условия виновского смещения:
Я Т — я т
гтшп-'тах л,тах-'1шп
<8,
где 5 - малая величина, соизмеримая с минимальным выбранным шагом температурной и спектральной «сетки» редукции (ДА, ■ ЛГ).
На рис. 3, б приведен пример интегрального теплового спектра Б(Х) от газа и ансамбля нагретых частиц, пролетевших через зону регистрации анализатора с 2592 ячейками ПЗС-приемника; разрешающая способность - 0,35 нм/элемент, область спектральной чувствительности - 200-1100 нм.
Предварительным вычитанием фонового спектра (рис. 3, а) из суммарного спектра частиц с фоном (рис. 3, б) был получен тепловой спектр частиц (рис. 4, а). Затем этот сигнал был отфильтрован, и с учетом «калибровочной» функции ^ (к) по изложенной методике решения обратной
задачи была получена температурная гистограмма {Х(Т}); ¿ = 1,2,..., п} распределения частиц (рис. 4, б).
Полученная гистограмма была аппроксимирована гауссовой кривой распределения. С учетом шага квантования температуры в гистограмме округленная оценка математического ожидания температурного распределения частиц оказалась
равной 1600 К, а оценка стандартного (средне-квадратического) отклонения - 270 К.
В заключение отметим основные результаты работы.
Разработанный программно-аппаратный комплекс измерения распределенной в потоке струи температуры частиц порошка позволяет произ-
Рис. 2. Методика численного эксперимента и примеры редуцирования температурных тест-распределений:
Гаусса (а), треугольное (б) и типа «обелиск» (в)
Рис. 3. Экспериментальные спектры: а - фоновый (для газовой струи); б - интегральный тепловой для газовой струи, запыленной порошком
а)
800 -
<и
о 600-| 400
О
X
§ 2000
200
400
600
800
б)
X, % 0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0
1000 X, нм
-0,05
1050 1200 1350 1500 1650 1800 1950
Т, К
Рис. 4. Результаты обработки: а - тепловой (разностный) спектр частиц; б - температурная гистограмма распределения частиц
водить контроль и управление технологическим процессом детонационно-газового и плазменного напыления порошковых покрытий. Основные особенности комплекса - высокие значения отношения сигнал / шум (более 70 dB) и скорости спектральных измерений (более 1000 кадров в секунду).
Новые широкодиапазонные фотопреобразователи, такие как фотоэлементы с «квантовыми точками», твердотельные полихроматоры, в том числе в виде наноразмерных покрытий прямо на
поверхности чувствительного элемента фотоматрицы, позволяют почти на три порядка увеличить мощность оптического сигнала, регистрируемого датчиком, за счет отсутствия входных апертурных щелей, а заодно и мощность самого монохрома-тора. Несмотря на повышение чувствительности и параллельное снижение порога шумов фотоприемника, принципы оптимизации таких устройств должны по-прежнему базироваться на законе смещения Вина.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Солоненко, О.П. Высокоэнергетические процессы обработки материалов [Текст] / О.П. Солоненко, А.П. Алхимов, В.В. Марусин [и др.]. -Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 2000. - 425 с. - (Низкотемпературная плазма. Том 18).
2. Жуков, М.Ф. Высокотемпературные запыленные струи в процессе обработки порошковых материалов [Текст]: монография / М.Ф. Жуков, О.П. Солоненко; под ред. акад. В.Е. Накорякова. -Новосибирск: СО АН СССР, ин-т Теплофизики, 1990. - 516 с.
3. Магунов, А.Н. Спектральная пирометрия (обзор) [Текст] / А.Н. Магунов // Приборы и техника эксперимента. - 2009. - № 4. - С. 5-28.
4. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач [Текст] / А.Н. Тихонов, В.Я. Ар-сенин. - М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. литературы, 1978. - 288 с.
5. Гуляев, П.Ю. Виновский критерий выбора параметров редукции температурного распределения частиц по их суммарному тепловому спектру [Текст] / П.Ю. Гуляев, В.И. Иордан, И.П. Гуляев [и др.] // Изв. вузов. - Физика. - 2008. -Т. 51. - № 9/3. - С. 69-76.
6. Латыев, Л.Н. Излучательные свойства твердых материалов [Текст]: справочник / Л.Н. Латыев, В.А. Петров, В.Я. Чеховской [и др.]; под общ. ред. А.Е. Шейндлина. - М.: Энергия, 1974. - 472 с.
