CC BY
0
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. №3. C. 67-85. ISSN 2079-6641
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ " https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-67-85 Научная статья
Полный текст на русском языке УДК 519.642.2
Реализация модифицированного алгоритма Тест 0-1 для анализа хаотических режимов дробного осциллятора
Дуффинга
Р. И. Паровик1'2*
1 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4, Россия
2 Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, 4, Узбекистан
Аннотация. В работе проведено исследование хаотических и регулярных режимов дробного осциллятора Дуффинга с помощью алгоритма Тест 0-1. Дробный осциллятор Дуффинга описывается нелинейным дифференциальным уравнением с производной Римана-Лиувилля дробного переменного порядка. С помощью явной численной конечно-разностной схемы получено численное решение модели, которое подается на вход алгоритма Тест 0-1 после процедуры прореживания - выделения локальных экстремумов. Далее с помощью пакета Ма^аЬ реализуется алгоритм Тест 0-1 и проводится визуализация результатов моделирования. Строятся бифуркационные диаграммы для коэффициента корреляции с учетом значений порядков дробной производной, строятся осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что алгоритм Тест 0-1 работает корректно при соответствующем выборе шага дискретизации.
Ключевые слова: Тест 0-1, модель, осциллятор Дуффинга, дробная производная Римана-Лиувилля, среднеквадратическое отклонение, корреляция, бифуркационная диаграмма
Получение: 01.09.2023; Исправление: 01.10.2023; Принятие: 05.10.2023; Публикация онлайн: 02.11.2023
Для цитирования. Паровик Р. И. Реализация модифицированного алгоритма Тест 0-1 для анализа хаотических режимов дробного осциллятора Дуффинга // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. № 3. C. 67-85. EDN: AREVER. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-67-85.
Финансирование. Исследования выполнены в рамках гранта Президента РФ МД-758.2022.1.1 по теме "Развитие математических моделей дробной динамики с целью исследования колебательных процессов и процессов с насыщением"
Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.
* Корреспонденция: А E-mail: romanparovik@gmail.com ф
Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License © Паровик Р. И., 2023
© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. nauki. 2023. vol. 44. no. 3. P. 67-85. ISSN 2079-6641
MATHEMATICAL MODELING
" https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-67-85
Research Article
Full text in Russian
MSC 34A08, 34A34
Implementation of the Modified Test 0-1 Algorithm for the Analysis of Chaotic Modes of the Fractional Duffing Oscillator
R. I. Parovik1,2*
1 Vitus Bering Kamchatka State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, st. Pogranichnaya, 4, Russia
2 National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek, 100174, Tashkent, st. Universitetskaya, 4, Uzbekistan
Abstract. The work carried out a study of chaotic and regular modes of a fractional Duffing oscillator using the Test 0-1 algorithm. The fractional Duffing oscillator is described by a nonlinear differential equation with the Riemann-Liouville derivative of a fractional variable order. Using an explicit numerical finite-difference scheme, a numerical solution to the model was obtained, which is fed to the input of the Test 0-1 algorithm after the thinning procedure - identifying local extrema. Next, using the Matlab package, the Test 0-1 algorithm is implemented and the simulation results are visualized. Bifurcation diagrams are constructed for the correlation coefficient, taking into account the values of the orders of the fractional derivative, and oscillograms and phase trajectories are constructed. It is shown that the Test 0-1 algorithm works correctly with the appropriate selection of the sampling step.
Key words: Test 0-1, model, Duffing oscillator, Riemann-Liouville fractional derivative, standard deviation, correlation, bifurcation diagram
Received: 01.09.2023; Revised: 01.10.2023; Accepted: 05.10.2023; First online: 02.11.2023
For citation. Parovik R. I. Implementation of the modified Test 0-1 algorithm for the analysis of chaotic modes of the fractional Duffing oscillator. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2023,44: 3,67-85. EDN: AREVER. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-67-85.
Funding. The research was carried out within the framework of the grant of the President of the Russian Federation MD-758.2022.1.1 on the topic "Development of mathematical models of fractional dynamics in order to study oscillatory processes and processes with saturation"
Competing interests. There are no conflicts of interest regarding authorship and publication.
Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.
* Correspondence: A E-mail: romanparovik@gmail.com ^
The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License © Parovik R. I., 2023
© Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, 2023 (original layout, design, compilation)
Введение
Исследование регулярных и хаотических режимов динамических систем является важной практической задачей. Это связано с тем, что, исходя из решаемой задачи необходимо знать диапазоны изменений значений ее параметров, чтобы знать хаотические режимы или наоборот регулярные режимы. Хаотические и регулярные режимы возникают в различных нелинейных динамических системах, в том числе и колебательных [1]. В настоящее время развитие получили эредитарные или дробные динамические системы [2], которые обладают свойствами наследственности или памяти [3].
Существуют различные методики исследования хаотических и регулярных режимов различных дробных динамических систем [2]. Например, одними из основных являются: построение сечений Пуанкаре, построение максимальных показателей Ляпунова, исследование точек покоя системы, метод фрактальной размерности, энтропии, Тест 0-1 и т.д. Все эти методы обладают как достоинствами, так и недостатками, могут использоваться как по отдельности, так и совместно с друг другом.
Одним из перспективных методов исследования хаотического и регулярного поведения динамических на наш взгляд является Тест 0-1 [4-11]. В настоящей работе мы будем применять модифицированный алгоритм Тест 0-1, который был предложен в статьях [12,13] для исследования хаотических и регулярных режимов динамических систем.
Объектом нашего исследования в настоящей статье будет дробный осциллятор Дуффинга, который обладает эффектом памяти, исследование, которого проводилось в работах [14-17]. Необходимо отметить, что классический осциллятор Дуффинга обладает богатой динамикой: хаотическим и бистабильным поведением [18].
Эффект памяти включен в модельное уравнение в виде оператора дифференцирования дробного переменного порядка типа Римана-Лиувилля [1921]. Дробные производные достаточно хорошо изучены и о них можно узнать из известных монографий [22-24]. С помощью численного алгоритма нелокальной явной конечно-разностной схемы было получено приближенное решение задачи Коши для дробного осциллятора Дуффинга [15] . Далее численное решение было исследовано в рамках модифицированного алгоритма Тест 0-1.
В настоящей работе с помощью модифицированного алгоритма Тест 0-1 и численного решения дробного осциллятора Дуффинга нелокальной явной конечно-разностной схемы были исследованы различные динамические режимы дробного осциллятора Дуффинга в зависимости от изменения значений порядка дробной производной и других важных параметров, проведена визуализация результатов моделирования и дана их интерпретация. Подтверждены результаты, которые были получены ранее, например, в статье [25] и в работах авторов [14-17]. Получены новые результаты, которые показывают, что динамика дробного осциллятора Дуффинга с производной дробного переменного порядка является более богатой, чем классического осциллятора Дуффинга [18].
Постановка задачи и методика решения
Рассмотрим следующую модель дробного осциллятора Дуффинга [14-17]:
х (г) + ло^х (г)- х (г) + х3 (г) = бсоз(^) ,х (0) = хо,х (0) = уо. (1)
Здесь х (г) € С2 [0, Т] — функция смещения; г € [0, Т] — время рассматриваемого процесса, Т > 0 - время моделирования, Л — коэффициент трения, 6 и ш — амплитуда и частота внешнего периодического воздействия, х0 и у0 — константы, заданные начальные условия, х (г) = dx/dt , х (г) = ^х/^2 . Оператор дробного дифференцирования в (1) понимается в смысле Римана-Лиувилля переменного порядка 0 < а (г) < 1:
Da(t)x (t)-_1_—
u0t х (tj- г (1 _ ^ (t)) dt
^dT (2)
(t _ T)
Замечание 1. Задачи Коши (1) описывает нелинейные колебательные режимы с учетом переменной памяти. Если а (г) не зависит от времени, то мы получаем модель дробного осциллятора Дуффинга с постоянной памятью [2,25]. Если а (г) = 1 мы приходим к классическому осциллятору Дуффинга [18].
Задача Коши (1) исследовалась в работах [14-17] с помощью численных методов теории конечно-разностных схем, а также с помощью качественных методов: сечений Пункаре и максимальных показателей Ляпунова. Построение конечно-разностных основывалось на аппроксимации оператора дробного дифференцирования (2) производной Грюнвальда-Летникова [19-21]: к—1
Djfх (t) « t! £ Сxk_i, С - (1 _ (1 + ak)/k ) oft, С - 1, k - 1..N _ 1. (3)
^ х (Ч - —
г=0
Здесь N — количество расчетных узлов сетки или разбиений отрезка [0, Т]. Для простоты рассмотрим нелокальную явную конечно-разностную схему [17]:
х1 = х0 + ТУ0,
к—1
< хк+1 = (2 + т2 — Лт2-ак) хк — хк—1 — Лт2—ак ^ е*кхк—г — т2хк + 6 соз (шкт), (4)
г=1
к = 1,..., N — 1.
где шаг дискретизации т - N/T .
Свойства схемы (4) рассмотрены в работе [17], рассмотрены вопросы устойчивости и сходимости. Далее, опираясь на схему (4) построим, алгоритм Тест 0-1 для исследования хаотических режимов [7].
Алгоритм Тест 0-1
Пусть мы имеем набор значений xk,k - 1,...,N, полученный по схеме (4). Реализуем следующие шаги алгоритма [7]:
1. Генерируем случайное число е (0,п) и переходим к новым переменным по формулам:
п п
р (п) = ^хксоэ (ск), q (п) = ^хкзт (ск) ,п = 1,..., N. (5)
к=1 к=1
Замечание 2. Отметим, что возможно появление резонанса, если разложение Фурье полученных данных х содержит член, пропорциональный ехр(—гшк), то существует резонанс при с = ш, где р (п) ~ п, и, следовательно, среднеквадратическое отклонение M (п) ~ п2, независимо от того, является ли динамика регулярной или хаотичной. Поэтому на практике часто выбирают е (п/5,4п/5 ). График, построенный по точкам (р^) — фазовая траектория дискретного временного ряда, также косвенно может указывать на хаотическую или регулярную динамику. В частности, если фазовая траектория имеет вид траектории диффузионного (броуновского) движения, то присутствует хаос, а если траектория замкнутая (ограниченная), то существует регулярный режим.
2. Вычисляем среднеквадратичное отклонение М (п):
1 N
М (п) = Шп - V (р (к + п) — р (к))2 + (q (к + п) — q (к))2 (6)
N^00 N *-
к=1
и модифицированное среднеквадратическое отклонение
„„.л / 1 1 — СОБ (пс) Э (п) = М (п) — - 5"хк 1-^. (7)
\—к=г ) 1 — соз(с)
Замечание 3. Заметим, что предел в (7) обеспечивается вычислением М (п) только для п < пси;, где пси ^ N. На практике можно выбрать пС^ = N/10 . Если среднеквадратическое отклонение М (п) ограничено, то мы имеем дело с регулярным режимов, а если линейно возрастает, то с хаотическим режимом.
3. Затем мы вычисляем асимптотическую скорость роста средне квадратичного отклонения Кс. Для этого воспользуемся корреляционным методом. Пусть известны векторы £ = (1,2,..., п^О ,Д = (Э (1) ,Э (2) ,...,Э (п^О). Тогда ковариация и вариация определяются по формулам:
1 q
соу (х,у) = У" (х (]) — х) (у (]) — у),
1 q 1 q
х = -5"х (1 ,у = -5" у (1 ,уаг(х,х) = соу(х,х).
Коэффициент корреляции между векторами £ и А определяет асимптотическую скорость роста средне квадратичное отклонения:
Кс = согг (£, А) = е [—1,1]. (8)
^уаг (£) уаг (А)
Отметим, что существует регрессионный метод нахождения коэффициента корреляции Kc, который подробно рассмотрен в работе [7].
4. Шаги 1-3 выполняются для Nc значений с, выбранных случайно в интервале (0,п). На практике достаточно взять Nc = 100. Затем мы вычисляем медиану эти Nc значений Kc, чтобы вычислить окончательный результат K = median (Kc).
Замечание 4. Заметим, что здесь именно медиана была выбрана, а не среднее значение, поскольку она устойчива к выбросам, которые связаны с резонансами. Тест утверждает, что значение K ~ 0 указывает на регулярную динамику, а значение K ~ 1 указывает на хаотическую динамику. В Таблице приведены различные сценарии динамических режимов по алгоритму Тест 0-1.
Таблица
Сценарии динамики по алгоритму Тест 0-1 [Dynamic scenarios according to the Test 0-1 algorithm]
Режимы Динамика (p, q) Динамика M (n) K
Регулярный ограниченный ограниченный 0
Хаотический диффузный линейный рост 1
Проблема передискретизации в Тест 0-1 для непрерывных динамических систем
В случае, когда шаг дискретизации т слишком мал, тогда система подвергается передискретизации, что дает неверные результаты [7]. Обычно оптимальный шаг дискретизации т подбирается визуально по графику. Однако существуют более глубокие методы, например, метод первого локального минимума взаимной информации [26]. Взаимная информация между наборами значений х (к) и х (к + т) определяется по формуле:
т, , ПГ п^ п , п, ( Р (х (к) ,х (к + т)) \
1 (т)= ^Р ,х + § и*(к))Р(хОс + т))), (9)
х(к),х(к+т) 4 7
где т — временная задержка, Р (.) — соответствующие вероятности.
Значение т, соответствующее первому локальному минимуму взаимной информации I (т), является оптимальным временем выборки. Таким образом, мы можем преобразовать исходные данные измерений х (к) в точно выбранные данные измерений следующим образом:
Ф (к) = х(к + гт) ,к = 1,...,^г = 1,2,...,М. (10)
После этого преобразования новый набор значений (10) уже не подвержен передискретизации.
В работе [9,10] авторы предлагаю исследовать спектры сигналов. В случае, если спектр сигнала является непрерывным в определенном интервале частот, то мы имеет признак того, что в системе может быть хаос. Далее, если минимальная
частота спектра максимальная ^а^, тогда при выполнении условия
^ < 4 — ^т), где fs = 1/т , т — шаг расчетной сетки, дает гарантию того, что количество дискретных значений соответствующих Кс значениям, близким к 1, составят более 50% всех значений в интервале (п/5 ,4п/5 ). В результате медиана будет близка к 1, что правильно укажет на хаотическую природу анализируемого сигнала.
В работе [12] авторы предложили «проредить» исходный сигнал, выбрав локальные минимумы и максимумы. Эта модификация не меняет динамику системы. Следовательно, если исходный сигнал регулярен, то прореженный также регулярен, а если он хаотична, то прореженный также остается хаотичной. В этом случае мы получаем другой набор значений: (рк, к = 1,...,Ь < N который подаем на вход алгоритма Тест 0-1.
Мы в своей работе выберем для исследования прореженный сигнал [12], для этого надо найти локальные минимумы и максимумы по знаку производной.
Результаты моделирования
Моделирование проводилось в математическом пакете МаШЬ. Рассмотрим некоторые примеры работы алгоритма Тест 0-1.
Пример 1. Случай классического осциллятора Дуффинга, когда в уравнении (1) а (1) = а = 1 [18]. Значения параметров выберем следующим: 6 = 0.3,ш = 1 ,х0 = 0.2,у0 = 0.3. Значения параметра Л были выбраны из отрезка [0,1] с шагом Н = 0.001. Результат работы алгоритма Тест 0-1 приведен на рис.1.
J
Бифуркационная диаграмма
Î1
Рис. 1. Бифуркационная диаграмма зависимости коэффициента корреляции K (Л)
от Л G [0,1] для классического осциллятора Дуффинга. [Fig. 1. Bifurcation diagram of the dependence of the correlation coefficient K (Л) on Л G [0,1] for the classical Duffing oscillator.]
0
На рис.1 представлена бифуркационная диаграмма, показывающая переход между хаотичным и регулярным режимами. Видно, что примерно в диапазоне изменений Л с [0.4,1] и [0,0.1] мы наблюдаем регулярные режимы. В диапазоне Л € (0.1,0.4) — хаотические режимы. Посмотрим, как ведут себя другие характеристики для разных режимов из диапазонов указанных выше (рис.2-4).
А б
-0.5 0 0.5 1 1.5 2
Р
Рис.2. Коэффициент корреляции Kc для Л = 0.1; б) стандартное среднеквадратическое отклонение D (n) для Л = 0.1; в) фазовая траектория (p, q) при Л = 0.1.
[Fig. 2. Correlation coefficient Kc for Л = 0.1; b) standard standard deviation D (n) for Л = 0.1; c) phase trajectory (p, q) for Л = 0.1.]
На рис.2 приведены при фиксированном значении Л = 0.1: коэффициенты корреляции (рис.2а), среднеквадратическое отклонение (рис.2б) полученное по формуле (7), также фазовая траектория временного ряда (рис.2в), построенная по координатам (р, q), которые определяются по формулам (5). Согласно Таблице сценариев динамических режимов мы имеем дело с регулярным режимом. Это также подтверждается осциллограммой и фазовой траекторией (рис.3).
Оамппмрамм* впя 1=0.1
0 1 00 200 300 400 900 600 700 S00 900 1000
Рис. 3. Осциллограмма и фазовая траектория при Л = 0.1 для классического
осциллятора Дуффинга. [Fig. 3. Oscillogram and phase trajectory at Л = 0.1 for the classical Duffing oscillator.]
^а рис.4 для значения Л = 0.2 приведены характеристики: Кс,0 (п) и фазовая огласно, Таблице сценариев мы можем сделать вывод о том, что при
Лр=ек2овроизяниРа а! хаотический режим и согласно бифуркационной диаграмме рис.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6 0
15 10
Ст" 5
0 -5
-5 0 5 10
Р
Рис. 4. Коэффициент корреляции Kc для Л = 0.2; б) стандартное среднеквадратическое отклонение M (n) для Л = 0.2; в) фазовая траектория (p, q) при Л = 0.2.
[Fig. 4. Correlation coefficient Kc for Л = 0.2; b) standard standard deviation M (n) for Л = 0.2; c) phase trajectory (p, q) at Л = 0.2.]
медианное значения коэффициента корреляции К ~ 1. Осциллограмма и фазовая траектория для Л = 0.2 приведены на рис.5.
Осциллограмма для Л=0.2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t
Фазовая траектория для Л=0.2
Рис. 5. Осциллограмма и фазовая траектория при Л = 0.2 для классического
осциллятора Дуффинга. [Fig. 5. Oscillogram and phase trajectory at Л = 0.2 for the classical Duffing oscillator.]
Таблицу). Осциллограмма и фазовая траектория также указывает на регулярный реЖиалрри.4.7для значения Л = 1 приведены характеристики: Kc,D (n) и фазовая тращдорир <33, q(l.лМЧ®йзи]ДИElД)ач¡тp(1в)этомслуЧаfе]1—эceйKаí{2,E25]уЛЯeSырfe]режI]аме(!lfIMI параметров: t е [0.1000], для расчетной сетки N = 3.5 ■ 104, Л = 0.15, 6 = 0.3, w = 1,
2
0
0
-0.05
0.3
+
'¡if i ч
О 0.2
♦ * ф » + ^
0,
* S ч-
1 1.5 2 2.5 c
10 20 t
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Р
Рис. 6. Коэффициент корреляции Kc для Л = 1; б) стандартное среднеквадратическое отклонение D (n) для Л = 1; в) фазовая траектория (p,q) при Л = 1.
[Fig. 6. Correlation coefficient Kc for Л = 1; b) standard standard deviation D (n) for Л = 1; c) phase trajectory (p, q) for Л = 1.]
0
0
30
0
Осциллограмма для Л=1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t
Фазовая траектория для Л=1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
X
Рис. 7. Осциллограмма и фазовая траектория при Л = 1 для классического
осциллятора Дуффинга. [Fig. 7. Oscillogram and phase trajectory at Л = 1 for the classical Duffing oscillator.]
0
хо =&2ш¥08=предсйШр^
в зависимости от значения дробной производной а. Мы видим область существования хаоса: а € [0.78,1] и область существования регулярного режима
Рис. 8. Бифуркационная диаграмма зависимости коэффициента корреляции K (а)
от а G [0,1] для классического осциллятора Дуффинга. [Fig. 8. Bifurcation diagram of the dependence of the correlation coefficient K (a) on a G [0,1] for the classical Duffing oscillator.]
а с [0.1,0.78). Рассмотрим более подробно каждый из случаев. На рис.9 приведены характеристики: Кс, Э (п), (р, я) для а = 1.
1
0.95 0.9 0.85 0.8 0.75
0.7
0
10 5
0
-5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
Р
Рис. 9. Коэффициент корреляции Kc для а = 1; б) стандартное среднеквадратическое отклонение D (n) для а = 1; в) фазовая траектория (p,q) при а = 1.
[Fig. 9. Correlation coefficient Kc for а = 1; b) standard standard deviation D (n) for а = 1; c) phase trajectory (p, q) for а = 1.]
Рис.9 и 10 подтверждают хаотический режим. На рис.11 и 12 приведен случай
ля ^д_о 2
дляГример. 3. Общий случай, когда а (1) является функцией времени 1 [14-17]. Пусть функция а(1) периодическая и имеет вид: а(1) = асов2 (ф1) , а с [0,1].
2
1
х 0 -1 -2
1
0.5 ^ 0 -0.5 -1
Осциллограмма для а=1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
t
Фазовая траектория для а=1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
X
Рис. 10. Осциллограмма и фазовая траектория при а = 1 для классического
осциллятора Дуффинга. [Fig. 10. Oscillogram and phase trajectory at а = 1 for the classical Duffing oscillator.]
Рис. 11. Коэффициент корреляции Kc для а = 0.2; б) стандартное среднеквадратическое отклонение D (n) для а = 0.2; в) фазовая траектория (p, q) при а = 0.2. [Fig. 11. Correlation coefficient Kc for а = 0.2; b) standard standard deviation D (n) for а = 0.2; c) phase trajectory (p, q) at а = 0.2.]
Здесь I € [0.1700], N = 2.5 ■ 104, ф = 1.5, остальные параметры будут взяты из предыдущего примера. Применим алгоритм Тест 0-1 и найдем зависимость
Осциллограмма для а=0.2
2|-г-1-1-1-1-1-г
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t
Фазовая траектория для а=0.2
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 X
Рис. 12. Осциллограмма и фазовая траектория при а = 0.2 для классического
осциллятора Дуффинга. [Fig. 12. Oscillogram and phase trajectory at а = 0.2 for the classical Duffing oscillator.]
медианного коэффициента корреляции K от амплитуды а. Значения амплитуд а будем менять с шагом h = 0.001.
Бифуркационная диаграмма для этого примера представлена на рис.13, а на рис.14-17 показаны основные характеристики модифицированного алгоритма Тест 0-1, включая осциллограмму и фазовую траекторию.
1
0.8 0.6 0.4
-0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
а
Рис. 13. Бифуркационная диаграмма зависимости коэффициента корреляции K (а)
от а e [0,1] для классического осциллятора Дуффинга. [Fig. 13. Bifurcation diagram of the dependence of the correlation coefficient K (a) on а e [0,1] for the classical Duffing oscillator.]
Из рис.13 мы видим, что в достаточно широком диапазоне значений а на [0.2,1] должны существовать регулярные режимы. В качестве подтверждения построим для а = 1 коэффициент корреляции Kc, стандартное среднеквадратическое отклонение D (n) для а = 1 и фазовая траектория (p, q) (рис.14).
Бифуркационная диаграмма
Рис. 14. Коэффициент корреляции Kc для а = 1; б) стандартное среднеквадратическое отклонение D (n) для а = 1; в) фазовая траектория (p,q) при а = 1.
[Fig 14. Correlation coefficient Kc for а = 1; b) standard standard deviation D (n) for а = 1; c) phase trajectory (p, q) for а = 1.]
Осциллограмма для a=1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 t
Осциллограмма для a=1
Рис. 15. Осциллограмма и фазовая траектория при а = 1 для классического
осциллятора Дуффинга. [Fig. 15. Oscillogram and phase trajectory at а = 1 for the classical Duffing oscillator.]
На рис.14 и 15 при а = 1 приведены графики, которые соответствуют регулярному режиму (см. Таблицу). На рис.15 мы видим, что фазовая траектория выходит на предельный цикл, также на замкнутую траекторию выходит
траектория (p,q) рис.14в. На рис.16 и 17 приведен случай для а = 0.01, который соответствует хаотическому (предхаотическому) режиму.
$ U *
0.5 1 1.5 2 2.5 0 20
40 60
05 Р
Рис. 16. Коэффициент корреляции Kc для а = 0.01; б) стандартное среднеквадратическое отклонение D (n) для а = 0.01; в) фазовая траектория (p, q) при а = 0.01. [Fig. 15. Correlation coefficient Kc for а = 0.01; b) standard standard deviation D (n) for а = 0.01; c) phase trajectory (p, q) at а = 0.01.]
Осциллограмма для a=0.01
i
400 600 800
1200 1400 1600 1800
t
Осциллограмма для a=0.01
-2.5 -2 -1.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 X
Рис. 17. Осциллограмма и фазовая траектория при а = 0.01 для классического
осциллятора Дуффинга. [Fig. 17. Oscillogram and phase trajectory at а = 0.01 for the classical Duffing oscillator.]
0
c
5
0
15
20
Мы здесь видим, что визуализация результатов исследования при а = 0.01 с учетом Таблицы сценариев указывает на хаотический характер поведения дробного осциллятора Дуффинга (1).
Заключение
В работе с помощью модифицированного алгоритма Тест 0-1 был исследован дробный осциллятор Дуффинга (1) на наличие регулярных и хаотических режимов. Показано, что алгоритм Тест 0-1 дает приемлемые результаты, если удается избежать эффекта передискретизации. Были подтверждены результаты работ [2, 25], когда порядок дробной производной является константой, а также когда порядок равен единице (классический случай). Были получены новые результаты, когда порядок дробной производной а (t) в уравнении (1) является периодической функцией. В этом случае также могут существовать хаотические и регулярные режимы. Необходимо отметить, что также представляет интерес применение других численных методов решения задачи Коши (1), например, метода Адамса-Башфорта-Моултона или нелокальной неявной конечно-разностной схемы [17, 27-29]. Это позволит несколько уточнить, полученные результаты. Более детальное исследования хаотических и регулярных режимов можно провести с помощью построение карт и атласов по аналогии с работой [30]. В этом случае необходимо использовать большие вычислительные ресурсы с привлечением технологии параллельного программирования [10].
Список литературы
1. Lichtenberg A. J., Lieberman M. A. Regular and chaotic dynamics, vol.38. New York: Springer Science & Business Media, 2013.692 DOI:10.1007/978-1-4757-2184-3 pp.
2. Petras I Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. Berlin: Springer, 2011. 218 DOI:10.1007/978-3-642-18101-6 pp.
3. Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations. New York: Dover Publications, 2005. 288 pp.
4. Gottwald G. A., Melbourne I. Testing for chaos in deterministic systems with noise, Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005. vol.212, no. 1-2, pp. 100-110 D0I:10.1016/j.physd.2005.09.011.
5. Hu J., Tung W. W., Gao J., Cao Y. Reliability of the 0-1 test for chaos, Physical Review E, 2005. vol.72, no. 5, 056207 D0I:10.1103/PhysRevE.72.056207.
6. Falconer I., Gottwald G. A., Melbourne I., Wormnes K. Application of the 0-1 test for chaos to experimental data, SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2007. vol. 6, no. 2, pp. 395-402 DOI:10.1137/060672571.
7. Gottwald G. A., Melbourne I. On the implementation of the 0-1 test for chaos, SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2009. vol.8, no. 1, pp. 129-145 D0I:10.1137/080718851.
8. Gottwald G. A., Melbourne I. The 0-1 test for chaos: A review, Chaos detection and predictability, 2016, pp. 221-247 D0I:10.1007/s40430-015-0453-y.
9. Marszalek W., Walczak M., Sadecki J. Testing deterministic chaos: Incorrect results of the 0-1 test and how to avoid them, IEEE Access, 2019. vol. 7, pp. 183245-183251 D0I:10.1109/ACCESS.2019.2960378.
10. Walczak M., Marszalek W., Sadecki J. Using the 0-1 test for chaos in nonlinear continuous systems with two varying parameters: Parallel computations, IEEE Access, 2019. vol.7, pp. 154375-154385 D0I:10.1109/ACCESS.2019.2948989.
11. 0uannas A., Khennaoui A. A., Momani S., Grassi G., Pham V. T., El-Khazali, R., Vo Hoang D.A quadratic fractional map without equilibria: Bifurcation, 0-1 test, complexity, entropy, and control, Electronics, 2020. vol.9, no. 5, 748 D0I:10.3390/electronics9050748.
12. Fouda J. S.A.E., Bodo B., Sabat S. L., Effa J. Y. A modified 0-1 test for chaos detection in oversampled time series observations, International Journal of Bifurcation and Chaos, 2014. vol. 24, no. 5, 1450063 D0I:10.1142/S0218127414500631.
13. Wontchui T.T., Effa J. Y., Fouda H. P. E., Fouda, J. S. A. E. Dynamical behavior of Peter-De-Jong map using the modified (0-1) and 3ST tests for chaos. Annual Review of Chaos Theory, 2017. vol. 7, pp. 1-21.
14. Kim V., Parovik R. Mathematical model of fractional Duffing oscillator with variable memory, Mathematics, 2020. vol.8, no. 11 D0I:10.3390/math8112063.
15. Kim V., Parovik R. Application of the Explicit Euler Method for Numerical Analysis of a Nonlinear Fractional 0scillation Equation, Fractal and Fractional, 2022. vol. 6, no. 5 D0I:10.3390/fractalfract6050274.
16. Kim V., Parovik R. Some aspects of the numerical analysis of a fractional duffing oscillator with a fractional variable order derivative of the Riemann-Liouville type, AIP Conference Proceedings, 2022. vol. 2467 D0I:10.1063/5.0092344.
17. Kim V., Parovik R. Implicit finite-difference scheme for a Duffing oscillator with a derivative of variable fractional order of the Riemann-Liouville type, Mathematics, 2023. vol.11, no. 3 D0I:10.3390/math11030558.
18. Kovacic I., Brennan M. J. The Duffing equation: nonlinear oscillators and their behaviour. New York: John Wiley & Sons, 2011. 623 pp.
19. Coimbra C. F. M. Mechanics with variable-order differential operators, Annalen der Physik, 2003. vol. 12, no. 11-12, pp. 692-703 D0I:10.1002/andp.200310032.
20. 0rtigueira M.D., Valerio D., Machado J. T. Variable order fractional systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019. vol.71, pp. 231-243 D0I:10.1016/j.cnsns.2018.12.003.
21. Patnaik S., Hollkamp J. P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: a review, Proceedings of the Royal Society A, 2020. vol.476, no. 2234, 20190498 D0I:10.1098/rspa.2019.0498.
22. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с.
23. Kilbas A. A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, vol. 204. Amsterdam: Elsevier Science Limited, 2006. 523 pp.
24. Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Background and Theory, T.I. Berlin: Springer, 2013.373 DOI:10.1007/978-3-642-33911-0 с.
25. Syta A., Litak G., Lenci, S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping, Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2014. vol. 24, no. 1 D0I:10.1063/1.4861942.
26. Xin B., Li Y. 0-1 Test for Chaos in a Fractional 0rder Financial System with Investment Incentive, Abstract and Applied Analysis, 2013. vol.2013, 876298 D0I:10.1155/2013/876298.
27. Diethelm K., Ford N. J., Freed A. D. A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations, Nonlinear Dynamics, 2002. vol. 29, no. 1-4, pp. 3-22 D0I:10.1023/A:1016592219341.
28. Yang C., Liu F.A computationally effective predictor-corrector method for simulating fractional order dynamical control system, ANZIAM Journal,2005. vol.47, pp. 168-184 DD0I:10.21914/anziamj.v47i0.1037.
29. Garrappa R. Numerical solution of fractional differential equations: A survey and a software tutorial. Mathematics, 2018. vol.6, no. 2, 016 D0I:10.3390/math6020016.
30. Parovik R. I., Yakovleva T. P. Construction of maps for dynamic modes and bifurcation diagrams in nonlinear dynamics using the Maple computer mathematics software package, Journal of Physics: Conference Series, 2022. vol.2373, 52022 D0I:10.1088/1742-6596/2373/5/052022.
Информация об авторе
Паровик Роман ИвановичА - доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия, заведующий международной интегративной научно-исследовательской лабораторией экстремальных явлений Камчатки, КамГУ имени Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.
ISSN 2079-6641
napoBHK P. M.
References
[1 [2
Lichtenberg A. J., Lieberman M. A. Regular and chaotic dynamics. vol. 38. New York: Springer Science & Business Media. 2013. 692 p.DOI:10.1007/978-1-4757-2184-3 Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. Berlin: Springer, 2011. 218 p. D0I:10.1007/978-3-642-18101-6
Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations. New York: Dover Publications, 2005, 288 p.
Gottwald G. A., Melbourne I. Testing for chaos in deterministic systems with noise. Physica D: Nonlinear Phenomena. 2005. vol. 212, no. 1-2. 100-110. D0I:10.1016/j.physd.2005.09.011 Hu J., Tung W. W., Gao J., Cao Y. Reliability of the 0-1 test for chaos. 2005. Physical Review E. vol. 72. no. 5. 056207. D0I:10.1103/PhysRevE.72.056207
Falconer I., Gottwald G. A., Melbourne I., Wormnes K. Application of the 0-1 test for chaos to experimental data. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2007. vol. 6. no. 2. 395-402. D0I:10.1137/060672571
Gottwald G. A., Melbourne I. On the implementation of the 0-1 test for chaos. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2009. vol. 8. no. 1. 129-145. DOI:10.1137/080718851
Gottwald G. A., Melbourne I. The 0-1 test for chaos: A review. Chaos detection and predictability. 2016. 221-247. DOI:10.1007/s40430-015-0453-y
Marszalek W., Walczak M., Sadecki J. Testing deterministic chaos: Incorrect results of the 0-1 test and how to avoid them. IEEE Access. 2019. vol. 7. 183245-183251. DOI:10.1109/ACCESS.2019.2960378
Walczak M., Marszalek W., Sadecki J. Using the 0-1 test for chaos in nonlinear continuous systems with two varying parameters: Parallel computations. IEEE Access. 2019. vol. 7. 154375-154385. DOI:10.1109/ACCESS.2019.2948989
Ouannas A., Khennaoui A. A., Momani S., Grassi G., Pham V. T., El-Khazali, R., Vo Hoang D. A quadratic fractional map without equilibria: Bifurcation, 0-1 test, complexity, entropy, and control. Electronics. 2020. vol. 9. no. 5. 748. DOI:10.3390/electronics9050748 Fouda J. S. A. E., Bodo B., Sabat S. L., Effa J. Y. A modified 0-1 test for chaos detection in oversampled time series observations. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. vol. 24. no. 5. 1450063. DOI:10.1142/S0218127414500631
Wontchui T. T., Effa J. Y., Fouda H. P. E., Fouda, J. S. A. E. Dynamical behavior of Peter-De-Jong map using the modified (0-1) and 3ST tests for chaos. Annual Review of Chaos Theory. Bifurcations and Dynamical Systems. 2017. vol 7. 1-21.
Kim V., Parovik R. Mathematical model of fractional Duffing oscillator with variable
memory. Mathematics. 2020. vol. 8 no. 11, DOI:10.3390/math8112063
Kim V., Parovik R. Application of the Explicit Euler Method for Numerical Analysis of
a Nonlinear Fractional Oscillation Equation. Fractal and Fractional. 2022. vol. 6. no. 5,
DOI:10.3390/fractalfract6050274
Kim V., Parovik R. Some aspects of the numerical analysis of a fractional duffing oscillator with a fractional variable order derivative of the Riemann-Liouville type. AIP Conference Proceedings. 2022. vol. 2467. DOI:10.1063/5.0092344
Kim V., Parovik R. Implicit finite-difference scheme for a Duffing oscillator with a derivative of variable fractional order of the Riemann-Liouville type. Mathematics. 2023. vol. 11, no. 3.DOI:10.3390/math11030558
Kovacic I., Brennan M. J. The Duffing equation: nonlinear oscillators and their behaviour. New York: John Wiley & Sons, 2011, 623 p.
[19] Coimbra C. F. M. Mechanics with variable-order differential operators. Annalen der Physik. 2003. vol. 12. no. 11-12. 692-703.DOI:10.1002/andp.200310032
[20] Ortigueira M.D., Valerio D., Machado J.T. Variable order fractional systems. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. vol. 71. 231-243. DOI:10.1016/j.cnsns.2018.12.003
[21] Patnaik S., Hollkamp J. P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: a review. Proceedings of the Royal Society A. 2020. vol. 476. no. 2234. 20190498. DOI:10.1098/rspa.2019.0498
[22] Nahushev A. M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional calculus and its application]. Moscow, Fizmatlit, 2003, 272 (In Russian).
[23] Kilbas A. A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. vol. 204. Amsterdam: Elsevier Science Limited, 2006, 523 p.
[24] Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. vol. I. Background and Theory. Berlin: Springer. 2013. 373 p. DOI:10.1007/978-3-642-33911-0
[25] Syta A., Litak G., Lenci, S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2014. vol. 24. no. 1. DOI:10.1063/1.4861942
[26] Xin B., Li Y. 0-1 Test for Chaos in a Fractional Order Financial System with Investment Incentive. Abstract and Applied Analysis. 2013. vol. 2013. 876298. DOI:10.1155/2013/876298
[27] Diethelm K., Ford N. J., Freed A. D. A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations. Nonlinear Dynamics. 2002. vol. 29. no. (1-4). 3-22. DOI:10.1023/A:1016592219341
[28] Yang C., Liu F. A computationally effective predictor-corrector method for simulating fractional order dynamical control system. ANZIAM Journal. 2005. vol. 47. 168-184. DOI:10.21914/anziamj.v47i0.1037
[29] Garrappa R. Numerical solution of fractional differential equations: A survey and a software tutorial. Mathematics. 2018. vol. 6. no. 2. 016. DOI:10.3390/math6020016.
[30] Parovik R. I., Yakovleva T. P. Construction of maps for dynamic modes and bifurcation diagrams in nonlinear dynamics using the Maple computer mathematics software package. Journal of Physics: Conference Series. 2022. vol. 2373. 52022. DOI:10.1088/1742-6596/2373/5/052022
Information about author
Parovik Roman IvanovichA - D. Sci. (Phys. & Math.), Associate Professor, Leading researcher, laboratory of modeling physical processes Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, Paratunka, Head of the International Integrative Research Laboratory of Extreme Phenomena of Kamchatka, Kamchatka State University named after Vitus Bering, Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia, ORCID 0000-0002-1576-1860.
