CC BY
6
05.13.11
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН, КОМПЛЕКСОВ КОМПЬЮТЕРНЫХ СЕТЕЙ
РЕАЛЬНАЯ И ПРОГНОЗНАЯ ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ВЛИЯНИЯ ЗАШУМЛЕННОСТИ РАДИОКАНАЛА НА СКОРОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ В БЕСПРОВОДНЫХ СЕТЯХ Wi-Fi
Киренберг Александр Григорьевич, канд. техн. наук; доцент кафедры информационных технологий и прикладной математики Кемеровский институт (филиал) РЭУ имени Г.В. Плеханова. Кемерово, Россия. E-mail: ag-k@yandex.ru
СлаволюбоваЯрославна Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доцент; доцент кафедры информационных технологий и прикладной математики Кемеровский институт (филиал) РЭУ имени Г.В. Плеханова. E-mail: slavoliubova. iav@kemerovorea.ru
Аннотация
Задача. Одной из основных проблем создания и эксплуатации беспроводных сетей Wi-Fi (802.11) являются нестабильные характеристики среды передачи данных. Наличие данной проблемы зависит в первую очередь от зашумленности радиоэфира, что накладывает определенные ограничения на выбор оборудования и места его расположения, как на стороне источника, так и на стороне клиента. Цель работы: рассмотреть применение интерполирования нечетких множеств к решению задачи оценки скорости Интернета при определенном уровне помехи. Достижение поставленных целей в работе осуществляется на основе комплексного использования методов компьютерной алгебры, вычислительной математики, теории нечетких множеств и теории передачи цифровых данных.
Выводы. В данной работе представлена новая концепция оценки степени влияния зашумленности радиоэфира на скорость передачи данных в беспроводной сети Wi-Fi (802.11). Разработаны алгоритм и комплекс программ в системе компьютерной математики Maple для моделирования изменения показателя скорости Интернета, для его оценки при изменении уровня помехи.
Практическое значение. Данный алгоритм может быть использован для адекватной оценки и других телекоммуникационных показателей и характеристик, причем как в диапазоне известных значений влияющего фактора, так и за его пределами, что дает возможность в полной мере владеть недостающей информацией. Также с помощью простейшего анализа найдена эмпирическая зависимость скорости интернет-канала от скорости передачи ICMP-пакетов.
Ценность. Предложенный метод представляет научно-практический интерес и может быть рекомендован к использованию специалистам в области создания и эксплуатации малых беспроводных сетей.
Ключевые слова: нечеткие множества, системы аналитических вычислений Maple, качество работы беспроводных сетей Wi-Fi, скорость интернет-канала.
REAL AND FORECAST ESTIMATION OF THE DEGREE OF THE IMPACT OF THE RADIO CHANNEL'S IMPROVEMENT ON THE DATA TRANSMISSION RATE IN Wi-Fi WIRELESS NETWORKS
Kirenberg Alexander G., Candidate of Technical Sciences; Assistant Professor of the Department of Information Technology and Applied Mathematics Kemerovo Institute (branch) of Plekhanov Russian University of Economics. Kemerovo, Russia
Slavolyubova Yaroslavna V., Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Information Technology and Applied Mathematics Kemerovo Institute (branch) of Plekhanov Russian University of Economics. Kemerovo, Russia
Киренберг А.Г., Славолюбова Я.В.
Abstract
Task. One of the main problems of the creation and operation of wireless networks Wi-Fi (802.11) are unstable characteristics of the data transmission medium. The presence of this problem depends primarily on the noise of the radio, which imposes certain restrictions on the choice of equipment and its location, both on the source side and on the client side. Objective: to consider the use of interpolation of fuzzy sets to solve the problem of estimating the speed of the Internet at a certain level of interference. Achievement of the goals set in the work is carried out on the basis of the complex use of computer algebra methods, computational mathematics, the theory of fuzzy sets and the theory of the transmission of digital data.
Findings. This paper presents a new concept for estimating the degree of influence of radio noisiness on the speed of data transmission in a wireless Wi-Fi network (802.11). An algo-rhythm and a set of programs in the computer system of computer mathematics Maple were developed to simulate changes in the Internet speed indicator, to evaluate it when the interference level changes.
Practical value. This algorithm can be used for adequate evaluation of other telecommunication indices and characteristics, moreover, both within the range of known values of the influencing factor, and beyond its limits, which makes it possible to fully own the missing information. Also, using the simplest analysis, an empirical dependence of the speed of the Internet channel on the ICMP transmission rate was found.
Value. The proposed method is of scientific and practical interest and can be recommended for use by experts in the field of creation and operation of small wireless networks.
Key words: Fuzzy sets; Maple analytical computing systems; Wi-Fi wireless network quality; Internet channel speed.
Несмотря на развитие новых технологий в области построения беспроводных сетей, вопреки многочисленным пессимистичным прогнозам аналитиков, сети Wi-Fi (1ЕЕЕ 802.11) до сих пор являются вполне приемлемым и оправданным решением, особенно в тех случаях, когда требуется быстрое и дешевое развертывание сети для 10-15 клиентов [Киренберг, Колесников, 2018]. В качестве неоспоримого доказательства можно привести тот факт, что ряд мировых известных производителей оборудования для уличных сетей Wi-Fi (Ubiquiti, Mikrotik, LigoWave и др.) постоянно совершенствует свое производимое оборудование и протоколы передачи данных.
Для минипровайдеров беспроводного интернета, использующих технологию уличного Wi-Fi (802.11 n/ac) всегда актуальны вопросы о качестве беспроводного канала, его скорости, уровне зашумленности и ряд других [Киренберг, Колесников, 2015; Киренберг, Славолюбова, 2017; Киренберг, Ли, Славолюбова, 2018]. Во многих случаях какие-либо активные способы борьбы с радиопомехами, присутствующими в зоне точки доступа или клиента являются неэффективными или попросту невозможны.
В такой ситуации единственное что можно предпринять -это оценить степень влияния помех на качество беспроводного радиоканала и при необходимости спрогнозировать степень этого влияния при таких величинах уровня помехи, которые невозможно смоделировать в лабораторных условиях, но которые могут иметь место в условиях реального радиоэфира. На основании натурных и лабораторных измерений, а также прогнозных значений, полученных на основе математических методов можно сделать вывод и принять решение о целесообразности развертывания беспроводной сети в конкретной области. Наиболее важными критериями для практической оценки скорости интернет-соединения (интернет-канала) являются результаты оценки с использованием наиболее популярных он-лайн сервисов: Speedtest. net, 2ip.ru и некоторых других. В случае он-лайн игр в качестве критерия используется еще и параметр ping. И если последний из них можно измерить легко, используя встроенные утилиты точки доступа или клиентского приемного устройства, то для использования вышеуказанных он-лайн сервисов нужен обязательно компьютер и его веб-браузер. Для удаленных операторов беспроводных сетей такой метод
оценки скорости неудобен, поскольку требуется звонить абоненту и просить его измерить скорость, либо подключаться к нему удаленно через Team Viewer, Ammyy и т.п. и выполнять эту процедуру самому. Естественно, что это невозможно делать очень часто и в любой момент времени, а значит и не будет достоверных сведений о фактической скорости интернет-канала на стороне клиента. Однако частичный выход из данной ситуации все же есть, благодаря наличию встроенной программной утилиты в оборудование точки доступа и клиентское оборудование. Для оценки возможности использования данной утилиты при измерении скорости интернет-канала, а также оценки влияния радиопомехи на скорость интернет-канала при действующих и прогнозных значениях был проведен ряд лабораторных экспериментов.
Лабораторная установка состояла из следующих элементов:
1) источник сигнала - домашний роутер Zyxel Keenetic Lite с мощностью передатчика 20 dbm и двумя антеннами с усилением 5 dbi. Данный роутер подключался к сети интернет-провайдера ТТК;
2) клиентское приемное устройство Ubiquiti Nanosta-tion 2 со встроенной антенной и выставленным на минимальный уровень сигнала передатчика 10 dbm;
3) источник помехи устройство Ubiquiti Nanostation 2, которого уровень сигнала передатчика вручную изменялся от 18 до 26 dbm с шагом 1 dbm.
Расстояние между источником сигнала и клиентским устройством составляло 6 м, а между источником помехи и клиентским приемным устройством 1 м. Для чистоты эксперимента источник помехи работал на том же частотном канале, что и источник сигнала. Общий эксперимент был разделен условно на два блока:
• 1 - оценка возможности использования встроенной программной утилиты для приблизительного измерения скорости приема данных интернет-канала;
• 2 - оценка влияния степени зашумленности радиоэфира на скорость приема данных, а также прогнозирование этой оценки за пределами возможной регулировки источника сигнала.
В первом блоке эксперимента использовалась встроенная программная утилита Network Speed Test, измеряющая скорость прохождения ICMP-пакетов от клиента до сервера
провайдера. В обоих блоках эксперимента использовалась он-лайн утилита измерения скорости интернет-канала http://Speedtest.net по пути от клиента до сервера провайдера. Наибольшую практическую значимость имеет скорость получения информации (Rx), поскольку в процессе веб-серфинга большая часть трафика идет в направлении от сервера к клиенту. В данном эксперименте исследованию подвергался прежде всего именно этот параметр, хотя в принципе он применим и к скорости отправки информации.
В результате проведения первого блока эксперимента и простейшей обработки данных была получена эмпирическая формула для определения реальной скорости приема данных (Rx), приближенную к методике измерения по Speedtest.net:
Скорость реальная = Скорость ICMP-пакетов • К, где К = 0,98.
Также заметим, что для аналогичного измерения скорости передачи данных коэффициент К будет существенно меньше.
Второй блок эксперимента выполнялся с использованием математического аппарата и системы компьютерной математики, которые позволили не только выявить зависимость между полученными реальными значениями уровня шума и скоростью интернет-канала, но и построить прогнозные значения за пределами диапазона регулировки уровня шума. Принцип действия математического аппарата и алгоритма обработки результатов натурных измерений приведен далее.
Построение моделей нечетких умозаключений человека с последующим их применением в компьютерных системах является в настоящее время одной из актуальных проблем науки. Четкость классических множеств заключается в достаточно строгой определенности значений характеристической функции (функции принадлежности элемента заданному множеству). Это означает, что элемент принадлежит множеству или не принадлежит ему, и значение характеристической функции равно 0 или 1, соответственно. Такая определенность долгое время была достаточной для специалистов в области прикладной математики. Нечеткое множество - более широкое понятие, чем понятие классического множества и допускающее, что характеристическая функция принимает любые значения из отрезка [0, 1], а не только отдельные значения 0 или 1 [Галушкин, 2012; Ру-динский, 2013]. Алгоритмы, построенные на основе нечетких множеств, в практической деятельности применяются для широкого спектра задач.
В роли вычислительной системы применяются такие широкоизвестные системы аналитических вычислений, как Mathematica, Maple, MathCad, MatLab, Derive. Данные системы достаточно часто используются в самых различных областях науки и техники [Дьяконов, 2010]. Как правило, они содержат средства для программирования, процедуры для численных и аналитических расчетов, средства представления и визуализации результатов. Системы компьютерной математики совмещают в единой оболочке многофункциональный набор средств и инструментов, что позволяет решать масштабные научные задачи. Одним из главных факторов для эффективного применения систем аналитических вычислений является осуществление правильного выбора модели соответствующей задачи. Вычислительная система в процессе решения задачи выступает в качестве экспериментальной базы и позволяет не только аналитически
и численно, но и визуально провести оценку исследуемых показателей, проверить различные гипотезы, а также служить в качестве доказательства.
В данной работе рассмотрим на примере вышеописанного лабораторного эксперимента применение интерполяции нечетких множеств к решению задачи оценки уровня скорости Интернета при определенном уровне помехи.
Предварительные сведения
Напомним основные понятия, необходимые для постановки задачи и построения ее модели с использованием системы аналитических вычислений Maple.
Определение 1. [Галушкин, 2012]. Нечетким множеством Q называется набор пар
Q = {(х, ^ (х ))/x е^},
где функция |Q: V ^ [0, 1] - функция принадлежности.
В рамках теории нечетких множеств наряду с переменными цифрового типа также существуют лингвистические переменные с некоторыми приписываемыми им значениями.
Лингвистическая переменная имеет отличие от числовой переменной. Главное ее отличие заключается в том, что ее значениями выступают не числа, а предложения или просто слова. Так как слова, очевидно, имеют меньшую точность, чем числа, термин лингвистической переменной позволяет приближенно описывать реальные явления, которые настолько сложны, что не описываются в принятых количественных понятиях. В частности, нечеткое множество, представляющее собой ограничение, соотнесенное со значениями лингвистической переменной, вполне можно рассматривать как некоторую совокупную характеристику различных подклассов, состоящих из элементов универсального множества. В этом смысле можно провести аналогию роли нечетких множеств с ролью, которую играют предложения или слова в естественном языке.
Как известно [Галушкин, 2012], лингвистическая переменная - это набор (x, T(x), V, G, M), где x - «название переменной»; T(x) - терм-множество, т.е. множество названий переменной x (причем каждому из этих названий соответствует нечеткое подмножество X, определенное на универсальном множестве Vс базовой переменной v); G - синтаксическое правило, которое порождает названия подмножества X значений переменной x; M - семантическое правило, по которому ставится в соответствие каждому элементу, принадлежащему терм-множеству, нечеткое подмножество X универсального множества V.
Интерполирование нечетких множеств уровня скорости Интернета по Speedtest.net. Введем лингвистическую переменную x - {уровень скорости Интернета по Speedtest. net}. Оставшуюся четверку зададим следующим образом: универсальное множество V = [0, 19] • Tx, где Tx = [18, 26], терм-множество T - («низкий уровень скорости Интернета», «уровень скорости Интернета ниже среднего», «средний уровень скорости Интернета», «уровень скорости Интернета выше среднего», «высокий уровень скорости Интернета»).
Введем следующие обозначения множеств. Множество A - низкий уровень скорости Интернета, множество B - высокий уровень скорости Интернета, множество C - средний уровень скорости Интернета, множество D - уровень скорости Интернета выше среднего и множество Е- уровень скорости Интернета ниже среднего. Перечисленные множества являются нечеткими.
Киренберг А.Г., Славолюбова Я.В.
Определим обобщенную гауссовскую функцию принад-;ности ц ющий вид:
лежности цх (v, T), имеющую в рациональной форме следу-
ц
а (v, T ) =-
1
низкий уровень скорости Интернета 7 'x1 , _ \2ba
1+' „
v - Va (Tx )
а (V, Tx ) =-
1
средний уровень скорости Интернета * ' x' , \2br '
1 + Л
а (V, Tx ) =-
1
высокий уровень скорости Интернета * ' x> у \2ЬЯ
1+1
ав
V - VB (Tx )
Ц (v, Tx ) = -
"уровень скорости Интернета ниже среднего x'
1
1 +
о (V, Tx ) = -
v - vE (Tx )
1
уровень скорости Интернета выше среднего ' x> , \2Ьп
1 + 1
Сто
V - VD (Tx )
где переменная Tx обозначает уровень помехи (измеряется в dbm) и принимает одно из следующих значений: Tx = {18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, параметры ах, bX могут принимать любые значения из множества действительных чисел, а функции vA(Tx), vB(Tx), vC(Tx), vD(Tx), vE(Tx) (измеряются в Mb/sec) при фиксированном значении переменной Tx являются центрами подмножеств A, B, C, D, E, соответственно.
Новые термы задаются на основе синтаксического правила G при помощи стандартных модификаторов «ниже», «выше».
Введем процедуру M - процедуру, которая каждому новому терму ставит в соответствие нечеткое множество из X х Tx по следующему правилу: если терм Q имеет функцию принадлежности |Q (v, Tx), то новые термы будут иметь следующие функции принадлежности: |Q (v - o,Tx), lQ (v + a,Tx) для модификаторов «ниже», «выше», соответственно. Параметр а может принимать любые действительные значения, принадлежащие отрезку [0, 1].
Графическое представление лингвистической переменной x {уровень скорости Интернета} при различных уровнях помехи приведено на рис. 1.
a
с
а
E
Рис. 1. Графики функции принадлежности терм-множества О лингвистической переменной «уровень скорости Интернета»
при определенном уровне помехи:
а — 18 dbm; б — 22 dbm; в — 26 dbm
Данные относительно уровня скорости Интернета при уровне помехи 27 dbm не известны. Требуется спрогнозировать значение уровня скорости Интернета при уровне помехи 27 dbm.
Математическая модель поставленной задачи строится следующим образом. Рассмотрим систему различных точек (V., Т.) (/ = 1, ... , т,у = 1, ..., п) в области V• Тх. В этих точках известны значения функции принадлежности цх: ц = цх (vj, Т.), где / = 1, ... , т,у = 1, ... , п. Указанные точки (V., Т ) назовем узлами интерполяции, их совокупность назовем интерполяционной сеткой, а тройки (V., Т , цху.) - базовыми точками или точками данных.
Задача интерполирования заключается в поиске некоторой функции цх из данного класса функций, такой что
1) цх (V,, Т.) = цх]., где / = 1, ... , т,у = 1, ... , п;
2) функция цх (V, Тх) максимально приближает функцию Цх (V, Тх) в произвольной точке (V, Тх) внутри интерполяционной сетки;
3) функция цх удовлетворяет условию 0 < цх (V, Тх) < 1.
Функцию цх (V, Тх) назовем интерполирующей функцией.
Опишем метод решения и технику проведения расчетов. Реализуем двумерную интерполяцию для функции принадлежности цх (V, Тх). Для этого сначала проведем интерполяцию по переменной Тх на каждой прямой V = V, / = 1, ... , т. Затем при каждом значении переменной Т = Т ,
j = 1, ... , n, проводится интерполяция по переменной v с учетом полученных на первом шаге значений функции.
Следует заметить, что результат в случае проведения билинейной интерполяции совершенно не зависит от порядка выполнения шагов: можно сначала провести линейную интерполяцию вдоль оси OTx, так и наоборот. Результат будет неизменным.
В качестве интерполяционной функции можно рассмотреть интерполяционный сплайн или интерполяционный многочлен Лагранжа.
Представим результаты вычислений и проведем их анализ. Подробнее остановимся на изучении высокого уровня скорости Интернета по Speedtest.net.
В результате проведенных вычислений на основе использования системы компьютерной математики Maple получили следующую визуализацию функции принадлежности цв (v, Tx) нечеткому множеству «высокий уровень скорости Интернета», меняющейся в зависимости от уровня помехи Tx (рис. 2).
Графически данная функция представляет собой некоторую поверхность, проходящую через набор точек (v, 27), где переменная v е [0,19].
Совокупность срезов этой поверхности по уровню помехи T представлена на рис. 3.
1,0
26
0
18
0
Рис. 2. График функции принадлежности ц (V, Тх) нечеткому множеству «высокий уровень скорости Интернета»
Рис. 3. Срезы функции принадлежности рв (V, Тх) нечеткому множеству «высокий уровень скорости Интернета»
Срез динамической функции цв (V, Тх) при Тх = 27 имеет следующий график (рис. 4).
Аналогично были изучены низкий и средний уровень скорости Интернета. График динамической функции цд (V, Тх) представлен на рис. 5. Также срезы динамических функций Ц (V, Тх) и цс(V, Тх) представлены на рис. 6 и 7, соответственно.
Из рисунков видно, что наибольшее и среднее значения показателя уровня скорости Интернета имеет тенденцию к небольшому снижению при увеличении уровня помехи в небольшом диапазоне, несмотря на то, что его наименьшее значение имеет тенденцию увеличения. При этом значения функций принадлежности следующие: цс (V, 27) = 1
Киренберг А.Г., Славолюбова Я.В.
при v ~ 14,01, Цв (v, 27) = 1 при v ~ 15,91 и цд (v, 27) = 1 при v = 13,3. Полученные значения интерпретируются следующим образом: средний уровень скорости Интернета при уровне помехи 27 dbm приближается к значению 14,01 Mb/sec, низкий уровень скорости Интернета при уровне помехи 27 dbm приближается к значению 13,3 Mb/sec, а высокий уровень - к значению 15,91 Mb/sec.
-
1,0 -
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
10 12 14 16
18
Рис. 4. График прогнозируемой функции принадлежности рв (V, Т) нечеткому множеству «высокий уровень скорости Интернета» при уровне помехи 27 ^т
Ма 1,0
26
18
Рис. 5. Срезы функции принадлежности pA (v, Tx) нечеткому множеству «низкий уровень скорости Интернета»
Разработанные алгоритм и комплекс программ в системе аналитических вычислений Maple позволили смоделировать изменение динамики скорости Интернета, провести ее оценку при изменении помехи в небольших диапазонах,
а также могут найти применение для адекватной оценки других цифровых и телекоммуникационных показателей и характеристик. Кроме того, мы вполне можем определить степень принадлежности некоторого выбранного показателя заданному уровню не только в прогнозе при большем значении влияющего на него фактора, но и восстановить его неизвестное значение при определенном значении влияющего на него фактора, что дает возможность в полной мере владеть недостающей информацией. Описанные в данной работе результаты лабораторных измерений и математической обработки с использованием метода нечетких множеств могут быть полезны как при анализе скорости передачи данных в действующих сетях Wi-Fi, так и при планировании новых сетей. На основе использования описанного математического аппарата можно спрогнозировать поведение сети и принять решение о целесообразности построения сети на данном участке или использовании предполагаемого оборудования на стороне точки доступа и клиента.
Рис. 6. График прогнозируемой функции принадлежности рд (V, Тх) нечеткому множеству «низкий уровень скорости Интернета» при уровне помехи 27 ^т
МС у 1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
10 12 14 16
18
Рис. 7. График прогнозируемой функции принадлежности рс (V, Тх) нечеткому множеству «средний уровень скорости Интернета» при уровне помехи 27 ^т
v
0
v
Литература
1. Киренберг А.Г., Колесников О.М. Опыт применения Wi-Fi технологий для интернет-подключения «нерентабельных абонентов» // Экономика и менеджмент систем управления. 2018. № 3 (29). С. 88-94.
2. Киренберг А.Г., Славолюбова Я.В. Предварительная оценка скорости передачи данных в беспроводных сетях Wi-Fi // Фундаментальные исследования. 2017. № 1. С. 68-73.
3. Киренберг А.Г., Ли С.Р., Славолюбова Я.В. Выбор оптимальной частоты радиоканала на основе анализа радиоэфира на стороне клиента // Экономика и менеджмент систем управления. 2018. № 2.3 (28). С. 373-379.
4. Киренберг А.Г., Колесников О.М. Повышение качества работы уличных сетей Wi-Fi // Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2015. № 5 (111). С. 159-162.
5. Галушкин А.И. Нейронные сети: основы теории / А.И. Галушкин. М.: Горячая линия - Телеком, 2012. 496 с.
6. Рудинский И.Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский / пер. с польск. И.Д. Рудинского. 2-е изд., стереотип. М.: Горячая линия - Телеком, 2013. 384 с.
7. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10/11 в математике, физике и образовании // [Электронный ресурс] / В.П. Дьяконов. 2-е изд., пере-раб. и доп. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2010. 752 с.
References
1. Kirenberg A.G., Kolesnikov O.M. Opyt primeneniya Wi-Fi tekhnologiy dlya internet-podklyucheniya «nerentabel'nykh abonentov» // Ekonomika i menedzhment sistem upravleniya. 2018. № 3 (29). S. 88-94.
2. Kirenberg A.G., Slavolyubova Ya.V. Predvaritelnaya ocenka skorosti peredachi dannyh v besprovodnyh setyah Wi-Fi // Fundamentalnye issledovaniya. 2017. № 1. S. 68-73.
3. Kirenberg A.G., Li S.R., Slavolyubova Ya.V. Vybor optimal'noy chastoty radiokanala na osnove analiza radioefira na storone klienta // Ekonomika i menedzhment sistem upravleniya. 2018. № 2.3 (28). S. 373-379.
4. Kirenberg A.G., Kolesnikov O.M. Povyshenie kachestva raboty ulichnyh setej Wi-Fi // Vestnik Kuzbasskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. 2015. № 5 (111). S. 159-162.
5. Galushkin A.I. Neyronnye seti: osnovy teorii / A.I. Galushkin. M.: Goryachaya liniya - Telekom, 2012. 496 s.
6. Rudinskiy I.D. Neyronnye seti, geneticheskie algoritmy i nechet-kie sistemy / D. Rutkovskaya, M. Pilin'skiy, L. Rutkovskiy / per. s pol'sk. I.D. Rudinskogo. 2-e izd., stereotip. M.: Goryachaya liniya - Telekom, 2013. 384 s.
7. D'yakonov V.P. Maple 9.5/10/11 v matematike, fizike i obrazo-vanii // [Elektronnyy resurs] / V.P. D'yakonov. 2-e izd., pererab. i dop. M.: SOLON-PRESS, 2010. 752 s.
